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专题22.15 待定系数法求二次函数的解析式（分层练习）
【知识要点】二次函数的解析式
(1) 三类解析式
一般式： （a、b、c是常数， ）；
顶点式： （ ），二次函数的顶点坐标是（h，k）；
交点式： （ ），其中x ，x 是图象与x轴交点的横坐标 ．
1 2
(2) 待定系数法求解析式
① 巧设二次函数的解析式（给顶点设顶点式，给交点设交点式，其余情况设一般式）；
② 根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；
③ 解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.
一、单选题
1．已知抛物线 过原点，你认为c的值应为（ ）
A． B．0 C． D．
2．若二次函数图象的顶点坐标为 ，且过点 ，则该二次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3．一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数
的关系式是（ ）
A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5
4．若抛物线 与x轴两个交点间的距离为4.对称轴为直线x＝2，P为这条抛物线的顶点，
则点P关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（2，4） B．（-2，4） C．（2，-4） D．（4，2）
5．已知二次函数 的图象经过点 ，且当 时， 随 的增大而减小，则点 的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线 经过点 ，那么 的值是（ ）
A． B． C． D．
8．先将抛物线 关于x轴作轴对称变换，所得的新抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
9．一条抛物线和抛物线 的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是 ，则该抛物线的解析
式为（ ）
A． B．
C． D．
10．“人一定要有梦想，万一实现了呢？”巩立姣的这句赛后感言在网络上广为流传，激励了许多正
在拼搏的人．如图 是她在铅球练习中的一次掷球，铅球出手以后的轨迹可近似看作是抛物线的一部分，
已知铅球出手时离地面1.6米，铅球离抛掷点水平距离3米时达到最高，此时铅球离地面2.5米．如图 ，
以水平面为 轴，她所站位置的铅垂线为 轴建立平面直角坐标系，则她掷铅球的运动路线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
11．函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（
）
x 1 2 4
y 4 2 1
A． B．
C． D．
12．已知抛物线 过 ， ，且它与x轴只有一个公共点，则c的值是（ ）
A．4 B． C．6 D．9
13．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（ ）
A． B．
C． D．14．如图，若抛物线 经过原点，则抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D． 或
15．在平面直角坐标系中，如果点M的横坐标与纵坐标相等，则称点M为和谐点，比如：点
…，都是和谐点，若二次函数 的图象上有且只有一
个和谐点 ，则这个二次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
16．对于函数 （a为常数），当 时， ，则当 时， ．
17．若某二次函数图象的形状和开口方向与抛物线 相同，且顶点坐标为 ，则它的表达式
为 ．
18．下面是三位同学对某个二次函数的描述．
甲：图象的形状、开口方向与 的相同；
乙：顶点在 轴上；
丙：对称轴是
请写出这个二次函数解析式的一般式： ．19．二次函数 的图象经过点 ，则代数式 的值为 ．
20．抛物线与x轴交于点（2，0），（﹣1，0），利用两点式抛物线解析式可设为： ．
21．将抛物线 沿 轴翻折，得到的新的抛物线的解析式是 ．
22．已知二次函数 的图像过 和 两点，则这个二次函数的表达式为 ．
23．已知二次函数 （ ， ， 是常数， ）的 与 的部分对应值如表．
当 时，函数值为 ．
24．已知抛物线的顶点坐标是 ，且与y轴的交点坐标为 ，则该抛物线的解析式为
．
25．给出一个二次函数，它的部分性质如下：①当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随
的增大而减小；②函数的最大值为 ；③函数图象过点 ．根据以上信息，可知该二次函数的解析式为
．
26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过点 ，则此二次函数顶点坐标
为 ．
27．如图， 中， ，以 为 轴， 轴经过点 ，建立平面直角坐标系，已知， ，将 沿着 轴翻折， 的对应点为 ，若抛物线 ，恰好
过 、 、 ，则
28．顶点坐标为 且开口方向、形状与函数 相同的抛物线是 ．
29．已知：二次函数 的图象经过点 、 和 ，当 时，y的值为
．
30．在平面直角坐标系中，抛物线 与y轴交于点 ，则该抛物线关于点 成中心对称的
抛物线的表达式为 ．
三、解答题
31．已知抛物线 过点 和 ，求该抛物线的解析式．
32．已知二次函数的图象顶点为 ．且过点为 ，求该抛物线的解析式．33．如图，抛物线 与x轴交于点 和点 ，与y轴交于点C，连接 ，
与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 的面积．
34．一抛物线以 为顶点，且经过点 ，求该抛物线的解析式及抛物线与y轴的交点坐标．
35．如图，已知抛物线 经过 、 两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当 时，求 的取值范围；（3）点 为抛物线上一点，若 ，求出此时点 的坐标．
36．抛物线 交x轴于点 ，交y轴于点 ．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的对称轴和另一个与x轴交点C的坐标；
（2）直接写出当 时，x的取值范围．
（3）如图，点P是线段 上方抛物线上一动点，当P点的坐标为_______时， 的面积最大．
参考答案
1．B
【分析】抛物线 过原点，所以抛物线经过点（0，0）．解：∵抛物线经过点（0，0） ，
∴c=0，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，比较简单，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
2．C
【分析】设抛物线的解析式为 利用待定系数法求出a即可解决问题．
解：设抛物线的解析式为
把点 代入抛物线的解析式得到
抛物线的解析式为：
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的性质，解题的关键学会利用抛物线的顶点式解决问题，属于中考常考题
型．
3．A
【分析】设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），然后由当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝
﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，得到a，b，c的三元一次方程组，解方程组确定a，b，c的值即可．
解：设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，
∴c＝﹣5①，
a﹣b+c＝﹣4②，
4a﹣2b+c＝5③，
解由①②③组成的方程组得，a＝4，b＝3，c＝﹣5，
所以二次函数的关系式为：y＝4x2+3x﹣5．
故选：A．
【点拨】本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式．设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c
（a≠0），通过解方程组确定a，b，c的值．
4．A
【分析】根据抛物线 与x轴两个交点间的距离为4，对称轴为直线x＝2，可以得到b、c的值，然后即可得到该抛物线的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到点P的坐标，然后根据关
于x轴对称的点的特点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到点P关于x轴的对称点的坐标．
解：设抛物线 与x轴两个交点坐标为 ， ，
∵抛物线 与x轴两个交点间的距离为4，对称轴为直线x＝2，
∴ ＝16，﹣ ＝2，
∴ ﹣4× ＝16，b＝﹣4，
解得c＝0，
∴抛物线的解析式为 ，
∴顶点P的坐标为（2，﹣4），
∴点P关于x轴的对称点的坐标是（2，4），
故选：A．
【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、关于x轴对称的点的坐标特点，解答本题
的关键是求出点P的坐标，利用二次函数的性质解答．
5．B
【分析】先根据二次函数的增减性判断出 的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可．
解：∵二次函数 ，当 时， 随 的增大而减小，，
∴ ，
A．当 时， ，解得： ，此选项不符合题意；
B．当 时， ，解得： ，此选项符合题意；
C．当 时， ，解得： ，此选项不符合题意；
D．当 时， ，解得 ，此选项不符合题意，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的性质、待定系数法，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．
6．C
【分析】由图象可知函数与坐标轴的交点坐标，设 ，代入 整理即可．
解：由图象可得函数与x轴的交点坐标为 和 ，
可设 ，
∵函数与y轴的交点坐标为 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，整理可得 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
7．A
【分析】把点 代入抛物线，解三元一次方程组即可求解．
解：∵抛物线 经过点 ，
∴ ，解得， ，
∴ ，
故选： ．
【点拨】本题主要考查二次函数与三元一次方程组的综合，掌握二次函数的代入法，解三元一次方程
组的方法是解题的关键．
8．C
【分析】若抛物线关于 轴作轴对称变换，则图象上所有的点横坐标不变纵坐标互为相反数，据此即可解答．
解：抛物线 关于 轴作轴对称变换，
则所得抛物线为 ，即 ．
故选：C．
【点拨】此题考查了抛物线的轴对称变换，解题的关键是找到对称轴，并熟知关于 轴、 轴的对称
点的坐标特征．
9．B
【分析】直接利用顶点式写出抛物线的解析式，即可选出答案．
解：抛物线解析式为 ．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的表达式，解题的关键是能够根据题目给定的条件，
选择恰当的方法设出关系式来求解．
10．A
【分析】根据题意设出抛物线解析式为 ，再把点 的坐标代入解析式求出 的值即
可．
解：根据题意得： ， ，
设抛物线解析式为 ，
将点 的坐标代入解析式得： ，
解得： ，
巩立姣掷铅球的运动路线的函数表达式为 ，
故选：A．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，设出
抛物线的解析式为 ．
11．C【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断．
解：A、若直线 过点 ，
则 ，解得 ，
所以 ，
当 时， ，故 不在直线 上，故A不合题意；
B、由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4，所以y是x的反比例函数， ，不合题
意；
C、把表格中的函数y与自变量x的对应值代入 得
，解得 ，符合题意；
D、由C可知，不合题意．
故选：C．
【点拨】主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是
解题的关键．
12．D
【分析】由抛物线 过 ， ，可得抛物线的对称轴是直线 ，结合它与x
轴只有一个公共点，可得 ，即可求解.
解：∵抛物线 过 ， ，
∴抛物线的对称轴是直线 ，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
∵抛物线与x轴只有一个公共点，∴ ，解得 ；
故选：D.
【点拨】本题考查了二次函数的相关知识，正确理解题意、明确解答的方法是关键.
13．D
【分析】利用待定系数法求解即可．
解：设抛物线解析式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
抛物线解析式为 ，
即 ，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式的知识点，准确分析是解题的关键．在利用
待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目所给的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求
解，一般的，当已知抛物线上三点时，选用一般式，用待定系数法列三元一次方程组进行求解，已知抛物
线顶点或对称轴时，设成顶点式，已知与 轴交点时，可设交点式，通过图象设解析式求解即可．
14．A
【分析】把 代入 可得 ，然后根据二次函数图像开方向向下确定a的值即
可解答．
解：把 代入 得， ，
∴ ，
∵抛物线开口向下，
∴抛物线的解析式为 ．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数图像的性质等知识点，掌握二次函数图像的性质是解答本题的关键．
15．D
【分析】由题意可得和谐点所在直线为 ，由抛物线经过 可得a与c的数量关系，联立直线
与抛物线方程，根据 求解．
解：由题意可得和谐点所在直线为 ，
把 代入 得 ，
∴ ，
∴ ．
令 ，整理得 ，
∵抛物线与直线 只有1个公共点，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握函数与方程的关系．
16．2
【分析】直接把 ， 代入 求出a值，再令 即可．
解：将 ， 代入中，得： ，
解得： ，
∴ ，
令 ，则 ，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根
据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．17．
【分析】利用顶点式求解即可．
解：图象顶点坐标为 ，
可以设函数解析式为 ，
又∵二次函数图象的形状和开口方向与抛物线 相同，
∴ ，
∴这个函数解析式为： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，如果已知三点坐标可以利用一般式求解，若已知
对称轴或顶点坐标利用顶点式求解比较简单．
18．
【分析】根据已知条件知，此二次函数解析式为 ，且 ， ，据此可得；
解：设函数解析式为 ，根据题意得， ，
二次函数解析式是： ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质及其
解析式的形式．
19．5
【分析】代入点的坐标以后即可得出结论．
解：代入点 得 ，解得：
故答案为：5．
【点拨】本题考查图像与点的关联，能够熟练把点代入解析式是解题关键．20．
【分析】根据两点式解析式的特点设 ．
解：∵抛物线与x轴交于点（2，0），（﹣1，0），
∴抛物线解析式可设为 ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了两点式解析式的公式 ，正确掌握公式及字母表示的意义是解题
的关键．
21．
【分析】根据点关于y轴对称时“纵坐标相等，横坐标互为相反数”，可得新抛物线的解析式．
解：∵点关于y轴对称时“纵坐标相等，横坐标互为相反数”，
∴ 沿 轴翻折，得到的新的抛物线的解析式是即 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的
关键．
22．
【分析】把 和 的坐标代入 得到关于a、b的方程组求解即可．
解：把 和 的坐标代入
解得：
所以二次函数的表达式为 ．
【点拨】本题主要考查考了用待定系数法求解抛物线解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
23．
【分析】待定系数法求解析式，进而令 ，即可求解．解：由表格数据可得
解得：
∴二次函数解析式为： ，
当 时， ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
24．
【分析】根据已知信息直接设该抛物线的顶点式 ，然后代入 ，求解即可．
解：由题意，设该抛物线解析式为 ， ，
将 代入得： ，
解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查求二次函数解析式，一般包括三类：①一般式 ；②顶点式
，其中顶点坐标为 ；③顶点式 ，其中 为抛物
线与 轴交点的横坐标，灵活结合题意选择适当的二次函数表达式进行求解是解题关键．25．
【分析】根据①当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小；②函数的最大值
为 ；可得抛物线的顶点坐标以及开口方向，可得抛物线的解析式为： ，再根据③函数图
象过点 ，再利用待定系数法可得函数解析式．
解：由①当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小；
可得抛物线的对称轴为直线 ，且抛物线的开口向下，
结合②函数的最大值为 ；可得顶点坐标为： ，
可得抛物线的解析式为： ，
∵③函数图象过点 ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练的利用二次函
数的性质得到二次函数的解析式是解本题的关键．
26．
【分析】将 代入 可得 ，进而将解析式化为顶点式即可求解．
解：∵二次函数 的图象经过点 ，
∴ ，
即： ，
∴此二次函数顶点坐标为 ，
故答案为： ．【点拨】本题考查求二次函数的顶点坐标，求得函数解析式并转化为顶点坐标是解决问题的关键．
27．
【分析】根据题意得出 ，进而根据正切的定义，得出 的坐标，进而求得 点的坐
标，根据轴对称的性质求得 的坐标，待定系数法求得解析式，进而化为顶点式，即可求解．
解：∵ 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，设 ，则 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
即 ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵将 沿着 轴翻折， 的对应点为 ，
∴ ，
设抛物线解析式为 ，将点 代入得，
解得：
∴抛物线解析式为
故答案为： ．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，正切的定义，折叠的性质，求得 的坐标是解题的关键．
28．
【分析】设抛物线解析式为 ，根据已知条件易得 ，即可获得答案．
解：根据题意，抛物线顶点坐标为 ，
则设抛物线解析式为 ，
∵该抛物线与 的开口方向、形状相同，
∴ ，
∴该抛物线的解析式为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，结合题意确定 的值是解题关键．
29．3
【分析】根据题意可得交点式 ，然后把 代入求出a值，即可求出二次函数表达
式．
解：∵二次函数 的图象经过点 、
∴抛物线的解析式为 ，
把 代入得： ，解得： ，
∴函数的解析式为 ，
即 ，
∴当 时， ，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．30．
【分析】由抛物线解析式求得抛物线的顶点坐标与点 的坐标，然后结合中心对称的性质，求得新抛
物线顶点坐标，即可得抛物线解析式．
解：由抛物线 知，抛物线顶点坐标是 ．
由抛物线 知， ．
∴该抛物线关于点 成中心对称的抛物线的顶点坐标是 ．
∴该抛物线关于点 成中心对称的抛物线的表达式为： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，表示出新抛物线的顶
点坐标是解题的关键．
31．
【分析】待定系数法求解析式即可．
解： 抛物线 过点 和 ，
，
解得： ，
抛物线的解析式为： ．
【点拨】本题考查求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
32．
【分析】由于已知顶点坐标，则可设顶点式 ，然后把 代入求出 即可．
解：设抛物线的解析式为 ，把 代入得 ，解得 ，
所以抛物线的解析式为∶ ．
【点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要
根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，
常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式
为顶点式来求解；当已知抛物线与 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
33．（1） ；（2）
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求出C点坐标，再根据 ，即可求解．
解：（1）∵抛物线 与x轴交于点 和点 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）由（1）知， ，
∴点C的坐标为 ，
∴ ，
∵点B的坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 的面积是 ．
【点拨】本题考查了待定系数法求解析式，面积问题，掌握待定系数法求解析式，以及二次函数的性质是解题的关键．
34．抛物线的解析式为 ，抛物线与 轴的交点坐标为
【分析】设顶点式再代入 计算即可．
解：∵抛物线以 为顶点，
∴设抛物线的解析式为 ，
将 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
令 ，则 ，
∴抛物线与 轴的交点坐标为 ．
【点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要
根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，
常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式
为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
35．（1） ，顶点坐标为 ；（2） ；（3） 点坐标为 或
【分析】（1）把 、 分别代入 中，利用待定系数法可求出抛物线的解析式，
再利用配方法即可求出抛物线的顶点坐标；
（2）结合图象、 两点及顶点坐标即可得出答案；
（3）设 ，则 ，计算出 的值，再代入抛物线解析式即可得出点
的坐标．
（1）解：把 、 分别代入 中，得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ，
，
∴顶点坐标为 ；
（2）解：由图可得：
当 时， ；
（3）解：∵ 、 ，
，
设 ，则 ，
∴ ，
，
①当 时， ，
解得： ，
此时 点坐标为 或 ；
②当 时， ，方程无解；
综上所述， 点坐标为 或 ．
【点拨】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，把二次函数化为顶点式，二次函数的图象
与性质，二次函数综合—面积问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题，是解此
题的关键．
36．（1） ； ；对称轴直线 ；（2） 或 ；（3）【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）根据函数图象即可得出结论；
（3）过点 作 轴交 于点 ，设 ，则 ，则 ，再由
此求解即可．
解：（1）将点 ， 代入 ，
，
解得 ，
；
令 ，得
解得：
∴ ，
对称轴直线
（2）由（1）得： ，
∴当 或 时，
（3）设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
，
过点 作 轴交 于点 ，设 ，则 ，
，
，
当 时， 的面积有最大值 ，
此时 ， ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，胡不归求最短距离的方
法是解题的关键．
