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专题 24.19 四点共圆（4 种判定方法 7 类题型）（方法梳理与题型分
类讲解）
第一部分【模型梳理与题型目录】
【判定方法1】若一个点到四个点的距离相等，则这四个点共圆．
【判定方法2】若两个直角三角形共斜边，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径．
【判定方法3】共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆．
【判定方法4】对于凸四边形ABCD，若对角互补，则A、B、C、D四点共圆.
题型目录
【题型1】判定方法1..........................................................1
【题型2】判定方法2..........................................................2
【题型3】判定方法3..........................................................3
【题型4】判定方法4..........................................................4
【题型5】四点共圆综合.......................................................5
【题型6】直通中考...........................................................6
【题型7】拓展延伸...........................................................7
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】判定方法1
【例1】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示，在 中， ， 分别是 ， 边上的
高，求证： ， ， ， 四点在同一个圆上．
【变式1】如图，已知AB=AC=AD，∠CAD=20°，则∠CBD的度数是（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°【变式2】（22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，等边 中， ， 为 上一动点，
， ，则 最小值为 ．
【题型2】判定方法2
【例2】（20-21九年级上·四川南充·期中）如图， ， 分别是 的高，求证： 、 、 、
四点共圆．
【变式1】（19-20九年级上·江苏南京·期中）如图①，若BC是Rt ABC和Rt DBC的公共斜边，则
A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图△②， ABC△的三条高AD、BE、CF相
交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（ ） △A．2 B．3 C．4 D．6
【变式2】（2023·福建福州·模拟预测）如图，在 中， ，点D是 左侧
一点，连接 ， ， ，若 ， ， ，则 的长是（ ）
A． B．9 C． D．
【题型3】判定方法3
【例3】（21-22九年级上·福建福州·期中）如图，在Rt ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将 ABC
绕A点顺时针旋转得到 ADE，使D点落在BC边上．
（1）求∠BAD的度数；
（2）求证：A、D、B、E四点共圆．
【变式1】（2024·浙江金华·二模）如图， 和 都是等边三角形， ，连接 ， ，
F为直线 ， 的交点，连接 ，当线段 最长时， 的值是（ ）A．1 B． C．2 D．
【变式2】（22-23九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在四边形ABCD中， ，
， ，若 ， ，则线段AC的长为 ．
【题型4】判定方法4
【例4】（22-23九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形 中， ，对角线 平分
， ，且 ．
(1)证明： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【变式1】（2023·辽宁鞍山·一模）如图，一套三角板（ 和 ）斜边恰好重合，点 与点
在 边两侧，连接 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【变式2】（2023·重庆铜梁·模拟预测）如图，正方形 的对角线交于点 ， 是正方形外一点，
且 ，连接 若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（23-24九年级上·山东日照·期中）如图，等边 中， ，P为 上一动点，
，则线段 的最小值为 ．
【题型5】四点共圆综合
【例7】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读理解：（1）问题初现：如图1，在 中， ，D是 外一点，且 ，则
；
思路：若以点A为圆心， 为半径画 ，则点C、D必在 上， 是 的圆心角，而
是圆周角，从而可容易得到 的度数；
（2）问题解决：如图2，在四边形 中， ，求 的度数；
思路：可以通过证明A、B、C、D四点共圆，再利用圆周角的性质求出∠BAC的度数．请写出详细的解
题过程．
（3）问题拓展：如图3，在 中， ， 是 边上的高，且 ，则 ．
【变式1】（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）根据下列四幅图中标注的信息，无法确定 四
点在同一个圆上的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）如图，正方形 中，点E为边 上任一点（不
与C、D重合），作射线 ，过点C作 于点F，连接 ， ．
(1)直接写出 的度数；
(2)判断线段 ， ， 之间的数量关系（用等式表示），并证明你的结论；
(3)过点B作 于点H，直接写出 ， ， 之间的数量关系（用等式表示）．第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型6】直通中考
【例6】（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在ΔABC中， ，AB=AC=5，点 在 上，且
，点E是AB上的动点，连结 ，点 ，G分别是BC，DE的中点，连接 ， ，当AG=FG
时，线段 长为（ ）
A． B． C． D．4
【变式】（2023·山东日照·中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究
得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：
如图1， 中， （ ）．点D是 边上的一动点（点D不与B，C
重合），将线段 绕点A顺时针旋转 到线段 ，连接 ．
(1)求证：A，E，B，D四点共圆；
(2)如图2，当 时， 是四边形 的外接圆，求证： 是 的切线；
(3)已知 ，点M是边 的中点，此时 是四边形 的外接圆，直接写出圆心P与
点M距离的最小值．【题型7】拓展延伸
【例7】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在正方形 中，连接 ，点H和点Q分别在线段
上，若点B、H、Q、C四点共圆，若 ，设 为x，三角形 的面积为y，则y与x的
函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称
这四个点共圆，简称“四点共圆”．以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗?
I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的 个顶点共圆（图1、2）；
II．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的 个顶点共圆（图3）；
III．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图4）．【结论证明】（1）在图1、2中，取 的中点 ，根据______得 ，即 ， ， ，
共圆；
（2）在图3中，画 经过点 ， ， （图5）．假设点 落在 外， 交 于点 ，连接 ，
可得 ___ ，与已知条件___得出矛盾；同理点 也不会落在 内，即 ， ， ， 共圆．
结论III同理可证．
【理解应用】利用四点共圆解决下述两个问题：
（3）证明锐角三角形的三条高交于一点．
已知：如图6，锐角三角形 的高 ， 相交于点 ，射线 交 于点 ．求证： 是
的高．
（4）如图7，若二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，为第二象限上的点，在直线上，且；若
为轴上方抛物线上的一动点，令点横坐标为，当为何值时，的面积最大，求出此时点坐标和最大面积．
