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专题 24.1 圆基本性质的综合
◆ 典例分析
【典例1】已知，△ABC内接于圆O，AB为圆O直径，在圆O上取点D，连接AD，AD=BC；
（1）如图1，求证：AC⊥AD；
（2）如图2，圆O的弦AE交BC于点F，延长AD至点G，分别连接BE、FG，若∠AFG=2∠FBE，
求证：FA=FG；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，若∠AFG=∠FAB+∠ABG，BG:AE=17:32，求EF:FA
．
【思路点拨】
（1）连接BD，证明Rt△ABC≌Rt△BAD，得出∠ABC=∠BAD，则BC∥AD，根据AC⊥BC，即
可得出AC⊥AD；
（2）设∠FBE=α，∠AFC=β，则∠AFG=2α，，得到α+β=90°，进而得出∠FAG=∠G，即可得证；
（3）过B作BT⊥FG，在AE上取一点J，连接BJ，使得∠JBA=∠JAB，证明△JBE≌△GBE(AAS)，
根据BG:AE=17:32设BG=17a，AE=32a，则BG=BJ=AJ=17a，勾股定理得出
17
EB=❑√BJ2−EJ2=8a，设FE=FT=b，得出b= a，即可求解．
2
【解题过程】
（1）证明：连接BD，如图所示：
∵ AB为圆O直径，
∴∠C=∠D=90°，即AC⊥BC
∵ AD=BC，AB=AB
∴Rt△ABC≌Rt△BAD
∴∠ABC=∠BAD
∴BC∥AD
∵AC⊥BC
∴ AC⊥AD；
（2）证明：∵ ∠AFG=2∠FBE，
设∠FBE=α，∠AFC=β，则∠AFG=2α，
∵C´E=C´E，
∴∠CBE=∠CAF=α，
∵∠C=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，即α+β=90°，
∵AD∥CB，∴∠FAG=∠CFA=β，∠G=∠BFG=180°−β−2α=β，
∴∠FAG=∠G,
∴FA=FG；
（3）解：过B作BT⊥FG，在AE上取一点J，连接BJ，使得∠JBA=∠JAB，如图所示：
设∠JBA=∠JAB=θ，∠FBE=α，∠AFC=β，
∴∠FJB=∠JAB+∠JBA=2θ，
由（2）可得∠AFG=2α，∠BFG=β，
∵BT⊥FG，
∴∠FBT=90°−∠BFT=90°−β=α，
∴∠FBT=∠FBE，
∵AB是直径，
∴BE⊥AE，
∴BE=BT，
∵∠AFG=∠FAB+∠ABG=2α，
即∠ABG=∠AFG−∠FAB=2α−θ，
∴∠JBG=∠JBA+∠ABG=θ+2α−θ=2α，
∴∠AFG=∠JBG，
设BJ,FG交于点L，
∵∠FLB=∠EJB+∠AFG=∠BGT+∠JBG，
∴∠BGT=∠EJB，在△JBE,△GBE中
{
∠E=∠BTG
)
∠BGT=∠EJB ，
EB=TB
∴△JBE≌△GBE(AAS)，
∴BG=BJ,EJ=TG，
∵BG:AE=17:32
设BG=17a，AE=32a，则BG=BJ=AJ=17a，
∴EJ=TG=15a，
在 中， ，
Rt△EBJ EB=❑√BJ2−EJ2=8a
在Rt△FEB,Rt△FTB中，
{EB=TB)
，
FB=FB
∴Rt△FEB≌Rt△FTB(HL)，
∴FE=FT，
设FE=FT=b，
∵FA=FG，
∴AE−EF=FT+TG，
∴32a−b=b+15a，
17 17
∴b= a，即EF= a，
2 2
17 47
∴AF=32a−b=32a− a= a，
2 2
17 47 17
∴EF:FA= a: a= ．
2 2 47
◆ 学霸必刷
1．（2024·山西临汾·一模）如图，线段AB，AC分别为⊙O的弦，AB=12，AC=20，AD平分∠BAC
，若∠BAC=60°，则弦AD的长为（ ）16❑√3 32❑√3
A．8❑√3 B． C．20❑√3 D．
3 3
2．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，E是⊙O的直径AB上一点，AB=10，BE=2，过点E
作弦CD⊥AB，P是弧AB上一动点，连接DP，过点A作AQ⊥PD，垂足为Q，则OQ的最小值为
（ ）
3❑√5 3❑√5
A．❑√5 B．2❑√5 C． D．
2 4
3．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，△ABC是等边三角形，⊙O为△ABC的外接圆，点D在
劣弧BC上，连结AD，BD，CD，并在AD上取点E，使得CD=DE，连结CE．若CD=1，BD=2，
则⊙O的半径为（ ）
3 ❑√21 ❑√5
A． B． C．❑√2 D．
2 3 2
4．（2024九年级·全国·竞赛）如图，已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E为BC上一点，其中
⊙O的半径为10cm，AB=AD=AE=DE=8cm，则CD的长度为（ ）A．8cm B．9cm C．10cm D．12cm
5．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，连接AO并延长，交BC于
点D，BE⊥AC于点E，交AD于点F，连接OE．若OE=EF=1，则BF的长为（ ）
3 5
A．❑√2 B． C． D．❑√3
2 3
6．（2024·河北·模拟预测）如图，△ABC内接于⊙O,AC为⊙O的直径，点D，E分别为⊙O上的动点
（不与点A，点B，点C重合），且DE=BC,F为DE的中点，连接OF．若AB=6,BC=8，对于结论
I，Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论I：连接BD,CD,CE,EB必得到等腰梯形；
结论Ⅱ：连接AF,AF的最大值为8．
A．I，Ⅱ都对 B．I，Ⅱ都不对 C．I对Ⅱ不对 D．I不对Ⅱ对
7．（23-24九年级下·重庆巴南·期中）如图，在⊙O中，C是A´B的中点，作点C关于弦AB的对称点D，
连接AD并延长交⊙O于点E，过点B作BF⊥AE于点F，若∠BAE=2∠EBF，则∠EBF等于
度．8．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，点D在弧AC上，
依次连接AD、BD、CD，若CD=2，AD=5，BD=8，则AC等于 ．
9．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中
AB=6，∠AOC=120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为
．
10．（23-24九年级上·山东威海·期末）将⊙A的劣弧BD沿弦BD折叠、刚好落在半径AD的中点C处，已
知CD=2，则BC= ．
11．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，点 D 在以 AB 为直径的 ⊙O 上，点 C 在 AB 延长线
上，OD⊥CD，AB=10，CD=8 ，点E为圆上动点，当△CDE是以CD为底边的等腰三角形时；则
CE= ．12．（2024·浙江宁波·一模）如图，AB、CD是⊙O中的两条弦，相交于点E，且AB⊥CD，AE=DE
，点H为劣弧AD上一动点，G为HE中点，若CE=1，DE=7，连接AG，则AG最小值为 ．
13．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=1，点Р在以斜边
AB为直径的半圆上，M为PC的中点，则点Р沿半圆由点A运动至点B的过程中，线段BM的最小值为
．
14．（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC=CD，将△ABC
绕点C旋转至△EDC，则下列结论：①AC平分∠BAD；②点A，D，E在同一条直线上；③若
∠BAD=60°，则AB+AD=❑√2AC；④若AD−AB=CD，则∠ABC=120°，其中一定正确的是
（填序号）．
15．（2024·安徽合肥·一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，BC=CD，过点C作CE，使得CD=CE，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AB=AE．
（2）若AD=DE=2，求CD的长．
16．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，直径AN⊥BC，垂足为点H，连接OB、AC，K为线段
AH上一点，连接CK，180°−∠CKO=2∠CAO．（1）如图1，求证∶CK∥BO；
（2）如图2，D为弧AB上一点，DE⊥BC，垂足为点G，连接OD交BC于点Q，Q为HG中点，求证∶
DE=4OH．
17．（2024·福建福州·一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，BD平分
∠ABC，BD交AC于点E，过点D作DF⊥DB,DF交BA的延长线于点F．
（1）求证：AF=BC；
（2）过点F作FG∥BD交CA延长线于点G，求证：AG=CE．18．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=AC，
∠BAC=50°，点P为弧AB上一点，连接CP．
（1）如图1，当CP⊥AB时，垂足为E，连接AO并延长分别交CP，BC于点F,G．
①∠BCP=______°；
②求证：EF=PE．
（2）如图，若CP与AB不垂直，过点A作AE⊥CP，垂足为E，连接PB，如果PB=3，PE=1求线段
CE的长．19．（2023·黑龙江哈尔滨·一模）已知：△ABC内接于⊙O，弦CD平分∠ACB．
（1）如图1，求证：A´D=B´D；
（2）如图2，过点A作AE⊥BC，垂足为点E．过点D作DF⊥BC，交CB的延长线于点F，且
AE=CF．
①求证：AC=CE+DF；
②若CE=5，CD=4❑√13，求⊙O的半径．20．（2024·浙江嘉兴·一模）定义：三角形两个内角的平分线相交所成的钝角称为该三角形第三个内角的
好望角．
（1）如图1，∠D是△ABC中∠A的好望角，∠A=α，请用含α的代数式表示∠D．
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC的平分线与经过B，C两点的圆交于点D,E，且
∠ACE+∠BDE=180°．求证：∠ADB是△ABC中∠ACB的好望角．
（3）如图3，在 （2）的条件下，
①取弧CE的中点F，连接CD，CF，若CD=4，CF=❑√6，求圆的半径r．②若∠BAC=90°，BC=6，请直接写出线段AE的最大值．
