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专题24.22 切线的性质与判定（基础练）
一、单选题
1．在 中， ， ， ，以C为圆心作 与AB相切，则 的半径长为
（ ）
A．8 B．4 C．9.6 D．4.8
2．下列直线是圆的切线的是（ ）
A．经过半径外端的直线 B．垂直于半径的直线
C．与圆有公共点的直线 D．圆心到直线的距离等于这个圆的半径长的直线
3．如图， 内接于 ，过A点作直线 ，当 （ ）时，直线 与 相切．
A． B． C． D．
4．用直角钢尺检查下列工件是否恰好是半圆环形，则根据图示情况，肯定是半圆环形的工件是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点A在 上，下列条件不能说明 是 切线的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图， 是 的直径，C、D是 上的点， ，过点C作 的切线交 的延长线于点E，则 等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在 中， 为弦， 于点 ， ，过点 作 的切线，交 的延长
线于点 ，则 ( )
A． B． C． D．
8．如图， 是 的直径， ，垂足为E，直线 与 相切于点C， 交 于点D，
直线 交 的延长线于点P，连接 ，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知PA与⊙O相切于点A，连接OA，AB是⊙O的弦，且AB⊥OP，垂足为点C．若AP＝
3，OP＝3 ，则OC的长为（ ）A． B． C．2 D．
10．如图，在矩形ABCD中， ，E是边AB上一点，且 ．已知 经过点E，与边CD
所在直线相切于点G（ 为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且 ，当边AD或BC所
在的直线与 相切时，AB的长是（ ）
A．5或9 B．6或9 C．5或 D．6或
二、填空题
11．在下图中， 是 的直径，要使得直线 是 的切线，需要添加的一个条件是 ．
（写一个条件即可）
12．如图，已知 ，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作 ，当
cm时， 与OA相切.
13．如图， 中， ，以 为直径的 交 于E点，直线 于F，则直线与 的位置关系是 ．
14．如图， 是 的直径， 与 相切于点 ，连接 ，交 于点 ， ，点 在
上，则 ．
15．如图，圆内接四边形 的边 过圆心O，过点C的切线与边 所在直线垂直于点M，若
，则 等于 ．
16．如图，在 中， ， 与它的边 ， 相切，射线 交边 于点 ．当
， 时， 的长等于
17．如图， 切 于A点，连接 交 于点C，点D是 优弧上一点，若 为α，则
（用含α的代数式表示）．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A(−6，0)，B(0，6)，⊙O的半径为2（O为坐标
原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为
三、解答题
19．如图，已知 内接于 ， 是 的直径， 的平分线交 于点 ，交 于点 ，
连接 ，作 ，交 的延长线于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．20．如图，在 中， 为 的直径， 为弦、 ， ．
(1)求 的度数；
(2)在图（1）中，P为直径 的延长线上一点，且 ，求证： 为 的切线．
21．如图，点A在第一象限内， 与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D，连结 ，过点 作
于点H．
(1)求证：四边形 为矩形．
(2)已知 的半径为4， ，求弦 的长．
22．已知：如图，在 中， ，D是 的中点．以 为直径作 ，交边 于点P，连接 ，交 于点E．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 是 的切线， ，求 的长．
23．如图1，已知 为 的直径，点E在 上，给出下列信息：① 是 的切线；②
；③ 平分
(1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩余的一条信息作为结论，组成一个正确的命题，你
选择的条件是 、 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由；
(2)如图2，在（1）的条件下， 交 于D，若 ，求 的值．
24．如图1， 是 的直径，点C是 上一点（不与点A，B重合），连接 ．(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出 的中点．（点C，D在线段AB异侧）；（保留作图痕迹，
不写作法）
(2)如图2，在（1）的条件下，过点D作 的切线，分别交 的延长线于点E，F．
①求证： ；
②过C作 于M， 交 于点N，若 ， ，求 的长．
参考答案
1．D
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，先利用勾股定理求得BC的长，再利用三角形的面积公式求得CD的
长即可.
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵S ，
ABC
△
∴ ，
则以C为圆心CD为半径作 与AB相切.
故选D.【点拨】本题主要考查切线的判定，勾股定理，三角形的面积公式，解此题的关键在于熟练掌握其知
识点.
2．D
【分析】根据圆的切线的判定定理进行判断即可.
解：A. 经过半径外端的直线，但直线不一定垂直半径，故不能判断该直线是圆的切线；
B. 垂直于半径的直线，但直线不是经过半径外端，故不能判断该直线是圆的切线；
C. 与圆有公共点的直线，直线与圆相交也有公共点，故不能判断该直线是圆的切线；
D. 圆心到直线的距离等于这个圆的半径长的直线，能判断该直线是圆的切线.
故选D.
【点拨】本题主要考查圆的切线的判定定理，圆的切线必须与半径垂直，且过半径的外端.
3．C
【分析】首先过点O作直径AF，连接BF，根据同弧所对的圆周角相等可得∠C＝∠AFB，进而可得到
∠BAE＝∠F，再根据直径所对的圆周角是90°，可证出∠AFB+∠BAF＝90°，再利用等量代换可得
∠BAE+∠BAF＝90°，进而得到直线DE与 O相切．
解：当 时，直线 与 ⊙相切．
理由如下：
作AF交圆O于F点，连接BF．
∵∠F，∠C是同弧AB所对的角，
∴∠C＝∠F，
∵∠BAE＝∠C，
∴∠BAE＝∠F，
∵AF为直径，
∴∠ABF＝90°，
∴在三角形ABF中，∠F+∠BAF＝90°，
∵∠F＝∠BAE，
∴∠BAE+∠BAF＝90°，∴FA⊥DE，
∴直线DE与 O相切．
故选：C ⊙
．
【点拨】此题主要考查了切线的判定，关键是正确作出辅助线，证明∠BAE+∠BAF＝90°．
4．B
【分析】根据切线性质和 的圆周角所对的弦是直径可得答案．
解：A、不能保证弦的另一端与圆相切，即不能保证弦为直径，故不能肯定是半圆环形的工件，不符
合题意；
B、图中 角是圆周角，故能肯定是半圆环形的工件，符合题意；
C、图中 角不是圆周角，故不能肯定是半圆环形的工件，不符合题意；
D、图中 角不是圆周角，故不能肯定是半圆环形的工件，不符合题意；
【点拨】本题考查圆周角定理、切线性质，熟知 的圆周角所对的弦是直径是解答的关键．
5．D
【分析】根据切线的判定定理即可依次判断．
解：A. 由 可得AO⊥AP，可判定 是 切线；，
B. 可判定 是 切线；
C. 由 ，可得∠PAO=90°，可判定 是 切线；
D. 不能判定 是 切线；
故选D．【点拨】此题主要考查切线的判定，解题的关键是熟知圆的切线判定定理．
6．A
【分析】如图，连接 ，由 是 的切线，可得 ， ，
由 ，可得 ．
解：如图，连接 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌
握．
7．B
【分析】连接 ，根据等腰三角形的性质得到 ，由切线的性质得到
，于是得到结论．
解： 于 ， ，
，
是 的切线，
，
，
故选：B．
【点拨】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关
键．8．A
【分析】根据切线的性质和已知求得 ，由圆周角定理求得 ，根据圆的性质求得 ，
结合已知得到 ，利用平行线的性质从而求出结果．
解：连接 ，
直线 与 相切于点C，
，
，
，
，
，
，
，
又 ， ，
，
，
故选：A．
【点拨】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，圆的性质和平行线的判定和性质；
利用以上性质对角进行转换是解题的关键．
9．A
【分析】由勾股定理可知OA＝3，从而可知∠AOC＝45°，所以△OAC是等腰直角三角形，利用勾股
定理即可求出OC的长度．
解：∵AP是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∵AP＝3，OP＝3 ，∴由勾股定理可知：OA＝ =3，
∴∠AOC＝45°，
∵AB⊥OP，
∴∠OCA＝90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，OC=AC
∵AO=
∴OC＝ OA＝ ，
故选：A．
【点拨】此题主要考查切线的性质定理及应用，解题的关键是熟知垂径定理与切线的性质．
10．D
【分析】边BC所在的直线与⊙O相切时，过点G作GN⊥AB，垂足为N，可得EN＝NF，由 ，
依据勾股定理求出半径r，根据 计算即可；当边AD所在的直线与⊙O相切时，同理可求．
解：边BC所在的直线与⊙O相切时，
如图，
切点为K，连接OK，过点G作GN⊥AB，垂足为N，
∴EN＝NF，
又∵ ，∴
设⊙O的半径为r，由OE2＝EN2＋ON2，
得：r2＝16＋（8−r）2，
∴r＝5，
∴OK＝NB＝5，
∴EB＝9，
又 ，即 ，
∴AB＝ ；
当边AD所在的直线与⊙O相切时，切点为H，连接OH，过点G作GN⊥AB，垂足为N，
同理，可得OH＝AN＝5，
∴AE＝1，
又 ，
∴AB＝6，
故选：C．
【点拨】本题考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理的综合应用，解答本题的关键在于做好辅助线，
利用勾股定理求出对应圆的半径．
11．∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）
【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：
∠ABT=∠ATB=45°即可．
解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°，
∵∠ABT=∠ATB=45°，
∴∠BAT=90°，
又∵AB是圆O的直径，∴AT是圆O的切线，
故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．
【点拨】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键．
12．4
【分析】过M作MN⊥OA于点N，此时以MN为半径的圆 与OA相切，根据30°角所对直角边为斜
边的一半可得OM的长.
解：如图，过M作MN⊥OA于点N，
∵MN=2cm， ，
∴OM=4cm，
则当OM=4cm时， 与OA相切.
故答案为4.
【点拨】本题主要考查切线判定，直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半，解此题的关键在于
熟练掌握其知识点.
13．相切
【分析】连接 ， ，由 为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得 为直角，利用
垂直的定义可得 垂直于 ，又 ，根据三线合一得到 为 的中点，又 为直径 的中点，
可得 为三角形 的中位线，根据三角形的中位线平行与第三边可得 与 平行，同时由 与
垂直，得到 为直角，根据两直线平行内错角相等可得 为直角，可得 为圆的切线，得
证．
解：证明：连接 ， ，为圆 的直径，
，
，又 ，
为 的中点，又 为直径 的中点，
为 的中位线，
，
，
又 ， ，
，
则 为圆 的切线．
故答案为：相切．
【点拨】此题考查了切线的判定，涉及的知识有：等腰三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质，
以及切线的判定定理，切线的判定定理是经过直径的外端点，且与直径垂直的直线为圆的切线，熟练掌握
此定理是证明的关键．
14．
【分析】如图所示，连接 ，由切线的性质得到 ，进而求出 ，由 是
的直径，得到 ，则 ，再由同弧所对的圆周角相等即可得到
．
解：如图所示，连接 ，
∵ 与 相切于点 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题
的关键．
15． /20度
【分析】由圆内接四边形的性质求出 ，由圆周角定理求出 ，
得出 ，由过点C的切线与边 所在直线垂直于点M，可得 ， ，继而
根据三角形的外角性质得出 ，即可求出 的度数．
解：连接 ，
∵圆内接四边形 的边 过圆心O，
∴ ，
∴ ， ，
∵过点C的切线与边 所在直线垂直于点M，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形的外角性质等知识；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键．
16．2
【分析】根据切线的性质和角平分线的性质可得 ，根据平行四边形的性质可得
，即可推得 ，根据等角对等边可得 ，即可求得．
解：∵ 与它的边 ， 相切，
∴点 到 ， 的距离相等，
∴ 是 的角平分线，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故 ，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了切线的性质，角平分线的性质，平行四边形的性质，等角对等边，熟练掌握以上
性质是解题的关键．
17．
【分析】连接 ，根据切线的性质，得到 ，进而得到 ，再利用圆周角定
理即可得解．
解：连接 ，
∵ 切 于A点，
∴ ，
∵ 为α，
∴ ，∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查切线的性质，圆周角定理．熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径，同弧所对的圆
周角等于圆心角的一半，是解题的关键．
18．
【分析】连接OP．根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短．
解：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，
∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；
又∵A（-6，0）、B（0，6），
∴OA=OB=6，
∴AB=6 ，
∴OP= AB=3 ，
∵OQ=2，
∴PQ= ，
故答案为： ．【点拨】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．运用切线的性质
来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题．
19．（1）见分析；（2）15
【分析】（1）连接 ，根据 平分 ， ， ，证明
即可；
（2）设 的半径为 ，则有 ，在 中， ，根据勾股定理建立方
程，解方程即可求解．
（1）解：连接 ，
是 的直径，
，即 ，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
是 的半径，
是 的切线．
（2）设 的半径为 ，
则有 ，
∵ 是 的切线．
∴ ，
在 中， ，，
解得 ，
的半径为 ．
【点拨】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．
20．（1） ；（2）见分析
【分析】（1）根据圆的基本性质以及等边三角形的判定与性质求解即可；
（2）作 于点 ，通过面积计算确定 ，从而求得 ，进而证得 ，最终结
合点 为半径 的外端点，证得结论．
（1）解：在 中， ，则 为等腰三角形，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ；
（2）证：如图所示，作 于点 ，
由（1）知 为等边三角形，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，即： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 为半径 的外端点，∴ 为 的切线．
【点拨】本题考查圆的基本性质，等边三角形的判定与性质，切线的判定等，掌握圆的基本性质以及
切线的判定方法是解题关键．
21．（1）详见分析；（2）6
【分析】（1）根据切线的性质得到 轴根据垂直的定义得到 ，根
据矩形的判定定理得到四边形 是矩形；
（2）连接 ，根据矩形的性质得到 ，根据勾股定理得到
，根据垂径定理即可得到结论．
解：（1）证明： 与 轴相切于点 ，
轴
又 ， ，
，
四边形 是矩形；
（2）解：连接 ，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，正确作出辅助线是解题
的关键．22．（1）证明见分析；（2）
【分析】（1）要证明 是圆O的切线，只要证明 即可；
（2）连接 ，根据等腰三角形的性质求得 的长，再求 的长，根据切线的性质求得
，最后利用勾股定理求出 的长．
解：（1）证明：∵ ，D是 的中点，
∴ ．
又∵ 是 直径，
∴ 是 的切线．
（2）解：连接 .
∵点D是边 的中点， ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∵ 是 的切线，O为圆心，
∴ ．
在 中，由勾股定理，得 ，
∴ ．
【点拨】本题是圆的综合问题，考查了圆的切线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握
这些性质是解决本题的关键．
23．（1）选择的条件是①②，结论是③，理由见分析；选择的条件是①③，结论是②，理由见分析；
选择的条件是②③，结论是①，理由见分析；（2）
【分析】（1）选择的条件是①②，结论是③，理由：连接 ，可得到 ，再由 是
的切线可得 ，从而得到 ，即可；选择的条件是①③，结论是②，理由：连接 ，可得到 ，再由 平分 可证得 ，再由 是 的切线，即可；选择的条
件是②③，结论是①，理由：连接 ，可得到 ，再由 平分 可证得 ，
从而得到 ，即可；
（2）连接 ，根据圆内接四边形的性质可得 ，再证得 ，可得到
，从而求出 ，即可求解．
（1）解：选择的条件是①②，结论是③，理由如下：
连接 ，
，
．
是 的切线，
．
，
．
，
，
平分 ．
选择的条件是①③，结论是②，理由如下：
连接 ，
，
．
平分 ，，
，
．
是 的切线，
．
；
选择的条件是②③，结论是①，理由如下：
连接 ，
，
．
平分 ，
，
，
．
，
．
是半径，
是 的切线；
（2）解：如图，连接 ，
∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ，
∵ ，∴ ，
， 为 的直径，
∴ ，
平分 ，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： 或 （舍去），
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了切线的性质和判定，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，
熟练掌握切线的性质和判定，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
24．（1）见分析；（2）①见分析；②
【分析】（1）根据角平分线的画法求解即可；
（2）①连接 ，由圆周角定理证出 ，由切线的性质得出 ，则可得出结论；
②过点 作 于 ， 交 于 ，证出四边形 是矩形，得出 ，求出 的
长，则由 可得出答案．
（1）解：如图1，
；（2）①证明：连接 ，
平分 ，
，
，
，
又 是 的切线，
，
，
∴ ；
②过点 作 于 ， 交 于 ，
， ，
，
又 ，
四边形 是矩形，
，
是 的直径， ， ，
，
，
，
，
．
【点拨】此题是圆的综合题，考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、三角形的面积等知识，熟
记掌握切线的性质是解题的关键．
