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专题 24.3 坐标系中圆的综合
【典例1】在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段AB，若线段PA或PB的垂直平分线与线段AB有公
共点，则称点P为线段AB的融合点．
（1）已知A(3，0)，B(5，0)，
①在点P (6，0)，P (1，−2)，P (3，2)中，线段AB的融合点是______；
1 2 3
②若直线y=t上存在线段AB的融合点，求t的取值范围；
（2）已知⊙O的半径为4，A(a,0)，B(a+1,0)，直线l过点T(0,−1)，记线段AB关于l的对称线段为
A′B′．若对于实数a，存在直线l，使得⊙O上有A′B′的融合点，直接写出a的取值范围．
【思路点拨】
（1）①画出对应线段的垂直平分线，再根据融合点的定义进行判断即可；②先确定线段AB融合点的轨迹
为分别以点A，B为圆心，AB长为半径的圆及两圆内区域，则当直线y=t与两圆相切时是临界点，据此求
解即可；
（2）先推理出A′B′的融合点的轨迹即为以T为圆心，(TA−1)的长为半径的圆和以T为圆心，以(TB+1)
的长为半径的圆的组成的圆环上（包括两个圆上），再求出两个圆分别与⊙O内切，外切时a的值即可得
到答案．
【解题过程】
（1）解：①如图所示，根据题意可知P ，P 是线段AB的融合点，
1 3故答案为；P ，P ；
1 3
②如图1所示，设PA的垂直平分线与线段AB的交点为Q，
∵点Q在线段PA的垂直平分线上，
∴PQ=AQ，
∴当点Q固定时，则点P在以Q为圆心，AQ的长为半径的圆上，
∴当点Q在AB上移动时，此时点P的轨迹即线段AB的融合点的轨迹为分别以点A，B为圆心，AB长为
半径的圆及两圆内区域．
当直线y=t与两圆相切时，记为l ，l ，如图2所示．
1 2
∵A(3，0)，B(5，0)，
∴AB=2,∴t=2或t=−2．
∴当−2≤t≤2时，直线y=t上存在线段AB的融合点．
（2）解：如图3-1所示，假设线段AB位置确定，
由轴对称的性质可知TA=T A′，TB=T B′，
∴点A′在以T为圆心，TA的长为半径的圆上运动，点B′在以T为圆心，以TB的长为半径的圆上运动，
∴A′B′的融合点的轨迹即为以T为圆心，(TA−1)的长为半径的圆和以T为圆心，以(TB+1)的长为半径的
圆的组成的圆环上（包括两个圆上）；
当TATB时，
当以T为圆心，(TB−1)为半径的圆与⊙O外切时，
∴TB−1=4+1，
∴❑√(0−a−1) 2+(−1−0) 2=6，
∴a2+2a+1+1=36，
∴a=−❑√35−1（正值舍去）；
当以T为圆心，(TA+1)为半径的圆与⊙O内切时，
∴TA+1=3，
∴❑√(0−a) 2+(−1−0) 2=2，
∴a2+1=4，
∴a=−❑√3（正值舍去）；
∴−❑√35−1≤a≤−❑√3时，存在直线l，使得⊙O上有A′B′的融合点；
综上所述，当❑√3−1≤a≤❑√35或−❑√35−1≤a≤−❑√3时存在直线l，使得⊙O上有A′B′的融合点．1．（2022·宁夏固原·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，点P(x ,y )到直线Ax+By+c=0(A2+B2≠0)
0 0
|Ax +B y +C)
的距离公式为：d= 0 0 ，例如，求点P(1,3)到直线4x+3 y−3=0的距离．解：由直线
❑√A2+B2
4x+3 y−3=0知：A=4，B=3，C=−3所以P(1,3)到直线4x+3 y−3=0的距离为：
|4×1+3×3−3)
d= =2根据以上材料，解决下列问题：
❑√42+32
（1）求点P (1,−1)到直线3x−4 y−5=0的距离．
1
3
（2）已知：⊙C是以点C(2,1)为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=− x+b相切，求实数b的值；
4
（3）如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4 y+5=0上的两点，且AB=2，
请求出△ABP面积的最大值和最小值．
【思路点拨】
（1）直接利用距离公式代入计算即可得到答案；
3
（2）把直线y=− x+b整理，得3x+4 y−4b=0，利用公式列方程求解即可；
4
（3）先求圆心C(2,1)到直线AB的距离，判断出P到AB的最大距离与最短距离可得答案．
【解题过程】
（1）解：3x-4y-5=0，
其中A=3,B=-4，C=-5，|Ax +B y +C|
∴d= 0 0 ，P (1,−1)，
❑√A2+B2 1
|3+4−5| 2
∴d= =
，
❑√32+(−4) 2 5
2
∴距离为 ；
5
3
（2）直线y=− x+b整理，得3x+4 y−4b=0，
4
故a=3，b=4，c=−4b．
∵⊙C与直线相切，
∴点C到直线的距离等于半径，
|3×2+4×1−4b|
即
=1，
❑√32+42
整理得|10−4b|=5，
5 15
解得b= 或b= ；
4 4
（3）如解图，过点C作CD⊥AB于点D．
∵在3x+4 y+5=0中，
a=3，b=4，c=5，
|3×2+4×1+5|
∴圆心C(2,1)到直线AB的距离CD= =3，
❑√32+42
∴⊙C上的点到直线AB的最大距离为3+1=4，
最小距离为3−1=2，
1
∴S 的最大值为 ×2×4=4，
ΔABP 2
1
最小值为 ×2×2=2．
22．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点
P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”．例如：下图中的P(1，3)是
“垂距点”．
(3 5)
（1）在点A(2，2)，B ，− ，C(−1，5)中，是“垂距点”的点为 ；
2 2
（2）求函数y=2x+3的图象上的“垂距点”的坐标；
（3）⊙T的圆心T的坐标为(1，0)，半径为r．若⊙T上存在“垂距点”，则r的取值范围是 ．
【思路点拨】
(3 5)
（1）由题意利用“垂距点”的定义垂线段的长度的和为4，对点A(2,2)，B ,− ，C(−1,5)进行分析
2 2
判断；
（2）由题意可知点横纵坐标的绝对值的和为4，依次列式求出“垂距点”的坐标；
（3）设“垂距点”的坐标为(x,y)，则|x)+|y)=4(x⋅y≠0)，画出函数图像，分情况讨论即可解得．
【解题过程】
（1）解：由题意得 ，垂线段的长度的和为4．
3 | 5)
A:2+2=4，B: + − =4，C:|−1)+5=6
2 2
故答案为：A，B．
（2）解：设函数y=2x+3的图像上的“垂距点”的坐标(a,2a+3)．
由题意得 |a)+|2a+3)=4．
①当a≥0时，a+(2a+3)=4．
1
∴a= ．
3
3
②当− ≤a＜0时，−a+(2a+3)=4．
2
∴a=1（不合题意，舍）．3
③当a<− 时，−a−(2a＋3)=4．
2
7
∴a=− ．
3
(1 11) ( 7 5)
∴ 综上所述，函数y＝2x＋3的图像上的“垂距点”的坐标是 , ， − ,− ．
3 3 3 3
（3）解：设“垂距点”的坐标为(x,y)，则|x)+|y)=4(x⋅y≠0)
当x>0,y>0时，x+ y=4，即y=−x+4(00时，−x+ y=4，即y=x+4(−40,y<0时，x−y=4，即y=x−4(01,由两点之间的距离公式可求得m的取值范围;
（2）根据外称点的定义，分点T(t，0)在点B左侧时和右侧两种情况，线段AB上的点离⊙T最远的点要
小于3，离⊙T最近的点要大于1，画出图形，利用数形结合思想，即可解答.
【解题过程】
（1） ①由外称点的定义可知：P到圆心的距离小于3且大于1，点P才是⊙O的外称点，
点D(-1，-1)，DO=❑√2<3, 点D是⊙O的外称点，
点E(2，0)，EO=2<3, 点E是⊙O的外称点，
点F(0，4)，FO=4>3, 点F不是⊙O的外称点，
故答案是：D,E
(❑√2 ❑√2)
②由点G , 知，点G在一、三象限角平分线上，则点M(m,n)也在一、三象限角平分线上，
2 2
∴m=n，OM=❑√m2+n2=❑√2m3❑√2
由外称点的定义可知：OM<3,即❑√2m<3,解得：m<
2
❑√2
又OM>1，则m>
2
❑√2 3❑√2
∴m的取值范围是： −1，
当⊙T与线段AB相切时，切点离⊙T为最近，如图2：作TD⊥AB于D，
∴⊿TDB为等腰直角三角形，TD=1
∴TB=❑√2，则OT=2−❑√2，∴依题意：t<2−❑√2
故当点T(t，0)在点B左侧时，−11，∴t>3，
离⊙T最远的点为点A，如图4，依题意：TA<3，
由两点之间距离公式：TA2=(t−1) 2+12<9，解得：t<2❑√2+1(因为T在Ｂ右侧，t<−2❑√2−1舍去)
故当点T(t，0)在点B右侧时，30，
当02和a<0，根据“二分点”的定义可求解，
（2）设线段AN上存在⊙O的“二分点”为M(m，0)(1≤m≤3)．对r的取值分情况讨论0r，r≥3，根据二分点的定义可求解．
【解题过程】
（1）解：①∵点A在ON上，故最小值为0，不符合题意，
点B到ON的最小值为OB=3，最大值为BN=❑√32+32=3❑√2，
∴点B是线段ON的“❑√2分点”，
点C到ON的最小值为1，最大值为CN=❑√22+12=❑√5
∴点C不是线段ON的“❑√2分点”，
故答案为：点B；
②当02时，点C到OD的最小值为1，
点C到OD的最大值为CD=❑√(a−1) 2+(0−1) 2=❑√a2−2a+2，
∵点C为线段OD的“二分点”，
∴❑√a2−2a+2=2×1，a =1+❑√3，a =1−❑√3（舍去），
1 2
当a<0时，点C到OD的最小值为CO=❑√12+(−1) 2=❑√2，
点C到OD的最大值为CD=❑√(1−a) 2+(−1−0) 2=❑√a2−2a+2，
∵点C为线段OD的“二分点”，
同0r时，最小值为：m−r，最大值为：m+r，
1
∴2(m−r)=r+m，即r= m，
3
1
∵ ≤r≤1，
3
∵10)，
则∠DAO=∠DOA=45°，
∴x= y，
∵x2+ y2=32，
3❑√2 3❑√2
∴x=− ，y= ，
2 2
3❑√2 3❑√2
∴ =− +m，
2 2
∴m=3❑√2，
故直线与y轴交于点E(0,3❑√2)；
同理，相切于点F时，直线与y轴交于点G(0,−3❑√2)，
∵直线y=x+m上存在⊙T的“中称点”，
∴ −3❑√20，
[t−(−1)) 2 +22=32，
解得：t=❑√5−1或t=−❑√5−1（舍去）
当⊙T经过(2,2)时，t<0，
(t−2) 2+22=32，
解得：t=2−❑√5或t=❑√5+2（舍去），
综上所述，
∴2−❑√5≤t≤❑√5−1．
12．（2023春·江苏扬州·九年级高邮市城北中学校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径
为1，A为任意一点，B为⊙O上一点．给出如下定义：记A、B两点间的距离的最小值为p（规定：点Ap+q
在⊙O上时，p=0），最大值为q，那么把 的值称为点A与⊙O的“关联距离”，记作d(A,⊙O)．
2
（1）如图，点D、E、F的横、纵坐标都是整数．
①d(D,⊙O)=___；
②若点M在线段EF上，求d(M,⊙O)的取值范围．
（2）若点N在直线y=❑√3x+2❑√3上，求d(N,⊙O)的取值范围．
（3）正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足d(P,⊙O)的最小值为1，最大值为❑√10，
直接写出m的最小值和最大值．
【思路点拨】
（1）①运用新定义“关联距离”，即可求得答案；②根据新定义“关联距离”，分别求出d(E,⊙O)=2，
d(F,⊙O)=3，即可得出答案；
（2）设ON=d，可得p=d−1，q=d+1，运用新定义“关联距离”，可得d(N,⊙O)=d，再利用
1 1
S = OA⋅OB= AB⋅ON，即可求得答案；
△AOB 2 2
（3）如图2，找出特殊位置，分别画出图形，即可得出答案．
【解题过程】
（1）解：①∵D(0,2)到⊙O的距离的最小值p=1，最大值q=3，
1+3
∴d(D,⊙O)= =2，
2
故答案为：2；②当M在点E处，d(E,⊙O)=2，
2+4
当M在点F处，d(F,⊙O)= =3，
2
∴2≤d(M,⊙O)≤3；
（2）设ON=d，
∴p=d−r=d−1，q=d+r=d+1，
p+q d−1+d+1
∴d(N,⊙O)= = =d，
2 2
∵点N在直线y=❑√3x+2❑√3上，
设直线交x轴于点B，交y轴于点A，如图1，
则x=0时，y=2❑√3，y=0时，x=−2，
∴A(0，2❑√3)，B(−2,0)，
∴OA=2❑√3，OB=2，
∴AB=❑√OA2+OB2=4，
当ON⊥AB时，d(N,⊙O)最小，
1 1 1 1
∴S = OA⋅OB= AB⋅ON，即 ×2❑√3×2= ×4ON，
△AOB 2 2 2 2
∴ON=❑√3，
∵ON无最大值，
∴d(N,⊙O)≥❑√3；
（3）如图2，∵d(P,⊙O)的最小值为1，最大值为❑√10，
∴两个同心圆中，小圆的半径为1，大圆的半径为❑√10，
∵KL=❑√10−1，
❑√10−1 ❑√2
∴m的最小值是 =❑√5− ，
❑√2 2
1
在Rt△OMH中，OM=❑√10，OH=m−1，MH= m，
2
1 2
∴(m−1) 2+( m) =(❑√10) 2 ，
2
18
解得：m=−2（舍去）或m= ；
5
❑√2 18
∴m的最小值为❑√5− ，最大值为 ．
2 5
13．（2022秋·北京海淀·九年级清华附中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，对于图形M和点P，
若图形M上存在两个点E、F，使得EP+FP＝2，则称点P为图形M的“距2点”．
设A（﹣4，0），B（4，0），⊙O的半径为r．1
（1）①点P（1，0），P（0，1），P（﹣1，﹣ ）中，是线段AB的“距2点”的是 ．
1 2 3 2
②若P（3，4）是⊙O的“距2点”，求r的取值范围；
4
（2）设⊙M的半径为2，圆心M是x轴上的动点，C（﹣4，8）．若折线段AC﹣CB上存在点⊙M的“距
2点”，直接写出圆心M横坐标的取值范围．
【思路点拨】
1
（1）①P 到(0,0)和(2,0)的距离之和是2，2OP =2，P 到x轴的距离是 ，从而得出结果；
1 2 3 2
②从OP =❑√32+42=5，进而求得；
4
（2）2AM =2，2AM =2，BM=3❑√2，M(4−3❑√2，0)，M (7,0)，进而求得．
1 2 3
【解题过程】
解：（1）①如图，
∴P 到(0,0)和(2,0)的距离之和是2，
1
∴P 是线段AB的“距2点”，
1
∵2OP =2，
2
∴P 不是线段AB的“距2点”，
2
1
∵P 到x轴的距离是 ，
3 2
∴P 是线段AB的“距2点”，
3
故答案是P 和P ；
1 3
②如图2，∵OP =❑√32+42=5，
4
∴5−1H E 时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．据此求解．
2
【解题过程】
解：（1）①连接AC和BD，交于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴M到正方形ABCD四条边距离都相等
∴⊙P一定通过点M，
∵A(2,4)
∴M(0,2)
设⊙P的圆心坐标是(x,y)，
∴r=4❑√2时，
∴x2+(y−2) 2=(4❑√2) 2 ，
即，x2+(y−2) 2=32，
把P (0,−3)，P (4,6)，P (4❑√2，2)代入，只有P ，P 成立，
1 2 3 2 3
∴可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是P ，P ，
2 3
故答案为：P ，P ；
2 3
②∵点P在直线y=−x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，
∴把y=−x+2代入x2+(y−2) 2=32，得x2+x2=32，
解得x=±4，
∴y=−2或6，∴P(4,−2)或P(−4,6)．
故答案为：(4,−2)或P(−4,6)．
（2）如下图：
①∵⊙P同时为正方形ABCD与正方形EFGH的“等距圆”，
∴⊙P同时过正方形ABCD的对称中心E和正方形EFGH的对称中心I．
∴点P在线段EI的中垂线上．
∵A(2,4)，正方形ABCD的边CD在x轴上；F(6,2)，正方形EFGH的边HE在y轴上，
∴E(0,2)，I(3,5)
∴∠IEH=45°，
设线段EI的中垂线与y轴交于点L，与x轴交于点M，
∴△LIE为等腰直角三角形，LI⊥y轴，
∴L(0,5)，
∴△LOM为等腰直角三角形，LO=OM
∴M(5,0)，
∴P在直线y=−x+5上，
∴设P(p,−p+5)
过P作PQ⊥直线BC于Q，连接PE，
∵⊙P与BC所在直线相切，
∴PE=PQ，
∴p2+(−p+5−2) 2=(p+2) 2，
解得：P =5+2❑√5，P =5−2❑√5，
1 2
∴P (5+2❑√5，−2❑√5)，P (5−2❑√5，2❑√5)，
1 2
∵⊙P过点E，且E点在y轴上，∴⊙P在y轴上截得的弦长为2|−2❑√5−2|=4❑√5+4或2|2❑√5−2|=4❑√5−4．
②如图2，连接DH，作DT⊥HF，以D为圆心，DE为半径作圆，交DT于点E ，交HD于E ，
1 2
当0H E 时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．
2
∵H E =HD+DE ，DE =DE，
2 2 2
∴H E =HD+DE=❑√HO2+OD2+2❑√2=2❑√17+2❑√2，
2
∴当r>2❑√17+2❑√2时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．
综上可知当02❑√17+2❑√2时线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，
故答案为：02❑√17+2❑√2．
17．（2022·北京海淀·中关村中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于线段
AB，给出如下定义：若将线段AB沿着某条直线l对称可以得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分别为A，B的对
应点），则称线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的对称的“反射线段”，直线l称为“反射轴”（1）如图1，线段CD、EF、GH中是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”有___________；
（2）已知A点的坐标为(0,2)，B点坐标为(1,1)，
①如图2，若线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，画出图形，反射轴l与y轴的交点M的坐
标是___________．
②若将“反射线段”AB沿直线y=x的方向向上平移一段距离S，其反射轴l与y轴的交点的纵坐标y 的取
M
1 13
值范围为 ≤ y ≤ ，求S的取值范围．
2 M 6
（3）已知点M、N是在以(2,0)为圆心，半径为❑√13的圆上的两个动点，且满足MN=❑√2，若MN是⊙O
的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，反射轴l与y轴的交点的纵坐标的取值范
围是___________．
【思路点拨】
（1）在圆中找出对应的弦，其中GH大于圆的直径，故否定；
（2）①画出AB的反射弦，找出对应点的垂直平分线；②以AB为斜边作等腰直角三角形AO′B，连接
OO′，交⊙O于A′，作BB′∥A A′，交⊙O于B′，则A′B′是AB的反射弦，对称轴是OO′的中垂线l，然
13
后根据垂直平分线上点到线段两端距离相等，求得S= 时的值，从而确定S的范围；
6
（3）根据（2）的方法找到MN所在的圆心O ，当M点在圆上运动一周时，如图，取OO 的中点A ，OT
3 3 1
的中点S，即OO 的中点A 在以S为圆心，半径为❑√2的圆上运动，进而即可求得反射轴l与y轴交点的纵坐
3 1
标y的取值范围．
【解题过程】（1）解：∵E′F′是EF关于直线CC′的对称的弦，
∴EF是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，
∵C′E′是CD关于直线x=1的对称的弦，
∴线段CD是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，
∵GH=❑√5，⊙O的直径C′E′=2，EF>C′E′，
∴线段GH不是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，
故答案是：CD、EF；
（2）①如图2，
AB关于直线l的对称弦是A′B′，
1
直线l与y轴交点M(0, )，
2
1
故答案为：(0, )；
2
②如图3，以AB为斜边作等腰直角三角形AO′B，连接OO′，交⊙O于A′，作BB′∥A A′，交⊙O于B′，
则A′B′是AB的反射弦，对称轴是OO′的中垂线l，
❑√2 ❑√2 ❑√2 ❑√2
∵A( S，2+ S)，B(1+ S，1+ S)，
2 2 2 2
❑√2 ❑√2
∴O′ ( S，1+ S)，
2 2
设l交y轴于C(0,a)，
❑√2 2 ❑√2 2
由CO=CO′得，( S) +(1+ S−a) =a2，
2 2
13 ❑√2 5❑√2
当a= 时，S =− （舍去），S = ，
6 1 2 2 3
5❑√2
∴0≤S≤ ；
3
（3）如图，根据（2）的方法找到MN所在的圆心O ，
3设T(2,0)，
则TM=❑√13，
∵MN=❑√2，△O MN是等腰直角三角形，
3
❑√2
∴O L= =ML，
3 2
√ 1 5❑√2
∴TL=❑√T M2−M L2=❑13− = ，
2 2
∴TO =2❑√2，
3
当点在圆上运动一周时，如图，取OO 的中点A ，OT的中点S，
3 1
∴S A 是△OO T的中位线，
1 3
1
∴SA = O T=❑√2，SA ∥TO ，
1 2 3 1 3
即OO 的中点A ．在以S为圆心，半径为❑√2的圆上运动，
3 1
∴若MN是⊙O的以直线l为对称轴的反射线段，
则l为⊙S的切线．
设⊙S与y轴交于点C，D，
1
∵OS= OT=1，SC=SA =SD=❑√2，
2 1
∴OC=1，OD=1，
∴反射轴l与y轴交点的纵坐标y的取值范围为y>1或y<−1．
18．（2022·北京房山·统考一模）对于平面内的点P和图形M，给出如下定义：以点P为圆心，r为半径作
圆，若⊙P与图形M有交点，且半径r存在最大值与最小值，则将半径r的最大值与最小值的差称为点P
视角下图形M的“宽度d ”．
M
（1）如图1.点A(4,3)，B(0,3)．
①在点O视角下，则线段AB的“宽度d ”为_________；
AB
②若⊙B半径为1.5，在点A视角下，⊙B的“宽度d ”为_________；
⊙B（2）如图2，⊙O半径为2，点P为直线y=−x+1上一点．求点P视角下⊙O“宽度d ”的取值范围；
⊙O
❑√3
（3）已知点C(m,0),CK=1，直线y= x+3与x轴，y轴分别交于点D，E．
3
若随着点C位置的变化，使得在所有点K的视角下，线段DE的“宽度”均满足0−3❑√3+1；
当⊙C与直线DE相切于点K时，如图所示：
∵CK=1，∠EDO=30°，
∴∠CDK=30°，
∴CD=2CK=2，
∴OC=3❑√3+2，即m=−3❑√3−2，
此时在点K的视角下，线段DE的“宽度”为d =6，故不符合题意，
DE
∴m<−3❑√3−2，
综上所述：当随着点C位置的变化，使得在所有点K的视角下，线段DE的“宽度”均满足0−3❑√3+1．
19．（2022秋·北京·九年级校考期中）对于平面直角坐标系xOy中的点C及图形W，有如下定义：若图形
W上存在A、B两点，使△ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90°，我们则称点C为图形W的“关联
点”．
（1）已知点O(0,0)，M(4,0)，在点C (0,4)，C (2,1)，C (3,−4)中，线段OM的“关联点”是
1 2 3
________；
（2）直线y=x+b分别交x轴、y轴于P、Q两点，若点C(−2,1)为线段PQ的“关联点”，求b的取值范
围；
（3）已知直线y=−x+m(m>0)分别交x轴、y轴于E、F两点，若线段EF上的所有点都是半径为1的
⊙O的“关联点”，直接写出m的取值范围．【思路点拨】
（1）分别过点C (0,4)，C (2,1)，C (3,−4)向线段OM作垂线，分别以垂足为圆心，以垂线段为半径
1 2 3
画弧，弧与线段OM有交点，即可判断为线段OM的“关联点”．
（2）分点C(−2,1)在直线y=x+b上和不在直线上两种情况求解即可．
（3）当以AD为直径，构造等腰直角三角形ABE，此时为m的最大值，当直线与圆相切时，m有最小值
计算即可．
【解题过程】
（1）如图，分别过点C (0,4)，C (2,1)，C (3,−4)向线段OM作垂线，
1 2 3
分别以垂足为圆心，以垂线段为半径画弧，
C (0,4)所在圆与线段OM交于点M，
1
所以C (0,4)为线段OM的“关联点”；
1
C (2,1)所在圆与线段OM交于OM上的两个点，
2
所以C (2,1)为线段OM的“关联点”；
2
C (3,−4)所在圆与线段OM没有交点，
3
所以C (3,−4)不是线段OM的“关联点”；
3
所以C ，C 是线段OM的“关联点”，
1 2
故答案为：C ，C ．
1 2
（2）当直线y=x+b经过点C(−2,1)时，P、Q，C三点共线，此时构不成三角形，解得b=3，此时
PO=QO，
所以∠OQP=∠OPQ=45°，
故b值不能符合题意，
所以b≠3；以过点C作CB⊥PO，交x轴与点D，以点D为圆心，以CD为半径作圆，交靠近原点的x轴于点B，另
一交点为P，则CD=DB=DP=1，
所以∠PCB=90°，
过点B作BA∥PQ，交y轴与点A，则∠QPO=∠ABO=45°，
所以CD=DB=OB=OA=1，
所以b=1，
所以1≤b＜3；
当b＞3时，作射线BC，
在点C的外侧射线上任取一点B′，
过点B′作PQ∥P′Q′，
则CB′⊥P′Q′，
以B′为圆心，以CB′为半径画弧，交直线于A′，
则△A′B′C是等腰之间三角形，符合题意，
综上所述，1≤b＜3或b＞3．
（3）当直线与⊙O切于点C时，如图，∠ACB=45°,∠ABC=90°，
符合题意，此时∠FCB=45°，
所以FC=OC=1，所以OF=❑√12+12=❑√2，
故m=❑√2；
以AD为直径，构造等腰直角三角形ABE，此时为m的最大值，根据题意得：OE是线段AD的垂直平分线，
45°
则∠DEO=∠AEO= ．
2
因为∠FEO=45°，
45°
所以∠DEM= ，
2
所以DE平分∠FEO，
过点D作DM⊥EF，垂足为M，
则DM=DO=1,∠MFD=∠FDM=45°，
所以DM=DO=FM=1，
所以DF=❑√12+12=❑√2，
所以OF=DF+DO=❑√2+1，
所以❑√2≤m≤❑√2+1．
20．（2023·北京·九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中，给定图形W和点P，若图形W上存在两个
点M，N满足PM=❑√3PN且∠MPN=90°，则称点P是图形W的关联点．已知点A(−2❑√3,0)，B(0,2)．
（1）在点P (−❑√3,−1)，P (−❑√3,3)，P (−2❑√3,−2)中，______是线段AB的关联点；
1 2 3
（2）⊙T是以点T(t,0)为圆心，r为半径的圆．
①当t=0时，若线段AB上任一点均为⊙O的关联点，求r的取值范围；
②记线段AB与线段AO组成折线G，若存在t≥4，使折线G的关联点都是⊙T的关联点，直接写出r的最小值．
【思路点拨】
（1）根据关联点的定义，结合勾股定理进行判断即可；
（2）①根据题意推得三角形PMN为含30度角的直角三角形，根据瓜豆原理可得求得点O到点P的最大距
❑√3+1 ❑√3−1 ❑√3+1 ❑√3−1
离为 r，最小距离为 r，推得⊙O的所有关联点在以O为圆心， r和 r为半径的
2 2 2 2
两个圆构成的圆环中，结合图形求得半径r的取值范围；
②结合①中的结论，画出满足条件的关联点的范围，进行求解即可．
【解题过程】
（1）解：∵∠MPN=90°，
∴△MPN为直角三角形，故满足M N2=PM2+PN2，
根据勾股定理可得：AB2=(2❑√3) 2+22=12+4=16
P A=❑√(❑√3) 2+12=2，P B=❑√(❑√3) 2+32=2❑√3，
1 1
P A2+P B2=[(❑√3) 2+12)+[(❑√3) 2+32)=4+12=16；
1 1
P A=❑√(❑√3) 2+32=2❑√3，P B=❑√(❑√3) 2+12=2，
2 2
P A2+P B2=[(❑√3) 2+32)+[(❑√3) 2+12)=12+4=16；
2 2
P A=2， P B=❑√(2❑√3) 2+42=2❑√7，
3 3
P A2+P B2=22+[(2❑√3) 2+42)=4+12+16=32；
3 3
∵P B=❑√3P A，且P A2+P B2=AB2 ；故P (−❑√3,−1)是线段AB的关联点；
1 1 1 1 1
∵P A=❑√3P B，且P A2+P B2=AB2 ；故P (−❑√3,3)是线段AB的关联点；
2 2 2 2 2
∵P A=❑√7P B，且P A2+P B2≠AB2 ；
3 3 3 3
∵∠BAO=30°，P A⊥OA，
3
∴∠P AB=90°+30°=120°，
3∴对于线段AB上的任意两点M、N，当P M=❑√3P N时，∠P NM>90°，如图，
3 3 3
则∠M P N必是锐角，不可能是直角，
3
故P (−2❑√3,−2)不是线段AB的关联点；
3
故答案为：P ，P ．
1 2
（2）①由（1）可得：∵∠MPN=90°，
∴△MPN为直角三角形，
故M N2=PM2+PN2=4PN2，即MN=2PN，
即三角形PMN为含30度角的直角三角形；如图：
则点P是：以MN为斜边且含30度角的直角三角形的直角顶点．
在圆O上取点M，N，则对于任意位置的M和N，符合的关联点有2个，如图：以点P为例，当点M在半径为r的⊙O上运动时，点N为圆上一定点，且MN=2PN，∠PNM=60°，则
点M的运动轨迹为圆，故点P的轨迹也为圆，令点P的轨迹为圆R，如图：
❑√3
当M，O，N三点共线，P，R，N三点共线时，∠PNM=60°，故¿= r，
2
1 ❑√3+1 ❑√3−1
RN= r，则点O到点P的最大距离为 r，最小距离为 r；
2 2 2
❑√3+1 ❑√3−1
当点N也在⊙O上运动时，⊙R也随之运动，则⊙R扫过的区域为 r和 r为半径围成的圆环，
2 2
❑√3+1 ❑√3−1
即⊙O的所有关联点在以O为圆心， r和 r为半径的两个圆构成的圆环中，
2 2
❑√3+1
故当线段AB与半径为 r交于点A时，r最小，如图：
2
❑√3+1
则 r=2❑√3，解得：r=6−2❑√3；
2
❑√3−1
当线段AB与半径为 r的圆相切时，r最大，过点O作OH⊥AB，如图：
21 1
则S = ×OA×OB= ×OH×AB，
△OAB 2 2
1 1
即 ×2❑√3×2= ×OH×4，解得：OH=❑√3，
2 2
❑√3−1
则 r=❑√3，解得：r=3+❑√3；
2
∴6−2❑√3≤r≤3+❑√3．
②当关联点在线段AB上时，满足条件的关联点所在范围如图阴影部分：
当关联点在线段AO上时，满足条件的关联点所在范围如图阴影部分：
当关联点在不同线段上时，满足条件的关联点在点O和点B上的范围如图阴影部分：综上：所有区域叠加一起为：
由①可知，满足⊙T的所有关联点所在范围为圆环，故若使得圆环能够完整“包住”关联点，圆环中外圆
的必须经过点G；，
∵∠GBA=30°，∠G=90°，∠OBA=60°，∠O=90°，
∴四边形AOBG为矩形，∴G(−2❑√3,2)，
则TG=❑√(4+2❑√3) 2+22，
❑√3+1
即 r=❑√(4+2❑√3) 2+22 ，解得：r=4❑√2（负值舍去）；
2
综上，r的最小值为4❑√2．
