专题 24.3 坐标系中圆的综合
【典例1】在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段AB，若线段PA或PB的垂直平分线与线段AB有公
共点，则称点P为线段AB的融合点．
（1）已知A(3，0)，B(5，0)，
①在点P (6，0)，P (1，−2)，P (3，2)中，线段AB的融合点是______；
1 2 3
②若直线y=t上存在线段AB的融合点，求t的取值范围；
（2）已知⊙O的半径为4，A(a,0)，B(a+1,0)，直线l过点T(0,−1)，记线段AB关于l的对称线段为
A′B′．若对于实数a，存在直线l，使得⊙O上有A′B′的融合点，直接写出a的取值范围．
【思路点拨】
（1）①画出对应线段的垂直平分线，再根据融合点的定义进行判断即可；②先确定线段AB融合点的轨迹
为分别以点A，B为圆心，AB长为半径的圆及两圆内区域，则当直线y=t与两圆相切时是临界点，据此求
解即可；
（2）先推理出A′B′的融合点的轨迹即为以T为圆心，(TA−1)的长为半径的圆和以T为圆心，以(TB+1)
的长为半径的圆的组成的圆环上（包括两个圆上），再求出两个圆分别与⊙O内切，外切时a的值即可得
到答案．
【解题过程】
（1）解：①如图所示，根据题意可知P ，P 是线段AB的融合点，
1 3故答案为；P ，P ；
1 3
②如图1所示，设PA的垂直平分线与线段AB的交点为Q，
∵点Q在线段PA的垂直平分线上，
∴PQ=AQ，
∴当点Q固定时，则点P在以Q为圆心，AQ的长为半径的圆上，
∴当点Q在AB上移动时，此时点P的轨迹即线段AB的融合点的轨迹为分别以点A，B为圆心，AB长为
半径的圆及两圆内区域．
当直线y=t与两圆相切时，记为l ，l ，如图2所示．
1 2
∵A(3，0)，B(5，0)，
∴AB=2,∴t=2或t=−2．
∴当−2≤t≤2时，直线y=t上存在线段AB的融合点．
（2）解：如图3-1所示，假设线段AB位置确定，
由轴对称的性质可知TA=T A′，TB=T B′，
∴点A′在以T为圆心，TA的长为半径的圆上运动，点B′在以T为圆心，以TB的长为半径的圆上运动，
∴A′B′的融合点的轨迹即为以T为圆心，(TA−1)的长为半径的圆和以T为圆心，以(TB+1)的长为半径的
圆的组成的圆环上（包括两个圆上）；
当TA<TB时，
如图3-2所示，当以T为圆心，(TA−1)为半径的圆与⊙O外切时，
∴TA−1=4+1，
∴❑√(0−a) 2+(−1−0) 2=6，∴a2+1=36，
∴a=❑√35（负值舍去）；
如图3-3所示，当以T为圆心，(TB+1)为半径的圆与⊙O内切时，
∴TB+1=3，
∴❑√(0−a−1) 2+(−1−0) 2=2，
∴a2+2a+1+1=4，
∴a=❑√3−1（负值舍去）；
∴❑√3−1≤a≤❑√35时，存在直线l，使得⊙O上有A′B′的融合点；
同理当TA>TB时，
当以T为圆心，(TB−1)为半径的圆与⊙O外切时，
∴TB−1=4+1，
∴❑√(0−a−1) 2+(−1−0) 2=6，
∴a2+2a+1+1=36，
∴a=−❑√35−1（正值舍去）；
当以T为圆心，(TA+1)为半径的圆与⊙O内切时，
∴TA+1=3，
∴❑√(0−a) 2+(−1−0) 2=2，
∴a2+1=4，
∴a=−❑√3（正值舍去）；
∴−❑√35−1≤a≤−❑√3时，存在直线l，使得⊙O上有A′B′的融合点；
综上所述，当❑√3−1≤a≤❑√35或−❑√35−1≤a≤−❑√3时存在直线l，使得⊙O上有A′B′的融合点．1．（2022·宁夏固原·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，点P(x ,y )到直线Ax+By+c=0(A2+B2≠0)
0 0
|Ax +B y +C)
的距离公式为：d= 0 0 ，例如，求点P(1,3)到直线4x+3 y−3=0的距离．解：由直线
❑√A2+B2
4x+3 y−3=0知：A=4，B=3，C=−3所以P(1,3)到直线4x+3 y−3=0的距离为：
|4×1+3×3−3)
d= =2根据以上材料，解决下列问题：
❑√42+32
（1）求点P (1,−1)到直线3x−4 y−5=0的距离．
1
3
（2）已知：⊙C是以点C(2,1)为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=− x+b相切，求实数b的值；
4
（3）如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4 y+5=0上的两点，且AB=2，
请求出△ABP面积的最大值和最小值．
【思路点拨】
（1）直接利用距离公式代入计算即可得到答案；
3
（2）把直线y=− x+b整理，得3x+4 y−4b=0，利用公式列方程求解即可；
4
（3）先求圆心C(2,1)到直线AB的距离，判断出P到AB的最大距离与最短距离可得答案．
【解题过程】
（1）解：3x-4y-5=0，
其中A=3,B=-4，C=-5，|Ax +B y +C|
∴d= 0 0 ，P (1,−1)，
❑√A2+B2 1
|3+4−5| 2
∴d= =
，
❑√32+(−4) 2 5
2
∴距离为 ；
5
3
（2）直线y=− x+b整理，得3x+4 y−4b=0，
4
故a=3，b=4，c=−4b．
∵⊙C与直线相切，
∴点C到直线的距离等于半径，
|3×2+4×1−4b|
即
=1，
❑√32+42
整理得|10−4b|=5，
5 15
解得b= 或b= ；
4 4
（3）如解图，过点C作CD⊥AB于点D．
∵在3x+4 y+5=0中，
a=3，b=4，c=5，
|3×2+4×1+5|
∴圆心C(2,1)到直线AB的距离CD= =3，
❑√32+42
∴⊙C上的点到直线AB的最大距离为3+1=4，
最小距离为3−1=2，
1
∴S 的最大值为 ×2×4=4，
ΔABP 2
1
最小值为 ×2×2=2．
22．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点
P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”．例如：下图中的P(1，3)是
“垂距点”．
(3 5)
（1）在点A(2，2)，B ，− ，C(−1，5)中，是“垂距点”的点为 ；
2 2
（2）求函数y=2x+3的图象上的“垂距点”的坐标；
（3）⊙T的圆心T的坐标为(1，0)，半径为r．若⊙T上存在“垂距点”，则r的取值范围是 ．
【思路点拨】
(3 5)
（1）由题意利用“垂距点”的定义垂线段的长度的和为4，对点A(2,2)，B ,− ，C(−1,5)进行分析
2 2
判断；
（2）由题意可知点横纵坐标的绝对值的和为4，依次列式求出“垂距点”的坐标；
（3）设“垂距点”的坐标为(x,y)，则|x)+|y)=4(x⋅y≠0)，画出函数图像，分情况讨论即可解得．
【解题过程】
（1）解：由题意得 ，垂线段的长度的和为4．
3 | 5)
A:2+2=4，B: + − =4，C:|−1)+5=6
2 2
故答案为：A，B．
（2）解：设函数y=2x+3的图像上的“垂距点”的坐标(a,2a+3)．
由题意得 |a)+|2a+3)=4．
①当a≥0时，a+(2a+3)=4．
1
∴a= ．
3
3
②当− ≤a＜0时，−a+(2a+3)=4．
2
∴a=1（不合题意，舍）．3
③当a<− 时，−a−(2a＋3)=4．
2
7
∴a=− ．
3
(1 11) ( 7 5)
∴ 综上所述，函数y＝2x＋3的图像上的“垂距点”的坐标是 , ， − ,− ．
3 3 3 3
（3）解：设“垂距点”的坐标为(x,y)，则|x)+|y)=4(x⋅y≠0)
当x>0,y>0时，x+ y=4，即y=−x+4(0<x<4)；
当x<0,y>0时，−x+ y=4，即y=x+4(−4<x<0)；
当x<0,y<0时，−x−y=4，即y=−x−4(−4<x<0)；
当x>0,y<0时，x−y=4，即y=x−4(0<x<4)；
当⊙T与DE相切时，过点T作TN⊥直线DE于点N，则△DNT为等腰直角三角形，
❑√2 ❑√2 3❑√2
∴TN= TD= ×|4−1)=
2 2 2
当⊙T过点F(−4,0)时，⊙T上不存在“垂距点”，
此时r=FT=|1−(−4))=5
3❑√2
∴若存在“垂距点”，则r的取值范围是 ≤r<5．
2
3❑√2
故答案为： ≤r<5．
2
3．（2022秋·北京丰台·九年级北京市第十二中学校考阶段练习）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C,
给出如下定义:连接PC交⊙C于点N,若点P关于点N的对称点Q在⊙C的内部，则称点P是⊙C的外称点.（1）当⊙O的半径为1时，
①在点D(−1,−1)，E(2,0)，F(0,4)中，⊙O的外称点是 ；
(❑√2 ❑√2)
②若点M(m,n)为⊙O的外称点，且线段MO交⊙O于点G , ，求m的取值范围;
2 2
（2）直线y=−x+b过点A(1,1)， 与x轴交于点B. ⊙T的圆心为T(t,0), 半径为1若线段AB上的所有点
都是⊙T的外称点，请直接写出t的取值范围.
【思路点拨】
（1）①由外称点的定义可知：P到圆心的距离小于3且大于1，点P才是⊙O的外称点，据此可求得答案；
(❑√2 ❑√2)
②由点G , 知，点G在一、三象限角平分线上，则点M(m,n)也在一、三象限角平分线上，根据
2 2
外称点的定义，OM<3,且OM>1,由两点之间的距离公式可求得m的取值范围;
（2）根据外称点的定义，分点T(t，0)在点B左侧时和右侧两种情况，线段AB上的点离⊙T最远的点要
小于3，离⊙T最近的点要大于1，画出图形，利用数形结合思想，即可解答.
【解题过程】
（1） ①由外称点的定义可知：P到圆心的距离小于3且大于1，点P才是⊙O的外称点，
点D(-1，-1)，DO=❑√2<3, 点D是⊙O的外称点，
点E(2，0)，EO=2<3, 点E是⊙O的外称点，
点F(0，4)，FO=4>3, 点F不是⊙O的外称点，
故答案是：D,E
(❑√2 ❑√2)
②由点G , 知，点G在一、三象限角平分线上，则点M(m,n)也在一、三象限角平分线上，
2 2
∴m=n，OM=❑√m2+n2=❑√2m3❑√2
由外称点的定义可知：OM<3,即❑√2m<3,解得：m<
2
❑√2
又OM>1，则m>
2
❑√2 3❑√2
∴m的取值范围是： <m< .
2 2
（2）∵直线y=−x+b过点A(1,1)，代入求得：b=2,
∴直线的解析式是：y=−x+2，则与x轴交于点B的坐标是(2，0)，与y轴交于点C的坐标是(0，2)，∴
⊿COB为等腰直角三角形，
当点T(t，0)在点B左侧时，如图1，离⊙T最远的点为点B，依题意：TB<3，∴t>−1，
当⊙T与线段AB相切时，切点离⊙T为最近，如图2：作TD⊥AB于D，
∴⊿TDB为等腰直角三角形，TD=1
∴TB=❑√2，则OT=2−❑√2，∴依题意：t<2−❑√2
故当点T(t，0)在点B左侧时，−1<t<2−❑√2；
当点T(t，0)在点B右侧时，如图3，离⊙T最近的点为点B，依题意：TB>1，∴t>3，
离⊙T最远的点为点A，如图4，依题意：TA<3，
由两点之间距离公式：TA2=(t−1) 2+12<9，解得：t<2❑√2+1(因为T在Ｂ右侧，t<−2❑√2−1舍去)
故当点T(t，0)在点B右侧时，3<t<−2❑√2−1
综上所述，答案是：−1<t<2−❑√2或3<t<−2❑√2−1
4．（2022春·九年级课时练习）对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上
任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q
间的“非常距离”，记作d(P,Q)．已知点A(−2,2)，B(2,2)，连接AB．
（1）d（点O，AB）＝ ；
（2）⊙O半径为r，若d(⊙O,AB)=0，直接写出r的取值范围；
（3）⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转α°(0°<α<180°)，得到点A′．
①当α=30°时d(⊙O,A′)=0，求出此时r的值；
②对于取定的r值，若存在两个α使d(⊙O,A′)=0，直接写出r的范围．
【思路点拨】
（1）理解题意后直接利用垂线段最短即可求解．
（2）先理解当⊙O与线段有交点时，d(⊙O,AB)=0，利用⊙O与线段相切和⊙O经过A点即可求解．
（3）①先确定A′位于x轴上，再求出OA′的长即可求解；②先确定A′的轨迹，再利用存在两个α使
d(⊙O,A')=0，确定并求出两个界点值，即可求解．
【解题过程】
（1）解：∵O点到AB的距离为2，
∴d（点O，AB）＝2，
故答案为2．
（2）当⊙O与线段有交点时，d(⊙O,AB)=0，∵OA=OB=❑√22+22=2❑√2，
∴2≤r≤2❑√2．
（3）①如图，作A′N⊥AB于点N，作
∴∠A′NB=90°，
由旋转知BA′=BA=2−(−2)=4，
∵∠ABA′=30°，
1
∴A′N= BA′=2,
2
∴A′位于x轴上，BN=❑√42−22=2❑√3，
∴A′M=2❑√3，
∴A′O=2❑√3−2，
∵d(⊙O,A′)=0，
∴⊙O经过A′点，
∴r=2❑√3−2.
②如图所示，连接OB，∵对于取定的r值，若存在两个α使d(⊙O,A')=0，
∴⊙O与以AH为直径的半圆有两个交点（A点和H点除外），
此时有两个界点值，分别是⊙O与该半圆内切时和⊙O经过A点时，
由B(2,2)，得OB=❑√22+22=2❑√2,
当⊙O与该半圆内切时，r=4−2❑√2，
当⊙O经过A点时，r=2❑√2，
∴4−2❑√2＜r＜2❑√2．
5．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）对于平面内的⊙C和⊙C外一点Q，给出如下定义：若过点Q的
AQ+BQ
直线与⊙C存在公共点，记为点A，B，设k= ，则称点A（或点B）是⊙C的“K相关依附点”，
CQ
2AQ 2BQ
特别地，当点A和点B重合时，规定AQ=BQ，k= （或 ）．
CQ CQ
已知在平面直角坐标系xoy中，Q(-1,0)，C(1,0)，⊙C的半径为r．
（1）如图1，当r=❑√2时，
①若A(0,1)是⊙C的“k相关依附点”，求k的值．
1
②A (1+❑√2，0)是否为⊙C的“2相关依附点”．
2
（2）若⊙C上存在“k相关依附点”点M，
①当r=1，直线QM与⊙C相切时，求k的值．
②当k=❑√3时，求r的取值范围．
（3）若存在r的值使得直线y=−❑√3x+b与⊙C有公共点，且公共点时⊙C的“❑√3相关依附点”，直接
写出b的取值范围．【思路点拨】
2AQ
（1）①如图1中，连接AC、QA ．首先证明QA 是切线，根据k= 计算即可解决问题；
1 1 CQ
②根据定义求出k的值即可判断；
（2）①如图，当r=1时，不妨设直线QM与⊙C相切的切点M在x轴上方（切点M在x轴下方时同理），
连接CM，则QM⊥CM，根据定义计算即可；
②如图3中，若直线QM与⊙C不相切，设直线QM与⊙C的另一个交点为N（不妨设QN<QM，点N，
M在x轴下方时同理），作CD⊥QM于点D，则MD=ND，可得
MQ+NQ 2DQ
MQ+NQ=(MN+NQ)+NQ=2ND+2NQ=2DQ，CQ=2，推出k= = =DQ，可得当
CQ CQ
k=❑√3时，DQ=❑√3，此时CD=❑√CQ2−DQ2=1，假设⊙C经过点Q，此时r=2，因为点Q早⊙C外，
推出r的取值范围是1⩽r<2；
（3）如图4中，由（2）可知：当k=❑√3时，1⩽r<2．当r=2时，⊙C经过点Q(−1,0)或E(3,0)，当直
线y=−❑√3x+b经过点Q时，b=−❑√3，当直线y=−❑√3x+b经过点E时，b=3❑√3，即可推出满足条件的
b的取值范围为−❑√3<b<3❑√3．
【解题过程】
（1）①如图1中，连接AC、QA ．
1由题意：OC=OQ=OA ，∴△QA C是直角三角形，∴∠C A Q=90°，即C A ⊥QA ，∴QA 是
1 1 1 1 1 1
2QA 2❑√2
⊙C的切线，∴k= 1= =❑√2．
QC 2
2−❑√2+1+❑√2+1
②∵ A (1+❑√2,0)在⊙C上，∴k= =2，∴A 是⊙C的“2相关依附点”．
2 2 2
故答案为❑√2，是；
（2）①如图2，当r=1时，不妨设直线QM与⊙C相切的切点M在x轴上方（切点M在x轴下方时同理），
连接CM，则QM⊥CM．
2MQ
∵Q(−1,0)，C(1,0)，r=1，∴CQ=2，CM=1，∴ MQ=❑√3，此时k= =❑√3；
CQ
②如图3中，
若直线QM与⊙C不相切，设直线QM与⊙C的另一个交点为N（不妨设QN<QM，点N，M在x轴下方时同理），作CD⊥QM于点D，则MD=ND，
∴MQ+NQ=(MN+NQ)+NQ=2ND+2NQ=2DQ，
∵CQ=2，
MQ+NQ 2DQ
∴ k= = =DQ，
CQ CQ
∴当k=❑√3时，DQ=❑√3，此时CD=❑√CQ2−DQ2=1，
假设⊙C经过点Q，此时r=2，
∵点Q早⊙C外，
∴r的取值范围是1⩽r<2．
（3）如图4中，由（2）可知：当k=❑√3时，1⩽r<2．
当r=2时，⊙C经过点Q(−1,0)或E(3,0)，当直线y=−❑√3x+b经过点Q时，b=−❑√3，当直线
y=−❑√3x+b经过点E时，b=3❑√3，∴满足条件的b的取值范围为−❑√3<b<3❑√3．
6．（2022秋·北京·九年级校考阶段练习）对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x
轴的距离为d，到y轴的距离为d，若d≤d，则称d 为点P的“引力值”；若d＞d，则称d 为点P的
1 2 1 2 1 1 2 2
“引力值”．特别地，若点P在坐标轴上，则点P的“引力值”为0．
例如，点P（﹣2，3）到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，因为2＜3，所以点P的“引力值”为2．
（1）①点A（﹣1，4）的“引力值”为 ；
②若点B（a，3）的“引力值”为2，则a的值为 ；
（2）若点C在直线y＝﹣2x+4上，且点C的“引力值”为2，求点C的坐标；
（3）已知点M是以（3，4）为圆心，半径为2的圆上一个动点，那么点M的“引力值”d的取值范围是
．【思路点拨】
（1）①直接根据“引力值”的定义，其最小距离为“引力值”；
②点B(a,3)到x轴的距离为3，且其“引力值”为2，所以a=±2；
（2）根据点C的“引力值”为2，可得x=±2或y=±2，代入可得结果；
（3）M在点C处时，其“引力值”最小为1，在第一象限角平分线上时，其“引力值”最大，根据勾股定
理求出d的值．
【解题过程】
解：（1）①∵点A(−1,4)到x轴的距离为4，到y轴的距离为1，
∵1<4，
∴点A的“引力值”为1．
②∵点B(a,3)的“引力值”为2，
∴a=±2；
（2）设点C的坐标(x,y)，
∵点C的“引力值”为2，
∴x=±2或y=±2，
当x=2时，y=−2×2+4=0，此时点C的“引力值”为0，不符合题意，舍去，
当x=−2时，y=−2×(−2)+4=8，此时点C的坐标为(−2,8)，
当y=2时，−2x+4=2，x=1，此时点C的“引力值”为1，不符合题意，舍去，
当y=−2时，−2x+4=−2，x=3，此时点C的坐标为(3,−2)，
综上所述，点C的坐标为(−2,8)或(3,−2)；
（3）如图，过A分别作x、y轴的垂线，分别交⊙A于B和C，交y轴于D，∵A(3,4)，AC=AB=2
∴C(1,4)，B(3,2)
∴点M的“引力值”d最小为1，
设M(x,y)，过M作MN⊥AC于N，
当x= y时，点M的“引力值”d最大，
∴MN=x−4，AN=x−3，AM=2，
由勾股定理得：AM2=M N2+AN2，
22=(x−4) 2+(x−3) 2，
2x2−14x+21=0，
14±❑√196−4×2×21 7±❑√7
x= = ，
2×2 2
7−❑√7 7−❑√7 7+❑√7 7+❑√7
∴M( ， )或( ， )，
2 2 2 2
7+❑√7
∴点M的“引力值”d的取值范围是：1⩽d⩽ ．
2
7+❑√7
故答案为：1⩽d⩽ ．
2
1 1
7．（2022·浙江温州·校联考模拟预测）M（﹣1，− ），N（1，− ）是平面直角坐标系xOy中的两点，
2 2
若平面内直线MN上方的点P满足：45°≤∠MPN≤90°，则称点P为线段MN的可视点．
1 1
（1）在点A (0， )，A ( ，0)，A (0，❑√2)，A（2，2）中，线段MN的可视点为 ；
1 2 2 2 3 4
1
（2）若点B是直线y＝x+ 上线段MN的可视点，求点B的横坐标t的取值范围；
2（3）直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点，直接写
出b的取值范围．
【思路点拨】
（1）根据“直径所对的圆周角是直角”可知线段MN的可视点在以MN为直径的圆的外部或圆上，根据
“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”可知线段MN的可视点在以E为圆心，EM长为半径的⊙E的内
部或⊙E上，根据坐标可以判断哪些点符合要求．
1
（2）点B既要在直线y＝x＋ 上，又要⊙E的内部或圆上，且在⊙G的外部或圆上，故应该在直线y＝x
2
1
＋ 与⊙G、⊙E的交点E、F为端点的线段上，求出E、F的横坐标即可．
2
（3）分b＜0，b＞0两种情况进行讨论．
【解题过程】
解：（1）如图1，以MN为直径的半圆交y轴于点E，以E为圆心，EM长为半径的⊙E交y轴于点F，
∵MN是⊙G的直径，
∴∠MA N＝90°，
11 1
∵M（﹣1，− ），N（1，− ）
2 2
∴MN⊥EG，EG＝1，MN＝2
∴EM＝EF=❑√2，
1
∴∠MFN= ∠MEN＝45°，
2
∵45°≤∠MPN≤90°，
∴点P应落在⊙E内部，且落在⊙G外部
∴线段MN的可视点为A，A；
1 3
故答案为A，A；
1 3
1 1
（2）如图，以（0，− ）为圆心，1为半径作圆，以（0， ）为圆心，❑√2为半径作圆，两圆在直线MN
2 2
1
上方的部分与直线y=x+ 分别交于点E，F．
2
过点F作FH⊥x轴，过点E作EH⊥FH于点H，
∵FH⊥x轴，
∴FH∥y轴，
∴∠EFH＝∠MEG＝45°，
∵∠EHF＝90°，EF=❑√2，
∴EH＝FH＝1，
1 3
∴E（0， ），F（1， ）．
2 2
只有当点B在线段EF上时，满足45°≤∠MBN≤90°，点B是线段MN的可视点．
∴点B的横坐标t的取值范围是0≤t≤1．
1
（3）如图，⊙G与x轴交于H，与y轴交于E，连接GH，OG= ，GH＝1，
2√ 1 2 ❑√3
∴OH=❑√GH2−OG2=❑12−( ) = ，
2 2
❑√3 1
∴H（ ，0）．E（0， ）
2 2
当直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点，
①直线y＝x+b与y轴交点在y负半轴上
❑√3 ❑√3 ❑√3
将H（ ，0）代入y＝x+b得 +b＝0，解得b =− ，
2 2 1 2
1 1 3
将N（1，− ）代入y＝x+b得1+b=− ，解得b =−
2 2 2 2
3 ❑√3
∴− ＜b≤−
2 2
②直线y＝x+b与y轴交点在y正半轴上
1 1
将 E（0， ）代入得b= ，
2 2
当直线y＝x+b与⊙E相切于T时交y轴于Q，连接ET，则ET⊥TQ，
∵∠EQT＝45°，
∴TQ＝ET＝EM=❑√2，
∴EQ=❑√ET2+TQ2=❑√ (❑√2) 2+(❑√2) 2=2
1 5
∴OQ＝OE+EQ= +2=
2 2
1 5
∴ ≤b≤
2 2
1 5 3 ❑√3
综上所述： ≤b≤ 或− ＜b≤− ．
2 2 2 28．（2022·北京密云·统考二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P(2,3)与图形T，给出如下定义：在点P
与图形T上各点连接的所有线段中，线段长度的最大值与最小值的差，称为图形T关于点P的“宽距”．
（1）如图，⊙O的半径为2，且与x轴分别交于A，B两点．
①线段AB关于点P的“宽距”为______；⊙O关于点P的“宽距”为______．
②点M(m,0)为x轴正半轴上的一点，当线段AM关于点P的“宽距”为2时，求m的取值范围．
（2）已知一次函数y=x+1的图象分别与x轴、y轴交于D、E两点，⊙C的圆心在x轴上，且⊙C的半径
为1．若线段DE上的任意一点K都能使得⊙C关于点K的“宽距”为2，直接写出圆心C的横坐标x 的取
C
值范围．
【思路点拨】
（1）①连接PA，PB，求出PA=5，PB=4，证PB⊥x轴，则PA是最大值，PB是最小值，即可由“宽距”定
义求解第一空；作直线OP交 ⊙O于G、H，线段PH长度最大，PG长度最小，即可由“宽距”定义求解
第二空；
②当0<m<2时，PA长度是最大值，PM长度是最小值，“宽距”=PA-PM<2，不符合题意，当m≥2时，则
点P到x轴的最短距离为3,即点P到AM的最短距离为3，所当PM长度是最大时，最大值为2+3=5，则求
得m=6，即可得出答案；
（2）分两种情况：当点C(x ，0）在点D的左侧，且⊙C经过点D时，当点C(x ，0）在点D的右侧，且
C C
⊙C与直线y=x+1相切于点N时，分别求解即可．
【解题过程】
（1）解：①如图1，连接PA，PB，由图可知：A（-2，0），B（2，0），
∴AB=4，
∵P（2，3），
∴PB⊥x轴，
∴PB=3，PA=❑√(2+2) 2+32=5，
∴线段AB关于点P的“宽距”为5-3=2；
作直线OP交 ⊙O于G、H，
则点这与⊙O上各点连接的所有线段中，线段PH长度最大，PG长度最小，
∴⊙O关于点P的“宽距”为PH-PG=GH=4；
故答案为：2，4；
②∵点M(m,0)为x轴正半轴上的一点，
∴m>0，
当0<m<2时，PA长度是最大值，PM长度是最小值，“宽距”=PA-PM<2，不符合题意，
当m≥2时，
∵P（2，3），
∴点P到x轴的最短距离为3,即点P到AM的最短距离为3，
又∵线段AM关于点P的“宽距”为2，
∴当PM长度是最大时，最大值为2+3=5，
∴PM
最大
=❑√(m−2) 2+32=5，
解得m=6或m=-2，∴2≤m≤6．
（2）解：如图2，在直线y=x+1中，令x=0，则y=1，令y=0，则x=-1，
∴D（-1，0），E（0，1），
∴OD=OE=1，
∴∠ODE=45°，
当点C(x ，0）在点D的左侧，且⊙C经过点D时，
C
∵⊙C半径为1，
∴x =-2，
C
由（1）①第二空可知，当x ≤-2时，线段DE上任意一点K都能使得⊙C关于K的“宽距”为2；
C
当点C(x ，0）在点D的右侧，且⊙C与直线y=x+1相切于点N时，则CN⊥DE，
C
∴CN=1，
∵∠ODE=45°，
∴∠DCN=90°-∠ODE=45°，
∴DN=CN=1，
∴CD=❑√DN2+CN2=❑√12+12=❑√2，
∴OC=CD-OD=❑√2-1，
由（1）①第二空可知，当x ≥❑√2-1时，线段DE上任意一点K都能使得⊙C关于K的“宽距”为2；
C
综上，圆心C的横坐标x 的取值范围为x ≤-2或x ≥❑√2-1．
C C C
9．（2023·北京海淀·九年级期末）对于平面直角坐标系xOy中的图形G和点P给出如下定义；Q为图形G
上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的k倍，则称点P为图形
G的“k分点”．已知点N(3，0)，A(1，0)，B(0，3)，C(1，−1)．
（1）①在点A，B，C中，线段ON的“❑√2分点”是______；
②点D(a，0)，若点C为线段OD的“二分点”，求a的值；
（2）以点O为圆心，r为半径画图，若线段AN上存在⊙O的“二分点”，直接写出r的取值范围．
【思路点拨】
（1）①分别找出点A、B、C到线段ON的最小值和最大值，是否满足“❑√2分点”定义即可，
②对a的取值分情况讨论：0<a≤1，1<a≤2，a>2和a<0，根据“二分点”的定义可求解，
（2）设线段AN上存在⊙O的“二分点”为M(m，0)(1≤m≤3)．对r的取值分情况讨论0<r≤1，
1<r<3且m<r，1<r<3且m>r，r≥3，根据二分点的定义可求解．
【解题过程】
（1）解：①∵点A在ON上，故最小值为0，不符合题意，
点B到ON的最小值为OB=3，最大值为BN=❑√32+32=3❑√2，
∴点B是线段ON的“❑√2分点”，
点C到ON的最小值为1，最大值为CN=❑√22+12=❑√5
∴点C不是线段ON的“❑√2分点”，
故答案为：点B；
②当0<a≤1时，点C到OD的最小值为CD=❑√(1−a) 2+(−1) 2=❑√2−2a+a2，点C到OD的最大值为CO=❑√12+(−1) 2=❑√2，
∵点C为线段OD的“二分点”，
∴❑√2=2❑√2−2a+a2，
即2a2−4a+3=0，
∵Δ<0，
故无解，舍去；
当1<a≤2时，点C到OD的最小值为1，
点C到OD的最大值为CO=❑√12+(−1) 2=❑√2，最大值不是最小值的2倍，所以舍去，
当a>2时，点C到OD的最小值为1，
点C到OD的最大值为CD=❑√(a−1) 2+(0−1) 2=❑√a2−2a+2，
∵点C为线段OD的“二分点”，
∴❑√a2−2a+2=2×1，a =1+❑√3，a =1−❑√3（舍去），
1 2
当a<0时，点C到OD的最小值为CO=❑√12+(−1) 2=❑√2，
点C到OD的最大值为CD=❑√(1−a) 2+(−1−0) 2=❑√a2−2a+2，
∵点C为线段OD的“二分点”，
同0<a≤1时，无解，舍去；
综上a=1+❑√3．
（2）如图所示，设线段AN上存在⊙O的“二分点”为M(m，0)(1≤m≤3)，当0<r≤1时，最小值为：m−r，最大值为：m+r，
1
∴2(m−r)=m+r，即r= m，
3
∵1≤m≤3，
1
∴ ≤r≤1，
3
当1<r<3且m<r时，最小值为：r−m，最大值为r+m，
∴2(r−m)=r+m，即r=3m，
∵1≤m≤3，
∴3≤r≤9，
∵1<r<3，
∴r不存在，
当1<r<3且m>r时，最小值为：m−r，最大值为：m+r，
1
∴2(m−r)=r+m，即r= m，
3
1
∵ ≤r≤1，
3
∵1<r<3，
∴r不存在．
当r≥3时，最小值为：r−m，最大值为：m+r，∴2(r−m)=r+m，即r=3m，
∴3≤r≤9．
∵r≥3，
∴3≤r≤9，
1
综上所述，r的取值范围为 ≤r≤1或3≤r≤9．
3
10．（2023秋·北京·九年级北京市师达中学校考阶段练习）对于平面直角坐标系xOy中的点M，N和图形
W，给出如下定义：若图形W上存在一点P，使得∠PMN=90°，且MP=MN，则称点M为点N关于图
形W的一个“旋垂点”
（1）已知点A(0，4)，B(4，4)，
①在点M (−2，2)，M (0，2)，M (2，2)中，是点O关于点A的“旋垂点”的是___________；
1 2 3
②若点M(m，n)是点O关于线段AB的“旋垂点”，求m的取值范围；
（2）直线y=−x+2与x轴，y轴分别交于C，D两点，⊙T的半径为❑√10，圆心为T(t，0)，若在⊙T上
存在点P，线段CD上存在点Q，使得点Q是点P关于⊙T的一个“旋垂点”，且PQ=❑√2，直接写出t的
取值范围．
【思路点拨】
（1）①根据“旋垂点”的定义，逐个判断即可；②当∠OM A=90°，M A=OM 时，m=−2，当
1 1 1
∠BMO＝90°，BM＝MO时，m=4，即可求出m的取值范围；
2 2 2
（2）由题意可知，Q点在以T为圆心、半径为2或4的圆上，画出图形，分别求出两种情况下对应t的取
值，即可求解．
【解题过程】
（1）解：①由题意可得，O(0，0)，OA=4
根据“旋垂点”的定义，可知∠OMA=90°，MA=MO当M (−2，2)时，OM =❑√22+22=2❑√2，M A=❑√22+(4−2) 2=2❑√2，
1 1 1
∴M A=OM ，M A2+OM 2=OA2 ，
1 1 1 1
∴∠OM A=90°，即M 是点O关于点A的“旋垂点”，
1 1
当M (0，2)时，OM =2，M A=2，
2 2 2
O、M 、A在一条直线上，
2
∴∠OM A=180°，即M 不是点O关于点A的“旋垂点”，
2 2
当M (2，2)时，OM =❑√22+22=2❑√2，M A=❑√22+(4−2) 2=2❑√2，
3 3 3
∴M A=OM ，M A2+OM 2=OA2 ，
3 3 3 3
∴∠OM A=90°，即M 是点O关于点A的“旋垂点”，
3 3
故答案为：M 、M ；
1 3
②∵点A（0，4），B（4，4），
∴AB//x轴，
当∠AM O=90°，M A=OM 时，m=−2，
1 1 1
当P点从A到B移动时，−2≤m≤0；
当∠BM O=90°，BM =M O时，m=4，
2 2 2
当P点从A到B移动时，2≤m≤4；
∴当−2≤m≤0或2≤m≤4，点M(m，n)是点O关于线段AB的“旋垂点”；
（2）解：当x＝0时，y＝2，
∴D（0，2），
当y＝0时，x＝2，∴C（2，0），
∵PQ=❑√2，∠PQN＝90°，PQ＝QN，
∴PN=2，
∵⊙T的半径为❑√10，
∴TQ=2或TQ=4，
∴Q点在以T为圆心、半径为2或4的圆上，如图；
当D点与Q'点重合时，TD=4，
∴¿=2❑√3 ，
∴t=−2❑√3；
当Q'点与C点重合时，OT=2 ，
∴t=−2，
∴−2❑√3≤t≤−2；
当Q点与C点重合时，OT=6，
∴t=6；
当Q在CD上且TQ⊥CD时，TQ=2，
∴OT=2❑√2−2，
∴t=2−2❑√2；
∴2−2❑√2≤t≤6；∴t的取值范围为：−2❑√3≤t≤−2或2−2❑√2≤t≤6．
11．（2023春·全国·九年级专题练习）对于点P和图形G，若在图形G上存在不重合的点M和点N，使得
点P关于线段MN中点的对称点在图形G上，则称点P是图形的G的“中称点”．在平面直角坐标系xOy
中，已知点A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)．
(1 ) (1 1)
（1）在点P ,0 ，P , ，P (1,−2)，P (−1,2)中，_____是正方形OABC的“中称点”；
1 2 2 2 2 3 4
（2）⊙T的圆心在x轴上，半径为1．
①当圆心T与原点O重合时，若直线y=x+m上存在⊙T的“中称点”，求m的取值范围；
②若正方形OABC的“中称点”都是⊙T的“中称点”，直接写出圆心T的横坐标t的取值范围．
【思路点拨】
（1）由题意可知，正方形OABC的“中称点”是以D(2,2)，E(−1,2)，F(−1,−1)，G(2,−2)为顶点的
(1 ) (1 1)
正方形内部，如图可知P ,0 ，P , 符合题意；P (1,−2)，P (−1,2)，不符合题意；
1 2 2 2 2 3 4
（2）①由题意得：⊙T的“中称点”在以O为圆心，3为半径的圆内，当直线y=x+m与此圆相切于点D
时，求得直线与y轴交于点E(0,3❑√2)；同理，相切于点F时，直线与y轴交于点G(0,−3❑√2)，即可得到
m的取值范围；
②如图，由由题意可知，正方形DEFG在⊙T内部，当⊙T经过(−1,2)时，解得t=❑√5−1；当⊙T经过
(2,2)时，解得t=2−❑√5，即可求出t的取值范围．
【解题过程】
（1）解：由题意可知，
正方形OABC的“中称点”是以D(2,2)，E(−1,2)，F(−1,−1)，G(2,−2)为顶点的正方形内部，如图：(1 ) (1 1)
P ,0 ，P , 在正方形DEFG内部，符合题意；
1 2 2 2 2
P (1,−2)在正方形DEFG外，P (−1,2)在正方形DEFG上，不符合题意；
3 4
故答案为：P ，P ；
1 2
（2）①由题意得：⊙T的“中称点”在以O为圆心，3为半径的圆内，
当直线y=x+m与此圆相切于点D时，设在D(x,y) (x<0,y>0)，
则∠DAO=∠DOA=45°，
∴x= y，
∵x2+ y2=32，
3❑√2 3❑√2
∴x=− ，y= ，
2 2
3❑√2 3❑√2
∴ =− +m，
2 2
∴m=3❑√2，
故直线与y轴交于点E(0,3❑√2)；
同理，相切于点F时，直线与y轴交于点G(0,−3❑√2)，
∵直线y=x+m上存在⊙T的“中称点”，
∴ −3❑√2<m<3❑√2；
②如图，由由题意可知，正方形DEFG在⊙T内部，当⊙T经过(−1,2)时，t>0，
[t−(−1)) 2 +22=32，
解得：t=❑√5−1或t=−❑√5−1（舍去）
当⊙T经过(2,2)时，t<0，
(t−2) 2+22=32，
解得：t=2−❑√5或t=❑√5+2（舍去），
综上所述，
∴2−❑√5≤t≤❑√5−1．
12．（2023春·江苏扬州·九年级高邮市城北中学校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径
为1，A为任意一点，B为⊙O上一点．给出如下定义：记A、B两点间的距离的最小值为p（规定：点Ap+q
在⊙O上时，p=0），最大值为q，那么把 的值称为点A与⊙O的“关联距离”，记作d(A,⊙O)．
2
（1）如图，点D、E、F的横、纵坐标都是整数．
①d(D,⊙O)=___；
②若点M在线段EF上，求d(M,⊙O)的取值范围．
（2）若点N在直线y=❑√3x+2❑√3上，求d(N,⊙O)的取值范围．
（3）正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足d(P,⊙O)的最小值为1，最大值为❑√10，
直接写出m的最小值和最大值．
【思路点拨】
（1）①运用新定义“关联距离”，即可求得答案；②根据新定义“关联距离”，分别求出d(E,⊙O)=2，
d(F,⊙O)=3，即可得出答案；
（2）设ON=d，可得p=d−1，q=d+1，运用新定义“关联距离”，可得d(N,⊙O)=d，再利用
1 1
S = OA⋅OB= AB⋅ON，即可求得答案；
△AOB 2 2
（3）如图2，找出特殊位置，分别画出图形，即可得出答案．
【解题过程】
（1）解：①∵D(0,2)到⊙O的距离的最小值p=1，最大值q=3，
1+3
∴d(D,⊙O)= =2，
2
故答案为：2；②当M在点E处，d(E,⊙O)=2，
2+4
当M在点F处，d(F,⊙O)= =3，
2
∴2≤d(M,⊙O)≤3；
（2）设ON=d，
∴p=d−r=d−1，q=d+r=d+1，
p+q d−1+d+1
∴d(N,⊙O)= = =d，
2 2
∵点N在直线y=❑√3x+2❑√3上，
设直线交x轴于点B，交y轴于点A，如图1，
则x=0时，y=2❑√3，y=0时，x=−2，
∴A(0，2❑√3)，B(−2,0)，
∴OA=2❑√3，OB=2，
∴AB=❑√OA2+OB2=4，
当ON⊥AB时，d(N,⊙O)最小，
1 1 1 1
∴S = OA⋅OB= AB⋅ON，即 ×2❑√3×2= ×4ON，
△AOB 2 2 2 2
∴ON=❑√3，
∵ON无最大值，
∴d(N,⊙O)≥❑√3；
（3）如图2，∵d(P,⊙O)的最小值为1，最大值为❑√10，
∴两个同心圆中，小圆的半径为1，大圆的半径为❑√10，
∵KL=❑√10−1，
❑√10−1 ❑√2
∴m的最小值是 =❑√5− ，
❑√2 2
1
在Rt△OMH中，OM=❑√10，OH=m−1，MH= m，
2
1 2
∴(m−1) 2+( m) =(❑√10) 2 ，
2
18
解得：m=−2（舍去）或m= ；
5
❑√2 18
∴m的最小值为❑√5− ，最大值为 ．
2 5
13．（2022秋·北京海淀·九年级清华附中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，对于图形M和点P，
若图形M上存在两个点E、F，使得EP+FP＝2，则称点P为图形M的“距2点”．
设A（﹣4，0），B（4，0），⊙O的半径为r．1
（1）①点P（1，0），P（0，1），P（﹣1，﹣ ）中，是线段AB的“距2点”的是 ．
1 2 3 2
②若P（3，4）是⊙O的“距2点”，求r的取值范围；
4
（2）设⊙M的半径为2，圆心M是x轴上的动点，C（﹣4，8）．若折线段AC﹣CB上存在点⊙M的“距
2点”，直接写出圆心M横坐标的取值范围．
【思路点拨】
1
（1）①P 到(0,0)和(2,0)的距离之和是2，2OP =2，P 到x轴的距离是 ，从而得出结果；
1 2 3 2
②从OP =❑√32+42=5，进而求得；
4
（2）2AM =2，2AM =2，BM=3❑√2，M(4−3❑√2，0)，M (7,0)，进而求得．
1 2 3
【解题过程】
解：（1）①如图，
∴P 到(0,0)和(2,0)的距离之和是2，
1
∴P 是线段AB的“距2点”，
1
∵2OP =2，
2
∴P 不是线段AB的“距2点”，
2
1
∵P 到x轴的距离是 ，
3 2
∴P 是线段AB的“距2点”，
3
故答案是P 和P ；
1 3
②如图2，∵OP =❑√32+42=5，
4
∴5−1<r<5+1，
即4<r<6；
（2）如图3，
设圆心M的横坐标为x，
∵2AM =2，2AM =2，
1 2
∴−7<x<−1，
∵CM=3，
∴BM=3❑√2，
∴M(4−3❑√2，0)，
∵M (7,0)，
3∴4−3❑√2<x<7，
综上所述：圆心M横坐标的取值范围是−7<x<−1或4−3❑√2<x<7．
14．（2023·北京·九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形
W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM=QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．
（1）已知⊙O的半径为1，点D的坐标为(5,0)．若点E(x,2)在第一象限，且点D与点E是⊙O的一对平
衡点，求x的取值范围；
（2）已知点H(−3,0)，以点O为圆心，OH长为半径画弧交x的正半轴于点K．点C(a,b)（其中b≥0）是
坐标平面内一个动点，且OC=5，⊙C是以点C为圆心，半径为2的圆，若H´K上的任意两个点都是⊙C
的一对平衡点，直接写出b的取值范围．
【思路点拨】
（1）如图，可得OE =3，解得此时x=❑√5，OE =7，解得x=3❑√5，可求出范围；
1 2
（2）由点C在以O为圆心5为半径的上半圆上运动，推出以C为圆心2为半径的圆刚好与H´K相切，此时要
想H´K上任意两点都是圆C的平衡点，需要满足CK≤6，CH≤6，分两种情形分别求出b的值即可判断．
【解题过程】
（1）解：∵⊙O的半径为1，点D的坐标为(5,0)，
∴点D到⊙O的最近距离是4，最远距离是6，
∵点D与点E是⊙O的一对平衡点，
此时需要满足E 到⊙O的最大距离是4，即OE =3，
1 1
可得x= ❑√32−22=❑√5，
同理：当E 到⊙O的最小距离为是6时，OE =7，
2 2
此时x=❑√72−22=3❑√5，
综上所述，满足条件的x的值为❑√5≤x≤3❑√5；（2）∵点C在以O为圆心5为半径的上半圆上运动，
∴以C为圆心2为半径的圆刚好与H´K相切，
此时要想H´K上任意两点都是圆C的平衡点需要满足CK≤6，CH≤6，
如图1中，当CK=6时，
作CM⊥HK于M，
{ a2+b2=52 )
则 ，
(3−a) 2+b2=62
1 1
{ a=− ) { a=− )
3 3
解得： 或 （舍去），
4❑√14 4❑√14
b= b=−
3 3
1 4❑√14
如图2中，当CH=6时，同法可得a= ，b= ，
3 3
4❑√14
综上所述，满足条件的b的值为 ≤b≤5．
3
15．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期末）如图1，对于△PMN的顶点P及其对边MN上的一点Q，给出
如下定义：以P为圆心，PQ长为半径的圆与直线MN的公共点都在线段MN上，则称点Q为△PMN关于
点P的内联点．在平面直角坐标系xOy中：
1
（1）如图2，已知点A(6,0)，点B在直线y=− x+4上．
2
①若点B(4,2)，点C(4,0)，则在点O，C，A中，点______是△AOB关于点B的内联点；
②若△AOB关于点B的内联点存在，求点B横坐标m的取值范围；
（2）已知点D(3,0)，点E(6,3)，将点D绕原点O旋转得到点F，若△EOF关于点E的内联点存在，直
接写出点F横坐标n的取值范围．
【思路点拨】
（1）①由内联点的定义可知C，A满足条件
②结合图象可知当点B为圆心的圆与AO线段相切时，有一个公共点，且符合内联点定义，故0≤m≤6时
均符合题意．
（2）由（1）问可知，当OE与OF，或OF与EF垂直时有一个公共点且满足内联点的定义，故由此可作
3❑√5 3❑√5 12
图，作图见解析，即可由勾股定理、斜率的性质，解得− ≤n≤0和 ≤n≤
5 5 5
【解题过程】
（1）①如图所示，由图像可知C，A点是△AOB关于点B的内联点②如图所示，当点B为圆心的圆与AO线段相切时，有一个公共点，符合内联点定义
故0≤m≤6．
（2）如图所示，以O为圆心的圆O为点F点的运动轨迹，由（1）问可知当∠EFO或∠FOE为90°时，
△EOF关于点E的内联点存在且只有一个，故当F点运动到F´F 和F´F 的范围内时，△EOF关于点E
1 2 3 4
的内联点存在．
设F点坐标为（x，y），则x2+ y2=9，由图象即题意知
当F点在F 点时，OF ⊥EF ，即k ⋅k =−1有
1 1 1 OF EF
1 1
x =0，y =3
F F
1 1
当F点在F 点时，OF ⊥EO，即k ⋅k =−1有
2 2 OF EO
2
OF 2+EO2=EF 2
2 2
即(❑√x2+ y2 ) 2 +(❑√62+32 ) 2 =(❑√(6−|x|) 2+(3−|y|) 2 ) 2当F点在F 点时，OF ⊥EO，即k ⋅k =−1有
3 3 OF EO
3
OF 2+EO2=EF 2
3 3
即(❑√x2+ y2 ) 2 +(❑√62+32 ) 2 =(❑√(6−|x|) 2+(3−|y|) 2 ) 2
3❑√5 3❑√5
解得x= 或x=−
5 5
3❑√5 3❑√5
故x = ，x =−
F 3 5 F 2 5
当F点在F 点时，OF ⊥EF ，
4 4 4
OF 2+EF 2=OE2
4 4
即(❑√x2+ y2 ) 2 +(❑√(6−x) 2+(3+ y) 2 ) 2 =(❑√62+32 ) 2
化简得x2+ y2=6x−3 y
且OE⊥F F
1 4
即k ⋅k =−1
OE F F
1 4
3 y−3
即 ⋅ =−1
6 x−0
化简得y=−2x+3联立x2+ y2=6x−3 y
12
解得x= 或x=0
5
12
故x =
F 4 5
3❑√5 3❑√5 12
综上所述，F点的横坐标n取值范围为− ≤n≤0和 ≤n≤ ．
5 5 5
16．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）对于半径为r的⊙P及一个正方形给出如下定义：若⊙P
上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称⊙P是该正方形的“等距圆”．如图1，在平面直角坐标
系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧．
（1）当r=4❑√2时，
①在P（0，-3），P（4，6），P（4❑√2，2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是
1 2 3
_______________；
②若点P在直线y=−x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为_______________；
（2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶
点E、H在y轴上，且点H在点E的上方．
①若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P在y轴上截得的弦长；
②将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的
圆心，则r的取值范围是_______________．
【思路点拨】
（1）①连接AC和BD，交于点M，设⊙P的圆心坐标是(x,y)，列出圆心到M的关系式，把P (0,−3)，
1
P (4,6)，P (4❑√2，2)代入，看是否成立来逆定，②把y=−x+2代入x2+(y−2) 2=32，求出x和y的值，
2 3
再写出坐标．（2）①先求出△LIE为等腰直角三角形，得到L(0,5)，进而得出△LOM为等腰直角三角形，设
P(p,−p+5)据关系列出方程求了圆心的坐标，最后得出弦长．②连接DH，作DT⊥HF，以D为圆心，
DE为半径作圆，交DT于点E ，交HD于E ，当0<r<DT−DE 时，线段HF上没有一个点能成为它的
1 2 1
“等距圆”的圆心．当r>H E 时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．据此求解．
2
【解题过程】
解：（1）①连接AC和BD，交于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴M到正方形ABCD四条边距离都相等
∴⊙P一定通过点M，
∵A(2,4)
∴M(0,2)
设⊙P的圆心坐标是(x,y)，
∴r=4❑√2时，
∴x2+(y−2) 2=(4❑√2) 2 ，
即，x2+(y−2) 2=32，
把P (0,−3)，P (4,6)，P (4❑√2，2)代入，只有P ，P 成立，
1 2 3 2 3
∴可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是P ，P ，
2 3
故答案为：P ，P ；
2 3
②∵点P在直线y=−x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，
∴把y=−x+2代入x2+(y−2) 2=32，得x2+x2=32，
解得x=±4，
∴y=−2或6，∴P(4,−2)或P(−4,6)．
故答案为：(4,−2)或P(−4,6)．
（2）如下图：
①∵⊙P同时为正方形ABCD与正方形EFGH的“等距圆”，
∴⊙P同时过正方形ABCD的对称中心E和正方形EFGH的对称中心I．
∴点P在线段EI的中垂线上．
∵A(2,4)，正方形ABCD的边CD在x轴上；F(6,2)，正方形EFGH的边HE在y轴上，
∴E(0,2)，I(3,5)
∴∠IEH=45°，
设线段EI的中垂线与y轴交于点L，与x轴交于点M，
∴△LIE为等腰直角三角形，LI⊥y轴，
∴L(0,5)，
∴△LOM为等腰直角三角形，LO=OM
∴M(5,0)，
∴P在直线y=−x+5上，
∴设P(p,−p+5)
过P作PQ⊥直线BC于Q，连接PE，
∵⊙P与BC所在直线相切，
∴PE=PQ，
∴p2+(−p+5−2) 2=(p+2) 2，
解得：P =5+2❑√5，P =5−2❑√5，
1 2
∴P (5+2❑√5，−2❑√5)，P (5−2❑√5，2❑√5)，
1 2
∵⊙P过点E，且E点在y轴上，∴⊙P在y轴上截得的弦长为2|−2❑√5−2|=4❑√5+4或2|2❑√5−2|=4❑√5−4．
②如图2，连接DH，作DT⊥HF，以D为圆心，DE为半径作圆，交DT于点E ，交HD于E ，
1 2
当0<r<DT−DE 时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．
1
∵HF所在的直线为：y=−x+8，
DT所在的直线为：y=x−2，
∴T(5,3)，
∵D(2,0)，
∴DT=❑√32+(5−2) 2=3❑√2，
∵DE=DE
1
∴DT−DE =DT−DE=3❑√2−2❑√2=❑√2，
1
∴当0<r<❑√2时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．
当r>H E 时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．
2
∵H E =HD+DE ，DE =DE，
2 2 2
∴H E =HD+DE=❑√HO2+OD2+2❑√2=2❑√17+2❑√2，
2
∴当r>2❑√17+2❑√2时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．
综上可知当0<r<❑√2或r>2❑√17+2❑√2时线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，
故答案为：0<r<❑√2或r>2❑√17+2❑√2．
17．（2022·北京海淀·中关村中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于线段
AB，给出如下定义：若将线段AB沿着某条直线l对称可以得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分别为A，B的对
应点），则称线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的对称的“反射线段”，直线l称为“反射轴”（1）如图1，线段CD、EF、GH中是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”有___________；
（2）已知A点的坐标为(0,2)，B点坐标为(1,1)，
①如图2，若线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，画出图形，反射轴l与y轴的交点M的坐
标是___________．
②若将“反射线段”AB沿直线y=x的方向向上平移一段距离S，其反射轴l与y轴的交点的纵坐标y 的取
M
1 13
值范围为 ≤ y ≤ ，求S的取值范围．
2 M 6
（3）已知点M、N是在以(2,0)为圆心，半径为❑√13的圆上的两个动点，且满足MN=❑√2，若MN是⊙O
的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，反射轴l与y轴的交点的纵坐标的取值范
围是___________．
【思路点拨】
（1）在圆中找出对应的弦，其中GH大于圆的直径，故否定；
（2）①画出AB的反射弦，找出对应点的垂直平分线；②以AB为斜边作等腰直角三角形AO′B，连接
OO′，交⊙O于A′，作BB′∥A A′，交⊙O于B′，则A′B′是AB的反射弦，对称轴是OO′的中垂线l，然
13
后根据垂直平分线上点到线段两端距离相等，求得S= 时的值，从而确定S的范围；
6
（3）根据（2）的方法找到MN所在的圆心O ，当M点在圆上运动一周时，如图，取OO 的中点A ，OT
3 3 1
的中点S，即OO 的中点A 在以S为圆心，半径为❑√2的圆上运动，进而即可求得反射轴l与y轴交点的纵坐
3 1
标y的取值范围．
【解题过程】（1）解：∵E′F′是EF关于直线CC′的对称的弦，
∴EF是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，
∵C′E′是CD关于直线x=1的对称的弦，
∴线段CD是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，
∵GH=❑√5，⊙O的直径C′E′=2，EF>C′E′，
∴线段GH不是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，
故答案是：CD、EF；
（2）①如图2，
AB关于直线l的对称弦是A′B′，
1
直线l与y轴交点M(0, )，
2
1
故答案为：(0, )；
2
②如图3，以AB为斜边作等腰直角三角形AO′B，连接OO′，交⊙O于A′，作BB′∥A A′，交⊙O于B′，
则A′B′是AB的反射弦，对称轴是OO′的中垂线l，
❑√2 ❑√2 ❑√2 ❑√2
∵A( S，2+ S)，B(1+ S，1+ S)，
2 2 2 2
❑√2 ❑√2
∴O′ ( S，1+ S)，
2 2
设l交y轴于C(0,a)，
❑√2 2 ❑√2 2
由CO=CO′得，( S) +(1+ S−a) =a2，
2 2
13 ❑√2 5❑√2
当a= 时，S =− （舍去），S = ，
6 1 2 2 3
5❑√2
∴0≤S≤ ；
3
（3）如图，根据（2）的方法找到MN所在的圆心O ，
3设T(2,0)，
则TM=❑√13，
∵MN=❑√2，△O MN是等腰直角三角形，
3
❑√2
∴O L= =ML，
3 2
√ 1 5❑√2
∴TL=❑√T M2−M L2=❑13− = ，
2 2
∴TO =2❑√2，
3
当点在圆上运动一周时，如图，取OO 的中点A ，OT的中点S，
3 1
∴S A 是△OO T的中位线，
1 3
1
∴SA = O T=❑√2，SA ∥TO ，
1 2 3 1 3
即OO 的中点A ．在以S为圆心，半径为❑√2的圆上运动，
3 1
∴若MN是⊙O的以直线l为对称轴的反射线段，
则l为⊙S的切线．
设⊙S与y轴交于点C，D，
1
∵OS= OT=1，SC=SA =SD=❑√2，
2 1
∴OC=1，OD=1，
∴反射轴l与y轴交点的纵坐标y的取值范围为y>1或y<−1．
18．（2022·北京房山·统考一模）对于平面内的点P和图形M，给出如下定义：以点P为圆心，r为半径作
圆，若⊙P与图形M有交点，且半径r存在最大值与最小值，则将半径r的最大值与最小值的差称为点P
视角下图形M的“宽度d ”．
M
（1）如图1.点A(4,3)，B(0,3)．
①在点O视角下，则线段AB的“宽度d ”为_________；
AB
②若⊙B半径为1.5，在点A视角下，⊙B的“宽度d ”为_________；
⊙B（2）如图2，⊙O半径为2，点P为直线y=−x+1上一点．求点P视角下⊙O“宽度d ”的取值范围；
⊙O
❑√3
（3）已知点C(m,0),CK=1，直线y= x+3与x轴，y轴分别交于点D，E．
3
若随着点C位置的变化，使得在所有点K的视角下，线段DE的“宽度”均满足0<d <6，直接写出m的
DE
取值范围．
【思路点拨】
（1）①根据题意易得当线段AB与以点O为圆心的圆相切时半径最小，经过点B时半径最大，由此问题可
得解；②由题意可得当以点A为圆心的圆与⊙B外切时半径最小，内切时半径最大，由此问题可得解；
（2）设直线y=−x+1与⊙O的交点分别为M和N，与x轴、y轴交于点A、B，由题意易得点
A(1,0),B(0,1)，即OA=1，OB=1，则可分当点P在点M上方、点N下方时和当点P在线段MN上时，然
后进行分类求解即可；
❑√3
（3）由直线y= x+3可得OD=3❑√3,OE=3，则DE=6，∠EDO=30°，由C(m,0),CK=1可知点
3
K在以点C为圆心，半径为1的圆上，进而可分当⊙C经过点D时和当⊙C与直线DE相切于点K时，然
后求解即可．
【解题过程】
解：（1）①由题意得：当以点O为圆心的圆与线段AB相切于点B时，半径为最小，经过点A时半径最大，
连接OA，如图所示：∵A(4,3)，B(0,3)，
∴OB=3，OA=❑√(4−0) 2+(3−0) 2=5，
∴在点O视角下，则线段AB的“宽度d ”为5−3=2，
AB
故答案为2；
②由题意得：以点A为圆心的圆与⊙B外切时半径最小，内切时半径最大，如图所示：
∵⊙B半径为1.5，
∴半径最大为1.5+4=5.5，半径最小为4−1.5=2.5，
∴在点A视角下，⊙B的“宽度d ”为5.5-2.5=3，
⊙B
故答案为3；
（2）设直线y=−x+1与⊙O的交点分别为M和N，与x轴、y轴交于点A、B，如图所示：当点P在点M上方时，则以点P为圆心的圆与⊙O内切时半径最大，外切时半径最小，如图，设⊙P的半
径最小为r，由圆与圆的位置关系可得半径最大时为r+4，
∴在点P视角下⊙O“宽度d ”为r+4−r=4，
⊙O
同理可得当点P在点N下方时，与点P在点M外时相同；
当点P在线段MN上时，则根据点到直线垂线段最短可得当点P在AB的中点时，此时在点P视角下⊙O
“宽度d ”取最小，即：以点P为圆心的圆与⊙O内切时半径最大，外切时半径最小，如图所示：
⊙O
∴由直线y=−x+1可得点A(1,0),B(0,1)，即OA=1，OB=1，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB=❑√2，
∵点P是AB的中点，
❑√2
∴OP= ，
2
❑√2 ❑√2
∴⊙P的半径最小为2− ，半径最大为2+ ，
2 2❑√2 ( ❑√2)
∴在点P视角下⊙O“宽度d ”为2+ − 2− =❑√2，
⊙O 2 2
综上所述：在点P视角下⊙O“宽度d ”的取值范围为❑√2≤d ≤4；
⊙O ⊙O
（3）由题意可得如图所示：
❑√3 ❑√3
由直线y= x+3可得当y=0时，则0= x+3，解得x=−3❑√3，当x=0时，则有y=3，
3 3
∴D(−3❑√3,0),E(0,3)，
∴OD=3❑√3,OE=3，
∴DE=6，
∴∠EDO=30°，
∵C(m,0),CK=1，
∴点K在以点C为圆心，半径为1的圆上，
∴由在所有点K的视角下，线段DE的“宽度”均满足0<d <6，则有：
DE
当⊙C经过点D时，如图所示：
∴DC=1，∴OC=3❑√3−1，
∴m=−3❑√3+1，
∴当点K与点D重合时，以点K为圆心的圆与线段DE有交点时，半径最小为0，最大为6，所以在点K
的视角下，线段DE的“宽度”为d =6，而点K在⊙C的其他地方时，根据三角形三边关系可知始终满
DE
足题意，
∴m>−3❑√3+1；
当⊙C与直线DE相切于点K时，如图所示：
∵CK=1，∠EDO=30°，
∴∠CDK=30°，
∴CD=2CK=2，
∴OC=3❑√3+2，即m=−3❑√3−2，
此时在点K的视角下，线段DE的“宽度”为d =6，故不符合题意，
DE
∴m<−3❑√3−2，
综上所述：当随着点C位置的变化，使得在所有点K的视角下，线段DE的“宽度”均满足0<d <6，则
DE
m的取值范围为m<−3❑√3−2或m>−3❑√3+1．
19．（2022秋·北京·九年级校考期中）对于平面直角坐标系xOy中的点C及图形W，有如下定义：若图形
W上存在A、B两点，使△ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90°，我们则称点C为图形W的“关联
点”．
（1）已知点O(0,0)，M(4,0)，在点C (0,4)，C (2,1)，C (3,−4)中，线段OM的“关联点”是
1 2 3
________；
（2）直线y=x+b分别交x轴、y轴于P、Q两点，若点C(−2,1)为线段PQ的“关联点”，求b的取值范
围；
（3）已知直线y=−x+m(m>0)分别交x轴、y轴于E、F两点，若线段EF上的所有点都是半径为1的
⊙O的“关联点”，直接写出m的取值范围．【思路点拨】
（1）分别过点C (0,4)，C (2,1)，C (3,−4)向线段OM作垂线，分别以垂足为圆心，以垂线段为半径
1 2 3
画弧，弧与线段OM有交点，即可判断为线段OM的“关联点”．
（2）分点C(−2,1)在直线y=x+b上和不在直线上两种情况求解即可．
（3）当以AD为直径，构造等腰直角三角形ABE，此时为m的最大值，当直线与圆相切时，m有最小值
计算即可．
【解题过程】
（1）如图，分别过点C (0,4)，C (2,1)，C (3,−4)向线段OM作垂线，
1 2 3
分别以垂足为圆心，以垂线段为半径画弧，
C (0,4)所在圆与线段OM交于点M，
1
所以C (0,4)为线段OM的“关联点”；
1
C (2,1)所在圆与线段OM交于OM上的两个点，
2
所以C (2,1)为线段OM的“关联点”；
2
C (3,−4)所在圆与线段OM没有交点，
3
所以C (3,−4)不是线段OM的“关联点”；
3
所以C ，C 是线段OM的“关联点”，
1 2
故答案为：C ，C ．
1 2
（2）当直线y=x+b经过点C(−2,1)时，P、Q，C三点共线，此时构不成三角形，解得b=3，此时
PO=QO，
所以∠OQP=∠OPQ=45°，
故b值不能符合题意，
所以b≠3；以过点C作CB⊥PO，交x轴与点D，以点D为圆心，以CD为半径作圆，交靠近原点的x轴于点B，另
一交点为P，则CD=DB=DP=1，
所以∠PCB=90°，
过点B作BA∥PQ，交y轴与点A，则∠QPO=∠ABO=45°，
所以CD=DB=OB=OA=1，
所以b=1，
所以1≤b＜3；
当b＞3时，作射线BC，
在点C的外侧射线上任取一点B′，
过点B′作PQ∥P′Q′，
则CB′⊥P′Q′，
以B′为圆心，以CB′为半径画弧，交直线于A′，
则△A′B′C是等腰之间三角形，符合题意，
综上所述，1≤b＜3或b＞3．
（3）当直线与⊙O切于点C时，如图，∠ACB=45°,∠ABC=90°，
符合题意，此时∠FCB=45°，
所以FC=OC=1，所以OF=❑√12+12=❑√2，
故m=❑√2；
以AD为直径，构造等腰直角三角形ABE，此时为m的最大值，根据题意得：OE是线段AD的垂直平分线，
45°
则∠DEO=∠AEO= ．
2
因为∠FEO=45°，
45°
所以∠DEM= ，
2
所以DE平分∠FEO，
过点D作DM⊥EF，垂足为M，
则DM=DO=1,∠MFD=∠FDM=45°，
所以DM=DO=FM=1，
所以DF=❑√12+12=❑√2，
所以OF=DF+DO=❑√2+1，
所以❑√2≤m≤❑√2+1．
20．（2023·北京·九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中，给定图形W和点P，若图形W上存在两个
点M，N满足PM=❑√3PN且∠MPN=90°，则称点P是图形W的关联点．已知点A(−2❑√3,0)，B(0,2)．
（1）在点P (−❑√3,−1)，P (−❑√3,3)，P (−2❑√3,−2)中，______是线段AB的关联点；
1 2 3
（2）⊙T是以点T(t,0)为圆心，r为半径的圆．
①当t=0时，若线段AB上任一点均为⊙O的关联点，求r的取值范围；
②记线段AB与线段AO组成折线G，若存在t≥4，使折线G的关联点都是⊙T的关联点，直接写出r的最小值．
【思路点拨】
（1）根据关联点的定义，结合勾股定理进行判断即可；
（2）①根据题意推得三角形PMN为含30度角的直角三角形，根据瓜豆原理可得求得点O到点P的最大距
❑√3+1 ❑√3−1 ❑√3+1 ❑√3−1
离为 r，最小距离为 r，推得⊙O的所有关联点在以O为圆心， r和 r为半径的
2 2 2 2
两个圆构成的圆环中，结合图形求得半径r的取值范围；
②结合①中的结论，画出满足条件的关联点的范围，进行求解即可．
【解题过程】
（1）解：∵∠MPN=90°，
∴△MPN为直角三角形，故满足M N2=PM2+PN2，
根据勾股定理可得：AB2=(2❑√3) 2+22=12+4=16
P A=❑√(❑√3) 2+12=2，P B=❑√(❑√3) 2+32=2❑√3，
1 1
P A2+P B2=[(❑√3) 2+12)+[(❑√3) 2+32)=4+12=16；
1 1
P A=❑√(❑√3) 2+32=2❑√3，P B=❑√(❑√3) 2+12=2，
2 2
P A2+P B2=[(❑√3) 2+32)+[(❑√3) 2+12)=12+4=16；
2 2
P A=2， P B=❑√(2❑√3) 2+42=2❑√7，
3 3
P A2+P B2=22+[(2❑√3) 2+42)=4+12+16=32；
3 3
∵P B=❑√3P A，且P A2+P B2=AB2 ；故P (−❑√3,−1)是线段AB的关联点；
1 1 1 1 1
∵P A=❑√3P B，且P A2+P B2=AB2 ；故P (−❑√3,3)是线段AB的关联点；
2 2 2 2 2
∵P A=❑√7P B，且P A2+P B2≠AB2 ；
3 3 3 3
∵∠BAO=30°，P A⊥OA，
3
∴∠P AB=90°+30°=120°，
3∴对于线段AB上的任意两点M、N，当P M=❑√3P N时，∠P NM>90°，如图，
3 3 3
则∠M P N必是锐角，不可能是直角，
3
故P (−2❑√3,−2)不是线段AB的关联点；
3
故答案为：P ，P ．
1 2
（2）①由（1）可得：∵∠MPN=90°，
∴△MPN为直角三角形，
故M N2=PM2+PN2=4PN2，即MN=2PN，
即三角形PMN为含30度角的直角三角形；如图：
则点P是：以MN为斜边且含30度角的直角三角形的直角顶点．
在圆O上取点M，N，则对于任意位置的M和N，符合的关联点有2个，如图：以点P为例，当点M在半径为r的⊙O上运动时，点N为圆上一定点，且MN=2PN，∠PNM=60°，则
点M的运动轨迹为圆，故点P的轨迹也为圆，令点P的轨迹为圆R，如图：
❑√3
当M，O，N三点共线，P，R，N三点共线时，∠PNM=60°，故¿= r，
2
1 ❑√3+1 ❑√3−1
RN= r，则点O到点P的最大距离为 r，最小距离为 r；
2 2 2
❑√3+1 ❑√3−1
当点N也在⊙O上运动时，⊙R也随之运动，则⊙R扫过的区域为 r和 r为半径围成的圆环，
2 2
❑√3+1 ❑√3−1
即⊙O的所有关联点在以O为圆心， r和 r为半径的两个圆构成的圆环中，
2 2
❑√3+1
故当线段AB与半径为 r交于点A时，r最小，如图：
2
❑√3+1
则 r=2❑√3，解得：r=6−2❑√3；
2
❑√3−1
当线段AB与半径为 r的圆相切时，r最大，过点O作OH⊥AB，如图：
21 1
则S = ×OA×OB= ×OH×AB，
△OAB 2 2
1 1
即 ×2❑√3×2= ×OH×4，解得：OH=❑√3，
2 2
❑√3−1
则 r=❑√3，解得：r=3+❑√3；
2
∴6−2❑√3≤r≤3+❑√3．
②当关联点在线段AB上时，满足条件的关联点所在范围如图阴影部分：
当关联点在线段AO上时，满足条件的关联点所在范围如图阴影部分：
当关联点在不同线段上时，满足条件的关联点在点O和点B上的范围如图阴影部分：综上：所有区域叠加一起为：
由①可知，满足⊙T的所有关联点所在范围为圆环，故若使得圆环能够完整“包住”关联点，圆环中外圆
的必须经过点G；，
∵∠GBA=30°，∠G=90°，∠OBA=60°，∠O=90°，
∴四边形AOBG为矩形，∴G(−2❑√3,2)，
则TG=❑√(4+2❑√3) 2+22，
❑√3+1
即 r=❑√(4+2❑√3) 2+22 ，解得：r=4❑√2（负值舍去）；
2
综上，r的最小值为4❑√2．
