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第 21 章 一元二次方程全章培优测试卷
【人教版】
（考试时间：60分钟 试卷满分：100分）
考前须知：
1．本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟。
2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，压轴题均有★标记。
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2+2y+3＝0 B．x2+1＝（x﹣2）x
1 x2−1
C．x− =0 D． =3
x 2
【分析】根据只含有一个未知数，求含未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，进
行判断即可．
【解答】解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B、x2+1＝（x﹣2）x，整理得：2x+1＝0，是一元一次方程，不符合题意；
C、是分式方程，不符合题意；
D、是一元二次方程，符合题意；
故选：D．
2．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx＝3x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ）
A．0 B．±3 C．3 D．﹣3
【分析】先将一元二次方程化为一般形式，再由一般形式后不含一次项，即含 x的项的系数为0，可得
关于m的一元一次方程，求解即可．
【解答】解：将x2+mx＝3x+5化为一般形式，得x2+（m﹣3）x﹣5＝0，
∵关于x的一元二次方程x2+mx＝3x+5化为一般形式后不含一次项，
∴m﹣3＝0，
解得：m＝3．
故选：C．
3．（3分）关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x ＝﹣3，x ＝2（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a
1 2（x+m+2）2+b＝0的解是（ ）
A．x ＝﹣3，x ＝2 B．x ＝﹣5，x ＝0
1 2 1 2
C．x ＝﹣1，x ＝﹣4 D．无法求解
1 2
【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x ＝﹣3，x ＝2（a，m，b均为常数，a≠0），
1 2
∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝﹣3或x+2＝2，
解得x＝﹣5或x＝0．
故方程a（x+m+2）2+b＝0的解为x ＝﹣5，x ＝0．
1 2
故选：B．
4．（3分）太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水，净化水的过程中，每增加一次过滤可减
少水中的杂质x%，经过两次过滤可使水中的杂质减少到原来的36%，根据题意可列方程为（ ）
A．1﹣2x＝36% B．（1﹣x）2＝36%
C．2（1﹣x%）＝36% D．（1﹣x%）2＝36%
【分析】利用经过两次过滤后水中的杂质＝未经过滤的水中的杂质×（1﹣每次过滤可减少水中的杂质的
百分数）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：（1﹣x%）2＝36%．
故选：D．
5．（3分）关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2＝0有两个相等的实数根，若a，b，c是△ABC的三边长，则这个
三角形一定是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【分析】由关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2＝0有两个相等的实数根，可得Δ＝（﹣2c）2﹣4（a2+b2）＝0，
整理得c2＝a2+b2，根据勾股定理逆定理判断△ABC的形状即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2c）2﹣4（a2+b2）＝0，整理得c2＝a2+b2，
∴△ABC是直角三角形，
故选：B．
6．（3分）关于x的一元二次方程ax2+bx＝c（ac≠0）一个实数根为2024，则方程cx2+bx＝a一定有实数
根（ ）
1 1
A．2024 B． C．﹣2024 D．−
2024 2024【分析】根据一元二次方程根的定义：将x＝2024代入方程ax2+bx＝c中，再两边同时除以20242，可得
结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx＝c（ac≠0）一个实数根为2024，
∴20242a+2024b＝c，
b c
∴a+ = ，
2024 20242
c b
∴ − = a，
20242 2024
1
∴x=− 是方程cx2+bx＝a的实数根．
2024
故选：D．
7．（3分）m，n是方程x2﹣2023x+2024＝0的两根，则代数式（m2﹣2022m+2024）（n2﹣2022n+2024）
的值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到m2﹣2023m+2024＝0，n2﹣2023n+2024＝0，再由根与系数
的关系得到mn＝2024，进而得到m2﹣2022m＝m﹣2024，n2﹣2022n＝n﹣2024，据此代值计算即可．
【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2023x+2024＝0的两根，
∴m2﹣2023m+2024＝0，n2﹣2023n+2024＝0，mn＝2024，
∴m2﹣2022m＝m﹣2024，n2﹣2022n＝n﹣2024，
∴（m2﹣2022m+2024）（n2﹣2022n+2024）
＝（m﹣2024+2024）（n﹣2024+2024）
＝mn
＝2024，
故选：C．
8．（3分）关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根x ，x 满足x ＝2x +3，且x ＞x ，则m的值为（
1 2 1 2 1 2
）
A．﹣3 B．1 C．3 D．9
【分析】因式分解法可求x ＝m+2，x ＝m﹣2，再根据x ＝2x +3，可得关于m的方程，解方程可求m
1 2 1 2
的值．
【解答】解：∵x2﹣2mx+m2﹣4＝0，
∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0，
∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0，∵x ＞x ，
1 2
∴x ＝m+2，x ＝m﹣2，
1 2
∵x ＝2x +3，
1 2
∴m+2＝2（m﹣2）+3，
解得m＝3．
故选：C．
9．（3分）已知关于y的多项式（n+2）y|n|+2+（n﹣1）y+3是四次三项式，关于x的一元二次方程x2﹣x﹣
m+n＝0有实数根为a，则3a2﹣3a+m的最小值为（ ）
3 7
A．1 B． C．2 D．
2 4
【分析】先根据多项式的有关概念得出关于n的方程和不等式，求出n的值，再根据方程解的定义求出
a2﹣a，再根据方程有解的条件求出m的范围，最后根据整体思想求解．
【解答】解：由题意得：|n|+2＝4，n+2≠0，n﹣1≠0，
解得：n＝2，
∵关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m+n＝0有实数根为a，
∴Δ＝1﹣4（2﹣m）≥0，a2﹣a＝m﹣2，
∴4m≥7，
∴3a2﹣3a+m＝3m﹣6+m＝4m﹣6≥7﹣6＝1，
故选：A．
10．（3分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法中正确的序号有（ ）
①若a+b+c＝0，那么ax2+bx+c＝0一定有一个根是1；
②若方程的两根为﹣1和2，则2a+c＝0；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若2a+b＝0，且方程有一根大于2，则另一根必为负数；
⑤若x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则 ．
0 b2−4ac=(2ax +b) 2
0
A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤
【分析】①正确．根据方程的解的定义判断即可；
②正确．由a﹣b+c＝0，4a+2b+c＝0，消去b，可得结论；
③正确．根据方程的解的定义判断；
④正确．判断出两根之和为2，可得结论；⑤正确．若x 是一元二次方程 ax2+bx+c＝0的根，∴a2 abx +ac＝0，可得4a2 4abx +b2＝b2﹣
0 x2+ 0 x2+ 0
0 0
4ac，由此可得结论．
【解答】解：①若a+b+c＝0，那么ax2+bx+c＝0一定有一个根是1．故①正确；
②若方程的两根为﹣1和2，则2a+c＝0；则有a﹣b+c＝0，4a+2b+c＝0，
∴b＝a+c，
∴4a+2（a+c）+c＝0，
∴6a+3c＝0，
∴2a+c＝0，故②正确；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立．故③正确；
b
④若2a+b＝0，且方程有一根大于2，则另一根必为负数；则− =2，
a
∴两根之和为2，
∵一个根大于2，
∴另一个根必是负数，故④正确；
⑤若x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则 ．
0 b2−4ac=(2ax +b) 2
0
若x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则 bx +c＝0，
0 ax2+ 0
0
∴a2 abx +ac＝0，
x2+ 0
0
∴4a2 4abx ＝﹣4ac，
x2+ 0
0
∴4a2 4abx +b2＝b2﹣4ac，
x2+ 0
0
∴b2﹣4ac＝（2ax +b）2，故⑤正确；
0
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）关于x的方程 3x﹣1＝0是一元二次方程，则m的值为 ﹣ 2 ．
(m−2)xm2−2+
【分析】根据一元二次方程的定义，列出关于m的一元二次方程和一元一次不等式，解之即可．
【解答】解：根据题意得：
m2﹣2＝2，解得：m ＝2，m ＝﹣2，
1 2
m﹣2≠0，
解得：m≠2，
即m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
12．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+4x+2＝0有两个不等的实数根，则实数m的取值范围
是 m ＜ 3 且 m ≠ 1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到 m﹣1≠0且Δ＝16﹣4（m﹣1）×2＞0，然后求出两
个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝16﹣4（m﹣1）×2＞0，
解得：m≠1，m＜3，
所以k的范围为m＜3且m≠1．
故答案为：m＜3且m≠1．
13．（3分）若关于 x的一元二次方程 ax2+6x﹣4＝0的解为x ＝1，x ＝4，则关于y的一元二次方程
1 2
y+1
a( ) 2+3(y+1)=4的解为 y ＝ 1 ， y ＝ 7 ．
1 2
2
y+1
【分析】设t= ，则原方程可化为at2+6t﹣4＝0，根据关于x的一元二次方程ax2+6x﹣4＝0的解为
2
x ＝1，x ＝4，得到t ＝1，t ＝4，于是得到结论．
1 2 1 2
y+1
【解答】解：设t= ，
2
则原方程可化为at2+6t﹣4＝0，
∵关于x的一元二次方程ax2+6x﹣4＝0的解为x ＝1，x ＝4，
1 2
∴t ＝1，t ＝4，
1 2
y+1 y+1
∴ =1或 =4，
2 2
解得y ＝1，y ＝7．
1 2
故答案为：y ＝1，y ＝7．
1 2
14．（3分）我校八年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式（即每两班之间都比赛一场），若共进行了
45场比赛，则有 1 0 个班级篮球队参加．
【分析】设共有x个班级球队参加比赛，根据共有45场比赛列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：设共有x个班级球队参加比赛，
x(x−1)
根据题意得： =45，
2
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
即（x﹣10）（x+9）＝0，
解得：x＝10或x＝﹣9（舍去），
则共有10个班级球队参加比赛，
故答案为：10．
2024
15．（3分）已知a是方程x2﹣2024x+1＝0一个根，则a2﹣2023a+ 的值为 202 3 ．
a2+1
【分析】根据题意可得：把x＝a代入方程x2﹣2024x+1＝0中得：a2﹣2024a+1＝0，从而可得a2+1＝
1 1
2024a，a2＝2024a﹣1，a﹣2024+ =0，进而可得a+ =2024，然后代入式子中进行计算，即可解答．
a a
【解答】解：由题意得：把x＝a代入方程x2﹣2024x+1＝0中得：a2﹣2024a+1＝0，
1
∴a2+1＝2024a，a2＝2024a﹣1，a﹣2024+ =0，
a
1
∴a+ =2024，
a
2024 2024 1
∴a2﹣2023a+ =2024a﹣1﹣2023a+ =a﹣1+ =2024﹣1＝2023，
a2+1 2024a a
故答案为：2023．
16．（3分）定义：cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程．则下列四个结论：①如果x＝2
5
是x2+2x+c＝0的倒方程的解，则c=− ；②如果一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，则它的倒方程也无
4
解；③如果一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数
根．其中正确的结论是 ①② .（填序号）
【分析】根据倒方程的定义和一元二次方程根的定义对①进行判断；利用倒方程的定义和根的判别式
的意义对②进行判断；利用反例对③进行判断．
【解答】解：x2+2x+c＝0的倒方程为cx2+2x+1＝0，把x＝2代入方程cx2+2x+1＝0得4c+4+1＝0，解得c
5
=− ，所以①正确；
4
一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，则Δ＝（﹣2）2﹣4ac＜0，即ac＞1，一元二次方程ax2﹣2x+c＝0的倒方程为cx2﹣2x+a＝0的根的判别式Δ＝（﹣2）2﹣4ac＜0，则它的倒方程也无解，所以②正确；
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＞0，当c＝0，b≠0时，cx2+bx+a＝0
为一元一次方程，它的倒方程只有一个实数解，所以③错误．
故答案为：①②．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）解方程．
（1）x2﹣2❑√2x+2＝0（公式法）；
（2）2x2+3x﹣3＝0（配方法）；
（3）（y+2）2＝（2y+1）2（因式分解法）．
【分析】（1）根据公式法直接求解即可；
（2）先将二次项系数化为1，再移项，再进行配方，最后开平方即可求解；
（3）先进行移项，再利用平方差公式进行因式分解即可求解．
【解答】解：（1）x2﹣2❑√2x+2＝0，
a＝1，b=−2❑√2，c＝2，
∵ ，
b2−4ac=(−2❑√2) 2 −4×1×2=0
2❑√2±0
∴x= =❑√2，
2×1
∴ ；
x =x =❑√2
1 2
（2）2x2+3x﹣3＝0，
3 3
两边都除以2，得x2+ x− =0．
2 2
3 3
移项，得x2+ x= ．
2 2
3 3 2 3 3 2
配方，得x2+ x+( ) = +( ) ，
2 4 2 4
3 2 33
即(x+ ) = ，
4 16
3 ❑√33
开平方，得x+ =± ，
4 4
3 ❑√33 3 ❑√33
即x+ = ，x+ =− ，
4 4 4 4−3+❑√33 −3−❑√33
∴x = ，x = ．
1 4 2 4
（3）原方程可变形为（y+2）2﹣（2y+1）2＝0．
∴（y+2+2y+1）（y+2﹣2y﹣1）＝0．
∴3y+3＝0，1﹣y＝0，
∴y ＝﹣1，y ＝1．
1 2
18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m﹣2＝0（m为常数）．
（1）若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一个根；
（2）求证：不论m为何值时，方程总有两个实数根．
【分析】（1）把x＝1代入方程可求得m的值，再解方程可求得另一根；
（2）由方程根的情况可得到关于m的不等式，即可证明．
【解答】解：（1）把x＝1代入方程可得1﹣（m+1）+2m﹣2＝0，
解得m＝2，
当m＝2时，原方程为x2﹣3x+2＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
解得x ＝1，x ＝2，
1 2
即方程的另一根为2；
（2）∵a＝1，b＝﹣（m+1），c＝2m﹣2，
∴Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×1×（2m﹣2）
＝m2﹣6m+9
＝（m﹣3）2≥0，
∴不论m为何值时，方程总有两个实数根．
19．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以
2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、
Q两点同时停止运动，设运动时间为t s．
（1）BP＝ （ 1 2 ﹣ 2 t ） cm；BQ＝ 4 t cm；（用t的代数式表示）
（2）D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？【分析】（1）根据速度×时间＝路程列出代数式即可；
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，利用三角形中位线定理求得DH的长度；然后根据题意和三角形
的面积列出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）根据题意得：AP＝2t cm，BQ＝4t cm，
所以BP＝（12﹣2t）cm，
故答案为：（12﹣2t）；4t；
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，
∵∠B＝90°，即AB⊥BC．
∴AB∥DH．
又∵D是AC的中点，
1
∴BH= BC＝12cm，DH是△ABC的中位线．
2
1
∴DH= AB＝6cm．
2
1 1 1 1
根据题意，得 ×12×24− ×4t×（12﹣2t）− ×（24﹣4t）×6− ×2t×12＝40，
2 2 2 2
整理，得t2﹣6t+8＝0．
解得：t ＝2，t ＝4，
1 2
即当t＝2或4时，△PBQ的面积是40cm2．
20．（8分）请阅读下面材料，并解答问题：
阅读材料：利用多项式乘法法则可知（x+a）（x+b）＝x2+bx+ax+ab＝x2+（a+b）x+ab，所以因式分解x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．
例如：x2+7x+12＝x2+（3+4）x+3×4＝（x+3）（x+4）．
利用以上的因式分解可以求出方程x2+7x+12＝0的解，如：x2+7x+12＝（x+3）（x+4）＝0，所以可知
x+3＝0或者x+4＝0，解得x＝﹣3或者x＝﹣4，所以方程x2+7x+12＝0的解是x＝﹣3或者x＝﹣4．
（1）因式分解：
①x2+5x+6．
②x2﹣7x+12．
（2）利用因式分解求方程x2﹣8x﹣65＝0的解．
【分析】（1）仿照题中分解因式的方法进行因式分解即可；
（2）利用因式分解求解即可．
【解答】解：（1）①x2+5x+6
＝x2+（2+3）x+2×3
＝（x+2）（x+3）；
②x2﹣7x+12
＝x2+（﹣3﹣4）x+（﹣3）×（﹣4）
＝（x﹣3）（x﹣4）；
（2）x2﹣8x﹣65＝0，
（x﹣13）（x+5）＝0，
∴x﹣13＝0或x+5＝0，
∴x ＝13，x ＝﹣5．
1 2
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+4x+a＝1．
（1）当a＝5时，试判断此方程根的情况．
（2）若x ，x 是该方程不相等的两实数根，且（ 4x ﹣2）（ 4x +2）＝45，求a的值．
1 2 x2+ 1 x2+ 2
1 2
（3）若a为正整数，并且该方程的两实数根都为整数，求a的值．
【分析】（1）当a＝5时，x2+4x+4＝0，求出Δ＝42﹣4×4＝0，得此方程有两个相等的实数根；
（2）根据x ，x 是方程x2+4x+a＝1不相等的两实数根，得 4x ﹣2＝﹣a﹣1， 4x +2＝﹣a+3，故
1 2 x2+ 1 x2+ 2
1 2
（﹣a﹣1）（﹣a+3）＝45，解关于a的方程并检验可得答案；
（3）由x2+4x+a＝1得x＝﹣2±❑√5−a，根据方程的两实数根都为整数，a为正整数，可得a的值为1或
4．【解答】解：（1）当a＝5时，x2+4x+5＝1，即x2+4x+4＝0，
∴Δ＝42﹣4×4＝0，
∴此方程有两个相等的实数根；
（2）∵x ，x 是方程x2+4x+a＝1不相等的两实数根，
1 2
∴ 4x +a＝1， 4x +a＝1，
x2+ 1 x2+ 2
1 2
∴ 4x ﹣2＝﹣a﹣1， 4x +2＝﹣a+3，
x2+ 1 x2+ 2
1 2
∵（ 4x ﹣2）（ 4x +2）＝45，
x2+ 1 x2+ 2
1 2
∴（﹣a﹣1）（﹣a+3）＝45，
解得：a＝8或a＝﹣6，
当a＝8时，x2+4x+8＝1无实数根，故a＝8舍去；
当a＝﹣6时，x2+4x﹣6＝1符合题意，
∴a的值为﹣6；
（3）由x2+4x+a＝1得x＝﹣2±❑√5−a，
∵方程的两实数根都为整数，
∴❑√5−a为整数，
∵a为正整数，
∴a＝1或a＝4，
∴a的值为1或4．
22．（8分）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案 T恤衫．已
知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当
销售价每降低1元时，每天就能多售出2件，
（1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？
（2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？
（3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；
利润
若不能，请说明理由．（利润率= ×100%）
成本
【分析】（1）依据题意，列出每天销售T恤衫的利润计算即可得解；
（2）依据题意，设此时每件T恤衫降价x元，从而每天销售T恤衫的利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）
＝1050，进而计算后再由优惠最大，即可判断得解；（3）依据题意得，当降价x元时，利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1200，求出x的值，再由每件T
恤衫的利润率不低于55%，可得100﹣x﹣60≥60×55%，得出x的范围后即可判断得解．
【解答】解：（1）由题意，每天销售T恤衫的利润为：（100﹣8﹣60）（20+2×8）＝1152（元）．
答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元．
（2）由题意，设此时每件T恤衫降价x元，
∴每天销售T恤衫的利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1050．
∴x＝5或x＝25．
又∵优惠最大，
∴x＝25．
∴此时售价为100﹣25＝75（元）．
答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元．
（3）小明每天能获得1200元的利润，理由如下：
根据题意得，当降价x元时，利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1200，
∴x2﹣30x+200＝0．
∴x ＝10，x ＝20．
1 2
∵每件T恤衫的利润率不低于55%，
∴100﹣x﹣60≥60×55%．
∴x≤13．
∴x＝10，符合题意，此时的定价为100﹣13＝87（元）．
∴定价为87元时，小明每天能获得1200元的利润．
23．（10分）阅读材料：
材料1：法国数学家弗朗索瓦•韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的
关系，提出一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac≥0）的两根x ，x 有如下的关系（韦达定理）：
1 2
b c
x +x =− ，x •x = ；
1 2 1 2
a a
材料2：如果实数m、n满足m2﹣m﹣1＝0、n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则可利用根的定义构造一元二次方
程x2﹣x﹣1＝0，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题．
请根据上述材料解决下面问题：
（1）若实数a，b满足：a2+3a﹣5＝0，b2+3b﹣5＝0（a≠b）则a+b＝ ﹣ 3 ，ab＝ ﹣ 5 ；
（2）若x ，x 是方程x2﹣6x+k+3＝0两个不等实数根，且满足5|x |＝x +6，求k的值；
1 2 1 21 1
（3）已知实数 m、n、t 满足：m2﹣4m＝7+t， n2−n= （7+t），且 m＜0＜n，求（n2+1）
4 4
（4m+8+t）的取值范围．
【分析】（1）根据题意，得到实数a，b是方程x2+3x﹣5＝0的两个根，根据根与系数的关系进行求解
即可；
（2）根据根与系数的关系，得到x +x ＝6，进而得到x ＝6﹣x ，代入5|x |＝x +6，求出x ，x 的值，再
1 2 2 1 1 2 1 2
根据根与系数的关系，进行求解即可；
（3）构造一元二次方程x2﹣4x＝7+t，得到m，n是它的两个实数根，得到m+n＝4，mn＝﹣7﹣t，将
（n2+1）（4m+8+t）进行配方，求解即可．
【解答】解：（1）由题意，得a，b是方程x2+3x﹣5＝0的两个根，
∴a+b＝﹣3，ab＝﹣5；
故答案为：﹣3，﹣5；
（2）由题意，得：x +x ＝6，x x ＝k+3，
1 2 1 2
∴x ＝6﹣x ，
2 1
∴5|x |＝x +6＝12﹣x ，
1 2 1
当x ＜0时，﹣5x ＝12﹣x ，解得：x ＝﹣3，
1 1 1 1
∴x ＝6﹣x ＝9，
2 1
∴k+3＝﹣3×9＝﹣27，
∴k＝﹣30；
当x ≥0时，5x ＝12﹣x ，解得：x ＝2，
1 1 1 1
∴x ＝6﹣2＝4，
2
∴k+3＝2×4＝8，
∴k＝5；
综上：k＝﹣30或k＝5；
1 1
（3）∵ n2−n= (7+t)，
4 4
∴n2﹣4n＝7+t，
又∵m2﹣4m＝7+t，
∴m，n是一元二次方程x2﹣4x＝7+t的两个实数根，4m＝m2﹣7﹣t，
∴m+n＝4，mn＝﹣7﹣t，
∴（n2+1）（4m+8+t）＝（n2+1）（m2﹣7﹣t+8+t）＝（n2+1）（m2+1）
＝m2n2+（m2+n2）+1
＝m2n2+（m+n）2﹣2mn+1
＝（﹣7﹣t）2+16﹣2（﹣7﹣t）+1
＝（7+t）2+2（7+t）+17
＝（7+t+1）2+16；
∵m＜0＜n，
∴mn＝﹣7﹣t＜0，
∴7+t＞0，∴（7+t+1）2+16＞（0+1）2+16＝17；
∴（n2+1）（4m+8+t）＞17．
