文档内容
第 24 章 圆全章培优测试卷
【人教版】
（考试时间：60分钟 试卷满分：100分）
考前须知：
1．本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟。
2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，压轴题均有★标记。
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，以C为圆心，BC为半径作 C，则点A与
C的位置关系是（ ） ⊙
⊙A．点A在 C内 B．点A在 C上 C．点A在 C外 D．无法确定
【分析】利⊙用勾股定理求得BC边⊙的长，然后通过比较A⊙C与半径BC的长即可得到结论．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，
∴BC=❑√AB2−AC2=8，
∵AC＝6＜BC，
∴点A在 C内，
故选：A．⊙
2．（3分）下列语句中正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；
④半圆是弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对①进行判断；根据垂径定理的推论对②进行判断；根据对称轴
为直线对③进行判断；根据半圆的定义对④进行判断．
【解答】解：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以①不正确；
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以②不正确；
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以③不正确；半圆是弧，所以④正确．
故选：A．
3．（3分）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出
圆的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据不在同一直线上的三点确定一个圆即可得到结论．
【解答】解：根据经过不在同一直线上的三点确定一个圆得，经过其中任意三个点，最多可画出圆的个
数为6个，
故选：D．
4．（3分）如图，半径为 5的 A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，
∠BAC+∠EAD＝180°，则弦B⊙C的长等于（ ）
A．8 B．10 C．11 D．12
【分析】作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE＝∠BAF，然后再根据同圆中，相等
的圆心角所对的弦相等得到DE＝BF＝6，再利用勾股定理，继而求得答案．
【解答】解：作直径CF，连接BF，如图，
则∠FBC＝90°，
∵∠BAC+∠EAD＝180°，
而∠BAC+∠BAF＝180°，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴^DE=^BF，
∴DE＝BF＝6，
∴BC=❑√CF2−BF2=8．
解法二：如图，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥DE于N．∵AM⊥BC，AN⊥DE，
∴CM＝MB，DN＝NE＝3，
∵AC＝AB＝AD＝AE，
∴∠BAC＝2∠MAC，∠EAD＝2∠DAN，
∵∠BAC+∠EAD＝180°，
∴2∠CAM+2∠DAN＝180°，
∴∠CAM+∠DAN＝90°，
∵∠ACM+∠CAM＝90°，
∴∠ACM＝∠DAN，
∵∠AMC＝∠AND＝90°，
∴△AMC≌△DNA（AAS），
∴AM＝DN＝3，
∴CM=❑√AC2−AM2=❑√52−32=4，
∴BC＝2CM＝8．
故选：A．
5．（3分）如图，四边形ABCD内接于 O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝
6，CE＝4，则AE的长为（ ） ⊙A．2 B．3 C．2❑√3 D．2❑√5
⌢ ⌢
【分析】连接 AC，根据圆内接四边形对角互补得到∠ABE＝∠ADC，根据 AD=AD 得到∠ABD＝
∠ACD结合角平分线得到∠ABE＝∠ABD，即可得到：∠ADC＝∠ACD，从而得到AC＝AD，结合勾股
定理即可得到答案；
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD内接于 O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°⊙，
∵∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠ABE＝∠ADC，
⌢ ⌢
∵ AD=AD ，
∴∠ABD＝∠ACD，
∵BA平分∠DBE，
∴∠ABE＝∠ABD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴AC＝AD，
∵AE⊥CB，AD＝6，CE＝4，
∴AC＝6
∴AE=❑√AC2−CE2=2❑√5，故选：D．
6．（3分） O半径为5，弦AB∥CD，AB＝6，CD＝8，则AB与CD间的距离为（ ）
A．1 ⊙ B．7 C．1或7 D．3或4
【分析】过O点作OE⊥AB，E为垂足，交CD与F，连OA，OC，由AB∥CD，得到OF⊥CD，根据垂
径定理得AE＝3，CF＝4，再在Rt△OAE中和在Rt△OCF中分别利用勾股定理求出OE，OF，然后讨
论：当圆O点在AB、CD之间，AB与CD之间的距离＝OE+OF；当圆O点不在AB、CD之间，AB与
CD之间的距离＝OE﹣OF．
【解答】解：过O点作OE⊥AB，E为垂足，交CD与F，连OA，OC，如图，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∴AE＝BE，CF＝DF，
而AB＝6，CD＝8，
∴AE＝3，CF＝4，
在Rt△OAE中，OA＝5，OE=❑√OA2−AE2=❑√52−32=4；
在Rt△OCF中，OC＝5，OF=❑√OC2−CF2=❑√52−42=3；
当圆O点在AB、CD之间，AB与CD之间的距离＝OE+OF＝7；
当圆O点不在AB、CD之间，AB与CD之间的距离＝OE﹣OF＝1；
所以AB与CD之间的距离为7或1．
故选：C．
7．（3分）如图，AB是 O的直径，点C，D，E在 O上，若∠ACE＝20°，则∠BDE的度数为（ ）
⊙ ⊙A．90° B．100° C．110° D．120°
【分析】连接AD，根据圆周角定理及其推论，可分别求出∠ADB＝90°，∠ADE＝∠ACE＝20°，即可求
∠BDE的度数．
【解答】解：连接AD，
∵AB为 O的直径，
∴∠ADB⊙＝90°，
∵∠ACE＝20°，
∴∠ADE＝∠ACE＝20°，
∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝110°，
故选：C．
8．（3分）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若 O的半径为5，则弧
CD的长为（ ） ⊙ ⊙
13 10 1
A． B． C． D．
3 9 2
π π π π
【分析】根据圆周角的性质，计算出弧DC所对的圆心角度数，按照公式求出弧长即可．
【解答】解：如图，连接OA、OD、OC，
∵∠B＝58°，∠ACD＝40°．∴∠AOC＝2∠B＝116°，∠AOD＝2∠ACD＝80°，
∴∠DOC＝36°，
36π×5
∴弧CD的长为 = ．
180
π
故选：C．
9．（3分）如图，△ABC的内切圆 O与AB、BC、AC相切于点D、E、F，已知AB＝4，AC＝3，BC＝
5，则DE的长是（ ） ⊙
❑√10 2❑√10 3❑√10 4❑√10
A． B． C． D．
5 5 5 5
【分析】连接AO，BO，CO，DO，EO，FO．根据题意可知OE＝OD＝OF，且OE⊥BC，OF⊥AC，
OD⊥AB，再根据S△ABC ＝S△ABO +S△BCO +S△ACO ＝6求出OE，接下来设BE＝x，根据切线长定理得出CE
＝CF，AD＝AF，BD＝BE，求出BE，再根据勾股定理求出BO，结合DO＝EO，BD＝BE可知BO是
1 1
DE的垂直平分线，然后根据S = BE⋅EO= BO⋅EG求出EG，进而得出答案．
△BEO 2 2
【解答】解：连接AO，BO，CO，DO，EO，FO．
根据题意可知OE＝OD＝OF，且OE⊥BC，OF⊥AC，OD⊥AB，
∵AB＝4，AC＝3，BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2
∴△ABC是直角三角形
1
∴S =3×4× =6，
△ABC 2
1 1 1
∴S =S +S +S = OE⋅BC+ OF⋅AC+ OD⋅AB=6，
△ABC △ABO △BCO △ACO 2 2 21
即 OE(BC+AC+AB)=6，
2
解得OE＝12÷（3+4+5）＝1．
设BE＝x，
则BD＝BE＝x，CE＝CF＝5﹣x，AD＝AF＝4﹣x，得5﹣x+4﹣x＝3，
﹣x﹣x＝3﹣5﹣4，
﹣2x＝﹣6，
x＝3，
∴BE＝3．
在Rt△B O E中，BO=❑√BE2+EO2=❑√32+12=❑√10，
∵DO＝EO，BD＝BE，
∴BO是DE的垂直平分线，
∴DG＝EG．
1 1
∵S = BE⋅EO= BO⋅EG，
△BEO 2 2
1 1
即 ×3×1= ×❑√10×EG，
2 2
3 3❑√10
解得EG= = ，
❑√10 10
3❑√10
∴DE=2EG= ．
5
故选：C．
10．（3分）如图， O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为C^BD的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于
M，过 F 作 FH⊥⊙AC，垂足为 G，以下结论：①C^F=^DF；② HC＝BF：③ MF＝FC：④
^DF+^AH=^BF+^AF，其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可．【解答】解：∵F为C^BD的中点，
∴C^F=^DF，故①正确，
∴∠FCM＝∠FAC，
∵∠ACF＝∠ACM+∠MCF，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC，
∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，
∴FC＞FM，故③错误，
∵AB⊥CD，FH⊥AC，
∴∠AEM＝∠CGF＝90°，
∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，
∴∠CFH＝∠BAF，
∴C^H=^BF，
∴HC＝BF，故②正确，
∵∠AGF＝90°，
∴∠CAF+∠AFH＝90°，
∴^AH的度数+C^F的度数＝180°，
∴C^H的度数+^AF的度数＝180°，
∴^AH+C^F=^AH+^DF=C^H+^AF=^AF+^BF，故④正确，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 r＝2cm，
则该圆锥的母线长l为6cm，扇形的圆心角 ＝ 12 0 °．
θ【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥
θ×π×6
的母线长和弧长公式得到 = 2 •2，然后解关于 的方程即可．
180
π θ
θ×π×6
【解答】解：根据题意得 = 2 •2，
180
π
解得 ＝120．
故答案θ为120．
12．（3分）“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不
知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁
里，不知木材大小，将它锯下来测得深度CD为1寸，锯长AB为10寸，则圆材的半径为 1 3 寸．
【分析】设圆材的圆心为O，延长CD，交 O于点E，连接OA，由题意知CE过点O，且OC⊥AB，
AD＝BD＝5，设圆形木材半径为r，可知O⊙D＝（r﹣1）寸，OA＝r寸，根据OA2＝OD2+AD2列方程求
解可得．
【解答】解：设圆材的圆心为O，延长CD，交 O于点E，连接OA，如图所示：
由题意知：CE过点O，且OC⊥AB， ⊙
则AD＝BD＝AB＝5，
设圆形木材半径为r寸，
则OD＝（r﹣1）寸，OA＝r寸，
∵OA2＝OD2+AD2，
∴r2＝（r﹣1）2+52，
解得：r＝13，∴ O的半径为13寸，
故⊙答案为：13．
13．（3分）如图，四边形ABCD是 O的外切四边形，且AB＝8，CD＝15，则四边形ABCD的周长为
46 ． ⊙
【分析】根据切线长定理得到AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，得到AD+BC＝AB+CD＝23，
根据四边形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是 O的外切四边形，如图，
⊙
∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，
∴AD+BC＝AB+CD＝23，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝23+23＝46，
故答案为：46．
14．（3分）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BD，EC交于点G，已知半径为❑√3，则EG的长为
2 ．【分析】连接BO、GO，则三角形EOG为直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，连接BE、GO，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
(6−2)×180°
∴BE经过O点，且O是BE的中点，∠EDC= =120°，∠EOG＝90°，
6
∵DE＝EC，
∴∠DEC＝30°，
∵BC＝CD，
∴C^D=^BC，
∴∠GEO＝∠DEC＝30°，
1
∴OG= EG，
2
1
由勾股定理得：OG2+OE2＝EG2，即（ EG）2+（❑√3）2＝EG2，
2
解得：EG＝2．
故答案为：2．
15．（3分）如图，△ABC内接于 O，AB为 O的直径，I为△ABC的内心，连接 OI，AI，BI．若
OI⊥BI，OI＝1，则AB的长为 ⊙ 2❑√5 ． ⊙【分析】延长BI交 O于M点，连接MA，通过中位线定理可求出AM的长，再通过角的关系可求得
∠MIA＝45°，进而求⊙证直角三角形MAI为等腰直角三角形，求得MI的长，MB的长，利用勾股定理求
出AB的长．
【解答】解：延长BI交 O于M点，连接MA，
⊙
在△ABM中斜边AB经过圆心O，
∴∠AMB＝90°，
又∵BI⊥OI，AO＝OB，
∴OI为△AMB的中位线，
∴AM＝2OI＝2，
在Rt△ABC中，I为三个角平分线的交点
∴∠IAB+∠IBA＝45°，
即∠MIA＝45°（三角形外角与内角的关系），
∴Rt△MAI为等腰直角三角形，
∴MA＝MI＝IB＝2，
根据勾股定理可得，
AB2＝MA2+MB2＝22+42＝20，
即AB＝2❑√5，
故答案为：2❑√5．
16．（3分）如图，在半圆O中，C是半圆上的一个点，将^AC沿弦AC折叠交直径AB于点D，点E是^AD
的中点，连接OE，若OE的最小值为❑√6−❑√3，则AB＝ 2❑√3 ．【分析】连接CE，OC，由三角形任意两边之差小于第三边得，当O、C、E共线时OE最小，设^AC的
弧度为 x°，求出C^E的弧度为 90°，设 AB＝2r，利用勾股定理求出 CE，即可得出 OE＝CE﹣OC
=❑√2r−r=❑√6−❑√3，解得2r＝2❑√3．
【解答】解：连接CE，OC，
由三角形任意两边之差小于第三边得，当O、C、E共线时OE最小，
设^AC的弧度为x°，
∴^BC的弧度为：（180﹣x）°，
∵∠CAD＝∠CAB，
∴C^D的弧度为：（180﹣x）°，
由折叠得，C^DA的弧度为x°，
∴^AD的弧度为：x°﹣（180﹣x）°＝（2x﹣180）°，
∵点E为弧AD中点，
∴^DE的弧度为：（2x﹣180）°＝（x﹣90）°，
∴C^E的弧度为：（180﹣x）°+（x﹣90）°＝90°，
即C^E所对圆心角为90°，
设AB＝2r，
∴ O半径为r，
⊙
∴CE=❑√r2+r2=❑√2r，
∴OE＝CE﹣OC=❑√2r−r=❑√6−❑√3，
∴r=❑√3，
∴AB＝2r＝2❑√3．
故答案为：2❑√3．三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）如图，已知AB是 O的直径，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M、N，且AM＝BN．求证：
^AD=^BC． ⊙
【分析】证明Rt△COM≌Rt△DON（HL），推出∠COM＝∠DON，可得结论．
【解答】证明：∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠CMO＝∠DNO＝90°，
∵OA＝OB，AM＝BN，
∴OM＝ON，
在Rt△COM和Rt△DON中，
{OC=OD)
，
OM=ON
∴Rt△COM≌Rt△DON（HL），
∴∠COM＝∠DON，
∴^AC=^BD，
∴^AD=^BC．
18．（6分）已知P为 O外一点，用直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说
⊙明）
（1）如图①，在 O上求作一个点M，使∠PMO＝90°；
（2）如图②，在⊙O上求作一个点N，使∠PNO＝60°．
【分析】（1）连接⊙OP，以OP为直径作 T交 O于点M，连接PM，OM，点M即为所求；
（2）作等边三角形OPQ，作△OPQ的外⊙接圆交⊙ O于点N，连接PN，ON，点N即为所求．
【解答】解：（1）如图①中，点M即为所求；⊙
（2）如图②中，点N即为所求．
19．（6分）如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，过点A作AE⊥CD的延长线于点
E，已知DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是 O切线；
（2）若AE＝4，C⊙D＝6，求 O的半径和AD的长．
⊙【分析】（1）连接OA，根据已知条件证明OA⊥AE即可解决问题；
（2）取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得OF⊥CD，所以四边形AEFO是矩形，利用勾股定理
即可求出结果．
【解答】（1）证明：如图，连接OA，
∵AE⊥CD，
∴∠DAE+∠ADE＝90°．
∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE＝∠ADO，
又∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∴∠DAE+∠OAD＝90°，
∴OA⊥AE，
∴AE是 O切线；
⊙
（2）解：如图，取CD中点F，连接OF，
∴OF⊥CD于点F．
∴四边形AEFO是矩形，
∵CD＝6，
∴DF＝FC＝3．
在Rt△OFD中，OF＝AE＝4，∴OD=❑√OF2+DF2=❑√42+32=5，
在Rt△AED中，AE＝4，ED＝EF﹣DF＝OA﹣DF＝OD﹣DF＝5﹣3＝2，
∴AD=❑√42+22=❑√20=2❑√5，
∴AD的长是2❑√5．
20．（8分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长
为半径作 B，交BD于点E．
（1）试判⊙断CD与 B的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝2❑√3，⊙∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）过点B作BF⊥CD，证明△ABD≌△FBD，得到BF＝BA，即可证明CD与圆B相切；
（2）先证明△BCD是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD＝30°，求出AD，再利用S△ABD ﹣S扇形ABE
求出阴影部分面积．
【解答】解：（1）过点B作BF⊥CD，垂足为F，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴∠ADB＝∠CDB．
在△ABD和△FBD中，
{∠ADB=∠FDB
)
∠BAD=∠BFD ，
BD=BD
∴△ABD≌△FBD（AAS），
∴BF＝BA，则点F在圆B上，
∴CD与 B相切；
⊙（2）∵∠BCD＝60°，CB＝CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD＝60°
∵BF⊥CD，
∴∠ABD＝∠DBF＝∠CBF＝30°，
∴∠ABF＝60°，
∵AB＝BF=2❑√3，
∴AD＝DF＝AB•tan30°＝2，
∴阴影部分的面积＝S△ABD ﹣S扇形ABE
1 30×π×(2❑√3) 2
= ×2❑√3×2−
2 360
=2❑√3−π．
21．（8分）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦．
（1）如图1，AB，AC是 O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．求证：四边形ADOE
是正方形； ⊙
（2）如图2，AB是 O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分别交 O于D，C两点，连接CD．求证：
AB，CD是 O的等垂⊙弦． ⊙
⊙
【分析】（1）根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形ADOE是矩形，根据垂径定理得出OD＝OE，
即可判定矩形ADOE是正方形；1
（2）连接AC，由圆心角、弦的关系可得AB＝CD，由圆周角定理可得∠BAC= ∠BOC＝45°，∠ACD
2
1
= ∠AOD＝45°，可证AB⊥CD，可得结论．
2
【解答】（1）证明：∵AB，AC是 O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠A＝∠ADO＝∠AEO＝90°， ⊙
∴四边形ADOE是矩形，
∵AB，AC是 O的等垂弦，
∴AB＝AC，⊙
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
1 1
∴AE= AC，AD= AC，
2 2
∴AE＝AD，
∴矩形ADOE是正方形．
（2）证明：设AB交CD于点E，连接AC，
∵OD⊥OA，OC⊥OB，
∴∠AOD＝∠BOC＝90°，
∴∠AOB＝∠COD，
∴AB＝CD，
1 1
∵∠BAC= ∠BOC＝45°，∠ACD= ∠AOD＝45°，
2 2
∴∠BEC＝∠ACD+∠BAC＝90°，
∴AB⊥CD，
∵AB＝CD，AB⊥CD，
∴AB，CD是 O的等垂弦．
22．（8分）已知⊙△ABC内接于 O．
⊙（1）若∠BAC＝45°，BC=2❑√2，求 O的半径；
（2）若BD、CE分别是△ABC的高，⊙∠BAC＝60°，BC=8❑√3．
①求证：B、C、D、E四点在同一个圆上；
②求DE的长．
【分析】（1）连接OB，OC，易得∠BOC＝90°，利用勾股定理列式求出OB即可；
（2）①取BC中点M，连接ME、MD，易得∠BEC＝90°，∠BDC＝90°，则由直角三角形斜边上中线
的性质可得MB＝ME＝MD＝MC，即点E、D、B、C在以BC为直径的圆上，问题得证；②证明
△EMD是等边三角形即可．
【解答】（1）解：如图，连接OB，OC，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∴OB2+OC2＝BC2，
∵OB＝OC，
∴2OB2＝8，
∴OB＝2或OB＝﹣2（舍去），即 O的半径为2；
⊙
（2）①解：如图，取BC中点M，连接ME、MD，
∵BD、CE分别是△ABC的高，∴∠BEC＝90°，∠BDC＝90°，
∴MB＝ME＝MC，MB＝MD＝MC，
∴MB＝ME＝MD＝MC，
∴B、C、D、E四点在以M为圆心BC为直径的同一个圆上；
②证明：∵∠BAC＝60°，∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝30°，
由①知BC为B、C、D、E所在圆的直径，M为圆心，
∴∠EMD＝2∠EBD＝60°，
∵ME＝MD，
∴△EMD是等边三角形，
1
∴ED=EM=BM= BC=4❑√3．
2
23．（10分）如图①，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠D＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝m．过A，B，C
三点的 O的圆心位置和半径，随着m的变化而变化．解决下列问题：
⊙
【特殊情形】
（1）如图②，当m＝0时，圆心O在AD上，求 O的半径．
【一般情形】 ⊙
（2）（Ⅰ）当m＝2时，求 O的半径；
（Ⅱ）当m＞0时，随着m的⊙增大，点O的运动路径是 ① ．（填写序号）
①射线
②弧
③双曲线的一部分
④不规则的曲线
【深入研究】（3）如图③，连接AC，以O为圆心，作出与CD边相切的圆，记为小 O．当小 O与AC相交且与
BC相离时，直接写出m的取值范围． ⊙ ⊙
【分析】（1）根据垂径定理以及勾股定理直接求解即可；
（2）（Ⅰ）构造矩形，根据矩形的性质以及勾股定理求解即可；
（Ⅱ）参考（Ⅰ）的方法，得出O到直线OC的距离与m的关系，然后根据O到直线AD的距离随m线
性变化，得出两个距离的函数表达式，类比平面直角坐标系中坐标的几何意义，从而得出O的轨迹形
状；
（3）参考（2）的方法，求出小圆的半径，以及圆心到AC，BC的距离，根据圆与直线位置关系，列出
不等式求解即可．
【解答】（1）解：连接OC，在 O中，设OA＝OC＝r，则OD＝8﹣r．
在Rt△OCD中，∠D＝90° ⊙
∴OD2+CD2＝OC2，即（8﹣r）2+62＝r2．
25
解得r= ．
4
（2）（Ⅰ）解：过点O分别作OF⊥AB，OE⊥CD，连接OC，OB，
∵OF过圆心，OF⊥AB，
∴AF＝BF＝1．
∵∠A＝∠D＝∠OFA＝90°，
∴四边形AFED是矩形．
∴AF＝DE＝1．
∴CE＝CD﹣DE＝5．
设OE＝x，则OF＝8﹣x，
在Rt△COE中 OE2+CE2＝OC2，
在Rt△BOF中 OF2+BF2＝OB2，
∴OE2+CE2＝OF2+BF2，即x2+52＝（8﹣x）2+12．5
解得x=
2
125 5
∴OC2＝OE2+CE2= ，即r＝OC= ❑√5．
4 2
（Ⅱ）过点O分别作OF⊥AB，OE⊥CD，连接OC，OB，如图：
1
由（Ⅰ）知：BF＝AF＝DE= m，EF＝AD＝8，
2
1
∴CE＝CD﹣DE＝6− m，
2
设OE＝x，则OF＝8﹣x，
∵OC＝OB，
∴OE2+CE2＝OF2+BF2，
1 1
即x2+（6− m）2＝（8﹣x）2+ m2，
2 4
14+3m
整理得：x= ，
8
1
∵m＞0，O到AD的距离＝DE= m，
2
类比平面直角坐标系内x，y的几何意义，
∴O的轨迹是一条射线，
故答案为：①；
（3）过O作EF⊥CD，交CD于E，交AB于F，过O作OM⊥AC于M，作ON⊥BC于N，连接OC，
OB，过B作BG⊥CD于G，如图：14+3m
由（Ⅱ）知，OE= ，
8
25
∴OC2＝CE2+OE2= （m2﹣4m+20），
64
∵AD＝8，CD＝6，
∴AC＝10，
1
∴CM= AC＝5，
2
25 25
∴OM2＝OC2﹣CM2= （m2﹣4m+20）﹣25= （m2﹣4m﹣44），
64 64
∵BG⊥CD，AD⊥CD，DG∥AB，
∴四边形ABGD是矩形，
∴DG＝AB＝m，BG＝AD＝8，
∴CG＝6﹣m，
∴BC2＝CG2+BG2＝m2﹣12m+100，
1 1
∴CN2＝（ BC）2= （m2﹣12m+100），
2 4
1
∴ON2＝OC2﹣CN2= （9m2+92m﹣900），
64
∵小 O与AC相交且与BC相离，
∴OM⊙＜OE＜ON，
∴OM2＜OE2＜ON2，
25 14+3m 1
即 （m2﹣4m﹣44）＜（ ）2＜ （9m2+92m﹣900），
64 8 64
解得：2＜m．
