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专题7.11 平面直角坐标系（全章分层练习）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23·24八年级上·陕西西安·阶段练习）在校运会开幕式彩旗方队中，小兰的位置不管是列还是行
都在正中间，用数对表示为 ．则彩旗方队一共有（ ）人．
A． B． C． D．
2．（23·24八年级上·江苏泰州·期中）在平面内有A、B两点， 以相同的单位长度建立不同的直角坐
标系，若以点A 为坐标原点， 点 B 的坐标为（a， b）； 若以点B为坐标原点， 则点A的坐标为
（ ）
A． B． C． D．
3．（22·23八年级上·浙江杭州·期末）已知 ， 是平面直角坐标系上的两个点，
轴，且点B在点A的右侧．若 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．（23·24八年级上·广西梧州·阶段练习）下列点的坐标在 轴上的是（ ）
A． B． C． D．
5．（21·22八年级上·陕西咸阳·期中）若点 在第四象限，且 ，则 与 之间的数量关系
是（ ）
A． B． C． D．
6．（22·23八年级下·河北唐山·期中）将 各顶点的横、纵坐标乘 得到 下列说法正确的
是（ ）
A． B．两个三角形关于 轴对称
C．两个三角形的形状改变，大小也改变 D．各对应顶点的连线相交于一点
7．（2023九年级·全国·专题练习）如图，坐标平面上直线L的方程式为 ，直线M的方程式为，P点的坐标为（a，b）．根据图中P点位置判断，下列关系何者正确（ ）
A． B．
C． D．
8．（22·23七年级下·北京海淀·阶段练习）已知 ，点P的坐标为 ，点Q的坐标
为 ，O为坐标原点，则 满足（ ）
A．大于135小于180° B．等于135°
C．大于90°小于135° D．大于0°小于90°
9．（22·23七年级下·福建莆田·期中）若点 为线段 上一点，现将线段 连同点P一起向左
平移3个单位，再向下平移2个单位，则平移后点P的坐标为（ ）．
A． B．
C． D．
10．（22·23七年级下·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段 轴，且 ，
，把线段 向右平移4个单位长度得到线段 ，连接 ， ，已知小蚂蚁从 点开始出发
以每秒1个单位长度的速度沿 的方向匀速循环爬行，2022秒后小蚂蚁所在位置的点的坐
标是（ ）A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（22·23七年级下·河北石家庄·期中）春节期间，嘉嘉和淇淇去电影院观看电影《流浪地球2》，
如果嘉嘉的座位15排8号可以用 表示，则淇淇的 表示 ．
12．（22·23七年级下·全国·课时练习）点 （a≥0）所在的象限是 ．
13．（23·24九年级上·福建南平·期中）若 与 两个点的连线与 轴平行，则 的值为
．
14．（20·21七年级下·福建福州·期中）如图， 轴于点E， 轴于点F，若 ，
则点A的坐标是 ．
15．（22·23七年级下·山东滨州·期末）若点 在x轴上，点 在y轴上，则
的平方根是 ．
16．（20·21七年级下·广东中山·期中）已知某正实数的平方根分别是 和 ，则以这两个平方
根为横、纵坐标的点 到 轴的距离为 ．
17．（22·23七年级下·辽宁大连·期中）如图，货轮 正驶向此刻与它相距 海里的港口 ，如要将港
口 相对于货轮 的位置表示为 北偏东 ， ，那么货轮 相对于港口 的位置可表示为 ．18．（21·22七年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图1是一个斜角坐标系，水平放置的轴称为横轴
（记作 轴），斜向放置的轴称为斜轴（记作 轴）．类似于直角坐标系，对于斜角坐标平面内的任意一
点 ，过点 分别作 轴、 轴的平行线交 轴、 轴于点 、 ，若点 、 分别在 轴、 轴上所对
应的实数为 与 ，则称有序实数对 为点 的坐标．如图2，三角形 中， ， ，如
果平移三角形 得到三角形 ，使点 与点 重合，在三角形 内部，有一任意点 ，则
平移后点 的对应点 坐标为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（21·22七年级下·陕西安康·期末）已知点 ．
（1）点A与点 的连线与 轴平行，求点A的坐标．
（2）若 的平方根是 ，试判断点A所在的象限，并说明理由．20．（8分）（21·22七年级下·福建莆田·期中）如图，点A、B在x轴上，点C在y轴上，点D在线段
BC上，且∠ODB＝∠ACB，E是AC上的一点，且E（-3，a），F（-3，0），若∠1＝120°，求∠2的度数
21．（10分）（22·23七年级下·广东·期末）如图，平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，
与 轴交于点 ，点 坐标为 ．
（1）当点 在 轴上时，求 的面积；
（2）当点 在第一象限时，用含 的式子表示 的面积．22．（10分）（21·22七年级下·山西吕梁·期末）平面直角坐标系是由原点重合且互相垂直的两条数轴
构成的，它是沟通代数与几何的桥梁，是非常重要的数学工具．
（1）最早引入坐标系，用代数方法研究几何图形的数学家是（ ）
A．祖冲之 B．刘徽 C．笛卡尔 D．欧几里得
（2）在数学活动课上，老师与同学们一起探究如下问题：
在平面直角坐标系中的位置如图，已知 点的坐标为 ．把 向下平移1个单位长度，
再向右平移2个单位长度，请你画出平移后的 ．
①写出点 的坐标_________， 的坐标_________；
②在 轴上找一点 ，使 的面积等于3，求满足条件的点 的坐标；
③在解决问题②时用到的数学思想是__________________（填一个即可）
23．（10分）（22·23七年级下·广东广州·期末）如图，在直角坐标系中，将线段 平移至 ，已
知 ，连接 ，点D在射线 上移动（不与点O、A重合）．
（1）直接写出点C的坐标；
（2）点D在运动过程中，是否存在 的面积等于324．（12分）（22·23七年级下·湖北孝感·期中）【知识呈现】
当三角形的三边都不与坐标轴平行时，对于三角形的面积因不易求出底边和高的长度，所以不能直接
利用三角形的面积公式来求，但可以将不规则图形运用补法或割法转化成规则的图形（如长方形，梯形），
再运用和、差关系进行求解．
【问题解答】
在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为 ， ， ．
（1）如图 ，分别以点 ， ， 向坐标轴作垂线构造长方形 ，求 的面积；
（2）在图 中过点 作 轴交 于点 ，如图 ．
①求 的长；
②猜想： 的面积 与 的数量关系式为______．参考答案：
1．B
【分析】 表示第三列，第三行，由题意可知彩旗方队一共有 列、 行，据此即可求得彩旗方队
一共有 人．
解：∵ 表示第三列，第三行，且小兰的位置不管是列还是行都在正中间，
∴彩旗方队一共有 列、 行，
∴彩旗方队一共有： （人）．
故选：B．
【点拨】本题考查了坐标确定位置，明确题意得出彩旗方队一共有 列、 行是解题的关键．
2．B【分析】根据题意，结合以点 为坐标原点，点 与点 的横坐标相反，纵坐标相反，即可得到最终
结果；本题主要考查了坐标系点的坐标的变化，解题的关键是掌握坐标系中，点的坐标的变化规律．
解：
两点坐标差为：
以点 为坐标原点，点 与点 的横坐标相反，纵坐标相反
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离以及数轴上两点的距离，由 轴可知， 、
两点纵坐标相同，即可得到 的值，再利用数轴上两点的距离公式，即可求出 的值．
解： ， 是平面直角坐标系上的两个点，且 轴，
，
点B在点A的右侧，且 ，
，
，
故选：B．
4．D
【分析】利用坐标轴上点的坐标特点和点所在象限的坐标特征即可得出答案．
解：A．点 在第一象限，故此选项不符合题意；
B．点 在 轴上，故此选项不符合题意；
C．点 在第一象限，故此选项不符合题意；
D．点 在 轴上，故此选项符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查坐标轴上点的坐标特点，判断点所在的象限．坐标轴上点的坐标特点： 轴正方向：
（＋，0）； 轴负方向：（－，0）； 轴正方向：（0，＋）； 轴负方向：（0，－）；象限内点的坐
标特征：第一象限：（＋，＋）；第二象限：（－，＋）；第三象限：（－，－）；第四象限：（＋，
－）．记住坐标轴上点的坐标特点以及各象限内点的坐标特征是解题的关键．5．A
【分析】根据点 在第四象限，得到 ，结合 得到 ，即可得到答案．
解： 点 在第四象限，
，
，
，
故选：A．
【点拨】本题考查平面直角坐标系象限中点的坐标特征、绝对值的性质，熟记相关知识点是解决问题
的关键．
6．D
【分析】根据题意，不妨设作出任意一个 ，设出坐标，按要求得到 ，逐项验证即可得到
答案．
解：不妨设 的顶点 在原点， ，将 各顶点的横、纵坐标乘 得到
，则 的顶点 在原点， ，如图所示：
A、 ； ，则 ，
故A选项错误，不符合题意；
B、两个三角形都在第一象限，不关于 轴对称，故B选项错误，不符合题意；
C、两个三角形的形状未改变，仍为三角形，大小也改变，故C选项错误，不符合题意；D、由图可知，延长 交于 处，即各对应顶点的连线相交于一点，故D选项正确，不符
合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查图形与坐标，任意举出一个例子，按要求作图验证是解决问题的关键．
7．A
【分析】利用直角坐标系中点的坐标的特点，图形的性质解答．
解：∵坐标平面上直线L的方程式为 ，直线M的方程式为y＝﹣3，
∴直线L与直线M交点的坐标为 ，
∵P点的坐标为 ，
∴根据图中P点位置得 ．
故选：A．
【点拨】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是熟练掌握直角坐标系中点的坐标的特点．
8．C
【分析】先判断出 ，则点P在第三象限，再证明 ，即点P到y轴的距
离大于点P到x轴的距离，则点P在第三象限的平分线 的上方，且在x轴的下方，由此即可得到答案．
解：∵ ，
∴ ， ，
∴点P在第三象限，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴点P到y轴的距离大于点P到x轴的距离，
∴点P在第三象限的平分线 的上方，且在x轴的下方，∵ ，
∴ ，
故选C．
【点拨】本题主要考查了坐标与图形，算术平方根和立方根，正确得到点P在第三象限的平分线
的上方，在x轴的下方是解题的关键．
9．D
【分析】直角坐标系中，一个点如果向左平移，则横坐标相应减小，如果向下平移，则纵坐标相应减
小，据此作答即可．
解：点 跟随线段 连同点P一起向左平移3个单位，再向下平移2个单位，
则点 的横坐标相应减小3个单位，纵坐标相应减小2个单位，
即平移后点P的坐标为 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐
标上移加，下移减．掌握平移中点的变化规律是解答本题的关键．
10．C
【分析】根据平移求出 ， ，从而算出一圈的长度，再计算一圈长度14与2022相除的
余数，根据余数可得结果．
解：∵ ， ，
∴把线段 向右平移4个单位长度后，可得： ， ，
则 ， ，∴小蚂蚁沿 路线爬行一圈后，路程为 ，
，
∴2022秒后小蚂蚁位于从点A开始后的6个单位处，在 上，
，
∴坐标为 ，
故选C．
【点拨】本题考查了点的平移，点坐标的规律，解题的关键是求出一圈的长度，利用余数求出最后结
果．
11．27排15号
【分析】理解用有序实数对表示方位，第一个数表示第几排，第二个数表示在该排的第几号，根据题
意求解；
解：第一个数表示第几排，第二个数表示在该排的第几号，可知 表示第27排15号；
故答案为：27排15号
【点拨】本题考查有序实数对表示方位；结合实际场景理解表示方法是解题的关键．
12．第二象限
【解析】略
13．
【分析】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是掌握横坐标相等的两点的连线平行于 轴，纵坐
标相等的连点的连线平行于 轴．据此解答即可．
解：∵ 与 两个点的连线与 轴平行，
∴ ，
∴ 的值为 ．
故答案为： ．
14．
【分析】根据点到坐标轴的距离为点的横纵坐标的绝对值，结合点所在象限的符号特征，即可得出结
果．
解：由图可知，点 位于第二象限，∵ 轴于点E， 轴于点F，若 ，
∴ ，
∴点A的坐标是 ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查根据点到坐标轴的距离，求点的坐标．解题的关键是掌握点到坐标轴的距离为点的
横纵坐标的绝对值．
15．
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征求得m、n值，再根据各个象限中点的坐标特征解答即可．
解：∵点 在x轴上，点 在y轴上，
∴ ，
解得： ，
∴
4的平方根是 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，熟知坐标轴上及象限内的点的坐标特征是解答的
关键．
16．3
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数求解a的值，再求解P的坐标，从而可得答案；
解：∵点P的横、纵坐标恰好为一个正数的两个平方根，
∴ ，
解得： ，
∴ ， ，即 ，
∴ 到 轴的距离为 ．
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．17． 南偏西 ，
【分析】以点 为观测点，来描述点 的方向及距离即可．
解：如图，由题意知货轮 相对于港口 的位置可表示为 南偏西 ， ．
故答案为： 南偏西 ， ．
【点拨】本题考查了用方向角和距离确定位置，用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的
始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．
18．
【分析】根据平移确定三角形的平移方式，然后即可求解．
解：∵A（1,4），C（3,5），平移三角形ABC得到三角形A′B′C′，使点A′与点C重合
∴三角形的平移方式为先沿a轴正方向平移两个单位，然后沿b轴正方向平移1个单位，
∴平移后点D的对应点D′坐标为（x+2，y+1），
故答案为：（x+2，y+1）．
【点拨】题目主要考查点的平移，理解题意，确定三角形的平移方式是解题关键．
19．（1）点A的坐标为（2，5）；（2）点A在第一象限．理由见分析
【分析】（1）根据与y轴平行的直线上任意两点横坐标相等列出方程2a－6=2，求出a，进而得到点
A的坐标；
（2）根据a的平方根是±3求出a，得到点A的坐标，即可判断点A所在的象限．
（1）解：根据题意，可得2a－6=2，
解得a=4，
则a+1=4+1=5，
所以点A的坐标为（2，5）；
（2）解：点A在第一象限，理由如下：
∵a的平方根是±3，
∴a=9，∴2a－6=2×9－6=12，a+1=9+1=10，
∴点A的坐标为（12，10），
∴点A在第一象限．
【点拨】本题考查了坐标与图形性质，平面直角坐标系中点的特点，平方根；熟练掌握平面直角坐标
系中与坐标轴平行的直线上点的特点是解题的关键．
20．∠2=60°．
【分析】由E（-3，a），F（-3，0）得到EF OC，求得∠ACO=60°，再判断AC OD，利用平行线
的性质即可求解．
解：∵E（-3，a），F（-3，0） ，
∴EF OC，
∵∠1=120°，
∴∠ACO=180°-120°=60°，
∵∠ODB=∠ACB，
∴AC OD，
∴∠2=∠ACO=60°．
【点拨】本题考查了坐标与图形，平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
21．（1）8；（2）
【分析】（1）根据在y轴上的点，横坐标为0得到 ，进而求出 ，再根据三角
形面积公式求解即可；
（2）如图所示，连接 ，根据 可得
，据此列式求解即可．
（1）解：∵点 在 轴上，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；（2）解：如图所示，连接 ，
∵ ，
∴
．
【点拨】本题主要考查了坐标与图形，熟练掌握坐标系中三角形面积的计算方法是解题的关键．
22．（1）C；（2）①（0，3），（3，0）；② 或 ；③分类讨论（答案不唯一）；
【分析】（1）根据数学的历史知识判断即可；
（2）分别作出点A、B、C平移后的坐标，再连接相应顶点；①根据坐标的定义写出坐标即可；②根
据坐标特征可得 的底边 上的高为3，求得底边 的长，再分别讨论点D在 左边和右边即
可；③根据②的解答方法判断即可；
（1）解：最早引入坐标系，用代数方法研究几何图形的数学家是：笛卡尔；
故选： C．
（2）解：如图，点A、B、C分别向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到点A、B、
1 1
C ，连接相应顶点则 即为所求；
1①由图象可得 的坐标 ， 的坐标 ；
故答案为：（0，3），（3，0）；
② ∵D点在x轴上， 的面积等于3， 的坐标 ，
∴底边 上的高为3，
∴ 的长度为2，
∵ 的坐标 ，
∴当点D在 左边时，D点坐标为（1，0），当点D在 右边时，D点坐标为（5，0）；
③∵根据点D在点 左边和右边分别讨论，
∴利用了分类讨论的思想；
故答案为：分类讨论（答案不唯一）．
【点拨】本题考查了平面直角坐标系，坐标的定义，坐标的规律等知识；根据D点位置分类讨论是解
题关键．
23．（1） ；（2）点D在运动过程中，存在 的面积等于3，理由见分析
【分析】（1）根据点A与原点的坐标求出平移方式，进而根据点B的坐标求出点C的坐标即可；
（2）如图所示，过点B作 轴于H，根据三角形面积公式求出 得到当 或 时，
的面积等于3，由此即可得到结论．
（1）解：∵线段 是线段 平移得到的， ，∴平移方式为向右平移3个单位长度，
∵ ，
∴点C的坐标为 ，即 ；
（2）解：点D在运动过程中，存在 的面积等于3，理由如下：
如图所示，过点B作 轴于H，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴当 或 时， 的面积等于3，
∴点D在运动过程中，存在 的面积等于3．
【点拨】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，灵活运用所学知识是解题的关键．
24．（1） ；（2）① ②
【分析】（1）根据 即可求得答案．
（2）①根据 即可求得答案．②根据
， 即可求得答案．解：（1） ．
（2）①根据题意可得
．
解得
．
②因为 ， ，可得
，即 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查平面直角坐标系与几何图形，能采用补法和割法求图形面积是解题的关键．
