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27.2.1 相似三角形的判定
第4课时 两角分别相等的两个三角形相似
1．理解“两角分别相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、
图形和符号语言表示；(重点)
2．会运用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问
题．(难点)
一、情境导入
与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使得∠A和∠A ′都等于给定的
∠α，∠B和∠B′都等于给定的∠β，比较你们画的两个三角形，∠C与∠C′相等吗？对应边
的比，，相等吗？这样的两个三角形相似吗？和同学们交流．
二、合作探究
探究点：两角分别相等的两个三角形相似
【类型一】 利用判定定理证明两个三角形相似
如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AB边上一点，且∠ADE＝60°.
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)若BD＝3，CE＝2，求△ABC的边长．
解析：(1)由题有∠B＝∠C＝60°，利用三角形外角的知识得出∠BAD＝∠CDE，即可证
明△ABD∽△DCE；(2)根据△ABD∽△DCE，列出比例式，即可求出△ABC的边长．
(1)证明：在△ABD中，∠ADC＝∠B＋∠BAD，又∠ADC＝∠ADE＋∠EDC，而∠B＝
∠ADE＝60°，∴∠BAD＝∠CDE.在△ABD和△DCE中，∠BAD＝∠CDE，∠B＝∠C＝
60°，∴△ABD∽△DCE；
(2)解：设AB＝x，则DC＝x－3，由△ABD∽△DCE，∴＝，∴＝，∴x＝9.即等边
△ABC的边长为9.
方法总结：本题主要是利用“两角分别相等的两个三角形相似”，解答此题的关键是
利用三角形的外角的知识得出角相等．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题
【类型二】 添加条件证明 三角形相似如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添
加一个条件为____________．
解析：∵∠ABC＝∠AED，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，故添加条件∠ABC＝∠AED即可求
得△ABC∽△AED.同理可得∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或＝可以得出△ABC∽△AED.故答案
为∠ADE＝∠C 或∠AED＝∠B或＝.
方法总结：熟练掌握相似三角形的各种判定方法是解题关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第3题
【类型三】 相似三角形与圆的综合应用
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于点D，交AE于点G，弦
CE交AB于点F，求证：AC2＝AG·AE.
解析：延长CG，交⊙O于点M，连接AM，根据圆周角定理，可证明∠ACG＝∠E，根
据相似三角形的判定定理，可证明△CAG∽△EAC，根据相似三角形对应边成比例，可得出
结论．
证明：延长CG，交⊙O于点M，连接AM，∵AB⊥CM，∴AC＝AM，∴∠ACG＝
∠E，又∵∠CAG＝∠EAC，∴△CAG∽△EAC，∴＝，∴AC2＝AG·AE.
方法总结：相似三角形与圆的知识综合时，往往要用到圆的一些性质寻找角的等量关
系证明三角形相似．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题
【类型四】 相似三角形与四边形知识的综合
如图，在▱ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上一点，
且∠BFE＝∠C.若AB＝8，BE＝6，AD＝7，求BF的长．
解析：可通过证明∠BAF＝∠AED，∠AFB＝∠D，证得△ABF∽△EAD，可得出关于
AB，AE，AD，BF的比例关系．已知AD，AB的长，只需求出AE的长即可．可在直角三
角形ABE中用勾股定理求出AE的长，进而求出BF的长．
解：在平行四边形 ABCD 中，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AED.∵∠AFB＋∠BFE＝
180°，∠D＋∠C＝180°，∠BFE＝∠C，∴∠AFB＝∠D，∴△ABF∽△EAD.∵BE⊥CD，
AB∥CD，∴BE⊥AB，∴∠ABE＝90°，∴AE＝＝＝10.∵△ABF∽△EAD，∴＝，∴＝，
∴BF＝5.6.
方法总结：相似三角形与四边形知识综合时，往往要用到平行四边形的一些性质寻找
角的等量关系证明三角形相似．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型五】 相似三角形与二次函数的综合
如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5m，AB＝10m.M点在线段CA上，从C向
A运动，速度为1m/s；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2m/s.运动时间为ts.
(1)当t为何值时，△AMN的面积为6m2?
(2)当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值．
解析：(1)作NH⊥AC于H，证得△ANH∽△ABC，从而得到比例式，然后用t表示出
NH，根据△AMN的面积为6m2，得到关于t的方程求得t值即可；(2)根据三角形的面积计
算得到有关t的二次函数求最值即可．
解：(1)在 Rt△ABC 中，∵AB2＝BC2＋AC2，∴AC＝5m.如图，作 NH⊥AC 于 H，
∴∠NHA＝∠C＝90°，∵∠A是公共角，∴△NHA∽△BCA，∴＝，即＝，∴NH＝t，
∴S ＝ t(5－t)＝6，解得t＝，t＝4(舍去)，故当t为秒时，△AMN的面积为6m2.
△AMN 1 2
(2)S ＝t(5－t)＝－(t2－5t＋)＋＝－(t－)2＋，∴当t＝时，S ＝m2.
△AMN 最大值
方法总结：解题的关键是根据证得的相似三角形得到比例式，从而解决问题．
三、板书设计
1．三角形相似的判定定理：
两角分别相等的两个三角形相似；
2．应用判定定理解决简单的问题．
在探究式教学中教师是学生学习的组织者、引导者、合作者、共同研究者，教学过程
中鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新．备课时应多
考虑学生学法的突破，教学时只在关键处点拨，在不足时补充．与学生平等地交流，创设
民主、和谐的学习氛围.
