文档内容
27.2.1 相似三角形的判定
第4课时 两角分别相等的两个三角形相似
学习目标：1. 探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理.
2. 掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算. (重点、难点)
3. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算.
自主学习
一、知识链接
学校举办活动，需要三个内角分别为90°，60°，30°的形状相同、大小不同的三角纸板若干.
小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？
合作探究
一、要点探究
探究点1：两角分别相等的两个三角形相似
操作 与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，使∠A=∠A′=40°，
∠B=∠B′=55°，探究下列问题：问题1 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值. 你有什么发
现？
问题2 试证明△ABC∽△A′B′C′.
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′（或 A′B′的延长线）上，
截取 A′D=AB，过点 D 作 DE // B′C′，交 A′C′ 于点 E，【补全证明过程】
【要点归纳】由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：
两角分别相等的两个三角形相似.
符号语言：在△ABC 和△A'B'C' 中，
∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
【典例精析】
例1 如图，在△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80 °，∠F=60 °．求证：
△ABC ∽△DEF.【针对训练】如图，在 △ABC 和 △A'B'C' 中，若∠A=50°，∠B=75°，∠A' = 50°，当
∠C'= 时，△ABC ∽△A'B'C'.
例2 如图，弦 AB 和 CD 相交于 ⊙O 内一点 P，求证：PA·PB=PC·PD.
证明：连接AC，DB.
∵∠A 和 ∠D 都是弧 CB 所对的圆周角，
∴ ∠A= __ ___，
同理 ∠C= ___ ____，
∴ △PAC ∽ △PDB，
∴__ ___ ，即PA ·PB = PC · PD.
【针对训练】如图，⊙O 的弦 AB，CD 交于点 P，若 PA=3，PB = 8，PC = 4，则 PD
= .【分析】此图中，没有完整的三角形出现，根据题目给的四条边，可以知道，它们属于
△BCP和△ADP因此连接AD、BC，根据圆周角的性质得到解题所需角度，进而求解
探究点2：判定两个直角三角形相似
例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，
AE = 5，ED⊥AB，垂足为D. 求AD的长.
【要点归纳】由此得到一个判定直角三角形相似的方法：
有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
思考 对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL”判定它们全等.那么，满足斜边和一
直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
证明 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=90°，∠C′=90°， .
求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′.【要点归纳】由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：
斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
例4 如图，∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，当 AB 的长为 时，
△ACB 与△ADC相似．
【分析】观察得到AB和AC分别是斜边，但两条直角边的对应关系并没有确定，因此需要
分类讨论
【针对训练】在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，依据下列各组条件
判定这两个三角形是否相似.
(1) ∠A=35°，∠B′=55°： ；
(2) AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8： ；
(3) AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15： .
二、课堂小结
当堂检测
1. 如图，已知 AB∥DE，∠AFC ＝∠E，则图中相似三角形共有( )A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2. 如图，△ABC中，AE 交 BC 于点 D，∠C=∠E，AD : DE=3 : 5，AE=8，BD=4，
则DC的长等于 ( )
A. B. C. D.
3. 如图，点 D 在 AB上，当∠ ＝∠ (或∠ = ∠ )时，
△ACD∽△ABC；
4. 如图，在 Rt△ABC 中， ∠ABC = 90°，BD⊥AC于点D. 若 AB=6，AD=2，则 BD=
，AC= ，BC= .
5.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.
6. 如图，△ABC 的高 AD，BE 交于点 F．求证： .
7. 如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE．参考答案
合作探究
一、要点探究
探究点1：两角分别相等的两个三角形相似
问题2 解：则有△A′DE ∽△A′B′C′，∠A′DE =∠B′.
∵∠B=∠B′，∴∠A′DE=∠B.
又∵ A′D=AB，∠A=∠A′，∴△A′DE ≌△ABC（ASA），∴△ABC∽△A′B′C′ .
【典例精析】
例1 证明：∵ 在△ ABC中，∠A=40°，∠B=80°，
∴ ∠C=180°－∠A－∠B=60°.
∵ 在△DEF中，∠E=80°，∠F=60°.∴ ∠B=∠E，∠C=∠F.∴ △ABC ∽△DEF.
【针对训练】 55°
例2 ∠D ∠B
【针对训练】6
探究点2：判定两个直角三角形相似
例 3 解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA=90 ° .又∠C=90 °，∠A=∠A，∴ △AED
∽△ABC.
∴ .∴ .证明 证明：设 = k ，则AB=kA′B′，AC=kA′C′.
由勾股定理，得 ， .
∴
∴ Rt △ABC ∽ Rt △A′B′C′.
例4 3 或3
解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，
∴ .
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
(1) 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，有 AC : AD ＝AB : AC， 即 : 2 =AB : ，
解得 AB=3；
(2) 当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，有 AC : CD ＝AB : AC ， 即 : =AB : ，
解得 AB=3 ．∴ 当 AB 的长为 3 或3 时，这两个直角三角形相似．
【针对训练】(1) 是 (2)是 (3) 是
当堂检测
1. C 2. A
3. ACD B ADC ACB
4. 4 18
5.证明: ∵ DE∥BC，EF∥AB，∴∠AED＝∠C，∠A＝∠FEC. ∴ △ADE∽△EFC.
6. 证明： ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F，
∴ ∠FEA=∠FDB=90°，∠AFE =∠BFD (对顶角相等).
∴ △FEA ∽ △ FDB，∴ .7. 证明：∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC，∠DAE= ∠3+ ∠DAC，∠1=∠3，∴ ∠BAC=∠DAE.
∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ，∠E=180°－∠3－∠AOE，∠DOC =∠AOE（对顶角相等），
∴ ∠C= ∠E.∴ △ABC∽△ADE.
