文档内容
27.2 相似三角形（第7课时）
教学目标
1．通过带领学生复习，进一步加深学生对相似三角形的性质和判定的理解，使学生对
相似三角形的知识形成整体认识，提升学生的逻辑推理能力．
2．能够熟练应用相似三角形的性质和判定进行计算和证明．
教学重点
相似三角形的性质和判定的应用．
教学难点
相似三角形与圆的综合．
教学过程
知识回顾
1．相似三角形的性质：
（ 1 ）相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比．
（ 2 ）相似三角形周长的比等于相似比．
（ 3 ）相似三角形面积的比等于相似比的平方．
2．相似三角形的判定：
（ 1 ）对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似．
（ 2 ）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
（ 3 ）三边成比例的两个三角形相似．
（ 4 ）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
（ 5 ）两角分别相等的两个三角形相似．
（ 6 ）斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．
【设计意图】复习已经学过的相似三角形知识，为引出新课作铺垫．新知探究
类型一、利用相似三角形求线段长
【问题】1．如图，F为四边形ABCD的边CD上一点，连接AF并延长交BC的延长线
于点E，已知∠D＝∠DCE．
（1）求证：△ADF∽△ECF；
（2）若四边形ABCD为平行四边形，BC＝6，AF＝2EF，求CE的长．
【师生活动】先让学生尝试独立完成，然后教师展示结果并讲解．
【答案】（1）证明：∵∠D＝∠DCE，∠AFD＝∠EFC，
∴△ADF∽△ECF．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝6．
由（1）知△ECF∽△ADF，
∴ ．
又AF＝2EF，
∴ ．
∴CE＝3．
【问题】2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，
EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）设 ．
①若BC＝12，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．【答案】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠BED＝∠C．
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠FEC．
∴△BDE∽△EFC．
（2）解：①∵EF∥AB，
∴ ，即 ．
又BC＝12，
∴ ．
②∵ ，
∴ ．
∵EF∥AB，
∴△EFC∽△BAC，相似比为 ．
设△EFC的面积为S，△ABC的面积为S，
1
则 ．
∵S＝20，
1
∴S＝45．
∴△ABC的面积是45．
【设计意图】通过问题1，2，让学生能够综合运用相似三角形的性质及判定解决线段
长度问题，加深学生对知识的理解和应用．类型二、利用相似三角形证明比例式、等积式
【问题】3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，AG分
别交线段DE，BC于点F，G，且 ．
（1）求证：AG平分∠BAC；
（2）求证： ．
【师生活动】教师提出问题，学生分小组交流，并派代表回答，教师板书讲解．
【答案】证明：（1）∵∠DAE＋∠AED＋∠EDA＝180°，∠BAC＋∠B＋∠C＝
180°，∠AED＝∠B，
∴∠ADE＝∠C．
又 ，
∴△ADF∽△ACG．
∴∠DAF＝∠CAG，
∴AG平分∠BAC．
（2）∵∠AED＝∠B，∠CAG＝∠DAF，
∴△AEF∽△ABG．
∴ ．
由（1）知△ADF∽△ACG，
∴ ．
∴ ．【问题】4．在△ABC中，∠BAC是直角，过斜边中点M且垂直于斜边BC的直线交
CA的延长线于E，交AB于D，连接AM．
求证：（1）△ABC∽△MEC；
（2）AM2＝MD·ME．
【答案】证明：（1）∵∠BAC是直角，ME⊥BC，
∴∠BAC＝∠EMC＝90°．
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△MEC．
（2）∵∠BAC是直角，ME⊥BC，
∴∠C＋∠E＝∠C＋∠B＝90°．
∴∠E＝∠B．
∵点M为Rt△ABC斜边的中点，
∴MA＝MB．
∴∠MAD＝∠B＝∠E．
而∠AMD＝∠EMA，
∴△MAD∽△MEA．
∴ ．
∴AM2＝MD·ME．
类型三、相似三角形与圆的综合
【问题】5．如图，已知AB为⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接BC交⊙O于点
F，取 的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于点H．（1）求证：△HBE∽△ABC；
（2）若CF＝8，BF＝10，求AC和EH的长．
【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC．
又EH⊥AB，∴EH∥AC．
∴△HBE∽△ABC．
（2）解：连接AF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°．
∴∠AFC＝∠BAC＝90°．
又∠ACF＝∠BCA，
∴△CAF∽△CBA．
∴ ．
∴ ．
∴CA＝12．
∵D为 的中点，
∴∠BAD＝∠FAD．又EF⊥AF，EH⊥AB，
∴EF＝EH．
设EH＝x，则EF＝x，BE＝10－x，
由（1）知△HBE∽△ABC，
∴ ．
∴ ．
∴x＝4，即EH＝4．
【设计意图】通过问题5，让学生学会综合运用相似三角形的性质和判定解决与圆有
关的问题．
课堂小结
板书设计
一、利用相似三角形求线段长
二、利用相似三角形证明比例式、等积式
三、相似三角形与圆的综合
课后任务
完成教材第58页复习题27综合应用第8题．
教学反思
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