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期末测试轴题考点模拟训练（一）
一、单选题
1．把多项式（3a-4b）（7a-8b）+（11a-12b）（8b-7a）分解因式的结果( )
A．8（7a-8b）（a-b） B．2（7a-8b）2
C．8（7a-8b）（b-a） D．-2（7a-8b）
【答案】C
【详解】把(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)运用提取公因式法因式分解即可得(3a-4b)(7a-8b)
+(11a-12b)(8b-7a)
=(7a-8b)(3a-4b-11a+12b)
=(7a-8b)(-8a+8b)
=8(7a-8b)(b-a).
故选C.
2．如图, 在 DAE中, ∠DAE＝40°, B、C两点在直线DE上，且∠BAE＝∠BEA，∠CAD＝
∠CDA，则∠BAC的大小是（ ）
△
A．100° B．90° C．80° D．120°
【答案】A
【分析】由已知条件，利用了中垂线的性质得到线段相等及角相等，再结合三角形内角和
定理求解.
【详解】解：
如图，∵BG是AE的中垂线，CF是AD的中垂线，
∴AB=BE，ACECD
∴∠AED=∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠CDA=∠CAD=∠DAE+∠CAE，
∵∠DAE+∠ADE+∠AED=180°
∴∠BAD+∠DAE+∠DAE+∠CAE+∠DAE=3∠DAE+∠BAD+∠EAC=120°+∠BAD+ ∠EAC=180°
∴∠BAD+∠EAC=60°∴. ∠BAC=∠BAD+∠EAC+∠DAE=60°+40°=100°；故选A
【点睛】本题考查了中垂线的性质、三角形内角和定理及等腰三角形的判定与性质；找着
各角的关系利用内角和列式求解是正确解答本题的关键.
3．关于 的不等式组 有四个整数解，且关于 的分式方程
有整数解，那么所有满足条件的整数 的和（ ）
A．18 B．12 C．17 D．30
【答案】B
【分析】解不等式组和分式方程得出关于x的范围及x的值，根据不等式组有四个整数解
和分式方程的解为整数得出a的范围，再求和即可．
【详解】解：解不等式组
得， 且
∵不等式组有四个整数解
∴ ，即
解分式方程可得： 且
∵分式方程有整数解
∴ 是2的倍数，且
∴ 或
∴所有满足条件的整数 的和为12．
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是一元一次不等式组的整数解以及分式方程的解，能够正确的
求出不等式组的解集以及分式方程的解是解此题的关键．
4．若 ，则 等于（ ）
A．2020 B．2019 C．2018 D．－2020
【答案】C
【分析】将 变形为 ， ，代入 即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴=2018．
故选：C
【点睛】本题考查了根据已知代数式的值求新代数式的值，将已知条件适当变形，代入所
求代数式求解是解题关键．
5．已知关于x的分式方程 =1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m 1 B．m 1
C．m -1且m≠0 D．m -1
【答案】C
【详解】分式方程去分母得：m=x-1，解得x=m+1，由方程的解为非负数，得到m+1≥0，且
m+1≠1，解得：m -1且m≠0，故选C．
6．如图， 是等边三角形， 是等腰直角三角形， ， 于点
E，连接 ，分别交 于点F、G，过点A作 交 于点H， ，则
下列结论：① ；② 是等腰三角形；③ ；④ ．其中
正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，
据此可判断；②求出∠AFG和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此得出答案；③根据
ASA证明△ADF≌△BAH即可判断；④由∠BAE=45°，∠ADC=∠BAH=15°，则∠EAH=30°，
DF=2EH即可得出．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，∴∠BAC=60°，∠BAD=90°，AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，
∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°，
∴∠ADC=15°，故①正确；
∵AE⊥BD，即∠AED=90°，
∴∠DAE=45°，
∴∠AFG=∠ADC＋∠DAE=60°，∠FAG=45°，
∴∠AGF=75°，
∴△AFG三个内角都不相等，
∴△AFG不是等腰三角形，故②错误；
由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAH=30°，
则∠BAH=∠ADC=15°，
在△ADF和△BAH中，
∠ADF=∠BAH，DA=AB，
∴△ADF≌△BAH（ASA），故③正确；
∵∠ABE=∠EAB=45°，∠ADF=∠BAH=15°，∠DAF=∠ABH=45°，
∴∠EAH=∠EAB－∠BAH=45°－15°=30°，
∴AH=2EH，
∵EH=1，△ADF≌△BAH（ASA）
∴DF=AH，
∴DF=AH=2EH=2，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握直角三角形的性质、等腰
三角形与等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点的应用．
7．如图，等腰 中， ，当
的值最小时， 的面积（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点 作 ，使 ，连接 ，证明 ，根据全等三角
形的性质得 ，则 ，连接 交 于 ，在 中，由三角
形三边关系可得 ，则 、 、 三点共线时， 的值最小，即的值最小，证明 ，根据全等三角形的性质得 ，过点
作 于 ，根据含 角的直角三角形的性质求出 ，利用三角形的面积公式
即可求解．
【详解】解：过点 作 ，使 ，连接 ，
∵ ，
，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
连接 交 于 ，
在 中，由三角形三边关系可得 ，则 、 、 三点共线时，
的值最小，即 的值最小，
∵ ，
，
在 和 中，
，
，
，
过点 作 于 ，
，
，的面积为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三
角形的三边关系、最短距离问题、三角形的面积、平行线的性质等知识，解题的关键是学
会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
8．如图， ， ， ，下列结论正确的有（ ）
① 平分 ； ② ；
③ ； ④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据已知 ， ，想到构造一个等腰三角形，所以延长
，在 的延长线于取点 ，使得 ，就得到 ，然后再证明
，就可以判断出 平分 ，再由角平分线的性质想到过点 作
，交 的延长线于点 ，从而证明 ，即可判断．
【详解】解：延长 ，在 的延长线于取点 ，使得 ，过点 作 ，
交 的延长线于点 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，故①正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故③错误；
∵ ，
∴ ，故④正确；
故正确的由①②④，共3个．
故选：C．
【点睛】本题主要是考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，等腰三角形的性
质等知识，综合运用全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质，是求解该类问题的关
键．
9．当 分别取值 ， ， ，…， ，1，2，…，2007，2008，2009时，计算
代数式 的值，将所得的结果相加，其和等于（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．2009
【答案】C
【分析】先把 和 代入代数式，并对代数式化简，得到它们的和为0，然后把
代入代数式，求出代数式的值，再把所得结果相加，和仍然为0．【详解】解: ，
即当x分别取值 ，n（n为正整数）时，计算所得的代数的值之和为0，
而当x=1时， ，
故当 分别取值 ， ， ，…， ，1，2，…，2007，2008，2009时，
计算所得各代数式的值之和为0．
故选: C．
【点睛】本题考查的是代数式的求值，x的取值较多，并且除了x=1之外，其它的数都是成
对的且互为倒数，把互为倒数的两个数代入代数式得到它们的和为0，这样计算起来就简
便了．
10．如图， 中， ， 是边 的垂直平分线，交 于G，过点F作
于点E， 平分 交 于F，连接 ， ．下列结论：① ②
③ ④ ．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的性质，得到 ；过点F作 于点H，证明
，得到 ，结合 平分 ，得到 ，继而 ，
可证明 ；利用斜边大于直角边，证明 ；利用等腰三角形
的性质，全等三角形的性质，结合三角形内角和定理证明．
【详解】∵ 是边 的垂直平分线，
∴ ；
故①正确；过点F作 于点H，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故③正确；
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，故②正确；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故④正确；
故选D．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形中，斜边大
于任意直角边，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定
和性质，角的平分线的性质，直角三角形中，斜边大于任意直角边，线段垂直平分线的性
质是解题的关键．
二、填空题
11．在 中，D，E是直线 上两点，且 ， ，若 ，则
= ．【答案】30°或60°或120°
【分析】分三种情况：当点D、E在线段BC上时，当点D与点C重合，点E与点B重合
时，当D、E在CB或BC延长线上时，分别求解即可．
【详解】解：当点D、E在线段BC上时，
如图1(i)，
∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∴∠ADE=∠B+∠BAD=2∠BAD，
∵AE=CE，
∴∠C=∠CAE，
∴∠AED=∠C+∠CAE=2∠CAE，
∴∠ADE+∠AED=2（∠BAD+∠CAE），
∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，∠DAE=60°，
∴∠BAD+∠CAE=60°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAE+∠DAE=120°；
如图1(ii)，同理可得∠BAC=120°；
当点D与点C重合，点E与点B重合时，如图2，
∴∠BAC=∠DAE=60°；
当D、E在CB或BC延长线上时，
如图3(i)，∵AD=BD，
∴∠ABD=∠BAD，
∵AE=CE，
∴∠C=∠CAE，
∵∠ABD=∠C+∠BAC，
∴∠BAD=∠C+∠BAC，
∴∠DAE+∠EAB=∠C+∠BAC，
∴∠DAE+∠EAC-∠BAC =∠C+∠BAC，
∴60°=2∠BAC，
∴∠BAC=30°，
如图3(ii)，同理可得∠BAC=30°，
综上，∠BAC=30°或60°或120°．
故答案为：30°或60°或120°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，注意分类讨
论，以免漏解．
12．若 ，则 ．
【答案】
【详解】∵ ， ，
∴ =
=
= =123，
故答案为123.
点睛：本题主要考查完全平方公式的综合运用，先把 利用完全平方公式变形为
，再把m、n的值代入求解即可.在代数式求值中常用的几个公式有完全
平方公式和平方差公式，在做题过程中要灵活掌握.
13．如图，在 中， ，角平分线 、 交于点O，
于点 ．下列结论；① ；② ；③
；④ ，其中正确结论是 ．【答案】①③④
【分析】过点 作 于点 ，由角平分线的性质定理可得 ，然后结合三角
形面积公式即可判断结论①；首先求得 ，假设 ，则 ，
可求得 ，再根据 ，即可判断结论②；在 上截取 ，
连接 ，分别证明 和 ，由全等三角形的性质可得
，即可判断结论③；由全等三角形的定义和性质易得 ，
，可知 ，即可判断结论④．
【详解】解：如下图，过点 作 于点 ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故结论①正确；
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故结论②错误；
在 上截取 ，连接 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故结论③正确；
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故结论④正确．综上所述，结论正确的为①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，综合性
强，熟练掌握相关知识并熟练运用是解题关键．
14．如图，在等腰梯形ABCD中，AD BC，BC＝5AD＝5 ，∠B＝45°，等腰直角三角
形EMN中，含45°角的顶点E放在BC边上移动，直角边EM始终经过点A，斜边EN与
CD交于点F，若△ABE为等腰三角形，则CF的长为 ．
【答案】3或2或
【分析】过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，根据等腰三角形的性质求出BM
的长度，再求出AB，然后分①AE＝BE时，△ABE、△CEF都是等腰直角三角形，求出
BE的长，再求出CE的长，然后根据等腰直角三角形的性质求解即可；②AB＝BE时，先
求出CE的长度，再求出∠AEB的度数，再根据平角等于180°求出∠CEF，然后求出
∠CFE，根据度数得到∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边的性质可得CF＝CE；③AB＝AE
时，判断出△ABE、△CEF都是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解即
可．
【详解】解：如图，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，
∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝5AD＝5 ，
∴BM＝ （BC﹣AD）＝ ，∠C＝∠B＝45°，
∵∠B＝45°，
∴AB＝BM× ＝4，
①如图1，AE＝BE时，∵∠B＝45°，
∴∠BAE＝∠B＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE＝ AB＝2 ，
∴CE＝BC﹣BE＝5 ﹣2 ＝3 ，
又∵∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CF＝ CE＝3；
②如图2，AB＝BE时，
∵∠B＝45°，
∴∠AEB＝ （180°﹣∠B）＝ （180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴∠CFE＝180°﹣∠C﹣∠CEF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CF＝CE，
∵BC＝5 ，AB＝4，
∴CF＝CE＝BC﹣BE＝5 ﹣4；
③如图3，AB＝AE时，∠AEB＝∠B＝45°，∴∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴△ABE、△CEF都是等腰直角三角形，
∴BE＝ AB＝4 ，
∴CE＝BC﹣BE＝5 ﹣4 ＝ ，
∴CF＝ CE＝ × ＝2；
综上所述，CF的长为3或5 ﹣4或2．
故答案为：3或5 ﹣4或2．
【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，等腰直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键，
难点在于根据腰长的不同，分情况讨论．
15．如图所示，在等边 ABC中， ，点D在边AB上，且 ，点E是BC
边上一动点，将 沿△DE折叠，当点B的对应点 落在 ABC的边上时，BE的长为
．
△
【答案】 或
【分析】先根据折叠的性质分两种情况：点 落在BC边上和点 落在AC边上，然后分别
根据等边三角形的判定与性质、折叠的性质求解即可得．
【详解】由折叠的性质分为两种情况：点 落在BC边上和点 落在AC边上
①如图1所示，点 落在BC边上
是等边三角形
由折叠的性质可知，
是等边三角形②如图2所示，点 落在AC边上
作
在 中， ，
由折叠的性质可知：
即 ，显然，点 与点F重合
在 中，
综上，BE的长为 或
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、折叠的性质等知识点，
依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
16．如图，在等边三角形ABC各边上分别截取AD＝BE＝CF，DJ⊥BC交CA延长线于点
J，EK⊥AC交AB延长线于点K，FL⊥AB交BC延长线于点L；直线DJ，EK，FL两两相交
得到△GHI，若S GHI＝3 ，则AD＝ ．
△【答案】
【分析】首先利用等边三角形和直角三角形的性质分析得到三个全等的等腰三角形，即
△JHF≌△GEL≌△IDK，然后设等边△ABC的边长为a，AD＝x，利用含30°的直角三角形的
性质分别求得△ABC和△JHF的面积，从而可得3S JDA＝S GHI，最后列方程求解即可．
【详解】延长JD交BC于点N， △ △
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠BDN＝∠JDA＝90°﹣60°＝30°，
∴∠J＝∠BAC﹣∠JDA＝30°，
同理可得：∠L＝∠K＝∠CFL＝∠JFH＝∠GEL＝∠BEK＝30°，
∴AD＝AJ＝CF＝CL＝BE＝BK，
∴DK＝EL＝JF，
∴△JDA≌△LFC≌△KEB（AAS），△JHF≌△LGE≌△DIK（ASA），
过点A作AT⊥BC，交BC于点T，
设AB＝BC＝AC＝a，在Rt△ABT中，∠BAT＝30°，
∴BT ，AT ，
∴S ABC ，
△
∵AD＝AJ＝CF＝CL＝BE＝BK，△JHF≌△LGE≌△DIK，
∴JF＝EL＝DK＝a，
过点H作HM⊥AC，交AC于点M，
∵∠J＝∠JFH＝30°，
∴JH＝FH，
∴JM ，
在Rt△JHM中，HM ，
∴S JHF ，
△
∴S JHF+S LGE+S DIK＝3S JHF＝3 S ABC，
△ △ △ △ △∴S JDA+S FCL+S BEK＝3S JDA＝S GHI，
过△点A作△AP⊥DJ△，交DJ于△点P， △
设AD＝x，
在Rt△APD中，∠ADP＝30°，
∴AP ，DP ，
∴JD＝2DP ，
∴3S JDA＝3 ，
△
∴ ，
解得：x＝±2（负值舍去），
即AD的值为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的
性质以及含30°的直角三角形的性质等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线和综合运用
有关几何知识和利用方程解决问题的思想．
17．如图，在 中， 是边 上的点， 是边 上的点，且 ， ，若
的面积为 ，则 的面积为 ．【答案】
【分析】连接 ，把 分成几个小三角形，再根据线段比，用 ， 表示小三角形面
积，由面积和即可求解．
【详解】如图，连接 ，令 、 、 、 的面积分别为 、 、 、
，
∵ ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
整理得： ， ，
∵ ， ，
解得： ， ， ， ，
∴ ，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了三角形的面积，解题的关键是根据线段比，求出小三角形面积，充分
运用数形结合的思想方法，从图形中寻找各三角形面积之间的关系．
18．如图， 为等腰直角三角形， ， 为等腰三角形，
， 为 延长线上一点， ．若 ， ， ．则 的面积为 ．(用含 ， ， 的式子表示)
【答案】
【分析】过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，证明 )，
由全等三角形的性质得出 ， ，得出 ， ，由等腰
直角三角形的性质可得出结论；根据 可得出结论．
【详解】解：如图，分别过点A， 作 ， ，垂足分别为点 ， ．
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴
∴ ， ，
∵ ， ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ − − ，
∵ ，
∴ •
−
．
故答案为： ．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，
全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线，证明 ．
19．如图所示，已知锐角 ABC中，∠B＝45°，AC＝5， ABC的面积为15，D，E，F分
别为AB，BC，AC边上的动点，则 DEF周长的最小值为 ．
△ △
△
【答案】
【分析】作点F关于AB、BC的对称点F'，F''，连接BF'、BF''，则 DEF的周长为
DE+DF+EF=DE+DF'+DF''，根据对称性知 BF'F''是等腰直角三角形△，则F'F''= BF'=
BF''，即当BF最小时，F'F''最小，即 DE△F的周长最小．
【详解】解：如图，作点F关于AB、BC的对称点F'，F''，连接BF'、BF''，
△∴FD=F'D，EF=EF''，∠ABF=∠ABF'，∠CBF=∠CBF''，
∴△DEF的周长为DE+DF+EF=DE+DF'+DF''，
∴当F'、D、E、F''四点共线时，
DEF的周长为DE+DF+EF=F'F''，
∵∠ABC=45°，
△
∴∠F'BF''=90°，
且BF=BF'=BF''，
∴△BF'F''是等腰直角三角形，
∴F'F''= BF'= BF''，
∴当BF最小时，F'F''最小，即 DEF的周长最小，
∴当BF⊥AC时，BF最小，
△
∵ ABC的面积为15，
∴△×5BF=15，
∴BF=6，
∴F'F''= BF= ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查的是轴对称路径最短问题，作出点F关于AB、BC的对称点，将
DEF的周长转化为F'F''的长是解题的关键．
△20．已知 ，M是边OA上的一个定点，且 ，N、P分别是边 、 上
的动点，则 的最小值是 ．
【答案】4
【分析】作M关于 的对称点Q，过Q作 于N，交 于P，则此时
的值最小，连接 ，得出 ， ， ，根据含30
度角的直角三角形性质求出 即可．
【详解】解：作M关于 的对称点Q，过Q作 于N，交 于P，连接 ，如
图，∵作点M、点Q关于 的对称，
∴ ，
∴ ，
根据垂线段最短可知：当 时， 最小，
∴根据作图可知此时： 最小，且最小为 ，
∵ ，作点M、点Q关于 的对称， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中有： ，
∴ ，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形性质，轴对称−最短路线问题，垂线段最短的
应用，关键是确定P、N的位置．
三、解答题
21．若x满足(9 x)(x 4)=4，求(9 x)² (x 4)²的值．
解：设9 x=a，x 4=b，则(9 x)(x 4)=ab=4，a b=(9 x) (x 4)=5
∴(9 x)² (x 4)²=a²+b²=(a+b)² 2ab=5²－2 4=17
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若x满足 ，求 的值；
(2)若x满足 ，求 的值；(3)已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE=1，CF=3，长方形
EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分
的面积．
【答案】(1)130
(2)16
(3)28
【分析】（1）设x-10=a，x-20=b，由条件得ab=15，a-b=10，根据a2+b2=（a-b）2+2ab求出
结果即可；
（2）设x-2021=a，x-2022=b，可得a2+b2=33，a-b=1，根据-2（x-2021）（x-2022）=-2ab，
求出ab即可；
（3）设正方形ABCD的边长为x，AE=1，CF=3可得FM=DE=x-1，DF=x-3，进而得出阴影
部分的面积=FM2-DF2=（x-1）2-（x-3）2，由（2）的方法求出结果即可．
【详解】（1）解：设x-10=a，x-20=b，
则（x-10）（x-20）=ab=15，a-b=（x-10）-（x-20）=10，
∴（x-10）2+（x-20）2
=a2+b2
=（a-b）2+2ab
=102+2×15
=130
（2）设x-2021=a，x-2022=b，
则（x-2021）2+（x-2022）2=a2+b2=33，a-b=（x-2021）-（x-2022）=1，
∴-2（x-2021）（x-2022）
=-2ab
=（a-b）2-（a2+b2）
=12-33
=-32
∴ab=16，
即：（x-2021）（x-2022）=16．
（3）∵正方形ABCD的边长为x，AE=1，CF=3，
∴FM=DE=x-1，DF=x-3，
∴（x-1）（x-3）=48，
∴（x-1）-（x-3）=2，
∴阴影部分的面积=FM2-DF2=（x-1）2-（x-3）2，
设x-1=a，x-3=b，则（x-1）（x-3）=ab=48，a-b=（x-1）-（x-3）=2，
∴（a+b）2=（a-b）2+4ab
=4+192=196
∵a＞0，b＞0，
∴a+b＞0，
∴a+b=14，
∴（x-1）2-（x-3）2
=a2-b2
=（a+b）（a-b）
=14×2
=28
即阴影部分的面积是28．
【点睛】本题考查完全平方公式，理解完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．
22．如图，在 中， ，P为射线 上一动点（点P不与点B重合），
以 为直角边在 的右侧作等腰直角三角形 ，
(1)如图1，当点P在线段 上时，求点Q到直线 的距离；
(2)如图2，当点P运动到 的延长线上时，连接 ，交直线 于点M，求证：
；
(3)点P在运动过程中，连接 ，交直线 于点M，若 ，则 的长为
_____．
【答案】(1)点Q到直线 的距离为2；
(2)见解析；
(3)12
【分析】（1）作 ，证明 ，得到 ，即可求解；
（2）作 ，交 延长线于点 ，先证明 ，再证明 ，
即可求解；
（3）分两种情况，利用全等三角形的性质，列方程求解即可．
【详解】（1）解：作 ，如下图：由题意可得： ，
∴
∴
∴
∴
即点Q到直线 的距离为2；
（2）作 ，交 延长线于点 ，如下图，
由题意可得： ，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
又∵ ，
∴
∴ ；
（3）当点P在线段 上时，作 ，如下图：由（1）可得
，
∵
∴ ，即
∵ ，
∴
又∵ ，
∴
∴
设 ，则 ， ，
∴ ，
由 可得， ，解得
，不符合题意；
当点P运动到 的延长线上时，作 ，交 延长线于点 ，如下图，
由（2）可得：
，
∵∴ ，即
设 ，则 ， ， ，
∴
∴
由（2） 可得 ，即 ，
解得 ，
则 ．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造出全等三角
形．
23．如图，在 中， 为锐角，点 为射线 上一点，连接 ，以 为直
角边且在 的下方（沿 顺时针方向）作等腰直角三角形 ， ，连接
．
(1)若 ；
①如图1，当点 在线段 上（与点 不重合）时，则 与 的数量关系为
_________，位置关系为_________；
②当点 在线段 的延长线上时，①的结论是否成立，请在图2中画出相应图形并说明
理由．
(2)如图3，若 ，点 在线段 上运动，请判断 与
的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)① ， ；②成立，图形和理由见解析
(2) ，理由见解析【分析】（1）①由“ ”证明 ，可得结论；
②由“ ”证明 ，可得结论；
（2）如图3，过点C作 ，由“ ”证明 ，可得结论．
【详解】（1）① 与 数量关系是 ，位置关系是 ，
理由：如图1，
∵ ， 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ （ ），
∴ ．
∴ ，即 ，
故答案为： ， ；
②当点M在线段 的延长线上时，①的结论仍然成立．
理由如下：如图2，
∵ ， 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ （ ），
∴ ．
∵ ，∴ ，即 ；
（2）如图3，过点C作 ，交 于点E，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ，且 ，
∴ （ ），
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题为三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，余角的性质和等腰
直角三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．
24．在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°．
(1)如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，求证： ；
(2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？
若是，求出∠AFG的度数；若不是，请说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)45°【分析】（1）利用SAS即可证明 ；
（2）证明 ，得到∠1=∠2，又由∠3=∠4，得到∠BFA=∠BCA=90°，即可解
答；
（3）∠AFG=45°，过点C作CM⊥BD于M，CN⊥AE于N，由 ，得到
，AE=BD，证明得到CM=CN，得到CF平分∠BFE，由AF⊥BD，得到
∠BFE=90°，所以∠EFC=45°，根据对顶角相等得到∠AFG=45°．
【详解】（1）证明：如图1中，
在△ACE和△BCD中，
∴ （SAS），
（2）证明：如图2中，
∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACB＋∠ACD=∠ECD＋∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
在△ACE和△BCD中，
∴ （SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，∴∠BFA=∠BCA=90°，
∴AF⊥BD；
（3）∠AFG=45°，理由如下：
如图3，过点C作CM⊥BD于M，CN⊥AE于N，
∵由（2）得： ，
∴ ，AE=BD，
∴ ，
∴CM=CN，
∵CM⊥BD，CN⊥AE，
∴CF平分∠BFE，
∵AF⊥BD，
∴∠BFE=90°，
∴∠EFC=45°，
∴∠AFG=∠EFC=45°．
【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理等知识，解决
本题的关键是证明 ．
25．如图，在平面直角坐标系中，点 和点 在 轴上，点 和点 在 轴上，且点 的
坐标为 ， ，已知点 为线段 的中点， ，点 为线段 上一
动点，连接 ．（1）当线段 最小时，求点 的纵坐标；
（2）在（1）的条件下，将线段 所在的直线沿直线 平移得到直线 ，直线
与直线 交于点 ，与直线 交于点 ，连接 、 ，若 为等腰三角形，请直
接写出 的度数．
【答案】（1）5；（2） 或 或
【分析】（1）当 时，线段MD最小，作 轴于点N，根据含有 角的特
殊直角三角形的性质求出MD的长，再求出DN的长，就可以算出结果；
（2）分三种情况讨论，画出图象，根据直线CD和直线 的夹角是不变的，一直是 ，
结合等腰三角形的性质求出 的度数．
【详解】解：（1）如图，当 时，线段MD最小，作 轴于点N，
∵ ，D是OB的中点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴点 的纵坐标是5；
（2）①如图，此时 是等腰三角形， ，
∵直线CD和直线 的夹角是不变的，一直是 ，
∴ ，
∵ 是等腰三角形，
∴ ；
②如图，此时 是等腰三角形， ，
∵直线CD和直线 的夹角是 ，
∴ ，
∴ ；
③如图，此时 是等腰三角形， ，
∵ ，
∴综上： 的度数为 或 或 ．
【点睛】本题考查平面直角坐标系和几何，解题的关键是掌握含有 角的特殊直角三角
形的性质，等腰三角形的性质，以及点坐标的表示方法．
