文档内容
新人教版（2024版）七年级上学期数学课时进阶测试6.3角（三阶）
一、选择题（每题3分）
1．（2024九下·五华开学考）下列说法中，正确的是（ ）
A．大于直角而小于周角的角是钝角
B．互补的两个角必定一个是锐角，一个是钝角
C．两个锐角不能互为补角
D．如果∠A=20°，∠B=70°，∠C=90°，那么∠A、∠B、∠C互为补角
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质
2．（2024七下·张店月考）如图，∠BOC在∠AOD的内部，且∠BOC=x°，∠AOD= y°，则图中
所有角的度数之和为（ ）
A．x°+3 y° B．2x°+2y° C．3x°+ y° D．3 y°−x°
【答案】A
【知识点】角的运算
3．（2024七上·福田期末）定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把∠AOB分成
1：2的两部分，射线OC叫做∠AOB的三等分线.若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，
射线OQ是∠MOP的三等分线，设∠MOQ=x，则∠MON用含x的代数式表示为（ ）
9 9 9
A． x或3x或 x B． x或3x或9x
4 2 4
9 9 9
C． x或 x或9x D．3x或 x或9x
4 2 2
【答案】C
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】如图，∵ 射线OP是∠MON（∠MOP=2∠NOP）的三等分线， 射线OQ是∠MOP（∠QOP=2∠MOQ）的
三等分线，∠MOQ=x，
∴∠POQ=2x，
1 1 3
∴∠PON= ∠POM= （x+2x）= x，
2 2 2
3 9
∴∠MON=∠POM+∠PON=x+2x+ x= x；
2 2
如图， 射线OP是∠MON（∠MOP=2∠NOP）的三等分线，射线OQ是∠MOP
（∠MOQ=2∠QOP）的三等分线，
1
∴∠QOP= x，
2
1 1( 1 ) 3
∠NOP= ∠MOP= x+ x = x，
2 2 2 4
1 3 9
∴∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+ x+ x= x；
2 4 4
如图，射线OP是∠MON（∠NOP=2∠MOP）的三等分线，射线OQ是∠MOP（∠MOQ=2∠QOP）的三等
分线，
1
∴∠QOP= x，
2
( 1 )
∠NOP=2∠MOP=2 x+ x =3x，
2
1 9
∴∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+ x+3x= x；
2 2
如图， 射线OP是∠MON（∠NOP=2∠MOP）的三等分线，射线OQ是∠MOP
（∠MOQ=2∠QOM）的三等分线，
∴∠QOP=2x，
∠NOP=2∠MOP=2(x+2x)=6x，
∴∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+2x+3x=9x；
9 9
综上所述∠MON的度数为 x或 x或9x
4 2
故答案为：C.
【分析】分情况讨论，并分别画出图形： 射线OP是∠MON（∠MOP=2∠NOP）的三等分线， 射线OQ是∠MOP（∠QOP=2∠MOQ）的三等分线，∠MOQ=x，用含x的代数式表示出∠POQ，
∠PON，根据∠MON=∠POM+∠PON，代入可得到∠MON的度数；如图， 射线OP是∠MON
（∠MOP=2∠NOP）的三等分线，射线OQ是∠MOP（∠MOQ=2∠QOP）的三等分线，用含x的代
数式表示出∠QOP，∠NOP，据此可得到∠MON；射线OP是∠MON（∠NOP=2∠MOP）的三等分
线，射线OQ是∠MOP（∠MOQ=2∠QOP）的三等分线，用含x的代数式表示出∠QOP，∠NOP，
据此可得到∠MON；射线OP是∠MON（∠NOP=2∠MOP）的三等分线，射线OQ是∠MOP
（∠MOQ=2∠QOM）的三等分线，用含x的代数式表示出∠QOP，∠NOP，据此可得到∠MON；即
可求解.
4．（2021七上·白云期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．一个锐角的补角大于这个角的余角
B．一对互补的角中，一定有一个角是锐角
C．锐角的余角一定是钝角
D．锐角的补角一定是锐角
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：A：一个锐角的补角为钝角，它的余角为锐角，故其补角大于其余角，选项A
符合题意；
B：一对互补的角中，也可以两个角是直角，故B不符合题意；
C：锐角的余角一定是锐角，故C不符合题意；
D：锐角的补角一定是钝角，故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据余角的定义及补角的定义逐项判断即可。
5．（2022七上·丰台期末）如图，利用工具测量角，有如下4个结论：
①∠AOC=90°；
②∠AOB=∠BOC；
③∠AOB与∠BOC互为余角；
④∠AOB与∠AOD互为补角．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A．①②③ B．①② C．③④ D．①③④
【答案】D
【知识点】角的概念及表示；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：①由图可知，∠AOC=90°，故①符合题意；
②由图可知，∠AOB=50°，∠BOC=40°，
∴∠AOB≠∠BOC，故②不符合题意；
③∵∠AOB+∠BOC=50°+40°=90°，
∴∠AOB与∠BOC互为余角，故③符合题意；
④∵∠AOB=50°，∠AOD=130°，
∴∠AOB+∠AOD=180°，
∴∠AOB与∠AOD互为补角，故④符合题意；
综上分析可知①③④符合题意，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据角的定义、余角和补角的定义逐项判断即可。
6．（2021七上·虎林期末）若∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，则下列结论：①
∠3−∠2=90°；②∠3+∠2=270°−2∠1；③∠3−∠1=2∠2；④∠3<∠1+∠2．其中正确的有
（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠1＋∠2＝90°（1），∠1＋∠3＝180°（2），
∴（2）−（1）得，∠3−∠2＝90°，
∴①符合题意．
（1）＋（2）得，∠3＋∠2＝270°−2∠1，
∴②符合题意．（2）−（1）×2得，∠3−∠1＝2∠2，
∴③符合题意．
由∠1＋∠3＝180°，∠1＋∠2＝90°，
得，∠3＝180°−∠1＝2∠1＋2∠2−∠1＝∠1＋2∠2，
∴∠3＞∠1＋∠2，
∴④不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据 ∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角， 对每个结论一一判断求解即可。
7．（2024六下·桓台期中）如图，在同一平面内，∠AOB=∠COD=90°，∠COE=∠BOE，点F为
OE反向延长线上一点（图中所有角均指小于180°的角）.下列结论：①∠AOE=∠DOE；②
∠AOD+∠COB=180°；③∠COB－∠AOD=90°；④∠COE+∠BOF=180°.其中正.确.结论的
个数有（ ）.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】角的运算
8．（2023七上·运城月考）如图，点O为线段AD外一点，点M，C，B，N为AD上任意四点，连接
OM，OC，OB，ON，下列结论不正确的是（ ）
A．以O为顶点的角共有15个
B．若MC=CB，MN=ND，则CD=2CN
1
C．若M为AB中点，N为CD中点，则MN= (AD−CB)
2D．若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠AOD=5∠COB，则
3
∠MON= (∠MOC+∠BON)
2
【答案】B
【知识点】角的运算；线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】
1
A：以O为顶点的角的个数= ×6×5=15，选项正确，不合题意；
2
B：∵MC=CB，MN=ND， ∴ ND=CN+MC ，则CD=CN+ND=CN+MN=CN+CN+MC
=2CN+BC，原选项错误，符合题意；
C：∵M为AB中点，
1
∴ MB= AB
2
∵N为CD中点，
1
∴CN= CD
2
∴MN=MC+CN
1
=MB−CB+ CD
2
1 1
= AB−CB+ CD
2 2
1
= （AB+CD）−CB
2
1
= (AD−CB)−CB
2
1
= （AD−CB），则选项正确，不合题意；
2
D：∵∠AOD=5∠COB
1 4
∴ ∠COB= ∠AOD，∠AOC+∠BOD= ∠AOD
5 5
∵ OM平分∠AOC1
∴ ∠MOC= ∠AOC
2
∵ ON平分∠BOD，
1
∴ ∠BON= ∠BOD
2
1 2 2
∴ ∠MOC+∠BON= （∠AOC+∠BOD）= ∠AOD，即∠AOM+∠NOD= ∠AOD
2 5 5
3
∴ ∠MON=∠AOD-（∠AOM+∠NOD）= ∠AOD
5
3 2
∴ ∠MON：（∠MOC+∠BON）= ∠AOD： ∠AOD=3：2
5 5
3
则∠MON= (∠MOC+∠BON)，选项正确，不合题意；
2
故答案为B
1
【分析】本题考查角的个数，线段的计算，角平分线的性质，掌握角的个数= ×边数×（边数-1），
2
可判断A正确，计算CD，可得B错误，根据中点可得C正确，结合角平分线和比，可知D正确。
二、填空题（每题3分）
1
9．（2024七上·吉林期末） 计算： ×64°12′﹣10°25′＝ ．
3
【答案】10°59′
【知识点】常用角的度量单位及换算；角的运算
1
【解析】【解答】 ×64°12′﹣10°25′＝10°59′，
3
故答案为：10°59′.
【分析】利用“1°=60'，1'=60''”的换算率及角的运算方法分析求解即可.
10．（2023七下·云浮期末）已知∠AOB，如图1，过O作射线OC、OD，如图2，过O作射线OE、
OF，使∠AOC=∠BOF=α，∠BOD=∠AOE=β，∠COD=120∘，∠EOF=80∘，则∠AOB=
．
【答案】100°【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由图1得，∠AOB=∠AOD-∠BOD=120°+α-β，
由图2得，∠AOB=∠AOF-∠BOF=80°+β-α，
所以120°+α-β=80°+β-α，
化简得：20°+α=β. 代入∠AOB=120°+α-β中去，
得∠AOB=120°+α-（20°+α），
得到∠AOB=100°，
故填：100°.
【分析】先寻找两个图形中的角度的等量关系，即用不同的代数式表示出∠AOB，化简得到α和β
之间的数量关系，然后代入合并同类型，消去未知数即可.
11．（2021七上·长沙期末）如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，
1 1
∠BOE＝ ∠BOC，∠BOD＝ ∠AOB，则∠DOE＝ °.（用含n的代数式表示）
n n
70
【答案】
n
【知识点】角的运算
1
【解析】【解答】解：∵∠BOE= ∠BOC，
n
∴∠BOC=n∠BOE，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=70°+n∠BOE，
1 70°
∴∠BOD= ∠AOB= +∠BOE，
n n
70°
∴∠DOE=∠BOD-∠BOE= ，
n70
故答案为： .
n
1
【分析】由∠BOE= ∠BOC可得∠BOC=n∠BOE，则∠AOB=∠AOC+∠BOC=70°+n∠BOE，即得
n
1 70°
∠BOD= ∠AOB= +∠BOE，利用∠DOE=∠BOD-∠BOE即可求解.
n n
12．（2020七上·天门期末）如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中∠α=∠β的图形是
.（只填写图形编号）
【答案】①②③
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：根据直角三角板每个角的度数，可以判断出图①中∠α=∠β=450 ，
由同角的余角相等可得图②中 ∠α=∠β，
由等角的补角相等可得图③中 ∠α=∠β，
在图④中 ∠α+∠β=1800，不相等，
因此 ∠α=∠β的图形是①②③.
故答案为：①②③.
【分析】根据“同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等”并结合图形可求解.
13．（2024六下·周村月考）如图，已知∠A OA 是一个平角，且
1 11
∠A OA −∠A OA =∠A OA −∠A OA =∠A OA −∠A OA =⋯=∠A OA −∠A OA =3°
3 2 2 1 4 3 3 2 5 4 4 3 11 10 10 9
则∠A OA 的度数为 ．
10 11
【答案】31.5°
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
三、解答题14．（2023七上·长安月考）（1）如图1，已知∠AOB=∠COD=90°，OE是∠AOC的角平分线，
当∠BOD=42°时，求∠AOE的度数；
（2）如图2，已知∠AOB=80°，∠COD=110°，∠AOC=2∠BOD时，求∠BOD的度数；
（3）如图3，当∠AOB=α，∠COD=β，且∠AOC=n∠BOD（(n>1)时，请直接用含有α、β、
n的式子表示∠BOD的值．
190° α+β
【答案】（1）∠AOE=69°；（2）∠BOD= ；（3）∠BOD= ．
3 n+1
【知识点】角的运算
15．（2024七上·长沙期末） 【材料阅读】
“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．
如图1，数轴上的点A表示的数为a，B表示的数为b，且|a+2|+(b−8) 2=0.点C是线段AB的中点．
（1）点C表示的数是 ；
（2）若动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点N从点B出发，以
每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点M，N同时出发，当点N到达点A时，两动点的运动同
时停止.设运动时间为t秒，则：①点M、N表示的数分别是▲、 ▲ (用含t的代数式表示)；
②若在运动过程中，存在CM=3CN，请求出t的值．
（3）【方法迁移】我们发现角的很多运算方法和线段一样，如图2，∠AOB=80°，OC平分
∠AOB.射线OM从OA出发，以每秒1°的速度绕点O顺时针旋转，射线ON从OB出发，以每秒2°的
速度绕点O逆时针旋转.射线OM，ON同时出发，当ON到达OA时，运动同时停止.设旋转时间为t秒，
若在运动过程中，存在某些时刻，使得∠COM和∠CON两个角中，其中一个角是另一个角的3倍，
请求出所有符合题意的t的值．
【答案】（1）3
（2）解：①−2+t|8−2t；
②N到达A点时只需用时5秒，则此时M在线段AC上．
∴CM=3−(−2+t)=5−t，CN=|8−2t−3|=|5−2t|，
∵CM=3CN，
∴5−t=3|5−2t|，
20
解得：t=2或t= ；
7
（3）解：∵∠AOB=80°，OC平分∠AOB，
1
∴∠COB= ∠AOB=40°，
2
∵射线ON到达OA时只需用时80÷2=40秒，此时射线OM到达OC，
如图2，当0∠CON，
∴∠COM=3∠CON，则40−t=3(40−2t)，
解得t=16；
当20
