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专题02 绝对值化简问题专题总结训练
考点一 根据绝对值的性质化简
【知识点睛】
{a(a＞0)
|a|= 0（a=0） { a(a≥0)
|a|=
−a(a＜0) −a(a≤0)
绝对值的性质： 或
易错点拨：
“| |= ”
①在 的组合中，当“=”左边的部分未知时，求“| |”内部的数，需要分类讨论；
当“=”右边的部分未知时，求“=”右边的值，结果只有一个。
“|a−b|=b−a” “−|a−b|=+a−b”
②直接的绝对值化简中，当a-b＜0时， ；
【类题训练】
1．已知|6x﹣2|＝2﹣6x，则x的取值范围是 ．
【分析】直接利用绝对值的性质结合一元一次不等式的解法得出答案．
【解答】解：∵|6x﹣2|＝2﹣6x，
∴2﹣6x≥0，
解得：x≤ ．
故答案为：x≤ ．
2．若|x|+|x﹣4|＝8，则x的值为（ ）
A．﹣2 B．6 C．﹣2或6 D．以上都不对
【分析】根据绝对值的意义得出，|x|+|x﹣4|＝8表示到原点和4的距离和是8的数，分两种情况求出
x的值即可．
【解答】解：∵|x|+|x﹣4|＝8，
∴当x＞4时，x+x﹣4＝8，
解得x＝6，
当x＜0时，﹣x+4﹣x＝8，
解得x＝﹣2，
故选：C．
3．若a＜0，b＞0，则|a|+|a﹣b|＝（ ）A．b﹣2a B．a﹣2b C．2a+b D．﹣2a﹣b
【分析】直接利用绝对值的性质进而化简，再合并同类项得出答案．
【解答】解：∵a＜0，b＞0，
∴a﹣b＜0，
∴|a|+|a﹣b|＝﹣a﹣（a﹣b）
＝﹣a﹣a+b
＝﹣2a+b．
故选：A．
4．如果|m|＝﹣m，下列各式成立的是（ ）
A．m＞0 B．m＜0 C．m≥0 D．m≤0
【分析】根据负数或0的绝对值等于它的相反数，判断即可．
【解答】解：∵|m|＝﹣m，
∴m的绝对值等于它的相反数，
∴m≤0，
故选：D．
5．若x＞0，y＜0，求|x﹣y+2|﹣|y﹣x﹣3|的值．
【分析】直接利用x，y的符号进而去绝对值，再合并求出答案．
【解答】解：∵x＞0，y＜0，
∴x﹣y+2＞0，
y﹣x﹣3＜0，
∵|x﹣y+2|﹣|y﹣x﹣3|
＝x﹣y+2+（y﹣x﹣3）
＝﹣1．
6．已知：x＜0＜z，xy＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|﹣|x﹣y|的值（ ）
A．是正数 B．是负数
C．是零 D．不能确定符号
【分析】先根据已知条件确定x、y、z的符号及其绝对值的大小，再画出数轴确定出各点在数轴上
的位置，根据绝对值的性质即可去掉原式的绝对值，使原式得到化简．
【解答】解：由题意可知，x、y、z在数轴上的位置如图所示：
所以|x+z|+|y+z|﹣|x﹣y|＝x+z﹣（y+z）﹣（x﹣y）＝0
故选：C．7．代数式|x﹣1|﹣|x+2|，当x＜﹣2时，可化简为 ；若代数式的最大值为a与最小值为b，则ab
的值 ．
【分析】根据绝对值的定义确定x﹣1与x+2的符号，进而进行化简即可；确定a、b的值，再代入
计算即可．
【解答】解：当x＜﹣2时，x﹣1＜0，x+2＜0，
所以|x﹣1|﹣|x+2|＝1﹣x﹣（﹣2﹣x）＝3，
当x≤﹣2时，|x﹣1|﹣|x+2|的值最大，此时a＝3，
当x≥1时，|x﹣1|﹣|x+2|的值最小，此时b＝﹣3，
所以ab＝﹣9，
故答案为：3，﹣9．
8．已知非零实数a，b，c，|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0，化简|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|．
【分析】根据已知三等式判断出a，b及c的正负，进而确定出绝对值里边式子的正负，利用绝对值
的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：∵|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0，
∴a＜0，b＜0，c＞0，
∴a+b＜0，c﹣b＞0，a﹣c＜0，
∴原式＝﹣b+a+b﹣c+b﹣a+c＝b．
9．若a＞0， ＝ ；若a＜0， ＝ ；
①若 ，则 ＝ ；
②若abc＜0，则 ＝ ．
【分析】根据实数绝对值的性质|a|＝ ，根据a的符号确定它的绝对值是它本身还是绝
对值即可．
【解答】解：∵a＞0，
∴|a|＝a，
∴ ＝ ＝1；
∵a＜0，
∴|a|＝﹣a，∴ ＝ ＝﹣1，
故答案为：1，﹣1；
①∵ ，
∴ab＜0，
∴|ab|＝﹣ab，
∴ ＝ ＝1，
故答案为：1；
②∵abc＜0，
∴a、b、c中有一个负数、两个正数和三个负数两种情况，
当a、b、c中有一个负数、两个正数时，
＝﹣1+1+1＝1，
当a、b、c中有三个负数时，
＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3，
故答案为：1或﹣3．
10．阅读下列材料，并解决有关问题：我们知道，|x|＝ ，现在我们可以用这一结论来化
简含有绝对值的式子，例如化简式子|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝
2（称﹣1、2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值 x＝﹣1和x＝2可将全体有
理数不重复且不遗漏地分成如下三种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．从而化简代数式|
x+1|+|x﹣2|可分为以下3种情况：
（Ⅰ）当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；
（Ⅱ）当﹣1≤x＜2时，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3；
（Ⅲ）当x≥2时，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1；
综上所述：原式＝ ．通过以上阅读，请你类比解决以下问题：
（1）填空：|x+2|与|x﹣4|的零点值分别为 ；
（2）化简式子|x﹣3|+2|x+4|．
【分析】（1）令x+2＝0和x﹣4＝0，即可求得|x+2|与|x﹣4|的零点值；
（2）先求出零点值，然后根据零点值分三种情况进行讨论；
【解答】解：（1）令x+2＝0和x﹣4＝0，
求得：x＝﹣2和x＝4，
故答案为：﹣2和4；
（2）由x﹣3＝0得x＝3，由x+4＝0得x＝﹣4，
①当x＜﹣4时，原式＝﹣（x﹣3）﹣2（x+4）＝﹣3x﹣5；
②当﹣4≤x＜3时，原式＝﹣（x﹣3）+2（x+4）＝x+11；
③当x≥3时，原式＝（x﹣3）+2（x+4）＝3x+5；
综上所述：原式＝ ．、
考点二 已知范围的绝对值的化简
【知识点睛】
已知范围的绝对值的化简的基本步骤
1. 判断绝对值内部式子的正负
2. 把绝对值改为小括号
3. 根据去括号法则去括号
4. 化简合并
易错点拨：
1. 数轴上两个数（或字母）相加减的正负判断：
① 两数（或字母）相减时，右边-左边＞0，左边-右边＜0
（与两数本来的正负无关）；
② 两数（或字母）相加时，原点右侧两数相加＞0，原点左侧
两数相加＜0，原点两侧的两个数相加，谁离原点远，和就取谁的符
号；
2. 具体两数相加减的正负判断：
① 大数-小数＞0；小数－大数＜0；
② 正数＋正数＞0；负数＋负数＜0；正数＋负数时，谁的绝
对值大，和就取谁的符号3. 去括号法则：括号外是“+”，去掉括号后，括号内的各项符号不变；
括号外是“-”，去掉括号后，括号内的各项符号都改变；
【类题训练】
1．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简|b+1|﹣|b﹣a|的结果为（ ）
A．a﹣2b﹣1 B．a+1 C．﹣a﹣1 D．﹣a+2b+1
【分析】先根据数轴判断a、b的大小，再判断所求式子中绝对值内部的符号，再化简求值．
【解答】解：由数轴可知，﹣1＜b＜0，1＜a＜2，
∴b+1＞0，|b+1|＝b+1，
b﹣a＜0，|b﹣a|＝a﹣b，
∴原式＝b+1﹣（a﹣b）
＝1+2b﹣a，
故选：D．
2．有理数m、n在数轴上的位置如图所示，则|m﹣n|+|m+n|的值为（ ）
A．2n B．2m C．﹣2n D．﹣2m
【分析】由图可知，m＜0，n＞0，且|m|＜|n|，即可得到m﹣n＜0，m+n＞0，根据绝对值的意义|a|＝
进行计算即可得出答案．
【解答】解：由图可知，
∵m＜0，n＞0，且|m|＜|n|，
∴m﹣n＜0，m+n＞0，
∴|m﹣n|+|m+n|＝﹣（m﹣n）+m﹣n＝﹣m+n+m+n＝2n．
故选：A．
3．有理数a、b、c在数轴上的位置如下图所示，化简：|a+c|﹣|c﹣b|+|a+b|＝ ．
【分析】根据题意可知：b＜﹣c＜a＜0＜a＜c＜﹣b，然后可知a+c＞0，c﹣b＞0，a+b＜0，然后根据绝对值的性质进行化简即可求出答案．
【解答】解：由数轴可知：b＜﹣c＜a＜0＜a＜c＜﹣b，
∴a+c＞0，c﹣b＞0，a+b＜0，
∴原式＝（a+c）﹣（c﹣b）﹣（a+b）
＝a+c﹣c+b﹣a﹣b
＝0，
故答案为：0．
4．已知，有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：|c+b|﹣|a﹣c|+|b﹣a|．
【分析】根据有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置可得∵3＜a＜4，0＜b＜1，﹣2＜c＜﹣1，即
可得 再根据绝对值的性质|a|＝ 行计算即可得出答
案．
【解答】解：如图可知，
∵3＜a＜4，0＜b＜1，﹣2＜c＜﹣1，
＝﹣（c+b）﹣（a﹣c）+[﹣（b﹣a）]
＝﹣c﹣b﹣a+c﹣b+a
＝﹣2b．
5．已知a、b、c三个数在数轴上对应点如图，其中O为原点，化简|b﹣a|﹣|2a﹣b|+|a﹣c|﹣|c|．
【分析】先根据数轴得出a、b、c的取值范围，再根据正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的
相反数来化简所求的式子，再进行合并即可．
【解答】解：根据数轴可得
c＜b＜0＜a，
∴|b﹣a|﹣|2a﹣b|+|a﹣c|﹣|c|＝a﹣b﹣（2a﹣b）+a﹣c﹣（﹣c）＝a﹣b﹣2a+b+a﹣c+c＝0．6．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示：化简：|a+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|b﹣a|+|b+c|
【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负情况以及绝对值的大小，然后求出a+c，a﹣b﹣c，b﹣a，
b+c的正负情况，再根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后合并同类项即可得解．
【解答】解：根据图形可得，a＞0，b＜0，c＜0，且|a|＜|b|＜|c|，
∴a+c＜0，a﹣b﹣c＞0，b﹣a＜0，b+c＜0，
∴|a+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|b﹣a|+|b+c|，
＝﹣a﹣c﹣a+b+c+b﹣a﹣b﹣c，
＝﹣3a﹣c+b．
7．如图，已知数轴上点A，B，C所对应的数a，b，c都不为0，且C是AB的中点，如果|a+b|﹣|a﹣2c|
+|b﹣2c|﹣|a+b﹣2c|＝0，试确定原点O的大致位置．
【分析】数轴与绝对值结合，先根据绝对值的性质，判断出 a，b，c的大致取值，再根据图形和已
知等式确定原点位置．
【解答】解：C是AB的中点，则a+b＝2c，
因而①a+b﹣2c＝0 |a+b﹣2c|＝0，
②a﹣2c＝﹣b |a﹣⇒2c|＝|﹣b|＝|b|，
③b﹣2c＝﹣a⇒|b﹣2c|＝|﹣a|＝|a|，
所以原式＝|a+b⇒|﹣|b|+|a|﹣0＝0 |a+b|＝|b|﹣|a|，
因为|a+b|＞0 a，b异号，并且⇒|b|＞|a|，
就是|OB|＞|O⇒A|，
因而点O在A，C之间．
8．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|2a|﹣|a+c|﹣|1﹣b|+|﹣a﹣b|
【分析】先根据数轴上各点的位置确定 2a、a+c、1﹣b、﹣a﹣b的符号，再根据绝对值的性质去掉
绝对值符号，合并同类项即可．
【解答】解：∵a、c在原点的左侧，a＜﹣1，
∴a＜0，c＜0，
∴2a＜0，a+c＜0，∵0＜b＜1，
∴1﹣b＞0，
∵a＜﹣1，
∴﹣a﹣b＞0
∴原式＝﹣2a+（a+c）﹣（1﹣b）+（﹣a﹣b）
＝﹣2a+a+c﹣1+b﹣a﹣b
＝﹣2a+c﹣1．
故答案为：﹣2a+c﹣1．
9．有理数a，b在数轴上的对应点位置如图所示，且|a|＝|c|．
（1）用“＜”连接这四个数：0，a，b，c； ；
（2）比较大小：a b，a+c 0；
（3）化简：|a+b|﹣2|a|﹣|b+c|．
【分析】（1）根据数轴上的点左边的数比右边的数小即可判断；
（2）根据数轴和相反数的性质可得答案；
（3）利用绝对值的性质即可解决问题；
【解答】解：（1）根据数轴得：b＜a＜0＜c；
故答案为：b＜a＜0＜c；
（2）由数轴可得，b＜a＜0＜c，|a|＝|c|，
∴a＞b，a+c＝0；
故答案为：＞，＝；
（3）由图可知：a＜0，a+b＜0，b+c＜0，a+c＝0，
∴原式＝﹣a﹣b+2a+b+c
＝a+c
＝0．
10．已知A，B，C三点在数轴上如图所示，它们表示的数分别是a，b，c．且|a|＜|b|．
（1）①填空：abc 0，a+b 0（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）化简：|a﹣b|﹣2|a+b|+|b﹣c|．
【分析】（1）根据数轴上的点所在位置判断a、b、c的正负号，再确定abc、a+b正负号；（2）先确定a﹣b，a+b以及b﹣c的正负号，再根据绝对值的性质去绝对值符号即可．
【解答】解：（1）根据数轴上A、B、C三点的位置，可知a＜0＜b＜c，且|c|＞|b|＞|a|，
∴abc＜0，a+b＞0，
故答案为：＜，＞；
（2）由题意可知，a﹣b＜0，a+b＞0，b﹣c＜0，
∴|a﹣b|﹣2|a+b|+|b﹣c|
＝b﹣a﹣2（a+b）+c﹣b
＝b﹣a﹣2a﹣2b+c﹣b
＝﹣3a﹣2b+c．
11．若用点A，B，C分别表示有理数a，b，c，它们在数轴上的位置如图所示．
（1）比较a，b，c的大小（用“＜”连接）；
（2）请在横线上填上＞，＜或＝：a+b 0，b﹣c 0；
（3）化简：2c+|a+b|+|c﹣b|−|c﹣a|．
【分析】（1）根据数轴上点的位置判断即可；
（2）根据有理数的加减法法则判断即可；
（3）利用绝对值的代数意义化简即可．
【解答】解：（1）根据数轴上点的位置得：a＜c＜b；
（2）∵a＜c＜0＜b，且|b|＜|a|，
∴a+b＜0，b﹣c＞0，
故答案为：＜；＞；
（3）∵a+b＜0，c﹣b＜0，c﹣a＞0，
∴2c+|a+b|+|c﹣b|﹣|c﹣a|
＝2c﹣a﹣b+b﹣c﹣c+a
＝0．
12．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示：
（1）判断下列各式的符号，用“＞”或“＜”填空：a+b 0，c﹣b 0；
（2）化简|a+b|﹣2|c﹣b|．【分析】（1）根据a、b、c在数轴上的位置，利用有理数的加法的计算方法，可得出答案；
（2）化简绝对值再计算即可．
【解答】解：（1）由a、b、c在数轴上的位置，可知c＜a＜0＜b，且|c|＞|b|＞|a|，
所以，a+b＞0，c﹣b＜0，
故答案为：＞，＜；
（2）|a+b|﹣2|c﹣b|＝a+b﹣2（b﹣c）＝a+b﹣2b+2c＝a﹣b+2c．
