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专题02运算方法之因式分解重要方法综合难点专练（原卷
版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．多项式 与多项式 的公因式是（ ）
A． B． C． D．
2．若多项式 可因式分解为 ，其中 、 、 均为整数，则
的值是（ ）
A．1 B．7 C．11 D．13
二、填空题
3．分解因式：a2b-18ab+81b＝_____．
4．正实数 ， 满足 ，则 ______．
5．把多项式 因式分解，结果为________．
三、解答题
6．（1）计算： ；
（2）计算： ；
（3）因式分解： ．
7．分解因式：
（1）
（2）
（3）
8．从三位数m的各数位上的数字中任选两个构成一个两位数，这样就可以得到六个两
位数，我们把这六个两位数叫做数m的“生成数”．数m的“生成数”之和与22的商
1记为G（m），例如m＝123，G（123）＝ ＝6．
（1）直接写出G（234）＝ ；并证明：对于任意的三位数n，G（n）为整数；
（2）数p，q是两个三位数，他们都有“生成数”，p＝100a+40+b（1≤a≤9，1≤b≤9且
a≠b），q＝130+c（1≤c≤3），规定：k＝ ，若G（p）•G（q）＝56，求k的最大值．
9．先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题：
例：解不等式x2-9<0
解：∵ ，∴原不等式可化为 ，
由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得
① ②
解不等式组①得， ，解不等式组②无解
∴原不等式 的解集为
（1）不等式 解集为 ；
（2） 不等式 解集为 ；
（3） 解不等式 ．
10．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项
式只用上述方法就无法分解，如 ，我们细心观察这个式子就会发现，
前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公
因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。
过程为： ；
这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式： ；
（2） 三边a，b，c满足 ，判断 的形状.
11．（阅读学习）
课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解
因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因
2式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而
在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如：
（1） ；
（2） ．
（学以致用）
请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：
（1） ；
（2） ．
（拓展应用）
已知： ， ．求： 的值．
12．第一步：阅读村料，掌握知识．
要把多项式 分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，把它
的后两项分成组，并提出b，从而得 ．这时，由
于 中又有公因式 ，于是可提公因式 ，从而得到
，因此有
．
这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，
它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．
第二步：理解知识，尝试填空：
（1）
第三步：应用知识，因式分解：
（2） x2-(p+q)x+pq；
（3） ．
第四步：提炼思想，拓展应用
（4）已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2+2b2+c2=2b（a+c），试判断这个
三角形的形状，并说明理由．
313．阅读下面的材料：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如
，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两
部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．
利用分组分解法解决下面的问题：
（1）分解因式： ；
（2）已知等腰三角形的三边a、b、c均为整数，且 ，则满足该条件
的等腰三角形共有________个，请说明理由．
14．把下列多项式因式分解（要写出必要的过程）：
（1）﹣x2y+6xy﹣9y；
（2）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2；
（3）1﹣x2﹣y2+2xy．
15．先阅读下列材料，再解答问题：
常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无
法分解，例如多项式 和 ．经过细心观察可以发现，若将
多项式进行合理分组后，先将每一组进行分解，分别分解后再用提公因式法或公式法
就可以完整分解了.
解答过程如下：
这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法．
利用上述思想方法，把下列各式分解因式：
4（1）
（2）
16．阅读材料：若 ，求x，y的值．
解：∵
∴
∴
∴ ，
∴
根据上述材料，解答下列问题：
（1） ，求 的值；
（2） ， ，求 的值．
17．已知a+b=-2，a-b=2，把（a2+b2-1）2-4a2b2先分解因式，再求值．
18．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公
式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、配方法（拆项法）、十字相乘法等等．
分组分解法是将一个多项式适当分组后，再用提公因式或运用公式继续分解的方法．
如①和②：
①
②
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
5（1）分解因式： ；
（2）两个不相等的实数m，n满足 ．若 ， ，求
和k的值．
19．阅读理解：下面是小明同学分解因式ax+ay+bx+by的方法，首先他将该多项式分
为两组得到 （ax+ay）+ （bx+by）．然后对各组进行因式分解，得到a （x+y）+ b
（x+y），结果发现有公因式（x+y），提出后得到 （x+y） （a+b）．
（1）小颖同学学得小明同学方法后，她也尝试对多项式 进行因式分
解，则她最后提出的公因式是 ；
（2）请同学们也尝试用小明的方法对多项式 进行因式分解；
（3）若小强同学将多项式 进行因式分解时发现有公因式（x﹣
3），求 的值．
20．观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分解因式：
甲：x2＋2ax﹣3a2
＝x2＋2ax＋a2﹣a2﹣3a2
＝（x＋a）2﹣4a2（分成两组）
＝（x＋a）2﹣（2a）2
＝（x＋3a）（x﹣a）（平方差公式）
乙：a2﹣b2﹣c2＋2bc
＝a2﹣（b2＋c2﹣2bc）（分成两组）
=a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a＋b﹣c）（a﹣b＋c）（再用平方差公式）
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
（1）x2﹣4x＋3
（2）x2-2xy-9+y2
（3）x2+2xy+y2-6x-6y+9
21．整式乘法与多项式因式分解是既有联系又有区别的两种变形．
例如， 是单项式乘多项式的法则；把这个法则反过来，得到
，这是运用提取公因式法把多项式因式分解．
又如 、 是多项式的乘法公式；把这些公式
反过来，得到 、 ，这是运用公式法把多项
6式因式分解．
有时在进行因式分解时，以上方法不能直接运用，观察甲、乙两名同学的进行的因式
分解．
甲：
（分成两组）
（分别提公因式）
乙：
（分成两组）
（运用公式）
请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解
问题一：因式分解：
（1） ；
（2） ．
问题二：探究
对 、 定义一种新运算 ，规定： （其中 ， 均为非零
常数）．当 时， 对任意有理数 、 都成立，试探究 ， 的
数量关系．
22．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成 块，其中有 块是边长为 的
大正方形， 块是边长都为 的小正方形， 块是长为 ，宽为 的相同的小长
方形，且 ．
7（1）观察图形，可以发现代数式 可以因式分解为 ；
（2）若图中阴影部分的面积为 ，大长方形纸板的周长为 ．
①求 的值；
②求图中空白部分的面积．
23．阅读下列材料：对于多项式x2＋x﹣2，如果我们把x＝1代入此多项式，发现x2＋x
﹣2的值为0，这时可以确定多项式中有因式（x﹣1）；同理，可以确定多项式中有另
一个因式（x＋2），于是我们可以得到：x2＋x﹣2＝（x﹣1）（x＋2）．又如：对于多
项式2x2﹣3x﹣2，发现当x＝2时，2x2﹣3x﹣2的值为0，则多项式2x2﹣3x﹣2有一个
因式（x﹣2），我们可以设2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（mx＋n），解得m＝2，n＝1，于
是我们可以得到：2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（2x＋1）．
请你根据以上材料，解答以下问题：
（1）当x＝ 时，多项式8x2﹣x﹣7的值为0，所以多项式8x2﹣x﹣7有因式 ，
从而因式分解8x2﹣x﹣7＝ ；
（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝
试用试根法分解多项式：
①3x2＋11x＋10；
②x3﹣21x＋20
24．用因式分解法解一元二次方程x2﹣5x＝6，下列是排乱的解题过程：
①x＋1＝0或x﹣6＝0，②x2﹣5x﹣6＝0，③x＝﹣1，x＝6，④（x＋1）（x﹣6）＝0
1 2
（1）解题步骤正确的顺序是 ；
（2）请用因式分解法解方程：（x＋3）（x﹣1）＝12
25．我们知道部分二次三项式可以用十字相乘法进行因式分解，如：
∴原式
部分二次四项式也可以用十字相乘法进行因式分解，如：
∴原式
用十字相乘法分解下列各式：
（1）
（2）
8（3）
26．现有若干张边长为a的正方形A型纸片，边长为b的正方形B型纸片，长宽为a、
b的长方形C型纸片，小明用了部分纸片拼出图1，他根据几何图形的面积关系可以得
到一个等式： ．
（1）小明又拼出图2，请根据图2写出一个等式：_____________．
（2）小明同学接着用x张A型纸片，y张B型纸片，z张C型纸片拼出了一个面积为
的大长方形,那么 _______．
（3）最后小明同学又选取了2张A型纸片，6张B型纸片，7张C型纸片拼成了一个
长方形，则此长方形的周长为_________．（用含a、b的代数式表示）
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