文档内容
专题 06 填空压轴分类练（十大考点）
实战训练
一．图形的折叠
1．已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB＝AC＝10，BC＝6．将纸片沿DE折叠，使点A
与点B重合（如图乙）时，CE＝a；再将纸片沿EF折叠，使得点C恰好与BE边上的G点重合，
折痕为EF（如图丙），则△BFG的周长为 1 6 ﹣ 2 a （用含a的式子表示）．试题分析：根据折叠的性质得BE＝AE＝10﹣a，EG＝CE＝a，GF＝CF，可得BG＝10﹣a﹣a＝
10﹣2a，即可得△BFG的周长．
答案详解：解：∵AB＝AC＝10，CE＝a，
∴AE＝10﹣a，
由折叠得：BE＝AE＝10﹣a，EG＝CE＝a，GF＝CF，
∴可得BG＝10﹣a﹣a＝10﹣2a，
∴△BFG的周长为BF+GF+BG＝BC+BG＝6+10﹣2a＝16﹣2a．
所以答案是：16﹣2a．
二．乘法公式的灵活运用
2．若（2022﹣a）（2021﹣a）＝2020，则（2022﹣a）2+（2021﹣a）2＝ 404 1 ．
试题分析：根据完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，即可求出答案．
答案详解：解：设x＝2022﹣a，y＝2021﹣a，
∴xy＝2020，x﹣y＝2022﹣a﹣2021+a＝1，
∴（2022﹣a）2+（2021﹣a）2
＝x2+y2
＝（x﹣y）2+2xy
＝1+2×2020
＝4041．
所以答案是：4041．
k−9
3．一个正方形的边长增加3cm，它的面积就增加kcm2（k＞9），则这个正方形的边长是
6
cm．（请用含k的式子表示）
试题分析：设该正方形的边长为acm，根据题意列式计算即可．
答案详解：解：设该正方形的边长为acm，根据题意得，（a+3）2﹣a2＝k，
去括号得，a2+6a+9﹣a2＝k，
移项合并得，6a＝k﹣9，
k−9
系数化为1，得a= ，
6
k−9
所以答案是： ．
6
三．因式分解的应用
1 1
4．实数a，b满足（a2+4）（b2+1）＝5（2ab﹣1），则分式b（a+ ）的值是 3 ．
a 2
试题分析：先将已知等式移项，配方，再求出a，b即可．
答案详解：解：∵（a2+4）（b2+1）＝5（2ab﹣1），
∴a2b2﹣6ab+9+a2+4b2﹣4ab＝0．
∴（ab﹣3）2+（a﹣2b）2＝0．
∴ab﹣3＝0，a﹣2b＝0．
∴ab＝3，a＝2b．
b
∴原式＝ab+
a
b
＝3+
2b
1
＝3+
2
1
＝3 ．
2
1
所以答案是：3
2
5．已知x2﹣3x﹣1＝0，则2x3﹣3x2﹣11x+1＝ 4 ．
试题分析：根据已知x2﹣3x﹣1＝0，可得x2＝3x+1．可以利用这个等式对预求的代数式进行降次、
化简．
答案详解：解：2x3﹣3x2﹣11x+1
＝2x×x2﹣3x2﹣11x+1
＝2x×（3x+1）﹣3（3x+1）﹣11x+1
＝6x2+2x﹣9x﹣3﹣11x+1＝6x2﹣18x﹣2
＝6×（3x+1）﹣18x﹣2
＝18x+6﹣18x﹣2
＝4．
所以答案是4．
四．分式的化简---整体思想
x2+ y2+z2
6．若3x﹣4y﹣z＝0，2x+y﹣8z＝0，则 的值为 2 ．
xy−yz+xz
试题分析：先把z当作已知条件表示出x、y的值，再代入原式进行计算即可．
{3x−4 y−z=0 {x=3z
答案详解：解：∵解方程组 ，解得 ，
2x+ y−8z=0 y=2z
(3z) 2+(2z) 2+z2 14z2
∴原式= = =2．
6z2−2z2+3z2 7z2
所以答案是：2．
x2 1
7．已知x2﹣5x+1＝0，则 的值是 ．
x4+3x2+1 26
试题分析：先根据题意得出x2＝5x﹣1，再根据分式混合运算的法则进行计算即可．
答案详解：解：∵x2﹣5x+1＝0，
∴x2＝5x﹣1，
5x−1
=
∴原式
(5x−1) 2+3x2+1
5x−1
=
25x2+1−10x+3x2+1
5x−1
=
28x2−10x+2
5x−1
=
28(5x−1)−10x+2
5x−1
=
26(5x−1)
1
= ．
261
所以答案是： ．
26
五．配方法的灵活运用
8．如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，设BC＝a，AC＝b，若a，b满足a2﹣10a+b2﹣
18b+106＝0，则CD的取值范围是 2 ＜ CD ＜ 7 ．
试题分析：已知等式变形后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出 a与b的值，即
可求出CD的取值范围．
答案详解：解：已知等式整理得：
（a2﹣10a+25）+（b2﹣18b+81）＝0，
即（a﹣5）2+（b﹣9）2＝0，
∵（a﹣5）2≥0，（b﹣9）2≥0，
∴a﹣5＝0，b﹣9＝0，
解得：a＝5，b＝9，
∴BC＝5，AC＝9，
延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，
∵CD为AB边上的中线，
∴BD＝AD，
在△BCD和△AED中，
{
CD=ED
∠CDB=∠EDA，
BD=AD
∴△BCD≌△AED（SAS），
∴AE＝BC＝a，
在△ACE中，AC﹣AE＜CE＜AC+AE，
∴AC﹣BC＜2CD＜AC+AE，即b﹣a＜2CD＜a+b，
b−a a+b
∴ ＜CD＜ ，
2 2
则2＜CD＜7．所以答案是：2＜CD＜7．
9．已知x2+y2﹣2x+6y+10＝0，则x2+y2＝ 1 0 ．
试题分析：已知等式利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出x与y的值，代入原式计
算即可得到结果．
答案详解：解：已知等式整理得：
（x2﹣2x+1）+（y2+6y+9）＝0，
即（x﹣1）2+（y+3）2＝0，
∵（x﹣1）2≥0，（y+3）2≥0，
∴x﹣1＝0，y+3＝0，
解得：x＝1，y＝﹣3，
则原式＝1+9＝10．
所以答案是：10．
六．动点全等三角形的存在性
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点C在直线l上．点P从点A出发，在三
角形边上沿A→C→B的路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿B→C→A的路径
向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若
有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整
个运动才能停止．在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，则点P的运动时间
14
等于 2 或 或 1 2 秒时，△PEC与△CFQ全等．
3试题分析：分四种情况，点P在AC上，点Q在BC上；点P、Q都在AC上；点P到BC上，点
Q在AC上；点Q到A点，点P在BC上．
答案详解：解：∵△PEC与△CFQ全等，
∴斜边PC＝斜边CQ，
分四种情况：
当点P在AC上，点Q在BC上，如图：
∵CP＝CQ，
∴6﹣t＝8﹣2t，
∴t＝2，
当点P、Q都在AC上时，此时P、Q重合，如图：
∵CP＝CQ，
∴6﹣t＝2t﹣8，
14
∴t= ，
3
当点P到BC上，点Q在AC上时，如图：
∵CP＝CQ，∴t﹣6＝2t﹣8，
∴t＝2，不符合题意，
当点Q到A点，点P在BC上时，如图：
∵CQ＝CP，
∴6＝t﹣6，
∴t＝12，
14
综上所述：点P的运动时间等于2或 或12秒时，△PEC与△CFQ全等，
3
14
所以答案是：2或 或12．
3
七．手拉手模型---旋转
11．如图，△ABD与△ACE都是等边三角形，且AB≠AC，下列结论：①BE＝CD；②∠BOD＝
60°；③∠BDO＝∠CEO；④若∠BAC＝90°，DA∥BC，则 BC⊥EC．其中正确的是
①②④ （填序号）．
试题分析：由SAS证得△DAC≌△BAE得出BE＝DC，∠ADC＝∠ABE，求出∠BOD＝60°，①
正确；②正确；∠ADB＝∠AEC＝60°，但不能推出∠ADC＝∠AEB，则∠BDO＝∠CEO错误，
即③错误；再由平行线的性质得出∠DAB＝∠ABC＝60°，推出∠ACB＝30°，则BC⊥CE，④
正确．
答案详解：解：∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠ADB＝∠ABD＝60°，∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，在△DAC和△BAE中，
{
AD=AB
∠DAC=∠BAE，
AC=AE
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE＝DC，∠ADC＝∠ABE，
∵ ∠ BOD ＝ 180°﹣ ∠ ODB﹣ ∠ DBA﹣ ∠ ABE ＝ 180°﹣ ∠ ODB﹣ 60°﹣ ∠ ADC ＝ 120°﹣
（∠ODB+∠ADC）＝120°﹣60°＝60°，
∴∠BOD＝60°，∴①正确；②正确；
∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴∠ADB＝∠AEC＝60°，但根据已知不能推出∠ADC＝∠AEB，
∴∠BDO＝∠CEO错误，∴③错误；
∵DA∥BC，
∴∠DAB＝∠ABC＝60°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝30°，
∵∠ACE＝60°，
∴∠ECB＝90°，
∴BC⊥CE，④正确，
综上所述，①②④正确，
所以答案是：①②④．
12．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别
交CD，BD于点M、P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM．下列结论：①△ABE≌△DBC；
②∠DMA＝60°；③△BPQ 为等边三角形；④ MB 平分∠AMC．其中结论正确的是
①②③④ ．
试题分析：由等边三角形的性质得出AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC，得出∠ABE＝
∠DBC，由SAS即可证出△ABE≌△DBC；由△ABE≌△DBC，得出∠BAE＝∠BDC，根据三角形外角的性质得出∠DMA＝60°；由ASA证明△ABP≌△DBQ，得出对应边相等BP＝BQ，即可
得出△BPQ为等边三角形；由△ABE≌△DBC得到△ABE和△DBC面积等，且AE＝CD，从而
证得点B到AE、CD的距离相等，利用角平分线判定定理得到点B在角平分线上．
答案详解：解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，
∴AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC，
∴∠ABE＝∠DBC，∠PBQ＝60°，
在△ABE和△DBC中，
{
AB=DB
∠ABE=∠DBC，
BE=BC
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴①正确；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE＝∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠DMA＝∠BAE+∠BCD＝∠BDC+∠BCD＝60°，
∴②正确；
在△ABP和△DBQ中，
{
∠BAP=∠BDQ
AB=DB ，
∠ABP=∠DBQ=60°
∴△ABP≌△DBQ（ASA），
∴BP＝BQ，
∴△BPQ为等边三角形，
∴③正确；
∵△ABE≌△DBC
∴AE＝CD，S△ABE ＝S△DBC ，
∴点B到AE、CD的距离相等，
∴B点在∠AMC的平分线上，
即MB平分∠AMC；
∴④正确；
所以答案是①②③④．13．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，O是AC的中点，点F、D分别在
AB、BC上（点F、D与点A、B、C都不重合），OF⊥OD、OE⊥AD交AB于E，下列结论：
CD
①BD＝BE；②AF＝BD；③点E是BF的中点；④ 的值为定值．
EF
其中正确的结论是 ②③④ （填写序号）．
试题分析：先由点D是边BC上的动点得到①不正确，连接OB，由△ABC是等腰直角三角形得
到 OA＝OB＝OC，∠OAB＝∠ABO＝∠OBC＝∠C＝45°，然后由 OF⊥OD 得到∠AOF＝
∠BOD，从而证明△AOF≌△BOD，进而判定②正确，过点O作OM∥BC交AD于点M，从而
利用平行线的性质得到∠MOD＝∠ODC再结合∠OFB+∠BDO＝180°和∠BDO+∠ODC＝180°得
到∠OFE＝∠DOM，然后由OE⊥AD得到∠ODM＝∠FOE，进而得证△FOE≌△ODM，从而得
到2EF＝CD，判定③④．
答案详解：解：∵点D是边长BC上的动点，
∴①不正确；
如图，连接OB，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，点O是AC的中点，
∴∠OAB＝∠ABO＝∠OBC＝∠C＝45°，OB＝OA＝OC，∠AOB＝∠BOC＝90°，
∵OF⊥OD，
∴∠FOD＝90°，
∴∠FOA＝∠DOB，
在△AOF和△BOD中，
{∠FAO=∠DBO
OA=OB ，
∠AOF=∠BOD
∴△AOF≌△BOD（ASA），
∴OF＝OD，AF＝BD，故②正确；
过点O作OM∥BC，交AD于点M，则∠MOD＝∠ODC，OM是△ACD的中位线，
∵∠ABC＝∠FOD＝90°，∴∠BFO+∠BDO＝180°，
∵∠BDO+∠ODC＝180°，
∴∠BFO＝∠ODC，
∴∠BFO＝∠MOD，
∵OE⊥AD，
∴∠ODA+∠DOE＝90°，
∵∠FOE+∠DOE＝90°，
∴∠ODA＝∠FOE，
在△OFE和△DOM中，
{∠ODM=∠FOE
OD=OF ，
∠DOM=∠OFE
∴△OFE≌△DOM（ASA），
∴EF＝OM，
∵OM是△ACD的中位线，
1
∴OM= CD，
2
1 CD
∴EF= CD，即 =2，故④正确；
2 EF
又∵AF＝BD，AB＝CD，
∴BF＝CD，
1
∴EF= BF，
2
∴点E是BF的中点，故③正确；
∴正确的序号有②③④，
所以答案是：②③④．
八．直角三角形---30°与斜中线
14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2．D为BC上一动点，连接AD，AD的垂8
直平分线分别交AC，AB于点E，F，则线段BF长的最大值是 ．
3
试题分析：过点F作FH⊥BC于H，连接DF，设AF＝x，则BF＝4﹣x，结合含30°角的直角三
角形的性质可得关于x的不等式，计算可求解AF的最小值，进而可求得BF的最大值．
答案详解：解：过点F作FH⊥BC于H，连接DF，
设AF＝x，则BF＝4﹣x，
∵∠B＝30°，∠C＝90°，AC＝2，
∴AB＝4，
1 1
∴FH= BF＝2− x，
2 2
1
∴x≥2− x，
2
4
解得x≥ ，
3
4 4 8
∴AF最小值为 ，BF的最大值为4− = ．
3 3 3
8
所以答案是： ．
3
15．如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，AE是中线，两条高BF和CD交于点M，则下列结论
中，正确的是 ②③④ （填序号）．
①BF＝2AF；
②∠DMB＝2∠ACD；
③AC：AB＝CD：BF；④当点M在AE上时，△ABC是等边三角形．
试题分析：根据BF是高线，根据含30°角的性质可得AB＝2AF，结合直角三角形斜边长度大于
直角边可判定①；由CD是高可求解∠ACD＝30°，∠DMB＝60°，可判定②；通过△ABC面积
公式可判定③；根据三角形高线的性质可判定AE是△ABC中BC上的高线和中线，即可得AB
＝AC，进而可判定△ABC的形状可判定④．
答案详解：解：∵BF是高，
∴∠AFB＝∠BFC＝90°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABF＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝2AF，
∵AB＞BF，
∴BF＜2AF，故①错误
∵CD是高，
∴∠CDA＝90°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BAC＝30°，
∵∠BFC＝90°，
∴∠DMB＝∠FMC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DMB＝2∠ACD，故②正确；
∵∠AFB＝∠ADC＝90°，
1 1
∴S△ABC = AB•CD= AC•BF，
2 2
∴AB•CD＝AC•BF，
∴AC：AB＝CD：BF，故③正确；
∵BF，CD交于点M，点M在AE上，
∴AE⊥BC，∵AE是△ABC的中线，
∴AB＝AC，
∵∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，故④正确，
所以答案是：②③④．
九．最值问题--核心：共线
16．如图，点E，F分别为线段BC，DB上的动点，BE＝DF．要使AE+AF最小值，若用作图方式
确定E，F，则步骤是 作∠ CBG ＝∠ ADB ，取 BG ＝ AD ，连接 AG 与 BC 相交，得点 E ．作 DF
＝ BE ，得点 F ．则点 E ， F 即为所求 ．
试题分析：作∠CBG＝∠ADB，取BG＝AD，连接AG与BC相交，得点E．作DF＝BE，得点
F．
答案详解：解：如图，作∠CBG＝∠ADB，取BG＝AD，连接AG与BC相交，得点E．作DF＝
BE，得点F．则点E，F即为所求．
所以答案是：作∠CBG＝∠ADB，取BG＝AD，连接AG与BC相交，得点E．作DF＝BE，得点
F．则点E，F即为所求．
17．如图，AB＝AC＝5，∠BAC＝110°，AD是∠BAC内的一条射线，且∠BAD＝25°，P为AD上
一动点，则|PB﹣PC|的最大值是 5 ．
试题分析：作点B关于射线AD的对称点B'，连接AB'、CB'．则AB＝AB'，PB'＝PB，AB'C是等边三角形，在△PB'C中，|PB'﹣PC|≤B'C，当P、B'、C在同一直线上时，|PB'﹣PC|取最大值
B'C，即为5．所以PB﹣PC|的最大值是5．
答案详解：解：如图．
作点B关于射线AD的对称点B'，连接AB'、CB'．
则AB＝AB'，PB'＝PB，∠B'AD＝∠BAD＝25°，∠B'AC＝∠BAC﹣∠BAB'＝110°﹣25°﹣25°＝
60°．
∵AB＝AC＝5，
∴AB'＝AC＝5，
∴△AB'C是等边三角形，
∴B'C＝5，
在△PB'C中，|PB'﹣PC|≤B'C，
当P、B'、C在同一直线上时，|PB'﹣PC|取最大值B'C，即为5．
∴|PB﹣PC|的最大值是5．
所以答案是：5．
18．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝34°，在边AB，BC上分别找一点E，F使
△DEF的周长最小，此时∠EDF＝ 112 ° ．
试题分析：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于
E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求，结合四边形的内角和即可得出答案．
答案详解：解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB
于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求．∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝ ，
∴∠ADC＝180°﹣ ， α
由轴对称知，∠ADαE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q，
在△PDQ中，∠P+∠Q＝180°﹣∠ADC
＝180°﹣（180°﹣34）
＝34°
∴∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q＝34，
∴∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′）
＝180°﹣68°
＝112°
所以答案是：112°．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是
AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 9. 6 ．
试题分析：由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交
AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ
的长度，此题得解．
答案详解：解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP．
过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如
图所示．
1 1
∵S△ABC = BC•AD= AC•BQ，
2 2
BC⋅AD 12×8
∴BQ= = =9.6．
AC 10
所以答案是：9.6．
20．如图，在锐角△ABC中，BC＝4，∠ABC＝30°，∠ABD＝15°，直线BD交边AC于点D，点
P、Q分别在线段BD、BC上运动，则PQ+PC的最小值是 2 ．
试题分析：作点Q关于AD的对称点Q'，则点Q'在A上运动，连接PQ'，则PQ'＝PQ，所以
PQ+PC＝PQ'+PC≥CQ'，当CQ'⊥AB时，CQ'最短，据此解答即可．
答案详解：解：如图，作点Q关于AD的对称点Q'，
∵∠ABC＝30°，∠ABD＝15°，
∴点Q'在A上运动，
连接PQ'，则PQ'＝PQ，
∴PQ+PC＝PQ'+PC≥CQ'，
当CQ'⊥AB时，CQ'最短，
1 1
∴CQ'= BC= ×4=2，
2 2即PQ+PC的最小值是2．
所以答案是：2．
十 ．知识的综合运用
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，（1）BD
平分∠ABC；（2）点D是线段AC的中点；（3）AD＝BD＝BC；（4）△BDC的周长等于
AB+BC，上述结论正确的是 （ 1 ）（ 3 ）（ 4 ） ．
试题分析：由中垂线可得到BD是角平分线，再利用角的大小，得出线段之间的关系，进而可得
出结论．
答案详解：解：∵△ABC为等腰三角形，DE是AB边的中垂线，所以（1）正确；
∵∠A＝36°，
∴∠C＝∠BDC＝∠ABC＝72°，∠ABD＝∠A＝36°，
∴BC＝BD＝AD，（3）正确；
△BCD的周长为BC+BD+CD，∵AD＝BD，
∴△BCD的周长为AB+BC，（4）正确；
（2）中点D无法判断其是AC的中点，（2）错误
所以正确的结论为（1），（3），（4）．
故填（1），（3），（4）．
22．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做
“筝形”．筝形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．已知∠ADC＝120°，∠ABC＝60°，小婵
同学得到如下结论：①△ABC是等边三角形；②BD＝2AD；③S四边形ABCD ＝AC•BD；④点M、N 分别在线段 AB、BC 上，且∠MDN＝60°，则 MN＝AM+CN，其中正确的结论有
①②④ ．（填写所有正确结论的序号）
试题分析：由“筝形”的性质可得AB＝BC，AD＝CD，可证△ABC是等边三角形，故①正确；
由“SSS”可证△ABD≌△CBD，可得∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ADB＝∠BDC＝60°，由直角三
1
角形的性质可得BD＝2AD，故②正确；由面积关系可求S四边形ABCD = ×AC×BD，故③错误；
2
延长BC到E，使CE＝AM，连接DE，由“SAS”可证△MDN≌△EDN，可得MN＝EN，由线段
和差关系可得MN＝AM+CN，故④正确，即可求解．
答案详解：解：∵四边形ABCD是“筝形”四边形，
∴AB＝BC，AD＝CD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，故①正确；
∴∠BAC＝∠BCA＝60°，
∵AD＝CD，∠ADC＝120°，
∴∠DAC＝∠DCA＝30°，
∴∠DAB＝90°，
∵AD＝CD，AB＝BC，BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ADB＝∠BDC＝60°，
∴BD＝2AD，故②正确；
∵∠DOC＝∠DAC+∠ADB＝60°+30°＝90°，
∴AC⊥BD，
∵S四边形ABCD ＝S△ACD +S△ACB ，
1 1 1
∴S四边形ABCD = ×AC×OD+ ×AC×OB= ×AC×BD，故③错误；
2 2 2延长BC到E，使CE＝AM，连接DE，如图所示：
∵∠DAB＝∠DCB＝90°，
∴∠DAB＝∠DCE＝90°，
又∵AM＝CE，AD＝CD，
∴△ADM≌△CDE（SAS），
∴∠ADM＝∠CDE，DM＝DE，
∵∠ADC＝120°，
∵∠MDN＝60°，
∴∠ADM+∠CDN＝∠ADC﹣∠MDN＝60°，
∴∠CDE+∠CDN＝∠EDN＝60°，
∴∠EDN＝∠MDN，
又∵DN＝DN，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN＝EN，
∵EN＝CE+CN＝AM+CN，
∴AM+CN＝MN，故④正确；
所以答案是：①②④．
23．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AD于点E，CB＝CD．有下列结论：
①∠ABC+∠ADC＝180°；
②AB+AD＝2AE；
③∠CDB＝∠CAB；
④若∠BAD＝30°，AC＝6，M是射线AD上一点，N是射线AB上一点，则△CMN周长的最小
值大于6．
其中正确结论的序号是 ①②③ ．试题分析：过点C作CF⊥AB交于点F，证明Rt△CDE≌Rt△DBF（HL），可得∠ABC+∠ADC
＝180°；证明Rt△AEC≌Rt△AFC（HL），则AE＝AF，所以AB+AD＝2AB+2BF
＝2AF＝2AE；由∠BDC＝∠CBD，结合三角形外角∠DBF＝∠ADB+2∠CAB，可得
∠ADB+2∠CAB＝∠DBC+∠DBC+∠ADB，即可证明∠CAB＝∠DBC；作C点关于AD的对称点
G，作C点关于AB的对称点H，连接GH交AD于点M，交AB于点N，连接CM、CN、AG、
AH，当G、M、N、H四点共线时，△CMN周长最小，可证△AGH是等边三角形，GH＝AC＝
6，所以△CMN周长的最小值为6．
答案详解：解：过点C作CF⊥AB交于点F，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，
∴CF＝CE，
∵CB＝CD，
∴Rt△CDE≌Rt△DBF（HL），
∴DE＝BF，∠CBF＝∠CDE，
∵∠ABC+∠CBF＝180°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°；
故①正确；
∵CD＝CF，∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL），
∴AE＝AF，
∴AB+AD
＝AB+AE+ED
＝AB+AF+BF
＝AB+AB+BF+BF
＝2AB+2BF
＝2AF
＝2AE；故②正确；
∵CD＝BC，
∴∠BDC＝∠CBD，
∵∠DBF＝∠ADB+2∠CAB，
∠CBF＝∠CDE＝∠BDC+∠ADB，
∴∠ADB+2∠CAB＝∠DBC+∠DBC+∠ADB，
∴∠CAB＝∠DBC；
故③正确；
作C点关于AD的对称点G，作C点关于AB的对称点H，连接GH交AD于点M，交AB于点
N，连接CM、CN、AG、AH，
∵CM＝GM，CN＝HN，
∴CM+CN+MN＝GM+CH+MN≥GH，
∴当G、M、N、H四点共线时，△CMN周长最小，
∵∠BAD＝30°，
∴∠GAH＝60°，
∵AG＝AC＝AH，
∴△AGH是等边三角形，
∴GH＝AC，
∵AC＝6，
∴GH＝6，
∴△CMN周长的最小值为6；
故④不正确；
所以答案是：①②③．
