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专题 07 平行四边形、矩形、菱形、正方形中最值问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、平行四边形中的最值问题......................................................................................................................1
题型二、矩形中的最值问题..................................................................................................................................4
题型三、菱形中的最值问题..................................................................................................................................8
题型四、正方形中的最值问题............................................................................................................................12
B综合攻坚・能力跃升
题型一、平行四边形中的最值问题
1．（2025八年级上·山东·专题练习）如图，在 中， ， ， ，点P、Q分别
是 和 上的动点，在点P和点Q运动的过程中， 的最小值为（ ）
A．4 B．3 C． D．
2．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，在 中， ， ，点 是 边上的动点，
连接 ， ， 是 的中点， 是 的中点，则 的最小值是 ．
3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在 中， ， ， ， 是对角线
上的动点，连接 ．求 的最小值．
题型二、矩形中的最值问题
4．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，墙面 与地面 垂直，一块矩形木板 的顶点
分别在 和 上滑动，连接 （图中各点均在同一平面内），已知 ，在木板滑动的过
程中，下面说法正确的是（ ）A． 的最大值为9，最小值为3 B． 的最大值为 ，最小值为3
C． 的最大值为9，最小值为2 D． 的最大值为 ，最小值为1
5．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，在矩形 中， ， ，动点 满足
，则点 到 、 两点距离之和 的最小值为 ．
6．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）如图，点 是矩形 的对称中心，点 ，点 分别位于 ，
上，且 经过点 ， ， ， ，点 在 上运动，点 ， 在 上运动，且
则：
（1） 周长的最小值是 ．
（2）四边形 周长的最小值是 ．
题型三、菱形中的最值问题
7．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，菱形 的两条对角线相交于 点， ，
，点 是边 上的一个动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．8．（25-26八年级·上海·假期作业）如图，在菱形 中， ， ， 为对角线 上的
一个动点，点 在边 上， ，则 的最小值为 ．
9．（2025·陕西咸阳·三模）综合与实践
问题背景
如图，在菱形 中，连接 ， ， ．
初步探究
（1）菱形 的面积为 ．
（2）如图1，若E，F分别是 ， 上的动点，且 ，过点E作 ，过点F作 ，
垂足分别为点G，点H，求 的值．
拓展延伸
（3）如图2，P是 上的动点，连接 ．
① 的最小值为 ；
②如图3，Q是 上的动点，连接 ，且 ，求 的最小值．
题型四、正方形中的最值问题
10．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，正方形 的边长为12，点E在AB上，且 ，点F
是 上一动点，则 的最小值是（ ）
A．15 B． C． D．12
11．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）如图，正方形 的边长为5，点E，F在对角线 上（点E在点F的左侧），且 ．则 的最小值为 ．
12．（24-25九年级上·吉林长春·月考）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图
①，在正方形 中 ，点 分别在边 上，且 ，试探究线段 长度的最小值．
【问题分析】小明通过证明三角形全等，将动线段交点问题转化为单动点绕定点旋转问题，再通过定角或
老定长发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】请结合图①，在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：
① ；
②直接写出 的大小为____度．
（2）如图②，取 的中点 ，连结 ．
线段 长度为____，线段 长度的最小值为____．
【方法应用】如图③，在正方形 中，对角线 ，点 在边 上，点 在边 上，且始终
保持 ，连接 ，过点 作 交直线 于点 ．线段 的最小值为____．一、单选题
1．（24-25九年级上·山东青岛·月考）如图，在菱形 中，对角线 ， ，点M、N分别是
边 、 边上的动点，点P在 上运动，在运动过程中，存在 的最小值，则这个最小值是
（ ）
A．2.4 B．4.8 C．5 D．9.6
2．（25-26九年级上·四川内江·期末）如图，在矩形 中， ，动点 分别在对角线
上（点 在点 左侧），连接 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽合肥·一模）如图，正方形 中， ，点E，F分别在边 ， 上，点 在对角
线 上， ， ．下列结论错误的是（ ）A．若 ，则m的最小值为4 B．若m的最小值为4，则
C．若 ，则m的最小值为5 D．若m的最小值为5，则
4．（24-25九年级下·安徽六安·期中）如图，在Rt 中， ， ， ，已知点
是 延长线上任意一点，以 ， 为邻边作平行四边形 ，连 ， ，则下列结论错误的是
（ ）
A． 的面积不变
B．若点 与点 关于 对称，则 的最大值为
C． 的最小值为
D． 的周长的最小值为
二、填空题
5．（25-26九年级上·四川巴中·期末）如图，在 中， ．点H，G分别是边 ，
上的动点，连接 ， ，点E，F分别是 ， 的中点，连接 ，则 的最小值为
．
6．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）如图，在长方形 中, ， ， ，则CE+DF
的最小值是 ．
7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知菱形 的边长为2， ， 分别是边 ， 上的
动点， ，连接 ，则 的最小值为 ．8．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，边长为 的正方形 内有一动点 ，满足 ，
为边 上的动点，连接 ， ．
（1）当点 为边 的中点时， 长的最小值为 ；
（2） 的最小值为 ．
三、解答题
9．（24-25八年级下·江苏连云港·月考）如图，在 中， ， ， ， 为 边上一
动点， 于点 ， 于点 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)在点 运动的过程中， 的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
10．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在 中 ， ，
(1)求 度数．
(2)点 是 上的动点，将 沿直线 翻折等到 ，则线段 是否存在最小值？存在则求出
最小值，不存在请说明理由．
(3)在（2）的条件之下，点 是线段 上的动点，连接 ， ， 是否存在最小值？存在则求
出最小值，不存在请说明理由．
11．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形 中， ，点E是边 的中点，
点P是边 上的动点（点P不与点A重合），以点E为旋转中心，将点P逆时针旋转 ，得到点F．连
结 ．(1)求出点F与直线 的距离．
(2)线段 的长度的最小值是______．
(3)求线段 与 长度之和的最小值．
(4)直接写出线段 与 长度之和的最大值．
12．（24-25八年级下·福建·期中）如图，在菱形 中， 、 交于 点．
(1)若 为对角线 上一动点， 是 的中点，请在图 中画出当 取得最小值时的点 ，简单
写出点 的做法，不需要证明；
(2)如图 ， 为对角线 上一动点， 为边 上一动点，若 的最小值为 ，这个值恰好
与（1）中 的最小值相等，求菱形的边长 要求画出必要的图形 ；
(3)在（2）的条件下，如图 所示，若点 是 的中点，点 为线段 上的动点，在 绕着点 旋
转过程中，点 的对应点是 ，直接写出 、 两点间的距离的最大值和最小值．
13．（25-26九年级上·陕西西安·月考）【问题提出】
（1）如图1，正方形 的边长为6，M是对角线 上的一个动点， 是边 的中点，连接 ，
，则在点M的运动过程中， 的最小值为______．
【问题探究】
（2）如图2，四边形 是菱形， ，M，N是对角线 上的动点， 的长度为4且始
终保持不变，连接 ， ，求 的最小值．【问题解决】
（3）某国防教育基地在操场训练军体拳，要求训练方阵为正方形 ，如图3．为了效果更好，站在边
处的学生队伍要平分 ，其中，教学生军体拳的主教官站在点D处，另外两位教官分别在边
上的点M处和边 上的点N处指导纠正学生的动作，即M，N分别为边 ， 上的动点．通过记录并
计算，得到 的最小值为 ，请你计算学生训练方阵正方形 的边长．
