文档内容
专题08 难点探究专题：数轴上的动点问题之四大考点
【考点导航】
目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【考点一 数轴上的动点中求运动的时间问题】............................................................................................1
【考点二 数轴上的动点中求定值问题】........................................................................................................9
【考点三 数轴上的动点中找点的位置问题】..............................................................................................15
【考点四 数轴上的动点中几何意义最值问题】..........................................................................................23
【典型例题】
【考点一 数轴上的动点中求运动的时间问题】
例题：（2023秋·河南郑州·七年级统考期末）已知数轴上有 、 、 三个点，分别表示有理数 ， ，
，动点 从 出发，以每秒 个单位的速度向终点 移动，设移动时间为 秒．
(1)当 时，点 到点 的距离 ______ ；此时点 所表示的数为______ ；
(2)当点 运动到 点时，点 同时从 点出发，以每秒 个单位的速度向 点运动， 点到达 点后也停
止运动，则点 出发 秒时与 点之间的距离 ______ ；
(3)在（2）的条件下，当点 到达 点之前，请求出点 移动几秒时恰好与点 之间的距离为 个单位？
【答案】(1) ，
(2)3
(3) 秒或 秒
【分析】（1）利用线段 的长 点 的移动速度 点 的移动时间，可求出 的长；利用点 表示的数点 的移动速度 点 的移动时间，可求出点 所表示的数；
（2）由点 ， 的出发点、移动方向、移动速度及移动时间，可求出点 出发 秒时点 ， 表示的数，
再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出此时 的长；
（3）当点 的移动时间为 秒时，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，根据 ，可得
出关于 的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1） 动点 从 出发，以每秒 个单位的速度向终点 移动，
当移动时间为 秒时， ；
又 点 表示有理数 ，
当移动时间为 秒时，点 表示的数为 ．
故答案为： ， ；
（2）当点 出发 秒时，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，
此时 ．
故答案为： ；
（3）当点 的移动时间为 秒时，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，
根据题意得： ，
即 或 ，
解得： 或 ．
答：在 的条件下，当点 到达 点之前，点 移动 秒或 秒时恰好与点 之间的距离为 个单位．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·福建三明·七年级统考期中）如图，数轴上有 、 两个动点， 点以3个单位长度/秒作匀
速移动， 点以2个单位长度/秒作匀速移动，两点初始位置是： 点对应的数是 、 点对应的数是3．
(1)若 点分别到 、 两点的距离相等，那么点 对应的数是几?
(2)若 、 两点同时出发且相向移动，则经过几秒两点相遇?(3)若 、 两点同时出发向右移动，则经过几秒两点相距3个单位长度?
【答案】(1)
(2) 秒
(3)6或12秒
【分析】（1）由数轴上两点之间的距离相等，即可求出答案；
（2）先求出线段 的长度，然后列出方程求解即可；
（3）由题意，可以分为两种情况进行分析：追上前和追上后相距3个单位长度，然后分别求出时间即可．
【详解】（1）解：由题意，设点C表示的数是 ，则
∵ 点分别到 、 两点的距离相等，
，
解得： ，
∴点C对应的数是 ．
（2）解：∵ ，
设经过 秒两点相遇，则
，
∴ ；
∴经过 秒两点相遇．
（3）解：有两种情况：
①在追上之前： （秒）
②在追上超过后： （秒）
此时经过6或12秒两点相距3个单位长度．
【点睛】本题考查了数轴上表示的数，一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离等知识，解题的关键
是熟练掌握题意，正确的列出方程，从而进行解题．
2．（2023秋·安徽安庆·七年级统考期末）已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在点A左侧的一点，
且A，B两点间的距离为10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 秒．
(1)数轴上点B表示的数是 ；当点P运动到 的中点时，它所表示的数是 ．
(2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问：经过
多少秒，
①点P追上点Q？
②点P与点Q间的距离为8个单位长度？
【答案】(1) ，1
(2)①当P运动2.5秒时，点P追上点Q；②当点P运动0.5秒或4.5秒时，点P与点Q间的距离为8个单
位长度．
【分析】（1）根据数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．
即可得点B表示的数；进而可得当点P运动到 的中点时，它所表示的数；
（2）①根据题意，得 ，解方程即可求解；②根据点P追上点Q之前和之后之间的距离为8个单
位长度，分两种情况列方程即可求解．
【详解】（1）∵数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10，
∴得B点表示的数为 ；
当点P运动到 的中点时，它所表示的数为 ．
故答案为： ；1；
（2）①根据题意，得 ，
解得 ．
答：当P运动2.5秒时，点P追上点Q．
②分情况讨论：
当点P追上Q点之前，根据题意，得： ，
；
当点P追上Q点之后，根据题意，得： ，
．
答：当点P运动 秒或 秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴，解决本题的关键是根据数轴上动点的运动情况列方程．
3．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，数轴上A、B两点表示的数为 、19，动点P从点A出发，沿数轴以每秒3个单位长度匀速向右运动，动点Q从点B出发，沿数轴以每秒2
个单位长度匀速向左运动，且两点同时出发，设运动时间为t秒．
(1)求点A与点B两点间的距离；
(2)当t为何值时，P、Q两点相遇，求此时点P表示的数；
(3)若点P、Q相遇后，点Q按原路立即返回，速度变为原来的2倍，点P继续按原速原方向运动，在整个
运动过程中，t为何值时 ？
【答案】(1)25
(2) ，点P表示的数是9
(3) 或24
【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式求解；
（2）根据时间、路程、速度之间的关系求出t的值，再根据点P移动的距离求出表示的数；
（3）用含t的代数式表示出点P、Q表示的数，再分点Q在点B右侧和点Q在点B左侧两种情况，根据
分别列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解： ，
即点A与点B两点间的距离是25；
（2）解：由（1）知点A与点B两点间的距离是25，
P、Q两点相遇时， ，
解得 ，
，
因此 时，P、Q两点相遇，求此时点P表示的数是9；
（3）解：点P、Q相遇后，t时点P表示的数是 ，点Q表示的数是 ，
分两种情况，当点Q在点B左侧时：由 可得 ，
解得 ；
当点Q在点B右侧时：
由 可得 ，
解得 ；
综上可知，t为 或24时 ．
【点睛】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的实际应用，解题的关键是掌握数轴上两点间距离公
式，第3问注意分情况讨论，避免漏解．
4．（2023秋·福建三明·七年级统考期末）【阅读理解】
定义：A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离一半，则称点C是（A，B）的
相伴点．
例如：如图1，点A表示的数为 ，点B表示的数为1，点C表示的数为 ，点D表示的数为0．点C到
点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点C是（A，B）的相伴点；又如，点D到点A的距离是2，到
点B的距离是1，那么点D就不是（A，B）的相伴点，但点D是（B，A）的相伴点．
【知识应用】
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为 ，点N所表示的数为1．
(1)点E，F，G表示的数分别是 ， ， ，其中___________是（M，N）的相伴点；
(2)现有一个动点P从点M出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，当运动时间t为何值时，点P是
（N，M）的相伴点？
【拓展提升】
(3)如图3，A，B为数轴上两点，若点A表示的数是 ，点B表示的数是 ，现有两个动点P、Q分别从
点A，B开始，同时出发，均以每秒3个单位长度的速度向右运动．当点P，Q和B中恰有一个点为其余两点的相伴点时，运动时间为___________秒（直接写出答案）．
【答案】(1)点E或
(2) 或6秒
(3) 或 或 或 或 或
【分析】（1）根据概念分别求出三点到M、N的距离，即可得出答案；
（2）方法一：依题意得： ， ， ，分当 时，当 时列出方程求解即
可得出答案；
方法二：依题意得： ， ， ，分当 时，当 时列出方程求解即可得出答案；
（3）求出 表示的数为 ，点Q表示的数为 ，根据相伴点的概念分情况讨论即可得出答案．
【详解】（1） 点E点M的距离为9，点E点N的距离为
点E 是（M，N）的相伴点；
点F点M的距离为6，点E点N的距离为3
点F 不是（M，N）的相伴点；
点G点M的距离为 ，点E点N的距离为
点G 不是（M，N）的相伴点；
综上，E 是（M，N）的相伴点
（2）方法一：
解：依题意得： ， ，
当 时， ，则有：
解得：当 时， ，则有：
解得：
∴综上所述，当运动时间 或6秒时，点P是（N，M）的相伴点
方法二：
依题意得： ， ，
当 时， ，则有：
解得：
当 时， ，则有：
解得：
∴综上所述，当当运动时间t=2或6秒时，点P是（N，M）的相伴点；
（3） 两个动点P、Q分别从点A，B开始，同时出发，均以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动
时间为
动点P、Q运动的距离为
点P表示为 ，点Q表示为
①点B是 的相伴点时
则
解得 ；
②点B是 的相伴点时
则
解得 ；③点P是 的相伴点时
则
解得 ；
④点P是 的相伴点时
则
解得 ；
⑤点Q是 的相伴点时
则
解得 ；
⑥点Q是 的相伴点时
则
解得
综上所述，运动时间为： 或 或 或 或 或 秒．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系式并理解相伴点的概念．
【考点二 数轴上的动点中求定值问题】
例题：点 在数轴上对应的数分别为 ，且 满足 ．
(1)如图，求线段 的长；
(2)若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程 的根，在数轴上是否存在点P使 ，
若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由；
(3)如图，点P在B点右侧， 的中点为 为 靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：① 的值不变；② 的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，
并求出其值．
【答案】(1)4
(2) 或
(3)正确的结论为① 的值不变，其值为2
【分析】（1）利用非负数的性质求出a与b的值，即可确定出 的长；
（2）求出已知方程的解确定出x，得到C表示的点，设点P在数轴上对应的数是m，由 确定
出P位置，即可做出判断；
（3）设P点所表示的数为n，就有 ， ，根据条件就可以表示出 ，
，再分别代入① 和② 求出其值即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ．
答： 的长为4；
（2）∵ ，
∴ ，
∴BC= =5．
设点P在数轴上对应的数是m，
∵ ，
∴ ，
令 ，
，
∴ 或 ．①当 时，
，
；
②当 时，
，（舍去）；
③当 时，
，
．
∴当点P表示的数为 或 时， ；
（3）解：设P点所表示的数为n，
∴ ，
．
∵PA的中点为M，
∴ ．
∵N为 的四等分点且靠近于B点，
∴B ，
∴① =2（不变），
② （随点P的变化而变化），
∴正确的结论为①，且 ．
【点睛】此题考查了数轴的运用，数轴上任意两点间的距离公式的运用，去绝对值的运用，一元一次方程
的解，解题的关键是灵活运用两点间的距离公式．
【变式训练】
1．（2023秋·湖南娄底·七年级统考期末）如图， 为数轴的原点，点A，B在数轴上表示的数分别为a，
b，且满足 ，点C为数轴上一动点且对应的数为x．
(1)求a，b的值；
(2)若点C在点A的左侧运动，M是 的中点，式子 的值是否变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由；
(3)若点P以每秒2个单位长度的速度，点Q以每秒3个单位长度的速度，分别从A，B两点同时向左运动
了t秒，当 时，请求出此时t的值．
【答案】(1) ，
(2) 的值不变，是15
(3)20或10
【分析】（1）根据绝对值的非负性进行求解即可；
（2）根据点C在点A的左侧运动，M是 的中点，得出M表示的数是 ，求出 ，
，得出 即可；
（3）根据P，Q两点均向左运动，得出P表示的数是 ，Q表示的数是 ，根据 ，分两种
情况列出关于t的方程 或 ，解方程即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ．
（2）解： 的值不变，理由如下：
∵点C在点A的左侧运动，M是 的中点，
∴M表示的数是 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的值为15；
（3）解：P，Q两点均向左运动，则P表示的数是 ，Q表示的数是 ，
∵ ，∴ 或 ，
解得 或 ，
∴当 时， 的值是20或10．
【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，一元一次
方程的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
2．（2023秋·广西南宁·七年级统考期中）已知点A、 在数轴上对应的数分别为 、 ，且 ， ，
点A、 之间的距离记作 ，
(1)线段 的长为___________；（直接写出结果）
(2)若动点 在数轴上对应的数为 ，
①当点 是线段 上一点， ，则点 表示的数为__________；
此时 ____________；（直接写出结果）
②当 时，求 的值；
③当动点 在点A的左侧， 、 分别是 、 的中点，在运动过程中 的值是否发现变化？
若不变，求出其值，若变化，请求出变化范围．
【答案】(1)12
(2)①6；12；② 或 ；③在运动过程中 的值不变，且其值为3
【分析】（1）根据 ， ，求出 的长即可；
（2）①根据点 是线段 上一点，得出 ，根据 ，求出 ，
求出点P表示的数即可；
②分两种情况讨论，点P在点A的左边时，点P在点B的右边时，分别列出方程，求出结果即可；
③设点P表示的数为m，点M表示的数为 ，点N表示的数为 ，根据动点 在点A的左侧，得
出点M、N都在点P的右侧，求出 ， ，得出
即可．【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
（2）解：①∵点 是线段 上一点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点P表示的数为： ；
故答案为：6；12．
②当点P在点A的左边时，根据题意得：
，
解得： ；
当点P在点B的右边时，根据题意得：
，
解得： ；
综上分析可知， 或 ；
③在运动过程中 的值不变，且其值为3；
设点P表示的数为m，点M表示的数为 ，点N表示的数为 ，
∵动点 在点A的左侧，
∴点M、N都在点P的右侧，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，用数轴上点表示有理数，动点问题，解题的关键是熟练
掌握数轴上点的特点．
3．（2023秋·重庆巴南·七年级统考期末）如图，在数轴上点 表示数 ，点 表示数 ，且，我们把数轴上任意两点 、 之间的距离记作 ．
(1)求 和 的值，并求点 、 之间的距离 ；
(2)设动点 从数 对应的点开始向右运动．速度为每秒2个单位长度．同时点 、 在数轴上运动，点
的速度是每秒3个单位长度，点 是每秒4个单位长度，设运动时间为 秒．
①若点 向右运动，点 向左运动，且 ．求 的值：
②若点 向左运动，点 向右运动，若 的值不随时间 的变化而改变，求 的值．
【答案】(1) ， ，
(2)① 或 ；②15
【分析】（1）根据绝对值的非负性求出 和 的值，即可解答；
（2）①当运动时间为 秒时，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，
根据 ，解方程即可求出 的值；
②当运动时间为 秒时，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，已知
点 恒在点 左侧，点 恒在点 右侧，得到 ， ，根据 的值不随时
间 的变化而改变，得到 ，解方程即可求出 的值
【详解】（1）∵ ，
∴ ， ，
∴
（2）①当运动时间为 秒时，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，解得： 或 ．
∴ 的值为 或 ；
②当运动时间为 秒时，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，
由题意可知点 恒在点 左侧，点 恒在点 右侧，
∴ ， ，
∴ ．
∵ 的值不随时间 的变化而改变，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及多项式的定义，解题的关键是找准等量关系，正确列
出一元一次方程．
【考点三 数轴上的动点中找点的位置问题】
例题：已知在纸面上有一数轴（如图所示）．
(1)操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数﹣1的点重合，则此时表示数4的点与表示数 的点重合；
(2)操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，回答下列问题：
①表示数9的点与表示数 的点重合；
②若这样折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求
A，B两点所表示的数分别是多少？
③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为x．当PA+PB＝12时，直接写出x的值．
【答案】(1)-4
(2)①-5；②A、B两点表示的数分别是-3，7；③x的值为-4或8．
【分析】（1）先求出中心点，再求出对应的数即可；
（2）①求出中心点是表示2的点，再根据对称求出即可；②求出中心点是表示2的点，求出A、B到表示
2的点的距离是5，即可求出答案；③根据点P在数轴上的位置，分类讨论，当点P在点A的左侧时，当点P在点A、B之间时，当点P在点A的右侧时，根据各种情形求解即可．
【详解】（1）解：∵折叠纸面，使数字1表示的点与-1表示的点重合，可确定中心点是表示0的点，
∴4表示的点与-4表示的点重合，
故答案为∶-4；
（2）解：①∵折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，可确定中心点是表示2的点，
∴表示数9的点与表示数-5的点重合；
故答案为∶ -5；
②∵折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），
∴A、B两点距离中心点的距离为10 ÷2= 5，
∵中心点是表示2的点，
∴A、B两点表示的数分别是-3，7；
③当点P在点A的左侧时，
∵PA+PB＝12，
∴-3-x+7-x=12，
解得x=-4；
当点P在点A、B之间时，此时PA+PB=12不成立，故不存在点P在点A、B之间的情形；
当点P在点A的右侧时，
∵PA+PB＝12，
∴x-(-3)+x-7=12，
解得x=8，
综上x的值为-4或8．
【点睛】本题考查了数轴的应用，能求出折叠后的中心点的位置是解此题的关键．
【变式训练】
1．已知在数轴上A，B两点对应数分别为﹣2，6．
(1)请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B；
(2)若同一时间点M从点A出发以1个单位长度/秒的速度在数轴上向右运动，点N从点B出发以3个单位
长度/秒的速度在数轴上向左运动，点P从原点出发以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动．
①若点P向右运动，几秒后点P到点M、点N的距离相等？
②若点P到A的距离是点P到B的距离的三倍，我们就称点P是【A，B】的三倍点．当点P是【B，A】
的三倍点时，求此时P对应的数．
【答案】(1)见解析；(2)① 秒或2秒后点P到点M、点N的距离相等，②P对应数-6或0．
【分析】（1）画出数轴，找出A、B所对应的点即可；
（2）①根据两点间距离表示出MP=2t+2－t=t+2．当点P在点N左侧时，NP=6－5t；当点P在点N左右侧
时，NP=5t－6，计算即可；
②根据点P是【B，A】的三倍点，可得PB=3PA．分情况讨论：当点P在A点左侧时，求出点P对应
数-6；当点P在A、B之间时，求出点P对应数0，综上可知点P对应数-6或0．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：①MP=2t+2－t=t+2．当点P在点N左侧时，NP=6－5t；当点P在点N左右侧时，
NP=5t－6
∴t+2 =6－5t，得：t= ；
或t+2 =5t－6，得：t=2．
即 秒或2秒后点P到点M、点N的距离相等，
②∵点P是【B，A】的三倍点，
∴PB=3PA．
当点P在A点左侧时，AB=2PA=8，
∴PA=4，点P对应数-6；
当点P在A、B之间时，AB=4PA=8，
∴PA=2，点P对应数0，
综上可知点P对应数-6或0．
【点睛】本题考查数轴，解题的关键是掌握数轴的三要素及画法，数轴上两点之间的距离，注意对于动点
问题需要进行分情况讨论．
2．如图，已知 为数轴上的两个点，点 表示的数是 ，点 表示的数是20．
(1)直接写出线段 的中点 对应的数；
(2)若点 在数轴上，且 ，直接写出点 对应的数；
(3)若熊大从点 出发，在数轴上每秒向右前进8个单位长度；同时熊二从点 出发，在数轴上每秒向左前进12个单位长度它们在点 处相遇，求点 对应的数；
(4)若熊大从点 出发，在数轴上每秒向左前进8个单位长度；同时熊二从点 出发，在数轴上每秒向左前
进12个单位长度，当它们在数轴上相距20个单位长度时，求熊大所在位置点 对应的数．
【答案】(1)线段 的中点 对应的数为
(2)点 对应的数为 或50
(3)点 对应的数为
(4)熊大所在位置点 对应的数为 或
【分析】（1）根据数轴上线段中点所对应的数计算方法进行计算即可；
（2）分两种情况进行解答，即点 在点 的左侧或右侧，列式计算即可；
（3）求出相遇的时间，再根据数轴表示数的方法进行计算即可；
（4）分追及前相距20和追及后相距20两种情况进行解答，设未知数，根据速度、时间、路程之间的关系
列方程求解即可．
【详解】（1）解：线段 的中点 对应的数为 ，
答：线段 的中点 对应的数为 ；
（2）解：当点 在点 的左侧时，点 所对应的数为： ，
当点 在点 的右侧时，点 所对应的数为： ，
答：点 对应的数为 或50；
（3）解：设相遇时间为 s，由题意得，
，
解得 ，
点 对应的数为 ；
（4）解： 追及前相距20，设行驶的时间为 s，由题意得，
，
解得 ，
此时熊大所在位置点 对应的数为 ，
追及后相距20，设行驶的时间为 s，由题意得，
，
解得 ，此时熊大所在位置点 对应的数为 ，
答：熊大所在位置点 对应的数为 或 ．
【点睛】本题考查数轴，理解数轴表示数的方法，掌握速度、时间、路程之间的关系是解决问题的关键．
3．（2023春·上海·六年级专题练习）定义：对于数轴上的三点，若其中一个点与其他两个点的距离恰好满
足2倍的数量关系．如下图，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B就是点A，C的一
个“关联点”．
(1)写出点A，C的其他三个“关联点”所表示的数：______、______、______．
(2)若点M表示数 ，点N表示数4，数 ， ，0，2，10所对应的点分别是 ， ， ， ， ，其
中不是点M，N的“关联点”是点______．
(3)若点M表示的数是 ，点N表示的数是10，点P为数轴上的一个动点．
①若点P在点N左侧，且点P是点M，N的“关联点”，求此时点P表示的数．
②若点P在点N右侧，且点P，M，N中，有一个点恰好是另外两个点的“关联点”，求此时点P表示的
数．
【答案】(1) 、2、7；
(2) ．
(3)① ， ， ；② ， ， ．
【分析】（1）根据“关联点”的概念即可解得．
（2）根据“关联点”的概念逐个点计算即可解得
（3）①根据“关联点”的概念表示出距离，根据2倍的数量关系列式即可解得．②根据“关联点”的概念
表示出距离，分四种情况进行解答．
【详解】（1）解： ，
，
2是A，C的一个“关联点”，
设 是A，C的一个“关联点”，
解得 ，设 是A，C的一个“关联点”，
解得 ，
A，C的其他三个“关联点”所表示的数为： 、2、7；
（2）∵ ，
，
∴ 是关联点，
∵ ，
，
∴ 不是关联点，
∵ ，
，
∴ 是关联点，
∵ ，
，
∴ 是关联点，
∵ ，
，
∴ 是关联点，
故答案为： ．
（3）①若点P在点N左侧且在M的右侧，设点P表示的数为 ，当
解得 ，
当
解得 ，
若点P在M点左侧，设点P表示的数为 ，
∴
解得 ，
综上所述：P表示的数为： ；
②若点P在点N右侧，设点P表示的数为 ，
当 时，
则
解得 ，
当 时，
则
解得 ，
当 时，
则
解得 ，
当 时，
则
解得 ，
综上所述：P表示的数为： ， ．
【点睛】此题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是理解“关联点”的概念，
读懂题意并根据题意列出方程．4．（2022秋·山东济南·七年级统考期中）已知关于x的代数式 不含三次项，且
二次项系数为 ，数轴上 两点所对应的数分别是 和 ．
(1) ＝ ， ＝ ， 两点之间的距离为 ；
(2)有一动点 从点 出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位
长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度……按照如此规律不断地左右运动，求点 运动到第
2023次时所对应的有理数；
(3)在（2）的条件下，点 会不会在某次运动时恰好到达某一个位置，使点 到点 的距离是点 到点 的
距离的3倍？若可能请求出此时点 的位置，若不可能请说明理由．
【答案】(1)−4，8，12
(2)
(3)会，P点对应的数为−10或−1
【分析】（1）根据不含三项式的定义得出 ，由此得出a的值，然后由多项式的系数的定义得到b
的值，则易求线段 的值；
（2）根据题意得到点P每一次运动后所在的位置，然后由有理数的加法进行计算即可；
（3）设点P对应的有理数的值为x，分情况进行解答：点P在点A的左侧，点P在点A、B之间，点P在
点B的右侧三种情况．
【详解】（1）∵ 不含三次项，且二次项系数为 ，
∴
则
∴A、B两点之间的距离为
故答案为-4；8；12
（2）由题意可得： ；
（3）由题意知，P点不可能在B点的右侧，
①当P点在A点的左侧时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴P点对应的数是−10；
②当P点在 之间时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴P点对应的数是−1；
∴P点对应的数为−10或−1．
【点睛】此题主要考查了数轴和两点间的距离公式，运用分类讨论是解题的关键．
【考点四 数轴上的动点中几何意义最值问题】
例题：（2023春·湖北武汉·七年级校联考阶段练习）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代
数式 的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为 ，所以
的几何意义就是数轴上x所对应的点与 所对应的点之间的距离．
(1)探究问题：如图，数轴上，点A，B，P分别表示数 ，2，x．
填空：因为 的几何意义是线段 与 的长度之和，而当点P在线段 上时， ，
当点P在点A的左侧或点B的右侧时， ．所以 的最小值是______；
(2)解决问题：
①直接写出式子 的最小值为_______；
②直接写出不等式 的解集为_______；
③当a为_______时，代数式 的最小值是2．（直接写出结果）
【答案】(1)3
(2)①6；② 或 ；③ 或【分析】（1）根据题意即可求解；
（2）①把原式转化看作是数轴上表示x的点与表示4与 的点之间的距离最小值，进而问题可求解；
②根据题意画出相应的图形，然后根据数轴可直接进行求解；
③根据原式的最小值为2，得到表示3的点的左边和右边，且到3距离为2的点即可．
【详解】（1）解：当点P在点A的左侧或点B的右侧时， ．所以 的最小值是3；
故答案为：3；
（2）解：① ，表示 到 与到 的距离之和，
点 在线段 上， ，
当点 在点 的左侧或点 的右侧时， ，
∴ 的最小值是6；
故答案为：6；
②如图所示，满足 ，表示到 和1距离之和大于4的范围，
当点在 和1之间时，距离之和为4，不满足题意；
当点在 的左边或1的右边时，距离之和大于4，
则 范围为 或 ；
故答案为： 或 ；
③当 为 或 时，代数式 为 或 ，
∵数轴上表示数1的点到表示数3的点的距离为 ，数轴上表示数5的点到表示数3的点的距离也为 ，
因此当 为 或 时，原式的最小值是 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离问题
是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·江苏·七年级期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式 的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的
点之间的距离：因为 ，所以 的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之
间的距离．
（ⅰ）发现问题：代数式 的最小值是多少？
（ⅱ）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数－1、2、x，AB＝3
∵ 的几何意义是线段PA与PB的长度之和，
∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3
∴ 的最小值是3
请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：
(1) 的最小值是______；
(2)利用上述思想方法解不等式： ；
(3)当a为何值时，代数式 的最小值是2
【答案】(1)5
(2) 或
(3)-2或-6
【分析】（1）把原式转化看作是数轴上表示x的点与表示3与-2的点之间的距离最小值，进而问题可求解；
（2）根据题意画出相应的图形，然后根据数轴可直接进行求解；
（3）根据原式的最小值为2，得到表示4的点的左边和右边，且到4距离为2的点即可．
【详解】（1）解： ，表示 到 与到 的距离之和，点 在线段 上， ，
当点 在点 的左侧或点 的右侧时， ，
的最小值是5；
（2）解：如图所示，满足 ，表示到 和1距离之和大于4的范围，
当点在 和1之间时，距离之和为4，不满足题意；
当点在 的左边或1的右边时，距离之和大于4，
则 范围为 或 ；
（3）解：当 为 或 时，代数式 为 或 ，
数轴上表示数2的点到表示数4的点的距离为 ，数轴上表示数6的点到表示数4的点的距离也为 ，
因此当 为 或 时，原式的最小值是 ．
【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离问题
是解题的关键．
3．（2023·全国·七年级专题练习）在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法
使复杂问题简单化．
材料一：我们知道|a|的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；|a﹣b|的几何意义是：数轴上表
示数a，b的两点之间的距离；|a+b|的几何意义是：数轴上表示数a，﹣b的两点之间的距离；根据绝对值
的几何意义，我们可以求出以下方程的解．
（1）|x﹣3|＝4
解：由绝对值的几何意义知：
在数轴上x表示的点到3的距离等于4
∴x＝3+4＝7，x＝3﹣4＝﹣1
1 2
（2）|x+2|＝5
解：∵|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到﹣2的距离等于5．∴x＝
1
﹣2+5＝3，x＝﹣2﹣5＝﹣7
2
材料二：如何求|x﹣1|+|x+2|的最小值．
由|x﹣1|+|x+2|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和﹣2两点的距离的和，要使和最小，则表示
数x的这点必在﹣2和1之间（包括这两个端点）取值．
∴|x﹣1|+|x+2|的最小值是3；由此可求解方程|x﹣1|+|x+2|＝4，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|恒有最小值3，所以要使|x﹣1|+|x+2|＝4成立，则点P必在
﹣2的左边或1的右边，且到表示数﹣2或1的点的距离均为0.5个单位．
故方程|x﹣1|+|x+2|＝4的解为：x＝﹣2﹣0.5＝﹣2.5，x＝1+0.5＝1.5．
1 2
阅读以上材料，解决以下问题：
（1）填空：|x﹣3|+|x+2|的最小值为 ；
（2）已知有理数x满足：|x+3|+|x﹣10|＝15，有理数y使得|y﹣3|+|y+2|+|y﹣5|的值最小，求x﹣y的值．
（3）试找到符合条件的x，使|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围．
【答案】（1）5；（2）﹣7或8；（3）当x＝ ，最小值为 ；当x＝ 时，最小值为
【分析】（1）由阅读材料直接可得；
（2）由已知可得：x=-3-1=-4或x=10+1=11，当y=3时，|y-3|+|y+2|+|y-5|有最小值7；
（3）当n是奇数时，中间的点为 ，所以当x= 时，|x-1|+|x-2|+…+|x-n|=0+2+4+…+（n-3）+（n-1）
= ；当n是偶数时，中间的两个点相同为，所以当x= 时，|x-1|+|x-2|+…+|x-n|=1+3+5+…+（n-3）+
（n-1）= ．
【详解】解：（1）由阅读材料可得：：|x﹣3|+|x+2|的最小值为5，
故答案为5；
（2）|x+3|+|x﹣10|的最小值为13，
∵|x+3|+|x﹣10|＝15，
∴x＝﹣3﹣1＝﹣4或x＝10+1＝11，
∵|y﹣3|+|y+2|+|y﹣5|表示数轴上表示y到﹣2，3，5之间的距离和最小，
∴当y＝3时，有最小值7，
∴x﹣y＝﹣7或x﹣y＝8；
（3）|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|表示数轴上点x到1，2，3，…，n之间的距离和最小，
当n是奇数时，中间的点为 ，
∴当x＝ 时，|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|＝0+2+4+…+（n﹣3）+（n﹣1）＝ ，
∴最小值为 ；当n是偶数时，中间的两个点相同为 ，
∴当x＝ 时，|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|＝1+3+5+…+（n﹣3）+（n﹣1）＝ ，
∴最小值为 ．
【点睛】本题考查数轴的性质；理解阅读材料的内容，掌握绝对值的几何意义，利用数轴上点的特点解题
是关键．
