文档内容
第 01 讲 二次根式
【题型1 二次根式的概念】
【题型2 二次根式有意义的条件】
【题型3 二次根式的性质】
考点1：二次根式的相关概念
一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式， 称为 称为二次根号．
如 都是二次根式。
二次根式满足条件：
（1）必须含有二次根号
（2）被开方数必须是非负数
【题型1 二次根式的概念】
【典例1】下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的定义：形如 的式子叫做二次根式，即可解答．
【详解】解：A、 没有意义，故A不符合题意；
B、 不是二次根式，故B不符合题意；
C、 是二次根式，故C符合题意；
D、当 时， 是二次根式，当 时， 没有意义，故D不符合题意；
故选C．【点睛】本题考查了二次根式的识别，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
【变式1-1】下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】同时满足两个条件才是二次根式，第一：被开方数是非负数，第二：根指数是二．
【详解】解：A． ，2是整数，不是二次根式，故此选项不合题意；
B． ，根据 一定大于0，则 一定是二次根式，故此选项符合题意；
C． 无意义，故此选项不合题意；
D． ， 的符号不确定，故不一定是二次根式，故此选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式的定义，对二次根式的根指数和被开方数理解到位是解题
的关键．
【变式1-2已知n是一个正整数， 是整数，则n的最小值是 ．
【答案】3
【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的性质得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴n的最小正整数值是：3．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与定义，正确化简二次根式是解题关键．
【变式1-3】代数式 的最小值为 ．
【答案】2
【分析】根据二次根式成立的条件即可解答．
【详解】解：根据题意可得 ，
∴，
∴ 的最小值为2，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决本
题的关键．
【题型2 二次根式有意义的条件】
【典例2】若式子 有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． 且 D．
【答案】C
【分析】本题考查分式和二次根式有意义的条件，根据分母不为0，被开方数大于或等于
0，解不等式即可．
【详解】解：依题意得： 且 ，
解得 且 ．
故选C．
【变式2-1】式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数大于等于零，列式
计算即可，熟练掌握二次根式有意义的条件是解此题的关键．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
故选：D．
【变式2-2】下列实数 的取值能使代数式 有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 ，根据这些条件列出关于
x 的不等式组，求出x的取值范围即可．【详解】解：根据题意： ，
解得： ，
根据选项，只能取
故选：B．
【变式2-3】式子 有意义的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，根据分式有意义分母不
为零和二次根式有意义被开方数为非负数即可求解，解题的关键是列出不等式并正确求解．
【详解】∵ 有意义，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
【题型3 二次根式的非负性】
【典例3】若 ，则 ．
【答案】12
【分析】根据二次根式和绝对值的非负性，两个非负数相加等于0，则它们分别为0可得
解得 即可求得 的值.
【详解】由题意得
解得∴
故答案为：12
【点睛】本题主要考查二次根式和绝对值得非负性，两个非负数相加等于0，则它们分别
为0，初中阶段常用三个非负式，二次根式、绝对值和偶次幂.
【变式3-1】已知 ，求 的值为 ．
【答案】16
【分析】非负性求出 的这值，在代入求值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：16．
【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，是解题的
关键．
【变式3-2】已知 ，则 =
【答案】-8
【分析】绝对值是非负数，平方之后也是非负数，故分别为0，便可找到答案.
【详解】解：
a=-4, b=-2
【点睛】本题考查非负数的定义，两个非负数相加为0，则分别为0.
【变式3-3】若有理数x，y满足 ，则 x + y = ．
【答案】1
【分析】根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”即可得
到结果．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：1．
【点睛】本题考查绝对值的非负性，解题的关键是根据非负数的性质求出x和y的值．
考点2：二次根式的性质
（1）双重非负性 ≥0, a≥0: (主要用于字母的求值)
（2）回归性 : (主要用于二次根式的计算)
（3）转化性：
【题型4 】
【典例4】计算 的结果为 ．
【答案】2023
【分析】根据 即可得到答案．
【详解】解： ，
故答案为：2023．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
【变式4-1】化简： ．
【答案】3【分析】本题考查了二次根式的性质，根据性质求解即可．
【详解】解： ．
故答案为：3．
【变式4-2】计算 ．
【答案】7
【分析】直接根据二次根式的性质求解即可得出结论．
【详解】解： ，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，正确掌握 是解答本题的关键．
【题型5 】
【典例5】若 ，则b满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根据的性质 ，即可得结果．
【详解】∵
∴
∴
故选：D．
【变式5-1】化简： ．
【答案】 /
【分析】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解： ，故答案为： ．
【变式5-2】计算： ．
【答案】6
【分析】根据二次根式的性质化简，即可求解．
【详解】解： ．
故答案为：6
【点睛】本题主要考查了化简二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
【题型6 】
【典例6】若 ，那么 的结果是
【答案】 /
【分析】本题考查二次根式的性质，根据字母的取值范围，得到式子的符号，根据二次根
式的非负性，进行化简计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【变式6-1】若等式 = －8成立，则 的取值范围是 ．
【答案】x≥8
【分析】直接利用二次根式的性质得出x−8的取值范围即可得出答案．
【详解】解：∵等式 = －8成立，
∴x−8≥0，
解得：x≥8．
故答案为：x≥8．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确把握二次根式的性质是解题关键．
【变式6-2】已知 ，则化简 的结果为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据a的范围判断出 与 的正负，利用二次根式的性质和绝对值的代数意
义化简，计算即可得到结果．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴
．
故选：A．
【点睛】此题考查了二次根式的性质、整式的加减、绝对值的代数意义等，熟练掌握运算
法则是解本题的关键．
【变式6-2】实数a在数轴上的位置如图所示，则 化简后为（ ）
A．7 B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】由数轴可得 ，据此判断出 ， 的正负，再根据二次根式的性质
化简即可．
【详解】解：由数轴可得 ，
∴ ， ，
∴
故选A．【点睛】本题考查了利用数轴判断代数式的大小，二次根式的性质，解题的关键是熟练运
用二次根式的性质化简．
一、单选题
1．若式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，则 .
【详解】解：由题意知：被开方数 ，解得： ．
故答案选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0.
2．若 是二次根式，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列出关于a的
不等式，求出a的取值范围即可．
【详解】解：若 是二次根式，
则 ，
∴ ，
故选：B.
3．若 ，则代数式 可化简为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，先根据二次根式有意义的条件和已知条件推出
，再根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：∵二次根式 有意义，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
4．化简结果为 的式子为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质；根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不符合题意；
B. ，故该选项符合题意；
C. ，故该选项不符合题意；
D. 无意义，故该选项不符合题意；
故选：B
5．实数 ， 在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，解题关键在于结合数轴进行解答．
由数轴得出 ，原式化简为 ，再去掉绝对值符号、合并同类项即可．
【详解】解： 由数轴可知： ，，
故选：A．
6．已知 是整数，则自然数m的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．11
【答案】B
【分析】题考查二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数指大
于等于0的整数是本题的解题关键．
【详解】解：∵ 是整数，且m为自然数，
∴ 是一个完全平方数，且 ，
∴自然数m的最小值是 ，
故选B．
7．若 ，则化简 正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，根据题意先分析出 和 与 的关系，
再进行化简即可，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
【详解】解：由题可知 ，则 ， ，
∴原式 ，
，
故选： ．
8．已知 ， ，则 的值是（ ）．
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】利用二次根式性质求出 和 的值，再代入到 中计算即可得到答案．
【详解】∵ ， ，
∴ ， ，
当 ， 时， ；当 ， 时， ；
∴ 的值是 或 ，
故选： ．
【点睛】此题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
二、填空题
9．若 ，则 的取值范围为 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，根据 可得 ，据
此可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
10．若 ，则（x+y）2019+x2020= ．
【答案】0
【分析】由 ，利用非负数之和为 的性质求解 ，从而可得答案.
【详解】解：
.
故答案为：
【点睛】本题考查的是两个非负数之和为 的性质，乘方符号的确定，掌握以上知识是解
题的关键.11．已知 ，则 ．
【答案】6
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，确定x，y的值，后求代数式的值即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6．
12．已知： ，化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据题意化简二次根式，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
13．若 ，化简 的正确结果是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质和绝对值的性质化简即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了化简二次根式和绝对值，熟练掌握二次根式的性质和绝对值的性质是
解题的关键．
