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专题 11.5 多边形的内角与外角
【典例1】（1）已知：如图，n边形A A A A A …A ．求证：n边形A A A A A …A 的内角和等于（n﹣2）
1 2 3 4 5 n 1 2 3 4 5 n
•180°；
（2）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻的外角的3倍还大20°，求这个多边形的内角
和；
（3）粗心的小明在计算一个多边形的内角和时，误把一个外角也加进去了，得其和为 1180°．请直接写出
这个多加的外角度数及多边形的边数．
【思路点拨】
（1）根据从n边形的一个顶点可以作（n﹣3）条对角线，这（n﹣3）条对角线要和多边形的两边组成三角
形，得出把三角形分割成的三角形个数．欲证明多边形的内角和定理，可以把多边形的内角转移到三角形
中，利用三角形内角和等于180°解答；
（2）设多边形的一个外角为α°，则与其相邻的内角为（3α+20）°，根据题意列出方程可得答案；
（3）根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知，多边形的内角和是180°的倍数，然后求出多边形的边
数以及多加的外角的度数即可得解．
【解题过程】
解：（1）∵从n边形的一个顶点可以作（n﹣3）条对角线，
∴得出把三角形分割成的三角形个数为：n﹣3+1＝n﹣2，
∵这（n﹣2）个三角形的内角和都等于180°，
∴n边形的内角和是（n﹣2）×180°；
（2）设多边形的一个外角为α°，则与其相邻的内角为（3α+20）°，由题意，得（3α+20）+α＝180，
解得α＝40，
即多边形的每个外角为40°，
∵多边形的外角和为360°，
∴多边形的边数为360°÷40°＝9，
内角和为（9﹣2）×180°＝1260°，
答：这个多边形的内角和为1260°；
（3）设多边形的边数为n，多加的外角度数为α，则
（n﹣2）•180°＝1180°﹣α，
∵1180°＝6×180°+100°，内角和应是180°的倍数，
∴小明多加的一个外角为100°，
∴这是6+2＝8边形的内角和．
答：这个外角的度数是100°，该多边形的边数是8．
1．（2022•九龙坡区校级开学）已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，这个多边形
是（ ）
A．十边形 B．十一边形 C．十二边形 D．十三边形
2．（2021秋•龙山县期末）从九边形的一个顶点出发，可以作①条对角线，它们将九边形分成②个三角形．
对于符号①、②表示的数字正确的是（ ）
A．①6、②7 B．①7、②8 C．①8、②8 D．①9、②7
3．（2021春•东坡区期末）某校新建的科技馆准备用正多边形地砖铺设地面，下列组合中能铺满地面的是
（ ）
A．正方形和正六边形 B．正三角形和正六边形
C．正五边形和正八边形 D．正方形和正十边形
4．（2021秋•桓台县期末）如图，桐桐从A点出发，前进3m到点B处后向右转20°，再前进3m到点C处
后又向右转20°，…，这样一直走下去，她第一次回到出发点A时，一共走了（ ）
A．100m B．90m C．54m D．60m5．（2021秋•寻乌县期末）将一个四边形ABCD的纸片剪去一个三角形，则剩下图形的内角和为（ ）
A．180° B．180°或360°
C．360°或540° D．180°或360°或540°
6．（2021 秋•铜官区期末）如图，在五边形 ABCDE 中，AB∥ED，∠1，∠2，∠3 分别是∠ABC，
∠BCD，∠CDE的外角，则∠1+∠2+∠3的度数为（ ）
A．180° B．210° C．240° D．270°
7．（2021秋•微山县期末）如图，正六边形 IMNPGH的顶点分别在正六边形ABCDEF的边上．若∠FHG
＝28°，则∠BIM等于（ ）
A．28° B．32° C．48° D．52°
8．（2021春•长宁区期末）小明测量了某凸多边形的内角和，登记时不慎被油墨玷污，仅能看清其记录的
是一个三位数，其百位数是7，则这个凸多边形的边数为 ．
9．（2021春•市北区期末）用三块正多边形的木板铺地，拼在一起的三块正多边形木板顶点重合，且各边
完全吻合，其中两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数是 ．
10．（2021秋•青岛期末）如图，试求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数为 ．11．（2021秋•江都区期末）如图，A、B、C均为一个正十边形的顶点，则∠ACB＝ °．
12．（2021秋•海淀区校级期中）如图①，猜想：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝
我们把图①称为二环三角形，它的内角和为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F；图②称为二环四边形，它的内角
和为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H．则二环四边形的内角和为
二环五边形的内角和为
二环n边形的内角和为
13．（2021秋•西峰区期末）已知一个多边形的内角和比它的外角和的 3倍少180°，求这个多边形的边数
和对角线的条数．
14．（2021秋•海淀区校级期中）看对话答题：小梅说：这个多边形的内角和等于 1125°．小红说：不对，
你少加了一个角．
问题：
（1）他们在求几边形的内角和？
（2）少加的那个内角是多少度？
15．（2021秋•孝昌县校级月考）以下提供了将凸多边形分割成若干个三角形的一种方法：（1）试根据所给的方法，将图④中的七边形分割成 个三角形；
（2）按这种方法，凸n边形可以分割成 个三角形；
（3）请根据上述方法，以三角形的内角和定理为依据，推导凸n边形的内角和公式：凸n边形的内角和＝
（n﹣2）×180°；
（4）利用（3）中的公式解答下面的问题：
凸n边形的内角和再加上某个外角等于1350°，求这个多边形的边数以及这个外角的度数．
16．（2021 秋•余干县月考）如图，将六边形纸片 ABCDEF 沿虚线剪去一个角（∠BCD）后，得到
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝460°．
（1）求六边形ABCDEF的内角和；
（2）求∠BGD的度数．
17．（2021春•卧龙区期末）（1）问题发现：由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”联
想到四边形的外角．如图①，∠1，∠2是四边形ABCD的两个外角．
∵四边形ABCD的内角和是360°，
∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，
又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，
由此可得∠1，∠2与∠A，∠D的数量关系是 ；
（2）知识应用：如图②，已知四边形 ABCD，AE，DE分别是其外角∠NAD和∠MDA的平分线，若
∠B+∠C＝230°，求∠E的度数；
（3）拓展提升：如图③，四边形 ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠CDN和∠CBM是它的两个外角，且
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∠CDP= ∠CDN，∠CBP= ∠CBM，求∠P的度数．
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18．（2021春•新吴区月考）（1）如图①，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的内
部时，∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律 ；
（2）如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，如图②，此时∠A与∠1、∠2之间存在什么样的关系？
（3）如果把四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部A′、D′的位置，如图③，你能
求出∠A、∠D、∠1与∠2之间的关系吗？（直接写出关系式即可）
19．（2021秋•永吉县期中）
（1）四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．
①如图1，若∠B＝∠C，则∠C＝ °；
②如图2，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，则∠C＝ ；
③如图3，若∠ABC和∠BCD的平分线相交于点E，则∠BEC＝ °；（2）如图3，当∠A＝α，∠D＝β时，若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，∠BEC与α，β之间的数量关
系为 ；
（3）如图4，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，CP，DP分别平分∠BCD和∠EDC，求∠P的度
数．
20．（2021秋•临江市期末）我们探究过三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°，请解决下面的
问题：
（1）如图1，∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，则∠AOB+∠COD＝ （直接写出结果）；
（2）连接AD、BC，若AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线；
①如图2，如果∠AOB＝110°，那么∠COD的度数为 （直接写出结果）；
②如图3，若∠AOD＝∠BOC，AB与CD平行吗？请写出理由．
