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专题 12 一元一次方程实际应用
【思维导图】
一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题 方程 解答．由此可得解决此类
题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
备注：
（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找
等量关系；
（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类
量，单位要统一；
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
◎考点题型1 配套问题
例．（2022·四川广元·七年级期末）有一所寄宿制学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住4人，就
会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排住3人，就有100人没床位，那么在学校住宿的学生有多少人？设在学校住宿的学生有x人，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据宿舍间数一定即可列出方程．
【详解】
解：根据题意得：
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意，找准等量关系，列出方程是解决本题的关键．
变式1．（2022·福建三明·模拟预测）用200张彩纸制作圆柱，每张彩纸可制作圆柱侧面20个或底面60个，
一个圆柱侧面与两个底面组成一个圆柱．为使制作的圆柱侧面和底面正好配套，设把x张彩纸制作圆柱侧
面，则方程可列为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意列出一元一次方程求解即可．
【详解】
解：设把x张彩纸制作圆柱侧面，则有（200-x）张纸作圆柱底面，
根据题意可得：
，
故选：D．
【点睛】
题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．
变式2．（2022·辽宁阜新·七年级期末）某服装厂要生产同一种型号的服装，已知3m长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套．
(1)列一元一次方程解决问题：现库内存有布料200m，应如何分配布料做上衣和做裤子才能恰好配套？可
以生产多少套衣服？
(2)如果恰好有这种布料327m，最多可以生产多少套衣服？本着不浪费的原则，如果有剩余，余料可以做
几件上衣或裤子？
【答案】(1)用120米布做上衣，80米布做裤子才能恰好配套，可以生产80套衣服
(2)布料327m，最多可以生产130套衣服，余料可以做1件上衣或2条裤子
【解析】
【分析】
（1）设做上衣的布料用x米，则做裤子的布料用 (200-x)米，根据3米长的某种布料可做上衣2 件或裤子
3条，得出做上衣与裤子所用的布料关 系，进而得出方程求解即可；
（2）由已知先求出一套衣服用料2.5米，用327÷2.5＝130...2，再根据本着不浪费的原则 可以得出结论．
(1)
解：设做上衣用x米布，则做裤子用（200-x）米布，依题意有： ，
解得：x=120，
则：200-x=80，
答：用120米布做上衣，80米布做裤子才能恰好配套，可以生产80套衣服．
(2)
∵做一件上衣用 米布，做一条裤子用1米布，
∴一套服装用2.5米布，
327 2.5=130剩余2米布，
∴布料327米，最多可以生产130套衣服，余料可以做1件上衣或2条裤子．
【点睛】
本题主要考查的是一元一次方程应用题中的配套问题，根据题意列出对应的方程是解题的关键．
变式3．（2021·山东烟台·期末）列方程解应用题
某啤酒公司的啤酒车间先将散装啤酒灌装成瓶装啤酒，再将瓶装啤酒装箱出车间．该车间有灌装、装箱生
产线共21条，每条灌装生产线每小时装350瓶，每条装箱生产线每小时装450瓶．某日，生产前车间内已
有未装箱的瓶装啤酒5200瓶，8:00开始，车间内的生产线全部投入生产．
(1)若当日到10:00时，该车间内未装箱的瓶装啤酒达到5500瓶.设灌装生产线有x条，当日到10:00时，灌装生产线共装多少瓶啤酒（用含x的代数式表示）？该车间内灌装生产线有多少条？
(2)若该日车间工作8小时，灌装生产线设计多少条时？该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱？
【答案】(1)灌装生产线共装（350×2x）瓶啤酒，灌装生产线有12条；
(2)灌装生产线设计13条时，该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱．
【解析】
【分析】
（1）灌装生产线2小时共装（350×2x）瓶啤酒，根据题意列一元一次方程，求解即可；
（2）设灌装生产线设计y条时，该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱，根据题意列一元一次方程，求解即
可．
(1)
解：当日到10:00时，灌装生产线共装（350×2x）瓶啤酒，
根据题意，得5200+350×2x=450×2（21-x）+5500，
解这个方程，得：x=12
答：灌装生产线共装（350×2x）瓶啤酒，灌装生产线有12条；
(2)
解：设灌装生产线设计y条时，该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱，
根据题意，得5200＋350×8y=450×8（21-y），
解这个方程，得：y=11．
答：灌装生产线设计11条时，该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
◎考点题型2工程问题
如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：
（1）总工作量=工作效率×工作时间；
（2）总工作量=各单位工作量之和．
例．（2022·山东济宁·七年级期末）一项工程由甲工程队单独完成需要12天，由乙工程队单独完成需要16
天．甲工程队单独施工5天后，为加快工程进度，又抽调乙工程队加入该工程施工，问还需多少天可以完
成该工程？如果设还需x天可以完成该工程，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】
【分析】
设还需x天可以完成该工程，该工程为单位1，根据题意可得，甲施工（x+5）天+乙施工x天的工作量=单
位1，据此列方程．
【详解】
解：设还需x天可以完成该工程，
由题意得， ．
故选：A．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量
关系，列方程．
变式1．（2022·福建三明·七年级期末）某车间原计划用15小时生产一批零件，实际每小时多生产了10件，
用了13小时不但完成了任务，而且还多生产了80件，设原计划每小时生产 个零件，那么下列方程正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可得等量关系用了13小时不但完成了任务，而且还多生产了80件列出方程解答即可．
【详解】
解：设原计划每小时生产x个零件，
依题意可得：13（x+10）=15x+80，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，然后再
列出方程．
变式2．（2022·河南三门峡·七年级期末）整理一批快递，如果由一个人单独做要用20小时，现先安排一
部分人用1小时整理，随后又增加4人和他们一起做了2小时，恰好完成整理工作，假设每个人的工作效率相同，那么应先安排多少人整理这批快递？
【答案】应先安排4人整理这批快递
【解析】
【分析】
设应先安排x人整理这批快递，根据等量关系式：开始x人1小时的工作量+后来（x+4）人2小时的工作
量=1，列出方程，解方程即可．
【详解】
解：设应先安排x人整理这批快递，依题意得：
解得 ，
答：应先安排4人整理这批快递．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．此题用
到的公式是：工作效率×工作时间=工作量．
变式3．（2023·江苏·七年级专题练习）在防疫政策的指导下，疫情得到了全面控制某医疗器械厂计划在规
定时间内完成一批防护服的生产任务，如果每天生产防护服300套，那么就比原计划生产任务少生产100
套；如果每天生产350套，那么可提前一天完成任务，并且还超过原计划生产任务50套，求这批防护服原
计划生产任务是多少？
【答案】3100套
【解析】
【分析】
设这批防护服原计划生产任为x套，根据完成的时间关系列出等量关系式即可．
【详解】
解：设这批防护服原计划生产任为x套，
依题意得： ，
解得：x＝3100，
答：这批防护服原计划生产任为3100套．
【点睛】
本题主要考查一元一次方程的应用，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系．◎考点题型3 销售盈亏问题
（1）
(2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)
(3) 实际售价＝标价×打折率
(4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率
注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标
价的十分之几或百分之几十销售．
例．（2022·河北保定·七年级期末）一件上衣标价为225元，若以标价的八折（即标价的80%）出售，仍
可获利20%，则该件上衣的进价为（ ）元．
A．140 B．150 C．160 D．180
【答案】B
【解析】
【分析】
设这件上衣的进价为x元，根据利润=销售价格-进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结
论．
【详解】
解：设这件上衣的进价为x元，
依题意，得：225×0.8-x=20%x，
解得：x=150．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
变式1．（2022·广东·汕头市金平区金园实验中学七年级期末）某商店以120元一件购进一批上衣，提价
25%后出售，以8折售出，则在这次买卖中每件上衣（ ）
A．赚了5元 B．赚了13元 C．赔了9元 D．不赔不赚
【答案】D
【解析】
【分析】
根据公式计算出打折后的售价，与进价进行比较，即可判断．
【详解】
售价： （元）利润：120-120=0（元）
所以不赔不赚，
故选D．
【点睛】
本题考查了打折销售的应用题，计算出售价是本题的关键．
变式2．（2022·河南驻马店·七年级期末）某超市用4900元购进甲、乙两种商品，且购买乙种商品的数量
比甲种商品数量的2倍还多10件．甲、乙两种商品的进价和标价如表：
甲 乙
进价（元/件） 34 22
标价（元/件） 50 35
(1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件？
(2)若甲商品打9折销售，乙商品打8折销售，这批商品全部售完可获利多少元？
【答案】(1)该超市购进甲种商品60件，购进乙种商品130件
(2)这批商品全部售完可获利1440元
【解析】
【分析】
（1）设该超市购进甲种商品x件，则购进乙种商品（2x+10）件，根据总价=单价×数量，即可得出关于x
的一元一次方程，解之即可得出结论．
（2）利用总利润=每件的销售利润×销售数量，即可求出结论．
（1）设该超市购进甲种商品x件，则购进乙种商品（2x+10）件，依题意得：22（2x+10）+34x＝4900，解
得：x＝60．2×60+10＝130，答：该超市购进甲种商品60件，购进乙种商品130件；
（2）（50×0.9﹣34）×60+（35×0.8﹣22）×130＝11×60+6×130＝1440（元）．答：这批商品全部售完可获
利1440元．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）利
用总利润=每件的销售利润×销售数量，求出总利润．
变式3．（2022·广东·汕头市金平区金园实验中学七年级期末）某市两超市在元旦节期间分别推出如下促销
方式：
甲超市：全场均按八八折优惠；
乙超市：购物不超过200元，不给于优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元打九折，超过500元的部分打八折；
已知两家超市相同商品的标价都一样．
(1)当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？
(2)某顾客在乙超市购物实际付款482元，试问该顾客的选择划算吗？试说明理由．
【答案】(1)甲超市实付款是352元、乙超市实付款是360元
(2)该顾客的选择不划算
【解析】
【分析】
（1）根据甲乙两超市的促销方式代入计算即可；
（2）根据计算可得该顾客原购物金额超过500元，设原购物金额为未知数，根据乙超市的促销方式列方程
即可求得，再将求出的金额用甲超市促销方式进行计算后比较，即可判断．
（1）解：由题意可知，一次性购物总额是400元时：甲超市实付款：400×0.88=352（元），乙超市实付款：
400×0.9=360（元），答：甲超市实付款是352元、乙超市实付款是360元．
（2）解：∵500×0.9=450（元），450＜482，∴该顾客购物实际金额多于500元，设该顾客购物金额为y
元，由题意得：500×0.9+0.8（y-500）=482，解得：y=540，若顾客在甲超市购物，则实际付款金额为：
540×0.88=475.2元，475.2元＜482元，答：该顾客的选择不划算．
【点睛】
本题考查一元一次方程的实际应用，为常见基础题型，在做题时要把握清楚题目中描述的促销方式．
◎考点题型4 比赛积分问题
例．（2022·陕西咸阳·七年级期末）某校举办班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，
负一场得1分．如果七年级（1）班在8场比赛中共得13分，设获胜的场数是x场，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，找出等量关系式：胜场分数+负场分数=13，列出方程，得出结论．
【详解】
解：等量关系式：胜场分数+负场分数=13，由题意，得 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查一元一次方程的实际问题，根据题意找到等量关系式是解决问题的关键．
变式1．（2021·河南安阳·七年级开学考试）在一次数学抢答竞赛中，共有20道题，规定每答对一道得10
分、答错一道扣5分，奋斗组最后得分是155分．那么，奋斗组共答错了（ ）道题
A．3 B．6 C．9 D．17
【答案】A
【解析】
【分析】
设答错x道，则答对(20-x)道，列出方程-5x+10(20-x)=155求解即可．
【详解】
解：设答错x道，则答对(20-x)道，
由题意可得：-5x+10(20-x)=155，
解得x=3，
故奋斗组在这次比赛中共答错3道题，
故选：A．
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系，列出等式．
变式2．（2022·新疆克拉玛依·七年级期末）利用二元一次方程组解应用题：为有效落实双减工作，切实做
到减负提质，很多学校高度重视学生的体育锻炼，并不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一
场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在已赛的11场比赛中保持连续不败，共得25分，求该队
获胜的场数．
【答案】该队获胜7场
【解析】
【分析】
设该队获胜x场，则平（11−x）场，利用总得分＝3×获胜场次数＋1×平的场次数，即可得出关于x的一元
一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设该队获胜x场，则平（11−x）场，
依题意得：3x＋（11−x）＝25，解得：x＝7，∴11−x＝11−7＝4，
答：该队获胜7场．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
变式3．（2022·浙江绍兴·八年级期末）为增强同学们垃圾分类意识，某学校举行了垃圾分类知识竞赛，一
共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
(1)若某参赛同学只有1道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？
(2)若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“垃圾分类小达人”，则参赛
者至少需答对多少道题才能被评为“垃圾分类小达人”？
【答案】(1)该参赛同学一共答对了22道题
(2)参赛者至少需答对23道题才能被评为“垃圾分类小达人”
【解析】
【分析】
（1）设该参赛同学一共答对了x道题，根据题意列出相应的方程，然后求解即可；
（2）设参赛者需答对a道题才能被评为“垃圾分类小达人”，根据题意列出不等式，然后求解即可．
（1）解：设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了25﹣x﹣1＝（24﹣x）道题，由题意可得：4x﹣（24
﹣x）×1＝86，解得x＝22，答：该参赛同学一共答对了22道题；
（2）解：设参赛者需答对a道题才能被评为“垃圾分类小达人”，由题意可得：4a﹣（25﹣a）≥90，解
得a≥23，答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“垃圾分类小达人”．
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，详解本题的关键是明确题意，写出相应的方程和
不等式．
◎考点题型5 方案选择问题
选择设计方案的一般步骤：
（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．
（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结
论．
例．（2021·江苏苏州·七年级期末）商店将标价为6元的笔记本，采用如下方式进行促销；若购买不超过3
本，则按原价付款；若一次性购买3本以上，则超过的部分打七折．小明有54元钱，他购买笔记本的数量是（ ）
A．11本 B．最少11本 C．最多11本 D．最多12本
【答案】C
【解析】
【分析】
易得54元可购买的商品一定超过了3本，关系式为：3×原价+超过3本的本数×打折后的价格≤54，把相关
数值代入计算求得最大的正整数解即可．
【详解】
解答：解：设他购买笔记本的数量是x本，依题意有
3×6+（x﹣3）×6×0.7≤54，
解得x≤ ．
故他购买笔记本的数量是最多11本．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程不等式即可．
变式1．（2022·云南文山·七年级期末）某班参加“3.12”植树活动，若每人植 棵树，则余 棵树；若每
人植 棵树，则差 棵树，求该班有多少名学生？若设该班有 名学生，则可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意找出等量关系列出方程即可得到答案.
【详解】
解：∵若每人植2棵树，则余21棵树；若每人植3棵树，则差24棵树
∴2x+21=3x-24
故选D.
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键在于能够根据题意准确找到等量关系求解.
变式2．（2022·山东潍坊·八年级期末）某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具
袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话：(1)结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？
(2)学校决定，再次购买钢笔和签字笔共60支作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过500元．其中钢
笔标价每支10元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，那么小明最多可购买钢笔多
少支？
【答案】(1)17个
(2)18支
【解析】
【分析】
（1）设小明原计划购买文具袋x个，则实际购买文具袋(x + 1)个，根据实际打折后比原计划少花17元，
即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设小明购买m支钢笔，则购买(60－m)支签字笔，利用总价=单价×数量，结合两次购买奖品总支出不
超过500元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即
可得出结论．
（1）解：设小明原计划购买文具袋x个，则实际购买了（ ）个，依题意得： ，
解得： ．答：小明原计划购买文具袋17个．故答案为：17个
（2）解：设小明购买钢笔m支，则购买签字笔（ ）支，依题意得：
，解得： ，∵m是正整数，∴m最大值为18．答：小
明最多可购买钢笔18支．故答案为：18支
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确
列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
变式3．（2022·湖北孝感·七年级期末）一种商品按销售量分三部分制定销售单价，如下表：
销售量 单价
不超过100件的部分 3元/件超过100件不超过200件的部分 2.5元/件
超过200件的部分 2元/件
如购买120件这种商品，则需100×3＋（120－100）×2.5＝350（元）
(1)求购买100件、200件和260件这种商品，分别需要多少元？
(2)某人购买这种商品花了400元，求他购买了这种商品多少件？
(3)若某人花了n（n＞0）元，恰好购买了 件这种商品，求n的值．
【答案】(1)购买100件需要300元，购买200件需要550元，购买260件需要670元
(2)他购买了这种商品140件
(3)650
【解析】
【分析】
（1）根据总价＝单价×数量结合表格中的数据，即可求出分别购买100件、200件、260件时花费的总钱数；
（2）设他购买了这种商品x件，由 可得出 ，根据300＋（购买件数−100）×2.5
＝总钱数（400元），即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）分 、 及 三种情况，列出关于n的一元一次方程，解之即可得出结论；
(1)
解：购买100件商品需： （元），
购买200件商品需： （元），
购买260件商品需： （元）；
(2)
设他购买了这种商品x件，
因为 ，所以 ，
依题意有： ，
解之得： ，
故他购买了这种商品140件；
(3)若 ，则 ，
解之得： ，
因为n＞0，此种情况不合题意，舍去，
若 ，则 ，
解之得： ，
因为 ，所以此种情况不合题意，舍去，
若 ，则 ，
解之得： ，
综上所述， ．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用．判断购买商品所在的范围，并能根据不同的范围计算花费是解决本题的
关键．
◎考点题型6数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数
字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
例．（2022·四川眉山·七年级期末）如图，三阶幻方中每行、每列及每条对角线上的各数和都相等，则t的
值为（ ）
A．18 B．16 C．12 D．10
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三阶幻方的特点，可得三阶幻方的和，根据三阶幻方的和，根据有理数的加法，可得答案．
【详解】
根据题意得9+t+12=12+11+16，
解得t=18．故选：A．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的应用，解决此题的关键利用三阶幻方的特点列出方程．
变式1．（2022·浙江湖州·七年级期末）数学魔术：魔术师请观众心想一个数，然后将这个数按以下步骤操
作：
魔术师能立刻说出观众想的那个数．小玲 告诉魔术师的数是2，那么她心里想的数是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设这个数为x，根据程序列出关于x的方程，解方程即可．
【详解】
解：设这个数为x，则根据题意可得：
，
解得： ，
即她心里想的数是-3，故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出关于x的方程，是解题的关键．
变式2．（2022·河北·石家庄市第二十八中学二模）数轴上有不同两点 、 ，点A表示的数是：2
+3． 点B表示的数是：3 -2．
(1)若点 表示的数是-1，求点 表示的数；
(2)若点 在点 的左侧，求 的取值范围．
【答案】(1)点B表示的数是-8
(2)当 x＜5时，点 在点A的左侧
【解析】
【分析】
（1）根据点A表示的数，列一元一次方程，解方程求出x的值，然后求代数式的值即可；（2）根据点 在点A的左侧，列不等式3 -2＜2 +3，然后解不等式即可．
(1)
解：∵点A表示的数是-1，
∴2 +3=-1，
解得x=-2,
当x=-2时，3 -2=3×（-2）-2=-6-2=-8，
∴点B表示的数是-8；
(2)
解：∵点 在点A的左侧，
∴3 -2＜2 +3，
移项得3x-2x＜3+2，
合并得x＜5，
∴当 x＜5时，点 在点A的左侧．
【点睛】
本题考查数轴上点表示数，一元一次方程，一元一次不等式，掌握数轴上点表示数的大小与位置关系，一
元一次方程解法，一元一次不等式解法是解题关键．
变式3．（2022·江苏·七年级专题练习）已知一列数2，0，﹣1．﹣ ．
(1)求最大的数和最小的数的差；
(2)若再添上一个有理数m，使得五个有理数的和为0，求m的值．
【答案】(1)3；
(2)m=- ．
【解析】
【分析】
（1）首先得出最大数和最小数，进而得出答案；
（2）根据题意列出方程，解方程即可求解．
(1)
解：∵最大的数是2，最小的数是-1，
∴最大的数与最小的数之差为2-（-1）=2+1=3；
(2)
解：根据题意得：2+0+(-1)+(- )+m=0，解得：m=- ．
【点睛】
本题考查有理数的运算，一元一次方程的应用；熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解本题的关键．
◎考点题型7几何问题
例．（2022·河南许昌·七年级期末）在如图所示的数轴上， ，A、B两点对应的实数分别是
和-1，则点C所对应的实数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设点 所对应的实数是 ，根据 和数轴的性质建立方程，解方程即可得．
【详解】
解：设点 所对应的实数是 ，
由题意得： ，
解得 ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了实数与数轴、一元一次方程的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键．
变式1．（2022·辽宁大连·七年级期末）一个长方形的周长为28cm，若把它的长减少1cm，宽增加3cm，
就变成一个正方形，则这个长方形的面积是（ ）
A．48 B．45 C．40 D．33
【答案】B【解析】
【分析】
设这个长方形的长为x cm，宽为（14-x）cm．则根据题意列出方程组，解可得到长方形的长，进而得到正
方形的边长，再计算面积即可．
【详解】
解：设这个长方形的长为x cm，宽为（ -x）cm，即（14-x)cm，
依题意得：x-1=14-x+3，
解得x=9．
所以 -x=14-9=5（cm），
故该长方形的面积=9×5=45（cm2）．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量
关系列出方程，再求解．
变式2．（2022·河南平顶山·七年级期末）如图所示，有甲、乙两个容器，甲容器盛满水，乙容器里没有水，
现将甲容器中的水全部倒入乙容器，问：水会不会溢出？如果不会溢出，请你求出倒入水后乙容器中的水
深；如果水会溢出，请你说明理由．（容器壁厚度忽略不计，图中数据的单位：cm）
【答案】水不会溢出，理由见解析
【解析】
【分析】
根据两个圆柱体的体积进行计算即可解答本题．
【详解】
解：水不会溢出．设甲容器中的水全部倒入乙容器后，乙容器中的水深 ，
由题意，得 ，
解得 ，
所以甲容器中的水全部倒入乙容器后，乙容器中的水深 ，
因为 ，
所以水不会溢出．
【点睛】
本题考查圆柱体的体积，有理数的运算，关键是分别求出两个圆柱体的体积进行比较，然后再根据体积相
等进行计算．
变式3．（2023·江苏·七年级专题练习）用一根长为10米的铁丝围成一个长方形，若该长方形的长比宽多
2米，长方形的长、宽各为多少？
【答案】长是3.5米，宽是1.5米
【解析】
【分析】
设长方形的宽为x米，则长为（x＋2）米．根据题意列一元一次方程,求出x的值即可求出长、宽的值．
【详解】
设长方形的宽为x米，则长为（x＋2）米．
由题意可列出方程， ，
解得x=1.5，则x+2=3.5．
答：这个长方形的长是3.5米，宽是1.5米．
【点睛】
本题考查了列一元一次方程解应用题，正确的列方程是解题的关键．
◎考点题型8 和差倍分问题
（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，
现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．
（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增
长率等．
例．（2022·黑龙江黑河·七年级期末）逊克县中小学校的第二课堂活动开展的有声有色．某校合唱团30人，
舞蹈队20人要共同外出表演，现根据演出需要，从舞蹈队中抽调了部分同学参加合唱团，使合唱团的人数
恰好是舞蹈队人数的4倍．设从舞蹈队中抽调了x人参加合唱团，可列方程为（ ）．
A．4（30﹣x）＝20＋x B．30＋x＝4（20﹣x）C．30﹣4x＝20＋x D．30﹣x＝4（20﹣x）
【答案】B
【解析】
【分析】
设从舞蹈队中抽调了x人参加合唱团，根据“合唱团的人数恰好是舞蹈队人数的4倍”列出一元一次方程
即可求解．
【详解】
解：设从舞蹈队中抽调了x人参加合唱团，根据题意得，
30＋x＝4（20﹣x），
故选B.
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键．
变式1．（2022·重庆市第七中学校七年级期中）学校在举办“读书月”的活动中，将一些图书分给了七年
级一班的学生阅读，如果每人分2本，则剩余15本；如果每人分3本，则还缺20本．若设该校七年级一
班有学生 人，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据“每人分2本，则剩余15本；如果每人分3本，则还缺20本”列出一元一次方程即可．
【详解】
解：∵该校七年级一班有学生 人，
∴由题意可知，根据图书总数相等，列出方程： ，
故选：A．
【点睛】
本题考查列一元一次方程，读懂题目意思是解答本题的关键．
变式2．（2022·河南郑州·七年级期末）某校组织七年级（ ）班学生分成甲、乙两队参加社会劳动实践，
其中甲队人数是乙队人数的 倍，后因劳动需要，从甲队抽调 人支援乙队，这时甲队人数是乙队人数的
一半，则甲、乙两队原来各有多少人？
【答案】甲队有 人，乙队有 人
【解析】【分析】
设乙队有 人，则甲队有 人，根据“从甲队抽调 人支援乙队，这时甲队人数是乙队人数的一半”列方
程求解即可．
【详解】
解：设乙队有 人，则甲队有 人，
根据题意的，得： ，
解得： ，
所以 ，
答：甲队有 人，乙队有 人．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，列出一元一次方程是解题的关键．
变式3．（2022·吉林·东北师大附中七年级期中）请根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)分别求每个水瓶和每个水杯的钱数．
(2)王老师购买了6个水瓶和20个水杯，商家打八折，求王老师花的钱数．
【答案】(1)一个水瓶40元，一个水杯是8元
(2)王老师花的钱为320元
【解析】
【分析】
（1）设一个水瓶x元，表示出一个水杯为（48-x）元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）直接列式即可计算出费用．
(1)
设一个水瓶x元，表示出一个水杯为（48﹣x）元，
根据题意得：3x+4（48﹣x）＝152，
解得：x＝40，
答：一个水瓶40元，一个水杯是8元；(2)
由题意得： （元）．
答：王老师花的钱为320元．
【点睛】
此题考查了一元一次方程的应用，根据题意得出正确的等量关系是解题关键．
◎考点题型9 电费水费问题
例．（2022·云南文山·七年级期末）为鼓励居民节约用水，某市对居民用水实行“阶梯收费”，规定每户
每月用水量不超过10吨，水价为每吨2元；超过10吨的部分每吨3.5元．已知小莉家某月交水费34元，
则小莉家该月用水多少吨？若设小莉家该月用水x吨，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设小莉家该月用水x吨，根据水费的计算方法，每户每月用水量不超过10吨，水价为每吨2元，超过10
吨的部分每吨3.5元，将x吨水分为两部分，10吨和超过10吨的部分，分别算出水费相加，列出关于x的
方程即可．
【详解】
解：设小莉家该月用水x吨，根据题意得：
，故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系，是解题的关键．
变式1．（2022·山东·潍坊市寒亭区教学研究室二模）潍坊出租车采用阶梯式的计价收费办法如下表：
行驶里程 计费方法
不超过3公里 起步价8元
超过3公里且不超过7公里的部分 每公里按标准租费收费超过7公里且不超过25公里的部分 每公里再加收标准租费的50%
超过25公里且不超过100公里的部分 每公里再加收标准租费的75%
超过100公里的部分 每公里再加收标准租费的100%
说明：行驶里程不足1公里，按1公里计算；
行驶里程超过3公里时的标准租费为1.8元/公里．
若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为（ ）A．13公里 B．12公里 C．11公里 D．10公
里
【答案】C
【解析】
【分析】
设行驶里程为x公里，乘车费用为26元．根据题意列出一元一次方程求解即可．
【详解】
解：设行驶里程为x公里，乘车费用为26元．
若 ，根据题意得 ，不成立．
若 ，根据题意得 ．
解得 （舍）．
若 ，根据题意得 ．
解得 ．
若 ，根据题意得 ．
解得 （舍）．
若 时，根据题意得
．
解得 （舍）．
∴若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为11公里．
故选：C．
【点睛】
本题考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握该知识点是解题关键．
变式2．（2022·江苏·七年级专题练习）某市收取水费按以下规定：若每月每户不超过20立方米，则每立方米水价按1.2元收费；若超过20立方米，则超过部分按每立方米2元收费，那么
(1)如果某户居民在某月用水x立方米，且x≤20，则所交水费为 ；
(2)如果某户居民在某月用水x立方米，且x＞20，则所交水费为 元；
(3)如果某户居民在某月所交水费的平均水价为每立方米1.5元，设这户居民这个月共用了x立方米的水，
请写出x的范围，并列出方程．
【答案】(1)1.2x
(2)（2x﹣16）元
(3)x＞20，20×1.2+2（x﹣20）＝1.5x
【解析】
【分析】
（1）根据“若每月每户不超过20立方米，则每立方米水价按1.2元收费”即可得出答案；．
（2）根据题意列出代数式，化简即可得出答案；
（3）根据“平均水价为每立方米1.5元”可知，用水量x＞20，根据题意列出方程即可得出结果
（1）由题意得：x≤20时，所交水费为1.2x元，故答案为：1.2x；
（2）由题意得：x＞20时，所交水费：20×1.2+2（x﹣20）＝（2x﹣16）元；故答案为：（2x﹣16）
（3）由题意可得：x＞20，设这一月共用水x立方米，根据题意得：20×1.2+2（x﹣20）＝1.5x，化简可得
2x﹣16＝1.5x，解得：x＝32．即他这一个月共用了32立方米的水．
【点睛】
本题考查代数式、一元一次方程，根据题意列出方程是解题的关键．
变式3．（2022·浙江宁波·七年级期末）一家电信公司推出两种移动电话计费方法，如下表所示：
计费方法 计费方法
A B
每月基本服务费（元/月） 58元 88元
每月免费通话时间（分） 150分 350分
超出后每分钟收费（元/分） 0.25元 0.20元
(1)若月通话时间是3小时，则使用计费方法A的用户话费为_______元，使用计费方法B的用户话费为
_______元；
(2)若月通话时间是x分钟（x>350），则按A、B两种计费方法的用户话费分别是多少？（用含x的代数式
表示）
(3)当通话时间为多长时，按A、B两种计费方法所需的用户话费相等？
【答案】(1)65.5；88(2)按计费方法A的用户话费为（0.25x+20.5）元，按计费方法B的用户话费为（0.2x+18）元；
(3)270分钟
【解析】
【分析】
（1）利用使用计费方法A的用户话费=58+0.25×超过150分的时间，可求出使用计费方法A的用户话费；
由3小时=180分<350分，可得出使用计费方法B的用户话费为88元；
（2）利用按计费方法A的用户话费=58+0.25×超过150分的时间，即可用含x的代数式表示出按计费方法
A的用户话费；利用按计费方法B的用户话费=88+0.2×超过350分的时间，即可用含x的代数式表示出按
计费方法B的用户话费；
（3）设当通话时间为y分钟时，然后分150350两种情况考虑，根据按A、B两种计费方法所
需的用户话费相等，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
(1)
解：依题意得：使用计费方法A的用户话费为58+0.25×（60×3-150）=65.5元，
3小时=180分<350分，所以使用计费方法B的用户话费为88元．
故答案为：65.5；88
(2)
解：依题意得：按计费方法A的用户话费为58+0.25（x-150）=（0.25x+20.5）元，
按计费方法B的用户话费为88+0.2（x-350）=（0.2x+18）元；
(3)
解：设当通话时间为y分钟时，按A、B两种计费方法所需的用户话费相等．若150350，
0.25x+20.5=0.2x+18，解得：y=-50（不合题意，舍去）．
答：当通话时间为270分钟时，按A、B两种计费方法所需的用户话费相等．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；
（2）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方
程．
◎考点题型10 行程问题
（1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间（2）基本类型有：
①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间
Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．
②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间
Ⅱ．寻找相等关系：
第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；
第二，第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．
③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，
逆流速度=静水速度－水流速度，
顺水速度－逆水速度＝2×水速；
Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考
虑．
（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．
例．（2021·湖北黄石·七年级期末）汽车以72千米/时的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员按一
下喇叭，4秒后听到回响，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的转播速度约为340米/秒．设按喇叭时，
汽车离山谷x米，根据题意，可列出方程为（ ）
A．2x+4×72＝4×340 B．2x﹣4×72＝4×340
C．2x+4×20＝4×340 D．2x﹣4×20＝4×340
【答案】C
【解析】
【分析】
设听到回响时，汽车离山谷x米，首先理解题意找出题中存在的等量关系：汽车离山谷距离的2倍+汽车前
进的距离=声音传播的距离，根据等量关系列方程即可．
【详解】
解：设汽车离山谷x米，则汽车离山谷距离的2倍即2x，
因为汽车的速度是72千米/时即20米/秒，
则汽车前进的距离为：4×20米/秒，
声音传播的距离为：4×340米/秒，
根据等量关系列方程得：2x+4×20=4×340，
故选：C．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是找出题目中的相等关系，列方程．变式1．（2022·河北邢台·七年级期末）某学校七年级进行一次徒步活动，带队教师和学生们以4km/h的速
度从学校出发，20min后，小王骑自行车前去追赶．如果小王以12km/h的速度行驶，那么小王要用多少小
时才能追上队伍？设小王要用xh才能追上队伍，那么可列出的方程是（ ）
A．12x＝4（x+20） B．12x＝4（ +x）
C．12x＝4× +x D．4x＝12（ x）
【答案】B
【解析】
【分析】
由小王比队伍晚出发 h，可得出小王追上队伍时队伍出发了（ +x）h，利用路程=速度×时间，结合小王
追上队伍时他们的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】
解：∵小王比队伍晚出发 h（20min），且小王要用x h才能追上队伍，
∴小王追上队伍时，队伍出发了（ +x）h．
依题意得：12x＝4（ +x）．
故选：B．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
变式2．（2022·山东潍坊·七年级期末）甲车和乙车分别从A，B两地同时出发相向而行，分别去往B地和
A地，两车匀速行驶2小时相遇，相遇时甲车比乙车少走了20千米．相遇后，乙车按原速继续行驶1.8小
时到达A地．
(1)乙车的行驶速度是多少千米/时？
(2)相遇后，甲车先以100千米/时的速度行驶了一段路程后，又以120千米/时的速度继续行驶，刚好能和
乙车同时到达目的地，试求相遇后，甲车以100千米/时的速度行驶的路程和以120千米/时的速度行驶的路
程各是多少千米？
【答案】(1)100千米/小时
(2)甲车以100千米/时的速度行驶的路程为80千米，以120千米/时的速度行驶的路程为120千米【解析】
【分析】
（1）设乙车速度为x千米/时，根据题意列方程求解即可；
（2）设甲车以100千米/时的速度行驶的路程为m千米，则以120千米/时的速度行驶的路程为
千米，根据“甲车先以100千米/时的速度行驶了一段路程后，又以120千米/时的速度继续行驶，刚好能和
乙车同时到达目的地，”列方程求解即可．
（1）解：设乙车速度为x千米/时，依题意得：1.8x＝2x－20，解得， 答：乙车速度为100千米/小
时 ．
（2）设甲车以100千米/时的速度行驶的路程为m千米，则以120千米/时的速度行驶的路程为
千米，则依题意得： 解得 ∴ （千米）答：甲车以100千米/时的
速度行驶的路程为80千米，以120千米/时的速度行驶的路程为120千米．
【点睛】
此题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，列出方程是解题的关键．
变式3．（2022·陕西咸阳·七年级期末）已知甲、乙两地相距80千米，小明从甲地出发，开车去乙地．小
军从乙地出发，开车去甲地．若小明与小军同时出发，且小明的平均车速是每小时45千米，小军的平均车
速是每小时55千米，问经过多少小时两人相遇？（请列方程并求解）
【答案】方程为 ，经过0.8小时两人相遇
【解析】
【分析】
设经过x小时两人相遇，根据“小明走的路程+小军走的路程=80”列出一元一次方程求解即可．
【详解】
解：设经过x小时两人相遇，
∴列方程为： ，
解得： ．
答：经过0.8小时两人相遇．
【点睛】
此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确分析出题目中的等量关系．
◎考点题型11比例分配问题寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．
例．（2023·福建·泉州五中三模）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分
银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤.”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，
则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注： 明代时 1 斤＝16 两，故有“半斤八两”这个成语）．
设总共有 x 个人，根据题意所列方程正确的是（ ）
A．7x - 4 = 9x+8 B．7x+4 = 9x-8
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据题中等量关系列方程即可．
【详解】
解：根据题意，7x+4 = 9x－8，
故选：B．
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
变式1．（2021·江苏·七年级专题练习）“和尚分馒头”问题是我国古代的数学名题之一，它出自明代数学
家程大位写的《算法统宗》．书中的题目是这样的：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，
大小和尚得几丁？设有小和尚 人，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设有小和尚 人，则大和尚的人数为（ ）人，然后根据三个小和尚一个馒头，一个大和尚三个馒
头即可列出方程．
【详解】
解：设有小和尚 人，则大和尚的人数为（ ）人，
由题意得 ，故选B．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键在于能够根据题意找到等量关系列方程．
变式2．（2021··期中）六年级和七年级分别有192人和133人，现在需要从两个年级选出133人参加“读
书节”活动，并且要使六年级，七年级剩余学生数之比为2：1，问应从六年级，七年级各选出多少人？
【答案】从六年级抽出64人，从七年级抽出69
【解析】
【分析】
总人数不变，抽出的人数加上为抽出的人数等于总人数，设未知数，由题意列出一元一次方程即可．
【详解】
解：设从六年级抽出x人，则应从七年级抽出（133-x），
由题意得：（192-x）：[133-（133-x）]=2：1，
即（192-x）：x=2：1，
解得：x=64，
∴133-64=69（人）．
答；应从六年级抽出64人，从七年级抽出69人．
【点睛】
本题是一元一次方程的应用，考查的是人员调配问题，关键知道调配后的数量关系从而可列方程求解．
变式3．（2022·山东泰安·期末）白菜是泰安特产之一，去年泰安白菜大丰收．某乡镇要把116吨白菜运往
某市的A，B两地，用大、小两种货车共10辆，恰好能一次性运完这批白菜，已知这两种货车的载重量分
别为14吨/辆和10吨/辆，求这两种货车各有多少辆？
【答案】大货车用4辆．小货车用6辆
【解析】
【分析】
设载重量为14吨的大货车x辆，根据两种车型共10辆则需要载重量为10吨的小货车为 (10-x)辆，然后再
根据所有车辆一共运输白菜等于116吨这个等量关系列出一元一次方程求解即可．
【详解】
解：设大货车x辆，则小货车有 辆，
，
解得： ，（辆），
答：大货车用4辆．小货车用6辆．
【点睛】
解题的关键是：利用总运量=大车载重量×大车数量＋小车载重量×小车数量找准等量关系，正确列出一元
一次方程求解．
◎考点题型12 日历问题
例．（2022·四川成都·七年级期末）将连续奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表，若将十字形框上
下左右移动，可框出另外五个数，则框出的五个数之和可以是（ ）
A．2020 B．2022 C．2023 D．2025
【答案】D
【解析】
【分析】
先设中间的数为2x+1（x为整数），进而得到该数上方、下方、左边、右边的数分别为（2x+1）-10、
（2x+1）+10、（2x+1）-2、（2x+1）+2，然后求得框出的五个数之和，即可得到答案．
【详解】
解：设中间的数为2x+1（x为整数），
则该数上方、下方、左边、右边的数分别为（2x+1）-10、（2x+1）+10、（2x+1）-2、（2x+1）+2，
∴框出的五个数之和为（2x+1）+（2x+1）-10+（2x+1）+10+（2x+1）-2+（2x+1）+2=10x+5，
∵x为整数，
∴10x+5是5的倍数，且个位数字为5，
故选：D．
【点睛】
本题考查了代数式的表示，属于数字的变化规律类题型，解题的关键是会用含有未知数的式子表示框出的
5个数．
变式1．（2022·重庆渝中·二模）正整数1至300按一定的规律排列如表所示，若将表中三个涂黑的方框同时移动到表中其它的位置，使它们重新框出三个数，那么方框中三个数的和可能是（ ）
1 2 3 4 5 6 7
1
8 9 10 11 12 14
3
1 1 2
15 17 19 21
6 8 0
2 2 2
22 24 26 28
3 5 7
…
A．315 B．416 C．530 D．644
【答案】C
【解析】
【分析】
设带阴影的方框中，最小的数是 则其他两个是 可得三个数的和是
根据各选项列方程，解为正整数的符合题意．因为有7列，所以也要考虑在表格中的位置．
【详解】
解：设带阴影的方框中，最小的数是 则其他两个是
∴三个数的和是
A 若三个数的和是315，则
解得
∵x是正整数，
∴A不符合题意．
B 若三个数的和是416，则
解得
∵x是正整数，
∴B不符合题意．
C 若三个数的和是530，则
解得则这三个数是172，178，180，故C符合题意．
D 若三个数的和是644，则
解得
∵ 在第30行第7列，
∴644不符合题意，
∴D不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是找到三个数的规律，根据题意列方程．
变式2．（2022·湖北武汉·七年级期末）已知关于x的两个多项式A＝x2－8x＋3．B＝ax－b，且整式A＋B
中不含一次项和常数项．
（1）求a，b的值；
（2）如图是去年2021年3月份的月历．用带阴影的十字方框覆盖其中5个数字，例如：1，7，8，9，
15．现在移动十字方框使其覆盖的5个数之和等于9a＋6b，则此时十字方框正中心的数是 _____ ．
【答案】（1）a＝8，b＝3；（2）18
【解析】
【分析】
（1）把A与B代入A+B中，去括号合并后由结果不含一次项与常数项求出a与b的值即可；
（2）设十字方框正中心的数是m，根据题意列出方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）∵A＝x2－8x＋3．B＝ax－b，
∴A+B＝x2－8x＋3+ ax－b＝x2+（-8+a）x-b+3，
由结果中不含一次项和常数项，得到-8+a＝0，-b+3＝0，解得：a＝8，b＝3；
（2）设十字方框正中心的数是m，则它上面的数为m-7，它下面的数为m+7，它左面的数为m-1，它右面
的数为m+1，列方程得，
，
∵a＝8，b＝3；
∴ ，
解得， ；
故答案为：18
【点睛】
本题考查了整式的运算和一元一次方程的应用，解题关键是明确不含某项是只该项的系数为0，找出日历
中数字关系，列出方程．
变式3．（2021·四川达州·七年级期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示：
（1）十字框中5个数之和是41的几倍？
（2）设十字框中间的数为a，用代数式表示这十字框中五个数的和．
（3）十字框中的五个数之和能等于2000吗？若能，请写出这五个数，若不能，请说明理由．
【答案】（1）十字框中5个数之和是41的5倍；（2） ；（3）不能，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意将十字框中的5个数相加除以41即可得出结论；
（2）由题意观察图形，根据5个数之间的关系即可求出这十字框中五个数的和；
（3）由题意假设能，令5x=2000，求出x的值，根据x为偶数不是奇数即可得出假设不成立．
【详解】
解：（1） ，
答：十字框中5个数之和是41的5倍．
（2）∵十字框中间的数为a，
∴这十字框中五个数的和为 ．
（3）假设能，设中间的数为x，根据题意，得： ，解得： ．
∵400为偶数，
∴假设不成立，即十字框中的五个数之和不能等于2000．
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用以及列代数式，根据十字框中5个数之间的关系求出5个数之和是解题的关
键．
