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第 02 讲 全等三角形的判定（SSS 与 SAS）
课程标准 学习目标
①边边边（SSS）判定三角形全
等 1. 掌握全等三角形中的SSS和SAS判定全等方法的定义和方
②边角边（SAS）判定三角形全 法，能够根据题目的已知条件熟练的选择应用。
等
知识点01 边边边（SSS）判定全等
1. 边边边（SSS）的概念：
若两个三角形的 三条边 分别对应相等，则这两个三角形全等。
2. 数学语言：
如图：在△ABC与△DEF中：
AB DE AC DF
{ {
= ¿ = ¿¿¿¿
∴△ABC≌△ D E F （SSS）。【即学即练1】
1．如图，在△ABC和△FED中，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下
面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（ ）
A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④
【分析】要利用SSS进行△ABC和△FED全等的判定，还需要条件AB＝FE，结合题意给出的条件即可
作出判断．
【解答】解：由题意可得，要用SSS进行△ABC和△FED全等的判定，需要AB＝FE，
若添加①AE＝FB，则可得AE+BE＝FB+BE，即AB＝FE，
故①可以；
若添加AB＝FE，则可直接证明两三角形的全等，故②可以．
若添加AE＝BE，或BF＝BE，均不能得出AB＝FE，不可以利用SSS进行全等的证明，故③④不可以．
故选：A．
【即学即练2】
2．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，求证：△ABC≌△DEF．
【分析】首先根据AF＝DC，可推得AF﹣CF＝DC﹣CF，即AC＝DF；再根据已知AB＝DE，BC＝
EF，根据全等三角形全等的判定定理SSS即可证明△ABC≌△DEF．
【解答】证明：
∵AF＝DC，
∴AF﹣CF＝DC﹣CF，即AC＝DF；
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
知识点02 用直尺和圆规作一个角等于已知角1. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤：
如图：（1）以O为圆心，一定长度为半径画圆弧，与角的两边分别交于C、D两点；
（2）画射线O′A′，以O′为圆心，OC的长度为半径画圆弧，交O′A′于点C′；
（3）以C′为圆心，CD长为半径画圆弧，与（2）中的圆弧交于点D′；
（4）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB
通过作图步骤可证明△OCD ≌ △O′C′D′，从而得到所作的角等于已知角。
【即学即练1】
3．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
【分析】利用作法得到 OD＝OC＝O′C′＝O′D′，CD＝C′D′，于是可根据“SSS”判定
△OCD≌△O′C′D′，然后根据全等三角形的性质得到∠A′O′B′＝∠AOB．
【解答】解：由作法得OD＝OC＝O′C′＝O′D′，CD＝C′D′，
则可根据“SSS”可判定△OCD≌△O′C′D′，
所以∠A′O′B′＝∠AOB．
故选：D．
知识点03 边角边（SAS）判定全等
1. 边角边（SAS）的概念：
若两个三角形有 两边及其夹角 对应相等，则这两个三角形全等。
2. 数学语言：
如图：在△ABC与△DEF中：
AB DE =∠
{
= ¿
{∠A D
¿¿¿¿
∴△ABC≌△DEF（SAS）。
【即学即练1】
4．如图，在△ABD和△ACE中．AB＝AC，AD＝AE，如果由“SAS”可以判定△ABD≌△ACE，则需补充条件（ ）
A．∠EAD＝∠BAC B．∠B＝∠C C．∠D＝∠E D．∠EAB＝∠CAD
【分析】补充∠EAD＝∠BAC，由∠EAD＝∠BAC 可根据等式的性质得到∠EAD+∠DAC＝
∠BAC+∠DAC，即∠EAC＝∠DAB，再加上条件 AB＝AC，AD＝AE 可用“SAS”可以判定
△ABD≌△ACE．
【解答】解：补充∠EAD＝∠BAC，
∵∠EAD＝∠BAC，
∴∠EAD+∠DAC＝∠BAC+∠DAC，
即∠EAC＝∠DAB，
在△AEC和△ADB中M
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
故选：A．
【即学即练2】
5．如图，C，A，D三点在同一直线上，AB∥CE，AB＝CD，AC＝CE．
求证：△ABC≌△CDE．
【分析】由平行线的性质得到∠BAC＝∠DCE，由SAS即可证明△ABC≌△CDE（SAS）．
【解答】解：∵AB∥CE，
∴∠BAC＝∠DCE，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（SAS）．题型01 添加条件形成SSS的全等判定方法
【典例1】如图，在△ABC和△BAD中，AC＝BD，BC＝AD，在不添加任何辅助线的条件下，可判断
△ABC≌△BAD．判断这两个三角形全等的依据是（ ）
A．ASA B．AAS C．SSS D．SAS
【分析】根据全等三角形的判定方法求解．
【解答】解：在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（SSS）．
故选：C．
【变式1】如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，要利用“SSS”判定△ABC≌△DEF，则还
需添加的条件为（ ）
A．BF＝CF B．BF＝CE C．CF＝CE D．∠A＝∠D
【分析】根据全等三角形的判定定理SSS推出即可．
【解答】解：∵△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，
∴利用“SSS”判定△ABC≌△DEF的条件是BC＝EF，即添加BF＝EC．
故选：B．
【变式2】如图，已知AB＝AD，要使△ABC≌△ADC（SSS），只需补充一个条件 BC ＝ DC ．
【分析】根据三角形的判定即可解答．
【解答】解：在△ABC和△ADC中，，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
故答案为：BC＝DC．
【变式3】如图，在△ACE和△BDF中，AE＝BF，CE＝DF，要利用“SSS”证明△ACE≌△BDF，需添
加的一个条件可以是（ ）
A．AB＝BC B．DC＝BC
C．AB＝CD D．以上都不对
【分析】根据SSS证明△ACE≌△BDF得出添加的条件即可．
【解答】解：∵AE＝BF，CE＝DF，
添加AC＝BD，或CD＝AB利用SSS证明△ACE≌△BDF，
故选：C．
【变式4】已知AB＝DC，若利用“SSS”来判定△ABC≌△DCB，则需添加的条件是（ ）
A．AE＝DE B．AC＝DB C．BE＝CE D．BC＝CB
【分析】由于 AB＝DC，而 BC 为公共边，所以添加第三条边对应相等可根据“ SSS”判断
△ABC≌△DCB．
【解答】解：∵AB＝DC，BC＝CB，
∴当条件AC＝DB时，△ABC≌△DCB（SSS）．
故选：B．
题型02 添加条件形成SAS的全等判定方法
【典例1】如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依
据是（ ）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【分析】根据全等三角形的判定定理SAS求解即可．
【解答】解：在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（SAS），
故选：B．
【变式1】如图，已知∠AOB，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA，OB于点C，D；再以点
O为圆心，大于OC为半径画弧，分别交OA，OB于点E，F；连接CF，DE，则△EOD≌△FOC，其全
等的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】利用SAS证明△EOD≌△FOC即可．
【解答】解：由作图步骤可知，OC＝OD，OE＝OF，
在△COF和△DOE中，
，
∴△EOD≌△FOC（SAS），
故选：B．
【变式2】如图，△ABC与△DEF的边BC，EF在同一条直线上，AB∥DE，且BE＝CF，请添加一个条件，
使△ABC≌△DEF，全等的依据是“SAS”，则需要添加的条件是（ ）
A．AC∥DF B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．AB＝DE【分析】由平行线的性质得∠B＝∠DEF，再证BC＝EF，然后由SAS证△ABC≌△DEF即可．
【解答】解：需要添加的条件是AB＝DE，理由如下：
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故选：D．
【变式3】14．如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（ ）
A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠A＝∠D D．∠AOB＝∠DOC
【分析】添加AB＝DC，不能根据SAS证两三角形全等；根据条件OA＝OD和∠AOB＝∠DOC，不能证
两三角形全等；添加∠AOB＝∠DOC，不能证两三角形全等；根据以上结论推出即可．
【解答】解：A、AB＝DC，不能根据SAS证两三角形全等，故本选项错误；
B、∵在△AOB和△DOC中
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），故本选项正确；
C、两三角形相等的条件只有OA＝OD和∠AOB＝∠DOC，不能证两三角形全等，故本选项错误；
D、根据∠AOB＝∠DOC和OA＝OD，不能证两三角形全等，故本选项错误；
故选：B．
【变式4】
15．如图，AC和BD交于O，如OA＝OD用SAS证明△AOB≌△DOC还需添加的条件是（ ）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．OB＝OC D．∠AOB＝∠DOC
【分析】由OA＝OD，加上对顶角相等，再加上OB＝OC，即可利用SAS得证．
【解答】解：在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
则还需添加的添加是OB＝OC，
故选：C．
题型03 利用SSS判定三角形全等
【典例1】如图，点E，C在线段BF上，AB＝DE，BE＝CF，AC＝DF．求证：△ABC≌△DEF．
【分析】先证明BC＝EF，再利用SSS证明△ABC≌△DEF即可．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
【变式1】如图，AB＝AC，AD为△ABC的BC边上的中线，△ABD与△ACD全等吗？为什么？
【分析】根据中线的性质得出BD＝CD，利用SSS证明三角形全等．
【解答】解：全等，理由如下：
∵AB＝AC，AD为△ABC的BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD与△ACD中，，
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
【变式2】如图，AC＝BD，BC＝AD，求证：△ABC≌△BAD．
【分析】已知AC＝BD，BC＝AD，又AB公共，根据SSS即可证明△ABC≌△BAD．
【解答】证明：在△ABC与△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（SSS）．
【变式3】如图，已知：A、F、C、D在同一条直线上，BC＝EF，AB＝DE，AC＝FD．求证：（1）
BC∥EF；
（2）CE＝BF．
【分析】（1）由全等三角形的判定定理SSS证得△ABC≌△DEF，则对应角∠BCA＝∠EFD，易证得结
论；
（2）△ABC≌△DEF，得出∠A＝∠D，用SAS证△DCE≌△AFB即可得答案．
【解答】证明：（1）在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠BCA＝∠EFD，
∴BC∥EF．
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴∠A＝∠D，
∵AC＝DF，
∴AC﹣CF＝DF﹣CF，∴AF＝DC，
∵AB＝DE，
∴△ABF≌△DEC（SAS），
∴BF＝CE．
【变式4】如图，点E，C在线段BF上，AB＝DE，BE＝CF，AC＝DF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠B＝45°，∠F＝85°，求∠A的度数．
【分析】（1）首先根据 BE＝CF 可得 BC＝EF，再根据 BE＝CF，可得出 BC＝EF，即可判定
△ABC≌△DEF；
（2）首先根据（1）中两三角形全等，可得∠ACB＝∠F＝85°，在△ABC中根据三角形内角和定理即可
求出∠A．
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
∴在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
（2）解：∵△ABC≌△DEF，∠B＝45°，∠F＝85°，
∴∠ACB＝∠F＝85°，
∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝50°．
题型04 利用SAS判定三角形全等
【典例1】如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC≌△ADE．【分析】根据SAS证明△ABC≌△ADE即可．
【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，
即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC 和△ADE 中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
【变式1】如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC≌△ADE．
【分析】根据∠BAD＝∠CAE可得∠BAC＝∠DAE，再根据SAS即可证明．
【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
【变式2】如图，在△ABC中，D是BC的中点，连接AD并延长至点E，使得AD＝DE．
求证：△ADB≌△EDC．【分析】利用SAS证明三角形全等即可．
【解答】证明：∵D为BC的中点，
∴BD＝CD．
在△ADB与△EDC中，
，
∴△ADB≌△EDC（SAS）．
【变式3】如图，已知：AB＝AC，AD＝AE．
（1）求证：∠B＝∠C
（2）若∠A＝70°，∠B＝30°，求∠BOC的度数．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△ACD，可得结论；
（2）由外角的性质可求解．
【解答】（1）证明：在△ABE 和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠B＝∠C；
（2）解：∠A＝70°，∠B＝30°，
∴∠BEC＝∠A+∠B＝100°，
由（1）得∠C＝∠B＝30°，
∴∠BOC＝∠BEC+∠C＝130°．
【变式4】如图1，△ABC中，AB＝9，AC＝6，AD是中线，求AD得取值范围．（提示：延长AD到E，
使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．）请回答：
（1）为什么△BED≌△CAD？写出推理过程；
（2）求出AD的取值范围；
【分析】（1）由AD是△ABC的中线，得BD＝CD，而∠BDE＝∠CDA，DE＝DA，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△BED≌△CAD；
（2）由△BED≌△CAD，得EB＝AC＝6，由三角形的三边关系得AB﹣EB＜AE＜AB+EB，所以9﹣6＜
2AD＜9+6，即可求得AD的取值范围是 ＜AD＜ ．
【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△BED和△CAD中，
，
∴△BED≌△CAD（SAS）．
（2）解：∵△BED≌△CAD，
∴EB＝AC＝6，
∵AB﹣EB＜AE＜AB+EB，且AB＝9，AE＝2AD，
∴9﹣6＜2AD＜9+6，
∴ ＜AD＜ ，
∴AD的取值范围是 ＜AD＜ ．
1．下列说法：其中正确的说法为（ ）
①全等三角形的形状相同、大小相等
②全等三角形的面积相等
③周长相等的两个三角形全等
④全等三角形的对应边相等、对应角相等
A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【分析】由全等三角形的判定方法和性质即可判断．
【解答】解：①全等三角形的形状相同、大小相等，正确，故①符合题意；
②全等三角形的面积相等，正确，故②符合题意；
③周长相等的两个三角形不一定全等，故③不符合题意；
④全等三角形的对应边相等、对应角相等，正确，故④符合题意．∴其中正确的说法为①②④．
故选：C．
2．如图，AE∥DF，AE＝DF，则添加下列条件能使△EAC≌△FDB的为（ ）
A．AB＝CD B．∠A＝∠D C．∠E＝∠DBF D．AC＝BF
【分析】判定三角形全等的方法主要有 SAS、ASA、AAS、SSS、HL，根据所添加的条件判断能否得出
△EAC≌△FDB即可．
【解答】解：∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
A．当AB＝CD时，AB+BC＝CD+BC，即AC＝DB，
根据SAS可以判定△EAC≌△FDB；
故A符合题意；
B．当∠A＝∠D时，不能判定△EAC≌△FDB；故B不符合题意；
C．当∠E＝∠DBF时，不能判定△EAC≌△FDB；故C不符合题意；
D．当AC＝BF时，不能判定△EAC≌△FDB；故D不符合题意；
故选：A．
3．下列表格中，填入“◎”处正确的是（ ）
已知：AB⊥BE，DE⊥BE，且BF＝CE，AB＝DE．
求证：△ABC≌△DEF．
证明：∵AB⊥BE，DE⊥BE，
∴∠B＝∠E＝90°，
又∵BF＝CE，AB＝DE，
∴BC＝EF，
∴△ABC≌△DEF（◎）．
A．AAS B．SSS C．ASA D．SAS
【分析】根据已知条件即可判断三角形全等的依据是SAS．
【解答】证明：∵AB⊥BE，DE⊥BE，
∴∠B＝∠E＝90°，
∵BF＝CE，
∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故选：D．
4．尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠MBN＝∠PAQ，在用直尺和圆规作图
的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
【分析】根据用尺规画一个角等于已知角的步骤，据此即可求解．
【解答】解：根据作法可知：AC＝BE，AD＝BF，CD＝EF，
∴△ACD≌△BEF（SSS），
∴∠MBN＝∠PAQ，
故选：B．
5．“三月三，放风筝”，如图是晓娟同学制作的风筝，她根据 DE＝DF，EH＝FH，不用度量就知道
∠DEH＝∠DFH，则她判定两个三角形全等的方法是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】根据已知的两条对应边相等，再加上中间的公共边即可证明△DEH≌△DFH．
【解答】解：在△DEH和△DFH中
，
∴△DEH≌△DFH（SSS），
∴∠DEH＝∠DFH，
故选：A．
6．小明用四根竹棒扎成如图所示的风筝框架，已知AB＝CD，AD＝CB，下列判断不正确的是（ ）A．∠A＝∠C B．∠ABC＝∠CDA C．∠ABD＝∠CDB D．∠ABC＝∠C
【分析】根据三角形全等的判定证得△ABD≌△CDB，可证 ∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDB，∠ABC＝
∠CDA．
⇒
【解答】解：∵AB＝CD，AD＝CB
又BD＝DB
∴△ABD≌△CDB（SSS）
∴∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDB；
又∠ABD＝∠CDB，∠CBD＝∠ADB
∴∠ABC＝∠CDA，
∠ABC与∠C不是对应角不相等．
故选：D．
7．如图，在2×2的正方形网格中，∠1+∠2等于（ ）
A．60° B．80° C．90° D．100°
【分析】利用“边角边”求出△ABC和△DEA全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，再根
据直角三角形两锐角互余求解．
【解答】解：在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴∠AED＝∠1，
∵∠1+∠AED＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．故选：C．
8．如图，在△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，连接BD、DE．若AB＝EB，AD＝ED，∠A＝80°，
∠BDC＝110°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【分析】由∠A＝80°，∠BDC＝110°，求得∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝30°，再根据“SSS”证明
△ABD≌△EBD，得∠ABD＝∠EBD＝30°，所以∠C＝180°﹣∠EBD﹣∠BDC＝40°，于是得到问题的答
案．
【解答】解：∵∠A＝80°，∠BDC＝110°，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝110°﹣80°＝30°，
在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD（SSS），
∴∠ABD＝∠EBD＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠EBD﹣∠BDC＝180°﹣30°﹣110°＝40°，
故选：B．
9．如图，AD是△ABC中BC边上的中线．若AB＝5，AC＝9，则AD的取值范围是（ ）
A．4＜AD＜14 B．2＜AD＜7 C．5＜AD＜9 D．4＜AD＜9
【分析】过点C作CE∥AB，与AD的延长线交于点E，证明△ADB≌△EDC，得到CE＝5，根据三角
形三边关系得出结论．
【解答】解：如图，过点C作CE∥AB，与AD的延长线交于点E．
∵CE∥AB，
∴∠ABC＝∠ECD，∠BAD＝∠E．又∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD＝CD．
在△ADB和△EDC中，
，
∴△ADB≌△EDC（AAS）．
∴AB＝CE＝5，AD＝DE＝ AE，
∵AC＝9，CE＝5，
∴9﹣5＜AE＜9+5，即4＜AE＜14．
∴2＜AD＜7．
故选：B．
10．如图，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向
点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s），当点Q的运动速度
为（ ）cm/s时，在某一时刻，A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等．
A．1或 B．1或 C．2或 D．1
【分析】设点Q的运动速度是x cm/s，有两种情况：①AP＝BP，AC＝BQ，②AP＝BQ，AC＝BP，
列出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：设点Q的运动速度是x cm/s，
∵∠CAB＝∠DBA＝60°，
∴A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等，有两种情况：
①AP＝BP，AC＝BQ，
则1×t＝6﹣1×t，
解得：t＝3，
则4＝3x，
解得：x＝ ；
②AP＝BQ，AC＝BP，
则1×t＝tx，6﹣1×t＝4，
解得：t＝2，x＝1，
故选：A．11．如图，已知AC＝BD，要使得△ABC≌△DCB，根据“SSS”判定方法，需要再添加的一个条件是 AB
＝ DC ．
【分析】要使△ABC≌△DCB，由于BC是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS判定其全等．
【解答】解：添加AB＝DC．
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS）．
∴添加一个适当的条件是AB＝DC．
故答案为：AB＝DC．
12．如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，BC＝DF，要使△ABC≌△EDF，只需添加一个条
件，这个条件可以是 AC ＝ EF （或∠ ABC ＝∠ EDF ）答案不唯一 ．
【分析】先证明BC＝DF，然后根据“SSS”或“SAS”添加条件．
【解答】解：∵AD＝BE，
∴AD+BD＝BD+BE，
即AB＝DE，
∵BC＝DF，
∴当添加AC＝EF时，△ABC≌△EDF（SSS）；
当添加∠ABC＝∠EDF时，△ABC≌△EDF（SAS）；
故答案为：AC＝EF（或∠ABC＝∠EDF）．答案不唯一
13．如图，在△ABC的上方有一点D，连接AD，CD，AB＝AD，CB＝CD，∠BCD＝50°，则∠ACB的度
数为 2 5 °．
【分析】根据题意直接证明△ABC≌△ADC，即可得出 ，即可求解．【解答】解：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
又∠BCD＝50°，
∴ ，
故答案为：25．
14．如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若∠AEF＝
∠FAE，BE＝4，EF＝1.6，则CF的长为 2. 4 ．
【分析】延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，可证明△BDG≌△CDA（SAS），则BG＝AC，∠CAD
＝∠G，根据AF＝EF，得∠CAD＝∠AEF，可证出∠G＝∠BEG，即得出AC＝BE＝4，然后利用线段的
和差即可解决问题．
【解答】解：如图，延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，
在△BDG和△CDA中，
，
∴△BDG≌△CDA（SAS），
∴BG＝AC，∠CAD＝∠G，
∵∠AEF＝∠FAE，
∴∠CAD＝∠AEF，∵∠BEG＝∠AEF，
∴∠CAD＝∠BEG，
∴∠G＝∠BEG，
∴BG＝BE＝4，
∴AC＝BE＝4，
∵∠AEF＝∠FAE，
∴AF＝EF＝1.6，
∴CF＝AC﹣AF＝4﹣1.6＝2.4．
故答案为：2.4．
15．如图，D、E分别是△ABC外部的两点，连接AD、AE，有AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝ ．
连接CD、BE交于点F，则∠DFE的度数为 180 ° ﹣ ．
α
α
【分析】设AB交CD于点G，由∠BAD＝∠CAE＝ ，推导出∠BAE＝∠DAC，而AB＝AD，AE＝AC，
即可根据“SAS”证明△BAE≌△DAC，得∠ABE＝∠D，可求得∠BFD＝∠BAD＝ ，再根据邻补角定
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义求解即可．
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【解答】解：设AB交CD于点G，
∵∠BAD＝∠CAE＝ ，
∴∠BAE＝∠DAC＝ +∠BAC，
α
在△BAE和△DAC中，
α
，
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴∠ABE＝∠D，
∵∠BFD+∠ABE＝∠BGD，∠BGD＝∠D+∠BAD，
∴∠BFD＝∠BGD﹣∠ABE＝∠BGD﹣∠D＝∠BAD＝ ，
α∴∠DFE＝180°﹣∠BFD＝180°﹣ ，
故答案为：180°﹣ ．
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16．如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，AF＝DE，求证：△ABF≌△DCE．
α
【分析】根据全等三角形的判定定理SSS证得结论即可．
【解答】解：∵BE＝FC，
∴BE+EF＝FC+EF，即BF＝CE，
∴在△ABF与△DCE中， ，
∴△ABF≌△DCE（SSS）．
17．如图，点E在AB上，AC＝AD，∠CAB＝∠DAB，那么△BCE和△BDE全等吗？请说明理由．
【分析】根据全等三角形的判定定理，观察图形上的已知条件，已知告诉的条件是一角一边分别对应相
等，加上公共边就可证两对三角形全等．
【解答】解：△BCE≌△BDE，理由如下：
在△ACB与△ADB中 ，
∴△ACB≌△ADB（SAS），
∴BC＝BD，∠ABC＝∠ABD，
在△BCE与△BDE中
，
∴△BCE≌△BDE（SAS）．
18．如图，AB∥DE，AB＝DE，点C，F在AD上，AF＝DC．求证：∠B＝∠E．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，第一步
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），第二步
∴∠B＝∠E．第三步
任务一：
①以上证明过程中，第一步依据的定理是： 两直线平行内错角相等 ；
②从第 二 步出现错误；具体错误是 对应边相等应为 AC ＝ DF ；
任务二：请写出正确的证明过程．
【分析】根据两直线平行内错角相等，SAS证明两三角形全等即可求解．
【解答】解：任务一：①以上证明过程中，第一步依据的定理是：两直线平行内错角相等；
②从第二步出现错误；具体错误是对应边相等应为AC＝DF，
任务二：
∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
∵AF＝DC
∴AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠B＝∠E．
19．如图，在△ABC中，点D是AC上一点，AD＝AB，过点D作DE∥AB，且DE＝AC．
（1）求证：△ABC≌△DAE；
（2）若点D是AC的中点，△ABC的面积是20，求△AEC的面积，【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC＝∠AED，再利用“边角边”证明即可；
（2）根据全等三角形面积相等，即三角形三角形中线的性质即可求解．
【解答】解：（1）证明：∵DE∥AB，
∴∠BAC＝∠ADE，
在△ABC和△DAE中，
∴△ABC≌△DAE（SAS）；
（2）∵△ABC≌△DAE，
∴S△ABC ＝S△DAE ＝20，
点D是AC的中点，
∴S△AEC ＝2S△DAE ＝2×20＝40
20．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在
同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明．
【分析】（1）要证△BAD≌△CAE，现有AB＝AC，AD＝AE，需它们的夹角∠BAD＝∠CAE，而由
∠BAC＝∠DAE＝90°很易证得．
（2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证BD⊥CE，需证
∠BDE＝90°，需证∠ADB+∠ADE＝90°可由直角三角形提供．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）BD＝CE，BD⊥CE，理由如下：
由（1）知，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE；
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE．
