文档内容
专题 18 正方形中“外角平分线”模型
解题思路
【模型归纳】
典例分析
【典例1】（春•双鸭山期末）如图，四边形ABCD是正方形，E是BC边所在
直线上的点，∠AEF＝90°，且 EF 交正方形外角∠DCG 的平分线 CF 于点
F．
（1）当点E在线段BC中点时（如图1），易证AE＝EF，不需证明；
（2）当点E在线段BC上（如图2）或在线段BC延长线上（如图3）时，
（1）中的结论是否仍然成立？请写出你的猜想，并选择图 2或图3的一种结
论给予证明．【答案】 （2）成立
【解答】解：（1）取AB中点M，连接ME，
∵点E在线段BC中点，点M是AB中点，
∴AM＝BM＝BE＝CE
∴∠BME＝45°，
∴∠AME＝135°，
∵CF是外角平分线，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝135°，
∴∠AME＝∠ECF，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．
（2）图2：结论是AE＝EF
理由如下：
在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME．
∴BM＝BE，
∴∠BME＝45°，
∴∠AME＝135°，
∵CF是外角平分线，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝135°，
∴∠AME＝∠ECF，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．
图3结论是AE＝EF，
理由如下：
在BA的延长线上取一点N．
使AN＝CE，连接NE．
∴BN＝BE，
∴∠N＝∠NEC＝45°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠FCE＝45°，
∴∠N＝∠ECF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BE，
∴∠DAE＝∠BEA，
即∠DAE+90°＝∠BEA+90°，
∴∠NAE＝∠CEF，
∴△ANE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．【变式1-1】（春•海淀区校级期中）如图，四边形 ABCD是正方形，点E是边
BC上一点，且∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．若正方
形边长是8，EC＝2，则FC的长为 ．
【答案】6
【解答】解：在AB上取点P，使AP＝CE，连接EP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，
∵AP＝EC，
∴BP＝BE，
∴∠BPE＝45°，∠APE＝135°，
∵CF是正方形外角的平分线，
∴∠ECF＝135°，
∵∠AEF＝90°，∠B＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
在△PAE和△CEF中， ，
∴△PAE≌△CEF（ASA），
∴PE＝CF，
∵AB＝BC＝8，AP＝CE＝2，
∴PB＝BE＝6，∴CF＝PE＝ PB＝6 ；
故答案为：6 ．
【变式1-2】（2021春•柳南区校级期末）如图1，四边形ABCD是正方形，点
E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平
分线CF于点F．
（1）如图2，取AB的中点H，连接HE，求证：AE＝EF．
（2）如图3，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件
不变结论“AE＝EF”仍然成立吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，
请说明理由．
【答案】（1）略 （2）AE＝EF成立
【解答】（1）证明：取AB的中点H，连接EH；如图1所示
∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF；
∴∠1+∠AEB＝90°，∠2+∠AEB＝90°
∴∠1＝∠2，
∵BH＝BE，∠BHE＝45°，且∠FCG＝45°，
∴∠AHE＝∠ECF＝135°，AH＝CE，在△AHE和△ECF中，
，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）解：AE＝EF成立，
理由如下：如图2，延长BA到M，使AM＝CE，
∵∠AEF＝90°，
∴∠FEG+∠AEB＝90°．
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG，
∴∠MAE＝∠CEF．
∵AB＝BC，
∴AB+AM＝BC+CE，
即BM＝BE．
∴∠M＝45°，
∴∠M＝∠FCE．
在△AME与△ECF中，
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．【变式1-3】（春•西乡塘区期末）如图所示，BD是正方形ABCD的对角线，
BC＝4，点H是AD边上的一动点，连接CH，作HE⊥CH，使得HE＝CH，
连接AE．
（1）求证：∠DCH＝∠AHE；
（2）如图2，过点E作EF∥AD交对角线BD于点F，试探究：在点H的运
动过程中，EF的长度是否为一个定值；如果是，请求出EF的长度．
【答案】（1） 略 （2）EF的长度是一个定值，且EF＝4
【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CDH＝90°，
∴∠DCH+∠CHD＝90°，
∵HE⊥CH，
∴∠CHE＝∠CHD+∠AHE＝90°，
∴∠DCH＝∠AHE；
（2）解：EF的长度是一个定值，且EF＝4；
理由是：如图2，在CD取一点M，使CM＝AH，连接HM，
∵CD＝AD，
∴DM＝DH，
∵∠CDH＝90°，
∴∠DMH＝45°，∴∠CMH＝135°，
在△CMH和△HAE中，
∵ ，
∴△CMH≌△HAE（SAS），
∴∠HAE＝∠CMH＝135°，
∴∠EAG＝45°＝∠ADB，
∴DF∥AE，
∵EF∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴EF＝AD＝BC＝4．
夯实基础
1．（2022秋•佛山期末）如图，在边长为5的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，
AE 交BC 于点 E，AF 交CD于点 F，连接 EF．若 DF＝2，则 BE 的长为（
）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解答】解；如图，把△ADF绕A逆时针旋转90°得到△ABG，
∴△ADF≌△ABG，
∴∠ADF＝∠ABG＝∠ABE＝90°，
∴∠ABG+∠ABE＝180°，
∴G、B、E三点共线，∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，
∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠EAB＝45°，
∴∠BAG+∠EAB＝45°，
∴∠EAF＝∠EAG，
在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴GE＝FE，
设BE＝x，
∵CD＝5，DF＝2，
∴CF＝3，
则GE＝BG+BE＝2+x，CE＝5﹣x，
∴EF＝2+x，
∵∠C＝90°，
∴（5﹣x）2+32＝（2+x）2，
解得，x＝ ，
∴BE的长为 ．
故选：A．
2．（2021春•钦州期末）如图，四边形 ABCD是正方形，点E是边BC的中点，
∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线 CF于点F，已知正方形边长为
4，则EF的长为 ．【答案】2
【解答】解：取AB的中点M，连接EM，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，
∵点E是边BC的中点，点M为AB的中点，
∴AM＝BM＝BE＝CE，
∴△BME为等腰直角三角形，
∴∠BME＝∠BEM＝45°，
∴∠AME＝135°，
∵CF为正方形外角的平分线，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝90°+45°＝135°，
∵∠AEF＝90°，∠BEM＝45°，
∴∠AEM+∠CEF＝45°，
而∠MAE+∠AEM＝45°，
∴∠MAE＝∠CEF，
在△AME和△ECF中，
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF，
在Rt△ABE中，AE＝ ＝ ＝2 ，
∴EF＝2 ．故答案为2 ．
3．（2022春•长寿区期末）已知：四边形ABCD是正方形．
（1）如图1，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分
线CF于点F．求证：AE＝EF；
（2）如图2，若把（1）中“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的
任意一点”，其余的条件不变，试证明AE＝EF仍然成立．
【解答】（1）证明：∵点E为BC的中点，
∴BE＝CE，
∵点G为AB的中点，
∴BG＝AG，
∴AG＝CE，
故答案为：AG＝CE；
（2）证明：取AG＝EC，连接EG，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∵AG＝CE，
∴BG＝BE，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴∠BGE＝∠BEG＝45°，
∴∠AGE＝∠ECF＝135°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠FEC＝∠BAE，
∴△GAE≌△CEF（ASA），
∴AE＝EF．
4．（2022春•济源期中）在一次课题学习活动中，老师提出了如下问题：如图
1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正
方形外角平分线CF于点F．请你探究AE与EF存在怎样的数量关系，并证
明你的结论正确．
经过探究，小明得出的结论是AE＝EF．而要证明结论AE＝EF，就需要证明
AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直
角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点 E是边BC的中点，小明想到的
方法是如图2，取AB的中点M，连接EM，证明△AEM≌△EFC．从而得到
AE＝EF．
请你参考小明的方法解决下列问题：
（1）如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任
意一点”，其余条件不变，证明结论AE＝EF仍然成立．（2）如图4，若把条件“点E是边BC的中点”改为：“点E是边BC延长
线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论 AE＝EF是否还成立？若成立，
请完成证明过程，若不成立，请说明理由．
【解答】（1）证明：如图 2，在 AB 上取点 P，连接 EP，使 AP＝EC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，
∵AP＝EC，
∴BP＝BE，
∴∠BPE＝45°，∠APE＝135°，
∵CF是正方形外角的平分线，
∴∠ECF＝135°，
∵∠AEF＝90°，∠B＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，在△PAE和△CEF中，
，
∴△PAE≌△CEF，
∴AE＝EF；
（2）证明：延长BA至H，使AH＝CE，连接HE，
∵BA＝BC，AH＝CE，
∴BH＝BE，
∴∠H＝45°，
∵CF是正方形外角的平分线，
∴∠ECF＝45°，
∴∠H＝∠ECF，
∵∠AEF＝90°，∠B＝90°，∠HAE＝∠B+∠BEA，∠CEF＝∠AEF+∠BEA，
∴∠HAE＝∠CEF，
在△HAE和△CEF中，
，
∴△HAE≌△CEF，
∴AE＝EF．
5．（2021春•天元区期中）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中
点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面
关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．
（1）请证明AE＝EF请证明．
（2）若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是线段BC上任意一点”，
其余条件不变，那么（1）中的结论AE＝EF是否成立？若成立，请给与证明；
若不成立，请你说明理由．【解答】解：（1）如题图2，取AB中点M，连接ME，
在正方形ABCD中，AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，
∵M、E为AB、BC的中点，
∴BM＝BE＝AM＝CE，
∴∠BME＝45°，
∴∠AME＝135°，
∵CF为外角平分线，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝135°，
∵∠FEC+∠AEB＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
∴△EAM≌△FEC（ASA），
∴AE＝EF；
（2）成立，证明如下：
在AB上取点M，使得BE＝BM，连接ME，
∴BM＝BE，AM＝CE，
∴∠BME＝45°，
∴∠AME＝135°，
∵CF为外角平分线，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝135°，
∵∠FEC+∠AEB＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
∴△EAM≌△FEC（ASA），∴AE＝EF；
能力提升
6．（2020春•江川区期中）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，
∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．
（1）求证：AE＝EF；
（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N
是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN＝60°时，结论AM＝MN是否还成立？
请说明理由．
【解答】（1）证明：取AB的中点M，连接EM，
∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF，
∴∠1+∠AEB＝90°，∠2+∠AEB＝90°，
∴∠1＝∠2，
∵BM＝BE，∠BME＝45°，∠FCG＝45°，
∴∠AME＝∠ECF＝135°，AM＝CE，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）仍然成立．在边AB上截取AE＝MC，连接ME，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠ACP＝120°．
∵AE＝MC，
∴BE＝BM，
∴∠BEM＝∠EMB＝60°，
∴∠AEM＝120°．
∵CN平分∠ACP，
∴∠PCN＝60°，
∴∠AEM＝∠MCN＝120°，
∵∠CMN＝180°﹣∠AMN﹣∠AMB＝180°﹣∠B﹣∠AMB＝∠BAM，
∴△AEM≌△MCN（ASA），
∴AM＝MN．
7．（2020春•南岗区期末）如图，四边形 ABCD是正方形，点E是边BC的中
点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．
（1）求证：AE＝EF；
（2）若S ＝2，求EF的长．
△CEF
【解答】解：（1）如图，取AB的中点M，连接ME，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝∠DCG＝90°，
∵点E是边BC的中点，
∴AM＝EC＝BE，
∴∠BME＝∠BEM＝45°，
∴∠AME＝135°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠DCF＝∠FCG＝45°，
∴∠ECF＝180°﹣∠FCG＝135°，
∴∠AME＝∠ECF，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠CEF＝90°，
又∠AEB+∠MAE＝90°，
∴∠MAE＝∠CEF，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）∵△AME≌△ECF，
∴S ＝S ＝2，AE＝EF，
△AME △ECF
∴2＝ ×AM×BE，
∴4＝BE2，
∴BE＝2，
∴AB＝4，
∴AE＝ ＝ ＝2 ，∴AE＝EF＝2 ．
8．（2019春•望花区期末）已知四边形 ABCD是正方形，点E是边BC上的任
意一点，AE⊥EF，且直线EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）如图1，求证：AE＝EF；
（2）如图2，当AB＝2，点E是边BC的中点时，请直接写出FC的长．
【解答】（1）证明：如图1，在AB上截取BM＝BE，连接ME，
∵∠B＝90°，
∴∠BME＝∠BEM＝45°，
∴∠AME＝135°＝∠ECF，
∵AB＝BC，BM＝BE，
∴AM＝EC，
在△AME和△ECF中 ，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）解：取AB中点M，连接EM，
∵AB＝BC，E为BC中点，M为AB中点，
∴AM＝CE＝BE，
∴∠BME＝∠BME＝45°，
∴∠AME＝135°＝∠ECF，
∵∠B＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
在△AME和△ECF中 ，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴EM＝CF，
∵AB＝2，点E是边BC的中点，
∴BM＝BE＝1，
∴CF＝ME＝ ．
9．（春•广州校级期中）正方形ABCD边长为8，E、F分别是BC、CD边上的
动点，且AE⊥EF．
（1）如图①，延长EF交∠BCD的外角平分线于M点，求证：AE＝EM．
（2）如图②，若点E是BC的中点，求CF的长及△AEF的面积？【解答】证明：（1）如图，在AB上截取BH＝BE，连接EH，
∵BH＝BE，AB＝BC，
∴EC＝AH，∠BHE＝∠BEH＝45°，
∴∠AHE＝135°，
∵CM是∠BCD的外角平分线，
∴∠DCM＝45°，
∴∠ECM＝135°＝∠AHE，
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠MEC＝90°，且∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CEM，且AH＝EC，∠AHE＝∠ECM，
∴△AHE≌△ECM（ASA）
∴AE＝EM；
（2）∵点E是BC的中点，
∴BE＝EC＝4，
在Rt△AEF中，AF2＝AE2+EF2，
在Rt△AEF中，AE2＝AB2+BE2，
在Rt△AEF中，EF2＝EC2+CF2，
∴64+（8﹣CF）2＝64+16+16+CF2，
∴CF＝2，
∴S ＝S ﹣S ﹣S ﹣S ，
△AEF 正方形ABCD △ABE △EFC △ADF
∴S ＝64﹣ ×8×4﹣ ×4×2﹣ ×8×6＝20．
△AEF
10．（2021春•莆田期末）如图 1，在正方形ABCD中，∠AEF＝90°，且EF交
正方形外角的平分线CF于点F．
（1）若点E是BC边上的中点，求证：AE＝EF；（2）如图2，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件
不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不
成立，请说明理由；
（3）如图3，若点E是BC边上的任意点一，在AB边上是否存在点M，使
得四边形DMEF是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理
由．
【答案】（1）略 （2） AE＝EF成立 （3）存在
【解答】（1）证明：取AB的中点H，连接EH；如图1所示
∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF；
∴∠1+∠AEB＝90°，∠2+∠AEB＝90°
∴∠1＝∠2，
∵BH＝BE，∠BHE＝45°，且∠FCG＝45°，
∴∠AHE＝∠ECF＝135°，AH＝CE，
在△AHE和△ECF中，
，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）解：AE＝EF成立，
理由如下：如图2，延长BA到M，使AM＝CE，∵∠AEF＝90°，
∴∠FEG+∠AEB＝90°．
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG，
∴∠MAE＝∠CEF．
∵AB＝BC，
∴AB+AM＝BC+CE，
即BM＝BE．
∴∠M＝45°，
∴∠M＝∠FCE．
在△AME与△ECF中，
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．
（3）存在，
理由如下：如图 3，作 DM⊥AE 于 AB 交于点 M，则有：DM∥EF，连接
ME、DF，
在△ADM与△BAE中，，
∴△ADM≌△BAE（ASA），
∴DM＝AE，
由（1）AE＝EF，
∴DM＝EF，
∴四边形DMEF为平行四边形．
