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专题20 平面直角坐标系中的正方形
1．如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（﹣3，1），点B的纵坐标是4，则B，C两点的坐标
分别是（ ）
A．（﹣2，4），（1，3） B．（﹣2，4），（2，3）
C．（﹣3，4），（1，4） D．（﹣3，4），（1，3）
【答案】A
【分析】作CD⊥x轴于D，作AE⊥x轴于E，作BF⊥AE于F，由AAS证明△AOE≌△OCD，得出
AE=OD，OE=CD，由点A的坐标是（﹣3，1），得出OE=3，AE=1，∴OD=1，CD=3，得出C
（1，3），同理：△AOE≌△BAF，得出AE=BF=1，OE﹣BF=3﹣1=2，得出B（﹣2，4）即可．
【详解】解：如图所示：作CD⊥x轴于D，作AE⊥x轴于E，作BF⊥AE于F，则
∠AEO=∠ODC=∠BFA=90°，∴∠OAE+∠AOE=90°．
∵四边形OABC是正方形，∴OA=CO=BA，∠AOC=90°，∴∠AOE+∠COD=90°，
∴∠OAE=∠COD．在 AOE和△OCD中，∵ ，∴△AOE≌△OCD（AAS），
△
∴AE=OD，OE=CD．
∵点A的坐标是（﹣3，1），∴OE=3，AE=1，∴OD=1，CD=3，∴C（1，3）．
同理：△AOE≌△BAF，∴AE=BF=1，OE﹣BF=3﹣1=2，∴B（﹣2，4）．
故选A．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质；熟练掌握正方
形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
2．如图，在直角坐标系中，正方形ABCD如图摆放，若顶点A，B的坐标分别为 ， ，
则顶点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过D作DM⊥x轴于M，根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=90°，根据余角的性质得
到∠ABO=∠DAO，根据全等三角形的性质得到DM=OA， AM=OB，于是得到结论．
【详解】解：如图所示，过D作DM⊥x轴于M，
四边形ABCD是正方形，
AB=AD，∠BAD=90°，
∠AOB=∠AMD=90°，
∠BAO+∠DAM=∠ABO+∠BAO=90°，
∠ABO=∠DAM，
，
DM=OA， AM=OB，点A， B的坐标分别为( a， 0)，(0，b)，
OA=a， OB=b，
DM=a， AM=b，
OM=b-a，
顶点D的坐标为( a-b，-a )，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、C、F在坐标轴上，E是OA的中点，四边形AOCB是矩
形，四边形BDEF是正方形，若点C的坐标为(3，0)， 则点D的坐标为（ ）
A．(1, 3) B．(1， ) C．(1， ) D．( ， )
【答案】A
【分析】过D作DH⊥y轴于H，根据矩形和正方形的性质得到AO=BC，DE=EF=BF，
∠AOC=∠DEF=∠BFE=∠BCF=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】过D作DH⊥y轴于H，
∵四边形AOCB是矩形，四边形BDEF是正方形，
∴AO=BC，DE=EF=BF，
∠AOC=∠DEF=∠BFE=∠BCF=90°，
∴∠OEF+∠EFO=∠BFC+∠EFO=90°，
∴∠OEF=∠BFO，
∴△EOF≌△FCB（ASA），
∴BC=OF，OE=CF，∴AO=OF，
∵E是OA的中点，
∴OE= OA= OF=CF，
∵点C的坐标为（3，0），
∴OC=3，
∴OF=OA=2，AE=OE=CF=1，
同理 DHE≌△EOF（ASA），
∴DH=△OE=1，HE=OF=2，
∴OH=2，
∴点D的坐标为（1，3），
故选A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，
正确的识别图形是解题的关键．
4．如图，平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形 是边长为1
的正方形， 与x轴正半轴的夹角为 ，则点B的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，作 轴，根据正方形的性质可得 ，根据勾股定理可得
，再利用含30度直角三角形的性质，求解即可．
【详解】解：连接 ，作 轴，如下图：由正方形的性质可得， ， ，
则 ，
由题意可得： ，
∴ ，
∴ ，
∴点B的纵坐标为 ，
故选：B
【点睛】此题考查了正方形的性质，坐标与图形，勾股定理以及含30度直角三角形的性质，解题
的关键是熟练掌握相关基础性质，作出辅助线．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为
（0，8），点M是正方形OABC的对称中心，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），将
△ABD沿AD折叠，点B的对应点为点E，连接EM，当EM的值最小时，点D的坐标为（ ）
A．（4 ﹣4，8） B．（8 ﹣8，8） C．（16﹣8 ，8） D．（4，8）
【答案】C
【分析】如图，连接AC．当点E落在CM上时，EM的值最小．证明CE=DE=DB，利用参数构建方程求出CD即可．
【详解】解：如图，连接AC． ，当 三点共线时，即当点E落在CM上时，
EM的值最小．
∵C（0，8），
∴OC=8，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠B=90°，∠DCE=45°，OC=BC，
由翻折的性质可知∠DEA=∠B=∠DEC=90°，DB=DE，
∴EC=DE，
设EC=DE=DB=x，则CD= x，
∴ x+x=8，
∴ ，
∴CD= ，
∴D（ ，8）．
故选：C．
【点睛】本题考查正方形的性质，中心对称，翻折变换，等腰直角三角形的判定和性质等知识，
解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．
6．如图，在 中，顶点 ， ， ，将 与正方形 组成的图形绕
点O顺时针旋转，每次旋转 ，则第 次旋转结束时，点D的坐标为______．【答案】
【分析】先求出 ，再利用正方形的性质确定点 ，由题意可得每4次一个循环，由
于 ，所以第 次旋转结束时，相当于 与正方形 组成的图形绕点O
顺时针旋转2次，由此求出点D坐标即可．
【详解】解： ， ，
，
∵四边形 为正方形，
，
，
∵每次旋转 ， ，
∴每旋转4次一个循环，
，
∴第 次旋转结束时，相当于 与正方形 组成的图形再绕点O顺时针旋转2次，每
次旋转 ，
∴第1次旋转后，点D的坐标为 ，第2次旋转后，点D的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化−−旋转，正方形的性质，解答本题的关键是找出D点坐标变
化的规律．
7．如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（3，2）．点D、E分别
在AB、BC边上，BD=BE=1．沿直线DE将△BDE翻折，点B落在点B′处．则点B′的坐标为_____．【答案】（2，1）．
【分析】由四边形OABC是矩形，BE=BD=1，易得△BED是等腰直角三角形，由折叠的性质，易
得∠BEB′=∠BDB′=90°，又由点B的坐标为（3，2），即可求得点B′的坐标．
【详解】解：∵四边形OABC是矩形，
∴∠B=90°，
∵BD=BE=1，
∴∠BED=∠BDE=45°，
∵沿直线DE将△BDE翻折，点B落在点B′处，
∴∠B′ED=∠BED=45°，∠B′DE=∠BDE=45°，B′E=BE=1，B′D=BD=1，
∴∠BEB′=∠BDB′=90°，
∴四边形 是正方形，
∵点B的坐标为（3，2），
∴点B′的坐标为（2，1）．
故答案为（2，1）．
【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及坐标与图形的性质．此题难度适中，注意掌握
折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
8．如图，在平面直角坐标系中，点D的坐标为 ，过点D的直线 交x轴、y轴于点
M、N，四边形 、 、 ，…均为正方形．（1）正方形 的边长为______；
（2）若如此连续组成正方形，则正方形 的边长为______．
【答案】 10
【分析】（1）过D作 轴于P， 轴于Q，由 的坐标得出 与 的长，在正方形
中的四个角为直角，四条边相等，由“同角的余角相等”得到一对角相等，再由一对直角
相等，且 ，利用 证得 ，由该全等三角形的对应边相等得到 ，
，求出 与 的长，在 中，利用勾股定理求出 的长，即为正方形 的
边长；
（2）由同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，得到 与 相似，由相似
得比例，将各自的值代入求出 的长，即为正方形 的边长，同理求出 的边长，
以此类推，即可得到正方形 的边长．
【详解】解：（1）过D作 轴于P， 轴于Q，
∵ ，
∴ ， ，
∵四边形 正方形，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵在 和 中，，
∴ ，
∴ ， ，
在 中，根据勾股定理得： ，
∴正方形 的边长为10；
（2）∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ；
同理得到 ， ．
故答案是：（1）10；（2） ．
【点睛】本题考查的是一次函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，全等三角形
的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，锻炼了学生归纳总结的能力．
9．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形 的两边在坐标轴上，以它的对角线为边做正方形 ，再以正方形 的对角线为边做正方形 ……以此类推，则正
方形 的边长是_____________
【答案】
【分析】首先先求出 的长度，找出正方形边长的变化规律，然后根据规律获得
答案即可．
【详解】解：根据题意可知，
正方形 的边长为 ，
正方形 的边长为 ，
正方形 的边长为 ，
正方形 的边长为 ，
……
可知正方形 的边长为 ，
所以，正方形 的边长是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及一个循环规律归纳的题目，解答此题的关键是确定每次正方形的边长变为原来的 倍．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO是边长为4的正方
形，点D为AB中点，点P为OB上的一个动点，连接DP、AP，当点P满足DP+AP的值最小时，
点P的坐标为___________．
【答案】
【分析】根据正方形的性质可得点A，C关于直线 对称，连接 交 于P，连接 ，
则此时， 的值最小，求得直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，联
立求得 ．
【详解】∵四边形 是正方形
∴点A，C关于直线 对称
连接 交 于P，连接 ，则此时， 的值最小
∵
∴∵D为 的中点
∴
∴
设直线 的解析式为：
∴
解得
∴直线 的解析式为：
∵直线 的解析式为
联立得
解得
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最小值，正方形的性质，一次函数交点问题，掌握以上知
识是解题的关键．
11．在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ，过点 作直线 轴于 ，作直线 轴于 ，
点 、 分别是直线 和直线 上的点，且 ．
(1)如图 ，当点 、 分别在线段 和线段 上时，求 的周长；
(2)如图 ，当点 在线段 的延长线上，点 在线段 的延长线上时，猜想线段 、 和
之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)若 ，直接写出 的长．
【答案】(1)8
(2) ，证明见解析
(3) 或
【分析】（1）在线段 的延长线上取一点D，使 ，连接 ．由题意知四边形
是边长为4的正方形，先证 ，再证 ，通过等量代换可得
；
（2）在线段 上取一点E，使 ，连接 ．同（1）可证 ，
，通过等量代换可得 ；
（3）分点 在线段 上和在线段 的延长线上两种情况，利用（1）（2）结论，通过勾股定理
解 即可．
【详解】（1）解：如图，在线段 的延长线上取一点D，使 ，连接 ．
点 的坐标是 ，直线 轴于 ，直线 轴于 ，
， ，
四边形 是边长为4的正方形，
，
在 和 中，，
，
， ．
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
．
，
即 的周长是8；
（2）解： ，理由如下：
如图，在线段 上取一点E，使 ，连接 ．
在 和 中，
，
，， ．
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
．
；
（3）解：当点 在线段 上时，如图：
，
，
由（1）知 的周长是8，
，
在 中， ，
，
解得 ，
；
当点 在线段 的延长线上时，如图：同（2）可证 ，
，
，
，
在 中， ，
，
解得 ，
，
综上， 的长为 或 ．
【点睛】本题考查坐标与图形，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知
识点，难度较大，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形．
12．从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法．例如，我们在全等学习中所总结的“一
线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借
助已有经验，迅速解决问题．
(1)如图1，在平面直角坐标系中，四边形 是正方形，且 ，点E是线段 延长线上一
点，M是线段 上一动点（不包括点O、B），作 ，垂足为M，且 ．设，请你利用基本活动经验直接写出点N的坐标 （用含a的代数式表示）；
(2)基本经验有利有弊，当基本经验有利于新问题解决的时候，这是基本经验的正迁移；当基本经
验所形成的思维定势局限了新问题的思考，让新问题解决不出来的时候，这是基本经验的负迁移．
例如，如果（1）的条件去掉“且 ”，加上“交 的平分线于点N”，如图2，求证：
．如何突破这种定势，获得问题的解决，请你写出你的证明过程．
(3)如图3，请你继续探索：连接 交 于点F，连接 ，下列两个结论：① 的长度不变；
② 平分 ，请你指出正确的结论，并给出证明．
【答案】(1) ；
(2)见解析；
(3)结论② 平分 成立，见解析．
【分析】（1）如图1，作 于G，求出 ，利用 证明 ，
可得 ， ，进而可得点N的坐标；
（2）如图2，在 上取 ，连接 ，求出 ，证明
，即可得到 ，进而得出结论；
（3）结论② 平分 成立．如图3，在 延长线上取 ，证明
，可得 ， ，求出 ，证明
，可得 ，然后过M作 于P，可得
， ，根据 ， ，
可得 ，进而得出结论．
【详解】（1）解：如图1，作 于G，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴点N坐标为 ，
故答案为： ；
（2）证明：如图2，在 上取 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ；
（3）结论② 平分 成立．
证明：如图3，在 延长线上取 ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
由（2）知， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
过M作 于P，则 ，∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，即 平分 ．
（由证明过程可知 ，显然 的长度是变化的，故 的长度是变化的，结论①错误）．
【点睛】本题考查了正方形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角
形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形，记住一些基本图形，
可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，使解题事半功倍．
13．如图，正方形 的各边都平行于坐标轴，点 、 分别在直线 和 轴上，若点 在
直线 上运动．
(1)当点 运动到横坐标 时，请求出点 的坐标．
(2)求出当点 的横坐标 时，直线 的函数解析式．
(3)若点 横坐标为 ，且满足 时，请你求出对角线AC在移动时所扫过的四边形的面积．
【答案】(1)C（9，0）
(2)y＝−x＋3
(3)24
【分析】（1）把x＝2代入y＝2x求出A的坐标，根据正方形性质求出B、C的坐标；
（2）求出A、C的坐标，设直线AC的函数解析式为y＝kx＋b，把A、C的坐标代入得出方程组，
求出方程组的解即可；
（3）根据图形得出面积是一个梯形EFCA的面积，分别求出△OEF和△OAC的面积，相减即可求
出答案．
【详解】（1）当x＝3时，y＝2x＝6，则A（3，6）
∴B（9，6）
∴C（9，0）．（2）当x＝1时，y＝2x＝2，
∴A（1，2），
∴B（3，2），
∴C（3，0），
设直线AC的函数解析式为：y＝kx＋b，
∴ ，
解得： ，
∴y＝−x＋3，
即AC的函数表达式为：y＝−x＋3．
（3）如图，对角线AC扫过的四边形的形状为梯形为梯形EFCA，
当1≤m≤3时，由（2）得m＝1
∴A（1，2），
即E（1，2），
此时C（3，0），即F（3，0），
又由（1）知：m＝3时，A（3，6），C（9，0）
△AOC的面积＝ ×9×6＝27，
△OEF的面积＝ ×3×2＝3
扫过的面积S梯形EFCA＝27−3＝24，
答：对角线AC在移动时所扫过的四边形的面积是24．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，点
的坐标，正方形的性质等知识点的运用，综合运用性质进行计算是解此题的关键，题目综合性比较强，有一定的难度，对学生提出较高的要求．
14．如图1，已知正方形ABCD的顶点A，B分别在y轴和x轴上，边CD交x轴的正半轴于点E．
（1）若A（0，a），且 ，求A点的坐标；
（2）在（1）的条件下，若3AO=4EO，求D点的坐标；
（3）如图2，连接AC交x轴于点F，点H是A点上方y轴上一动点，以AF、AH为边作平行四边
形AFGH，使G点恰好落在AD边上，试探讨BF，HG与DG的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）A（0，4）或（0， ）；（2）D（4，2）或（4， ）；（3）2HG2＋DG2＝
4BF2，详见解析
【分析】（1）由 ，得出a=±4，即可得出结果；
（2）当A（0,4）时，作DN⊥OE于N，作AM⊥DN于M，连AE，由AAS证得△AOB≌△AMD，得
出AM＝AO＝4，求出EO＝3，在Rt△AOE中，AE2＝AO2＋EO2＝25，在Rt△ADE中，AD2＋DE2＝
AE2，设D（4，m），代入求出m＝2，即可得出结果；同理当A（0,-4）时，可求出D点坐标；
（3）作FP⊥AD于P，连DF，在Rt△AFP中，得到HG＝AF＝ PF，证明BF＝DF与BF＝
GF，得出点P是DG的中点，在Rt△PDF中，PF2＋DP2＝DF2，即（ ）2＋（ ）2＝BF2，
即可得出结果．
【详解】（1）解：∵ ,
∴a=±4，
∴A点的坐标为（0，4）或（0，-4）；
（2）当A点的坐标为（0，4）时作DN⊥OE于N，作AM⊥DN于M，连AE，如图1所示：
则∠BAD＝∠OAM＝90°，
即∠BAO＋∠OAD＝∠OAD＋∠DAM，
∴∠BAO＝∠DAM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ADE＝90°，
在△AOB与△AMD中，
，
∴△AOB≌△AMD（AAS），
∴AM＝AO＝4，
∴四边形AONM是正方形，
∴MN＝ON＝4，
∵3AO＝4EO，
∴EO＝3，
在Rt△AOE中，AE2＝AO2＋EO2＝42＋32＝25，
在Rt△AMD中，AD2＝AM2＋DM2，
在Rt△DNE中，ED2＝EN2＋DN2，
在Rt△ADE中，AD2＋DE2＝AE2，
∴AM2＋DM2＋EN2＋DN2＝25，
设D（4，m），则DM＝4−m，EN＝4−3＝1，DN＝m，
∴42＋（4−m）2＋12＋m2＝25，∴m＝2，
∴D（4，2）
当A点的坐标为（0，-4）时，
同理可得D（4，-2）
（3）解：2HG2＋DG2＝4BF2，理由如下：
过点F作FP⊥AD于P，连DF，如图2所示：
∵四边形AFGH是平行四边形，
∴HG＝AF，AH∥GF，
∴∠FGA＝∠GAH，
∴∠FGD＝∠OAG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠CAD＝∠BCF＝∠DCF＝45°，∠BAD＝∠CDA＝∠ABC＝90°，
∴△APF是等腰直角三角形，
∴PF=AP,
∴
∴AF＝ PF，
∴HG＝AF＝ PF，
故PF＝ ，
在△BCF和△DCF中，，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴BF＝DF，∠CBF＝∠CDF，
∵∠FDG＝90°−∠CDF，∠ABO＝90°−∠CBF，
∴∠FDG＝∠ABO，
∵∠OAG＋∠OAB＝90°，∠ABO＋∠OAB＝90°，
∴∠OAG＝∠ABO，
∴∠FGD＝∠FDG，
∴GF＝DF＝BF，
∴点P是DG的中点，
∴DP＝ ，
在Rt△PDF中，PF2＋DP2＝DF2，
即（ ）2＋（ ）2＝BF2，
∴2HG2＋DG2＝4BF2．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的
判定与性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、
坐标与图形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和勾股定理是解题的关键．
15．如图1，在平面直角坐标系中，点 ，点 ，以 为边在右侧作正方形
（1）当点 在 轴正半轴上运动时，求点 的坐标（用 表示）；
（2）当 时，如图2， 为 上一点，过点 作 ， ，连 交 于点
，求 的值；
（3）如图3，在第（2）问的条件下， 、 分别为 、 上的点，作 轴交 于 ，作 轴交 于 ， 是 与 的交点，若 ，试确定 的大
小，并证明你的结论．
【答案】（1）C（m+4，m）；（2）4 ；（3）45°，证明见解析
【分析】（1）如图1中，作CE⊥x轴于E．利用全等三角形的性质即可解决问题；
（2）如图2中，作ME⊥y轴于E，作MF∥OA交OD于F．构造平行四边形，全等三角形解决问题
即可；
（3）如图3中，延长CO到M，使得OM=DE．则△AOM≌△ADE．设AG=a，AH=b，由题意DE=a，
OF=b，EK=DH=4-b，EC=OG=4-a，利用勾股定理想办法证明EF=OF+DE=FM，再证明△AFM≌△AFE，
可得∠FAM= 即可解决问题．
【详解】解：（1）如图1中，作CE⊥x轴于E．
∵∠AOB=∠ABC=∠CEB=90°，
∴∠ABO+∠OAB=90°，∠ABO+∠CBE=90°，
∴∠OAB=∠CBE，∵AB=BC，
∴△ABO≌△BCE，
∴CE=OB=m，BE=OA=4，
∴C（m+4，m）．
（2）如图2中，作ME⊥y轴于E，作MF∥OA交OD于F．
∵∠MEP=∠MPC=∠COP=90°，
∴∠MPE+∠PME=90°，∠MAE+∠CPO=90°，∴∠PME=∠CPO，∵PM=PC，
∴△MEP≌△OPC，
∴PE=OC=AO，EM=OP，
∴OP=AE=EM，
∴∠EAM=45°，∵∠AOD=45°，
∴∠EAM=∠AOD，
∴AM∥ON，∵OA∥MF，
∴四边形AMFO是平行四边形，
∴FM=OA=CD，MF∥CD，AM=OF，
∴∠NDC=∠NFM，∵∠MNF=∠CND，
∴△CDN≌△MFN，
∴FN=DN，
∴AM+2DN=OF+DF=OD=4 ．
（3）如图3中，延长CO到M，使得OM=DE．则△AOM≌△ADE．
设AG=a，AH=b，由题意DE=a，OF=b，EK=DH=4-b，EC=OG=4-a，
∵S =2S ，
四边形KFCE 四边形AGKH
∴（4-a）（4-b）=2ab，
∴16-4（a+b）+ab=2ab，
∴ab=16-4（a+b），
∴2ab=32-8（a+b），
在Rt△EFC中，EF=
∴EF=OF+DE=OF+OM=FM，
∵AF=AF，AM=AE，
∴△AFM≌△AFE，
∴∠FAM=∠FAE，∵∠DAE=∠OAM，
∴∠EAM=∠DAO=90°，
∴∠EAF=45°．
【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定
和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或特殊四边形解
决问题，学会利用参数解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．
16．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O为坐标原点，点A的坐标为（4，0），点B的
坐标为（0，1），点C为边AB的中点，正方形OBDE的顶点E在x轴的正半轴上，连接CO，
CD，CE．
(1)线段OC的长为_____；
(2)求证：△CBD≌△COE；
(3)将正方形OBDE沿x轴正方向平移得到正方形OBDE，其中点O，B，D，E的对应点分别为
1 1 1 1
点O，B，D，E，连接CD，CE，设点E的坐标为（a，0），其中a≠2，△CDE 的面积为S．
1 1 1 1 1 1
①当1＜a＜2时，请直接写出S与a之间的函数表达式；
②在平移过程中，当S= 时，请直接写出a的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)①S=﹣ a+1；②当S= 时，a= 或
【分析】（1）由点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），根据勾股定理求得AB的长，
再由点C为边AB的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求得线段OC的长；
（2）由四边形OBDE是正方形，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，易得BD=OE，
BC=OC，∠CBD=∠COE，即可证得：△CBD≌△COE；
（3）①首先根据题意画出图形，然后过点C作CH⊥DE 于点H，可求得△CDE 的高与底，继而
1 1 1 1求得答案；
②分别从1＜a＜2与a＞2去分析求解即可求得答案．
（1）
解：∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），
∴OA=4，OB=1，
∵∠AOB=90°，
∴AB= ，
∵点C为边AB的中点，
∴OC= AB= ；
（2）
证明：∵∠AOB=90°，点C是AB的中点，
∴OC=BC= AB，
∴∠CBO=∠COB，
∵四边形OBDE是正方形，
∴BD=OE，∠DBO=∠EOB=90°，
∴∠CBD=∠COE，
在△CBD和△COE中，
∵ ，
∴△CBD≌△COE（SAS）；
（3）
）①解：过点C作CH⊥DE 于点H，
1 1
∵C是AB边的中点，
∴点C的坐标为：（2， ）
∵点E的坐标为（a，0），1＜a＜2，
∴CH=2﹣a，
∴S= DE•CH= ×1×（2﹣a）=﹣ a+1；
1 1②当1＜a＜2时，S=﹣ a+1= ，
解得：a= ；
当a＞2时，同理：CH=a﹣2，
∴S= DE•CH= ×1×（a﹣2）= a﹣1，
1 1
∴S= a﹣1= ，
解得：a= ，
综上可得：当S= 时，a= 或 ．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明、勾股定理，掌握相关知识点结合题中
所给点坐标正确求解是解题的关键．
17．阅读理解：在平面直角坐标系中， ， ，如何求 的距离．如图1，在
， ，所以 ．因此，
我们得到平面上两点 ， 之间的距离公式为 ．根据上
面得到的公式，解决下列问题：(1)若已知平面两点 ， ，则 的距离为__________；
(2)若平面内三点 ， ， ，请运用给出的公式，试判断 的形状，并说明理
由；
(3)如图2，在正方形 中， ，点D在 边上，且 ，直线l经过O，C两点，
点E是直线l上的一个动点，请直接写出 的最小值．
【答案】(1)5
(2) 是直角三角形，理由见解析
(3)
【分析】（1）直接利用距离公式进行求解即可；
（2）先利用两点间的距离公式分别求出 的长度，再根据它们之间的数量关系进行判断
即可；
（3）根据正方形的性质，找到 点关于直线的对称点为点 ，连接 ，则，线段 即为所求，
勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解： ；
故答案为：5；
（2） 是直角三角形；
理由如下：
∵ ， ， ，
∴ ， ，
，
∴ ，
故 是直角三角形；
（3） 的最小值为 ．∵ ， ，
∴ ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
连接 交 于 ，连接 ， ，
∵点A关于直线 的对称点是B，
∴ ，
∴ 的最小值为： ．
∴ ，
故 的最小值为 ．
【点睛】本题考查坐标系下两点间的距离公式．正确理解并掌握坐标系下两点间的距离公式是解
题的关键．同时考查了勾股定理及其逆定理，以及正方形的性质和将军饮马问题．
