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专题27.27 相似三角形几何模型-A 型图（基础篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，连接DE，下列条件不能判定
△ADE与△ABC相似的是（ ）
A．∠ADE＝∠B B．∠AED＝∠C C． D．
2．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，连接DE，下列条件不能使
得△ABC与△ADE相似的是（ ）
A．∠ADE＝∠ACB B．DE∥BC C． D．
3．如图，点P在 的边 上，下列条件中不能判断 的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，D是 的边BC上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC与△DBA相似的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，Rt ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．E是BC上一点，BE＝5，
DE⊥AB，垂足为△D，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在 中，D、E分别是边AB、AC上的点，且 ，连接CD，过
点E作 ，交AB于点F，则下列比例式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB，两两相似的三角形对数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．58．如图，在三角形纸片ABC中， ， ， ，沿虚线剪下的涂色部
分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，等腰 ABC，BA=BC，点P是腰AB上一点，过点P作直线（不与直线AB重
合）截 ABC，使截△得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（ ）
△
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
10．如图，在 中，P、Q分别为AB、AC边上的点，且满足 ．根据以
上信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论：
嘉嘉说：连接PQ，则PQ//BC．
淇淇说： ．
对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（ ）
A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人都正确
D．两人都错误二、填空题
11．如图，在 中，点 在 边上，点 在 边上，请添加一个条件
_________，使 ．
12．如图，在 中，D为AB边上的一点，要使 成立，还需要添
加一个条件，你添加的条件是__________
13．图，在 中， ，点 在 上（点 与 ， 不重合），若再增加
一个条件就能使 ，则这个条件是________（写出一个条件即可）．
14．如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点．若△ABC的面积为
3，则 的面积为______．
15．如图，在 ABC中，D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=2，BD=3，则AC
△的长为 ．
16．如图，在 中，D是 边上的点，如果________或________，则.
17．如图，点D在AB上，当∠______＝∠______时，△ACD∽△ABC．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为点D，E，则图
中与△ABC相似的三角形个数有______个．
19．如图，在 中，点 为边 上的一点，选择下列条件：
① ；② ；③ ；④ 中的一个，不能得出
和 相似的是：__________（填序号）．20．如图，在△ABC中，AB＞AC，过AC边上一点D作直线DE交AB边于点E，使所
得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作_____条．
三、解答题
21．如图，在△ABC中，BC＝8，AC＝4，D是BC边上一点，CD＝2．
求证△ABC∽△DAC．
22．如图，在 中， ， 于D．
求证： ．23．如图，在Rt ABC中，∠B=90°，点D在AC边上， 交BC于点E．求证：
． △
24．已知：如图，点D在三角形ABC的AB上，DE交AC于点E， ，点F
在AD上，且 ．求证：
(1) ；
(2) ∽ ．25．已知：如图，在 中， 是 边上的中线， ，分别交 、 、
于点 、 、 ．
求证： ．
26．如图， ，E为 与 的交点，F在 上。
求证： ．参考答案
1．D
【分析】
根据相似三角形的判定定理逐个分析判断即可．
解：∵∠ADE＝∠B，
∴
故A能判定△ADE与△ABC相似，不符合题意；
∠AED＝∠C，
∴
故B能判定△ADE与△ABC相似，不符合题意；
，
∴
故C能判定△ADE与△ABC相似，不符合题意；
，条件 未给出，不能判定△ADE与△ABC相似，故D符
合题意
故选D
【点拨】本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关
键．
2．C
【分析】
根据相似三角形的判定方法逐一判断即可．
解：A.∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
故此选项不符合题意；
B.∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
故此选项不符合题意；
C.∵ ，∠AED≠∠ABC，
∴△ABC与 ADE不相似，
△故此选项符合题意；
D.∵ ，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
故此选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
3．D
【分析】
根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，
并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．
解：A.∵∠A＝∠A，∠ABP＝∠C，
∴△ABP∽△ACB，故选项不符合题意；
B.∵∠A＝∠A，∠APB＝∠ABC，
∴△ABP∽△ACB，故选项不符合题意；
C.∵∠A＝∠A，AB2＝AP•AC，即 ，
∴△ABP∽△ACB，故选项不符合题意；
D.根据 和∠A＝∠A不能判断 ABP∽△ACB，故选项符合题意．
△
故选：D．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握有两角对应相等的三角形
相似与两边对应成比例且夹角相等的三角形相似定理的应用．
4．C
【分析】
由相似三角形的判定定理即可得到答案．
解： ， ， ∽ ，故选项A不符合题意；
， ， ∽ ，故选项B不符合题意；
，但无法确定 与 是否相等，所以无法判定两三角形相似，
故选项C符合题意；
即 ， ， ∽ ，故选项D不符合题意．故选：C．
【点拨】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
5．C
【分析】
由勾股定理可求AC＝6，通过证明△DEB∽△CAB，可得 ，即可求解．
解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴AC 6，
∵DE⊥AB，
∴∠EDB＝∠C＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△DEB∽△CAB，
∴ ，
∴ ，
∴DE＝3，
故选：C．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形相似是解题的
关键．
6．D
【分析】
根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质可求解．
解：∵DE∥BC，EF∥CD，
∴ , ， , ，
△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，
∴ ， ， ，
∴成立的是ABC，不成立的是D，
故选：D.
【点拨】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．
7．B
【分析】
由垂线的定义得出∠ADC＝∠BDA＝90°，由∠BAC＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，得
出△ADC∽△BAC，同理：△ADB∽△CAB，即可得出△ADC∽△BAC∽△BDA；
解：∵AD⊥CB，
∴∠ADC＝∠BDA＝90°，
∴∠BAC＝∠ADC＝90°
又∵∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BAC，
同理：△ADB∽△CAB，
∴△ADC∽△BAC∽△BDA，
故选：B．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定,熟练掌握相似三角形的判定定理，并能进行推
理论证是解决问题的关键．
8．B
【分析】
根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．
解：在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12．
A．因为 ，对应边 ， ，故沿虚线剪下的涂色部
分的三角形与 ABC不相似，故此选项错误；
△
B．因为 ，对应边 ，又∠A＝∠A，故沿虚线剪下的涂色部分
的三角形与 ABC相似，故此选项正确；
△
C．因为 ，对应边 ，即： ，故沿虚线剪下的涂色部分
的三角形与 ABC不相似，故此选项错误；
△D、因为 ，对应边 ， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三
角形与 ABC不相似，故此选项错误；
故△选：B．
【点拨】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等切夹
角相等的两三角形相似是解题关键．
9．C
【分析】
根据相似三角形的判定，过点P分别BC，AC的平行线即可得到与原三角形相似的三
角形，过点P作以点P为顶点的角与∠A相等的角也可以得到原三角形相似的三角形．
解：∵BA=BC，
∴∠A=∠C，
①作PE∥BC，可得△APE∽△ABC．
②作PF∥AC，可得△BPF∽△BAC．
③作∠APG=∠A，可得∠AGP∽△ABC，
故选：C．
【点拨】本题考查相似三角形的判定质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵
活运用所学知识解决问题．
10．B
【分析】
根据 ， 可以判定 ， 与 不一定相等，不
能判定PQ//BC．
解：∵ ， ，
∴ ，即淇淇的结论正确；∴ ， ，
∵不能得出 或 ，
∴不能得出PQ//BC，即嘉嘉的结论不正确．
故选B．
【点拨】本题考查相似三角形和平行线的判定，熟练掌握相似三角形和平行线的判定
方法是解题的关键．
11．∠ADE=∠B（答案不唯一）．
【分析】
已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相
似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定．
解：∵∠A=∠A，
∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠ADE=∠B或∠AED=∠C证
相似；
根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件 证 相似．
故答案为∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）．
【点拨】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的
判定方法．
12． 或
【分析】
根据图形可以看出两个三角形有一个公共角 ，相似证明中，有两个角对应相等即
可证明两三角形相似，即添加对应角相等即可．
解：由图可知，在 中，
∴添加的条件为： 或
故答案为： 或
【点拨】本题主要考查三角形相似的判定，掌握判定相似的条件是解题的关键．
13． （答案不唯一）
【分析】
两个三角形中如果有两组角对应相等，那么这两个三角形相似，据此添加条件即可．
解：添加 ，可以使两个三角形相似．
∵ ， ，
∴ ．故答案为： （答案不唯一）
【点拨】本题考查相似三角形的判定定理，两组角对应相等的两个三角形相似．理解
和掌握三角形相似的判定是解题的关键．
14． ##0.75
【分析】
由于在 ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，根据三角形中位线的性质，
△
可得 ，又由有三边对应成比例的三角形相似，即可证得
DEF∽△CAB，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得 DEF的面积．
△ 解：∵在 ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点， △
△
∴ ，
∴△DEF∽△CAB，
∴ ，
∵S ABC＝3，
△
∴S DEF＝ S ABC＝ ．
△ △
故答案为： ．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质，注意掌握数
形结合思想的应用．
15．
【分析】
证明 ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
解：△∵AD=2，BD=3，
∴AB=AD+BD=2+3=5，
∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴ ，即 ，解得，AC= ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质
定理是解题的关键．
16．
【分析】
利用三角形相似的判定求解即可.
解：由图可知 ,根据相似三角形的判定，再加一个对应角相等即可，
所以，可以为： 或 使得
故答案为 或
【点拨】此题主要考查学生对相似三角形的判定定理的理解和掌握.
17． ACD B
略
18．4
【分析】
根据等角或同角的余角相等，证明三角形相似即可．
解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，
∴
又
又
，
又与△ABC相似的三角形有 ， ， ， ，共计4个
故答案为：4
【点拨】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的的判定定理是解题的关键．
19．③
【分析】
根据相似三角形的判定定理可得结论．
解：① ， 时， ，故①不符合题意；
② ， 时， ，故②不符合题意；
③ ， 时，不能推出 ，故③符合题意；
④ ， 时， ，故④不符合题意，
故答案为：③
【点拨】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两组对应边对应成比例且
夹角相等的两个三角形相似；有两角对应相等的两个三角形相似．
20．2
【分析】
本题可分2种情况：①依据预备定理，过D作DE′∥BC，那么DE′符合所求直线的要求；
②作∠ADE＝∠ABC，则△ADE∽△ABC，因此DE符合所求直线的要求．
解：如图；
①作∠ADE＝∠B；②作DE′∥BC．
因此共有2种作法，
故答案为：2．
【点拨】此题考查了相似三角形的判定．①有两个对应角相等的三角形相似；②有两
个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个
三角形相似．
21．证明见详解
【分析】由题中线段长度得出 ＝ ，结合相似三角形的判定定理即可证明．
证明：∵BC＝8，AC＝4，CD＝2，
∴ ＝ ＝2， ．
∴ ＝ ．
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DAC．
【点拨】题目主要考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解
题关键．
22．见分析
【分析】
根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可．
证明：∵ 于D．
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，
准确运用进行推理证明．
23．证明见分析
【分析】
由 ，∠B=90°可得出 ，再由公共角相等，即可证得
．
解：∵ ，∠B=90°，
∴ ．
又∵∠C=∠C，
∴ ．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定，常用的判定两个三角形相似的方法有1、定
义法：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似．2、平行于三角形一边的直线截
其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似．3、两角分别相等的两
个三角形相似．4、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．24．(1)见分析(2)见分析
【分析】
（1）根据 ，可得 ，从而得到 ，即可求证；
（2）根据 ，可得 ，从而得到 ．即可求证．
(1)证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
(2)证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
又 ，
∴ ∽ ．
【点拨】本题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定，熟练掌握平行线
分线段成比例，相似三角形的判定定理是解题的关键．
25．见分析
【分析】
由 得到 ， ，根据相似三角形的性质列出比
例式 ， ，从而推出 ，结合由三角形中线的定义得出
，即可证出结论．
证明：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，
∵ 为 的边 上的中线，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了相似三角形的性质和判定、三角形的中线，熟练掌握相似三角形
的判定和性质是解题的关键．
26．见分析
【分析】
根据已知条件可得 ，根据相似三角形的性质列出比例式，
即可证明结论
解：
【点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，将线段比转化为 之间的关
系是解题的关键．
