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专题 3.4 一元一次方程与动点问题
【例题精讲】
【例1】如图，数轴上的点 和点 分别表示0和10，点 是线段 上一动点．点 从点
出发沿 的方向以每秒2个单位的速度向 运动， 是线段 的中点，设点 运
动时间为 秒 不超过5秒）．若点 在运动过程中，当 时，则运动时间 的值为
A． B． C．3或7 D． 或
【解答】解： 动点 所表示的数是 ，
，
是线段 的中点，
点 所表示的数是5，
，
，或 ，
解得 或 ．
故选： ．
【例2】如图，已知线段 ．动点 从点 出发以每秒 的速度向点 运动，
同时动点 从点 出发以每秒 的速度向点 运动，有一个点到达终点时另一点也随之
停止运动．当 时，则运动时间 5 秒或 1 1 秒 ．
【解答】解：设运动的时间为 秒，当 时，分两种情况：① 与 相遇之前，
，
，
解得 ；
② 与 相遇之后，
，
，
解得 ．
故答案为：5秒或11秒．
【例3】已知 ，点 、 在数轴上对应的数分别是 、 ．
（1）求 、 的值，并在数轴上标出点 和点 ；
（2）若动点 从点 出发沿数轴正方向运动，点 的速度是每秒1个单位长度，求几秒
后点 与点 的距离是3个单位长度；
（3）在（2）的条件下，动点 同时以每秒2个单位长度的速度，从点 出发向数轴负方
向运动，求几秒后点 与点 的距离等于3个单位长度．
【解答】解：（1）因为 ， ，且 ，
所以 ， ，所以 ， ；
（2）因为 ， ，
所以 ，
根据题意，当点 在点 左侧3个单位长度时， （秒 ，
当点 在点 右侧3个单位长度时， （秒 ．
答：3秒或9秒后点 与点 的距离是3个单位长度；
（3）设 秒后点 与点 的距离等于3个单位长度，
①当点 与点 相遇前时，
根据题意得： ，
解得 ；
②当点 与点 相遇后时，
根据题意得： ，
解得： ，
综上所述，1秒或3秒后，点 与点 的距离等于3个单位长度．
【题组训练】
一．选择题（共7小题）
2．如图，已知数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，且 、 满足
．动点 从点 出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运
动，动点 从点 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为
秒．若点 、 同时出发，当 、 两点相距4个单位长度时， 的值为A．3 B．5 C．3或5 D．1或
【解答】解： ，
， ，
， ，
动点 从点 出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点 从点 出
发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 秒，
表示的数是 ， 表示的数是 ，
，即 ，
解得 或 ，
故选： ．
3．如图，已知 ， 两点在数轴上，点 表示的数为 ， ，点 以每秒1个
单位长度的速度从点 向右运动．点 以每秒3个单位长度的速度从点 向左运动（点 、
点 同时出发）．经过几秒，点 、点 分别到原点 的距离相等？
A．5秒 B．5秒或者4秒 C．5秒或 秒 D． 秒
【解答】解： 点 表示的数为 ， ，
点 表示的数为20，
设点 、点 运动时间是 秒，根据题意， 表示的数是 ， 表示的数是 ，
点 、点 分别到原点 的距离相等，
，
或 ，解得 或 ，
故选： ．
4．如图，数轴上点 和点 表示的数分别是 和4，动点 从 点以每秒 的速度匀
速向右移动，动点 同时从 点以每秒 的速度匀速向右移动．设移动时间为 秒，当
动点 到原点的距离是动点 到原点的距离的2倍时， 的值为
A． B． C． 或 D． 或
【解答】解：当点 在原点的左侧时，由题意可得： ，
，
当点 在原点的右侧时，由题意可得： ，
，
综上所述： 的值为： 或 ，
故选： ．
5．如图所示，已知数轴上点 表示的数为8，点 表示的数为 ．动点 从点 出发，
以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点 从点 出发，以每秒3个单位长
度的速度沿数轴向左匀速运动，若点 、 同时出发，点 运动 秒追上点 ．
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：设点 运动 秒追上点 ．
线段 的距离 ．由题意，得 ．
解得 ．
故选： ．
6．如图，已知正方形的边长为24厘米，甲，乙两动点分别从正方形 的顶点 ，
同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环行，乙点按逆时针方向环行，若乙的速
度为9厘米 秒，甲的速度为3厘米 秒，当它们运动了2022秒时，它们在正方形边上相遇
了
A．252次 B．253次 C．254次 D．255次
【解答】解： 正方形的边长为24厘米，甲，乙两动点分别从正方形 的顶点 ，
同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环行，乙点按逆时针方向环行，乙的速
度为9厘米 秒，甲的速度为3厘米 秒，
甲、乙两点经过4秒第一次相遇，相遇时路程和是48厘米，
，
第一次相遇后每过8秒相遇一次，
而 ，
当它们运动了2022秒时，它们在正方形边上相遇了 次，
故选： ．
7．如图，数轴上的点 和点 表示的数分别是0和10， 是线段 上一动点．点 沿
以每秒2个单位长度的速度往返运动1次， 是线段 的中点，设点 运动
的时间为 秒 ．在点 运动的过程中，当 时，则点 运动的时间 的值为A． 或 B．3或7
C． 或 或 或 D．3或 或7或
【解答】解：①当 时，动点 所表示的数是 ，
，
，
，或 ，
解得 或 ；
②当 时，动点 所表示的数是 ，
，
，
，或 ，
解得 或 ．
综上所述，运动时间 的值为 或 或 或 ．
故选： ．
二．填空题（共18小题）
8．数轴上 ， 两点表示的数分别为 ，2， 是射线 上的一个动点，以 为折点，
将数轴向左对折，点 的对应点落在数轴上的 处．
（1）当点 是线段 的中点时，线段 3 ．
（2）若 ，则点 表示的数是 ．
【解答】解：（1） ， 两点表示的数分别为 ，2，
．点 是线段 的中点，
．
故答案为：3．
（2）根据折叠知 ，
， ，
，
，
或 ，
解得 或 ．
故答案为： 或 ．
10．已知数轴上两点 、 对应的数分别为 与3．点 从 点出发，以每秒2个单位长
度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时点 从 点出发，以每秒1个单位长度沿数轴匀
速运动．设 、 两点的运动时间为 秒，当 时， 2 或 6 或 ．
【解答】解：① 点向右运动，
秒后，点 表示的数 ，点 表示的数为 ，
，
又 ，
，
解得： 或6；
② 点向左运动，秒后，点 表示的数 ，点 表示的数为 ，
，
又 ，
，
解得： 或 ，
当 为2或6或 ， ，
故答案为：2或6或 ．
11．如图， 、 、 、 为直线 上的4个动点，其中 ， ．在直线
上，线段 以每秒2个单位的速度向左运动，同时线段 以每秒4个单位的速度向
右运动，则运动 2 或 4 秒时，点 到点 的距离与点 到点 的距离相等．
【解答】解：设运动 秒时，点 到 的距离与点 到点 的距离相等，
根据题意的 ，或 ，
解得： 或 ，
故运动2或4秒时，点 到 的距离与点 到点 的距离相等，
故答案为：2或4．
12．如图，已知 ， 两点在数轴上，点 表示的数为 ，点 表示的数为30，点
以每秒6个单位长度的速度从点 向右运动，点 以每秒2个单位长度的速度从点 向右
运动，其中点 、点 同时出发，经过 或 秒，点 、点 分别到原点 的距
离相等．
【解答】解：设经过 秒点 、 到原点 的距离相等，
若点 在点 左侧，则 ，解得 ；
若点 在点 的右侧，则点 与点 重合时，点 、 到原点 的距离相等，
所以 ，
解得 ，
综上所述，经过 秒或 秒，点 、 到原点 的距离相等，
故答案为： 秒或 秒．
13．如图，已知 ， 两点在数轴上，点 表示的数为 ，点 表示的数为30．点
以每秒4个单位长度的速度从点 向右移动，点 以每秒1个单位长度的速度从点 向右
运动，且点 ，点 同时出发，经过 2 或 秒，点 、点 分别到点 的距离相
等．
【解答】解：设经过 秒点 、 到原点 的距离相等，
若点 在点 左侧，则 ，
解得 ；
若点 在点 的右侧，则点 与点 重合时，点 、 到原点 的距离相等，
所以 ，
解得 ，
综上所述，经过2秒或 秒，点 、 到原点 的距离相等，
故答案为：2或 ．
14．已知线段 ，直线 上有一动点 从点 出发向右沿直线 运动，速度为
每秒 ，运动时间为 ，当 时， 的值为 或 ．
【解答】解： 点 从点 出发向右沿直线 运动，速度为每秒 ，运动时间为 ，，
，
，
或 ，
故答案为： 或 ．
15．如图，在数轴上，点 ， 表示的数分别是 ，14．点 以每秒2个单位长度从
出发沿数轴向右运动，同时点 以每秒3个单位长度从点 出发沿数轴在 ， 之间往返
运动，设运动时间为 秒．当点 ， 之间的距离为8个单位长度时， 的值为
秒或 秒或 1 6 秒 ．
【解答】解： 点 ， 表示的数分别是 ，14，
， ，
，
①当点 、 没有相遇时，
由题意得： ，
解得：
②当点 、 相遇后，点 没有到达 时，
由题意得： ，
解得：
③当点 到达 返回时，
由题意得： ，解得： ．
综上所述，当点 ， 之间的距离为8个单位长度时， 的值为 秒或 秒或16秒．
16．数轴上 、 两点对应的数分别为 、 ，则 、 两点之间的距离表示为：
．若数轴上 、 两点对应的数分别为 、 ，且满是 ．
（1）求得 、 两点之间的距离是 1 5 ；
（2）若 、 两点在数轴上运动，点 从 出发以2个单位长度 秒的速度向右匀速运动，
同时，点 从 出发以3个单位长度 秒的速度向左匀速运动．经过 秒， 、 两点
相距5个单位长度．
【解答】解：（1） ，
， ，
解得 ， ，
、 两点之间的距离是 ，
故答案为：15；
（2）设经过 秒， 、 两点相距5个单位长度，
秒后，点 表示的数是 ，点 表示的数是 ，
依题意得， ，
解得 或2，
故答案为：4或2．
17．已知数轴上三点 ， ， 对应的数分别为 ，0，3，点 为数轴上一点，其对应
的数为 ．如果点 以每分钟1个单位长度的速度从点 向左运动，同时点 和点 分别
以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设 分钟时点 到点
点 的距离相等，则 的值为 或 4 ．
【解答】解：由题意， 分钟时，
点 所表示的数为 ，点 所表示的数为 ，
点 所表示的数为 ，
点 到点 、点 的距离相等时，则：
，
解得： 或 ，
故答案为： 或4．
18．如图，在数轴上点 是原点，点 、 、 表示的数分别是 、8、14．若点 从
点 出发以2个单位 秒的速度向右运动，其中由点 运动到点 期间速度变为原来的2
倍，之后立刻恢复原速，点 从点 出发，以1个单位 秒的速度向左运动，若点 、
同时出发，则经过 7. 6 或 1 0 秒后， 、 两点到点 的距离相等．
【解答】解：设经过 秒后， 、 两点到点 的距离相等，
由题意， ， ， ，
点 到达 点的时间为 秒，此时点 到达 点，故 ，即 在 的左边，
①当 在点 的左边时，
表示的数为 ， 表示的数为 ，
由 得： ，
解得： ；
②当 在 的右边时，
点 到达点 的时间为 秒，
点 表示的数为 ，
表示的数为 ，由 得： ，
解得： ，
综上，经过7.6或10秒后， 、 两点到点 的距离相等，
故答案为：7.6或10．
19．如图，已知 ， 两点在数轴上，点 表示的数是 ， ，动点 从点 出
发，以每秒1个单位的速度沿线段 向终点 运动，同时，另一个动点 从点 出发，
以每秒3个单位的速度在线段 上来回运动（从点 向点 运动，到达点 后，立即原
速返回，再次到达 点后立即掉头向点 运动，掉头时间忽略不计）．当点 达到点 时，
、 两点都停止运动．当点 运动 或 8 或 秒时，点 恰好落在线段 的
中点上．
【解答】解：设运动时间为 秒，
当 时， ， ，
由点 是线段 的中点可得 ，
解得 ；
当 时， ， ，
由点 是线段 的中点可得 ，
解得 ；
当 时， ， ，
由点 是线段 的中点可得 ，
解得 ；故答案为： 或8或 ．
20．如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形 的顶点 、 同时
沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是
甲的速度的3倍，则它们第2022次相遇在边 上．
【解答】解：正方形的边长为4，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行
的路程比为 ，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知：
①第一次相遇甲乙行的路程和为8，甲行的路程为 ，乙行的路程为 ，在
边相遇；
②第二次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为 ，乙行的路程为 ，
在 边相遇；
③第三次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为 ，乙行的路程为 ，
在 边相遇；
④第四次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为 ，乙行的路程为 ，
在 边相遇；
，
它们第2022次相遇在边 ．
故答案为： ．
21．如图，在直线 上顺次取 ， ， 三点，使得 ， ，取线段
的中点 ．若动点 从点 出发以 的速度沿射线 方向运动，设运动时间为 ，
当 时， 的值为 3. 5 ．【解答】解： ， ，
，
是线段 的中点，
，
，
依题意有： ，
解得 ．
故答案为：3.5．
22．如图，数轴上 ， 两点对应的数分别为10， ，点 和点 同时从原点出发，点
以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点 以每秒3个单位长度的速度先沿数
轴负方向运动，到达 点后再沿数轴正方向运动，当点 到达点 后，两个点同时结束运
动．设运动时间为 秒，当 ， 两点距离为2个单位长度时， 的值为 或 2 或 4 ．
【解答】解：当 时， ，
解得 ，
当 时，点 表示的数是 ，点 表示的数是 ，
，
解得 或2．
综上， 的值是 或2或4．
故答案为： 或2或4．
23．已知数轴上两点 ， 对应的数分别是 和2， 从 出发以每秒2个单位长度的速
度向左运动， 从 出发以每秒6个单位长度的速度向左运动．假设点 ， 同时出发，经过 或 秒后， ， 之间的距离为2个单位．
【解答】解：设经过 秒后 ， 之间的距离为2个单位，依题意得：
，
解得： 或 ．
故答案为： 或 ．
24．已知点 、 在数轴上，点 表示的数为 ，点 表示的数为15．动点 从点 出
发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向匀速移动，则点 移动 5 或 10 秒后，
．
【解答】解：设点 移动 秒后， ，
则 ，
，
当点 在 之间时，如图1所示：
，
，
解得： ；
当点 在 延长线时，如图2所示：
，
，
解得： ；
综上所述，点 移动5秒或10秒后， ，
故答案为：5或10．25．如图①，点 在线段 上，图中共有三条线段；线段 ，线段 ，线段 ，若
其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点 为线段 的“奇分点”．若
，如图②，点 从点 开始以每秒 的速度向 运动，当点 到达 点时
停止运动，运动的时间为 秒．当 5 或 或 秒， 是线段 的“奇分点”
（写出一种情况即可），如果同时点 从点 的位置开始以每秒 的速度向点 运动，
如图③所示，并与 点同时停止，则当 秒， 是线段 的“奇分点”．
【解答】解：（1）分情况讨论：当 时，有 ，
解得： ；
当 时，有 ，
解得： ；
当 时，有 ，
解得： ；
综上，当 为5秒或 秒或 秒时，点 是线段 的“二倍点”，
故答案为：5或 或 ；
（2） 是线段 的“奇分点”，
点在线段 上，即 ，
，
，
① ，此时 为 中点， ，解得： ；
② ，此时 ，
解得： ；
③ ，此时 ，
解得： ；
当 是线段 的“奇分点“时， 的值为 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
三．解答题（共15小题）
27．已知数轴上两点 ， 对应的数分别为 和4，点 为数轴上一动点，若规定点 到
的距离是点 到 的距离的3倍时，我们就称点 是关于 的“好点”．
（1）若点 到点 的距离等于点 到点 的距离时，点 表示的数是 ；
（2）①若点 运动到原点 时，此时点 关于 的“好点”（填是或者不是）；
②若点 以每秒1个单位的速度从原点 开始向右运动，当点 是关于 的“好点”
时，点 的运动时间 ；
（3）若点 在原点的左边（即点 对应的数为负数），且点 ， ， 中，其中有一个
点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点 表示的数 ．
【解答】解：（1） 数轴上两点 ， 对应的数分别为 和4，点 到点 、点 的距
离相等，
点 表示的数是 ；
故答案为： ；
（2）①当点 运动到原点 时， ， ，
，
点 不是关于 的“好点”；故答案为：不是；
②根据题意可知：设点 运动的时间为 秒，
， ，
，
解得 或 ，
故答案为：1秒或10秒；
（3）根据题意可知：设点 表示的数为 ，
或 ， ， ，
分五种情况进行讨论：
①当点 是关于 的“好点”时， ，
，解得 ；
②当点 是关于 的“好点”时， ，
或 ，
解得 或 ；
③当点 是关于 的“好点”时， ，
或 ，
解得 或1（不符合题意，舍去）；
④当点 是关于 的“好点”时， ，
或 ，
解得 或 ；
⑤当点 是关于 的“好点”时， ，
，解得 ．
综上所述：所有符合条件的点 表示的数是： ， ， ， ， ， ，
故答案为： ， ， ， ， ， ．28．在数轴上有 ， 两点，点 表示的数为 ．对点 给出如下定义：当 时，将点
向右移动2个单位长度，得到点 ；当 时，将点 向左移动 个单位长度，得到
点 ．称点 为点 关于点 的“联动点”．如图，点 表示的数为 ．
（1）在图中画出当 时，点 关于点 的“联动点” ；
（2）点 从数轴上表示 的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动．点 从数轴上
表示7的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为 秒．
①点 表示的数为 （用含 的式子表示）；
②是否存在 ，使得此时点 关于点 的“联动点” 恰好与原点重合？若存在，请求出
的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1） 当 时，将点 向右移动2个单位长度，得到点 ；
表示的数是 ，
如图：
（2）①点 表示的数为 ，
故答案为： ；
②不存在 恰好与原点重合，理由如下：
表示的数是 ，
当 ， 表示的数是 ，
此时不存在 恰好与原点重合；
当 时， 表示的数是 ，
此时不存在 恰好与原点重合，
综上所述，不存在 恰好与原点重合．
29．在数轴上点 表示 ，点 表示 ，且 、 满足 ．
（1）求 ， 的值，并计算点 与点 之间的距离．（2）若动点 从 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，运动几秒
后，点 到达 点？
（3）若动点 从 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点
从 点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动几秒后， 、 两
点间的距离为4个单位长度？
【解答】解：（1） ，
， ，
与点 之间的距离为 ；
（2） 与点 之间的距离为12，
（秒 ，
答：运动6秒后，点 到达 点；
（3） 、 相遇前： （秒 ，
、 相遇后： （秒 ，
答：运动2秒或4秒后， 、 两点间的距离为4个单位长度．
30．【概念学习】
点 ， ， 为数轴上的三点，如果点 到 的距离是点 到 的距离的2倍，那么我们
就称点 是 、 的偶点．
如图1，点 表示的数为 ，点 表示的数为1，表示0的点 到点 的距离是2，到点
的距离是1，那么点 是 、 的偶点；表示 的点 到点 的距离是1，到点 的
距离是2，那么点 就不是 、 的偶点，但点 是 、 的偶点．【初步探究】
已知如图2， ， 为数轴上两点，点 表示的数为 ，点 表示的数为5，若点 是
、 的偶点，回答下列问题：
（1）当 在点 ， 之间，点 表示的数为 3 ；
（2）当 为数轴上一点，点 表示的数为 ．
【深入思考】
如图3， 、 为数轴上两点，点 表示的数为 ，点 表示的数为40，现有一个动点
从点 出发，以每秒2个单位的速度向左运动，到达点 停止．若运动时间为 ，求当
为何值时， ， ， 中恰有一个点为其余两点的偶点？
【解答】解：【初步探究】
（1）设 表示的数为 ，且 ，
点 表示的数为 ，点 表示的数为5，
， ，
点 是 、 的偶点，
，，
解得： ，
故答案为：3；
（2）设 表示的数为 ，
点 表示的数为 ，点 表示的数为5，
， ，
点 是 、 的偶点，
，
，
解得： 或11，
故答案为：3或11．
【深入思考】
由题意知： ， ，
，
当点 是 、 的偶点时， ，
，
解得： ；
当点 是 、 的偶点时， ，
，
解得： ；
当点 是 、 的偶点时， ，
，
解得： ；
当点 是 、 的偶点时， ，，
解得： ；
综上所述，当 为10或15或20时， ， ， 中恰有一个点为其余两点的偶点．
31．如图1，点 把线段 分成两条线段 和 ，如果 时，则称点 是线
段 的内二倍分割点；
如图2，如果 时，则称点 是线段 的内二倍分割点．
例如：如图3，数轴上，点 、 、 、 分别表示数 、2、1、0，则点 是线段
的内二倍分割点；点 是线段 内二倍分割点．
（1）如图4， 、 为数轴上两点，点 所表示的数为 ，点 所表示的数为7．
的内二倍分割点表示的数是 4 ； 的内二倍分割点表示的数是 ．
（2）如图5，数轴上，点 所表示的数为 ，点 所表示的数为20．点 从点 出发
以2个单位每秒的速度沿
数轴向左运动，设运动时间为 秒．
①线段 的长为 ；（用含 的式子表示）
②求当 为何值时， 、 、 三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点．
【解答】解：（1） 、 为数轴上两点，点 所表示的数为 ，点 所表示的数为
7，
，
的内二倍分割点表示的数是： ；的内二倍分割点表示的数是： ．
故答案为：4；1；
（2）①依题意可得，线段 的长为 ．
故答案为： ；
②当 在线段 上时， 为线段 的内二倍分割点，有以下两种情况：
如果 是 的内二倍分割点时，则 ，
所以 ，
解得 ；
如果 是 的内二倍分割点时，则 ，
所以 ，
解得 ；
当 在点 左侧时， 为线段 的内二倍分割点，有以下两种情况：
如果 是 的内二倍分割点时，则 ，
所以 ，
解得 ；
如果 是 的内二倍分割点时，则 ，
所以 ，
解得 ；
综上所述：当 为 ， ， ，75时， 、 、 中恰有一个点为其余两点的内二倍
分割点．
32．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动 到达 点，再向右移动 到达
点，然后再向右移动 到达 点，数轴上一个单位长度表示 ．
（1）请你在数轴上表示出 ， ， 三点的位置；（2）把点 到点 的距离记为 ，则 ．
（3）若点 沿数轴以每秒 匀速向右运动，经过多少秒后点 到点 的距离为 ？
（4）若点 以每秒 的速度匀速向左移动，同时点 、点 分别以每秒 、 的速
度匀速向右移动．设移动时间为 秒，试探索： 的值是否会随着 的变化而改变？
若变化，请说明理由，若无变化，请直接写出 的值．
【解答】解：（1）由题意得： 点对应的数为 ， 点对应的数为1，点 对应的数为
，
点 ， ， 在数轴上表示如下图：
（2）设原点为 ，如图，
， ，
．
故答案为： ；
（3）①当点 在点 的左侧时，
设经过 秒后点 到点 的距离为 ，由题意得：
，
解得： ．
②当点 在点 的右侧时，
设经过 秒后点 到点 的距离为 ，由题意得：
，解得： ．
综上所述，经过1.5或3.5秒后点 到点 的距离为 ；
（4） 的值不会随着 的变化而变化， ．
由题意： ， ，
移动 秒后， ， ，
．
的值不会随着 的变化而变化， ．
33．如图，已知数轴上的点 ， 对应的数分别是 和1．
（1）若 到点 ， 的距离相等，求点 对应的数；
（2）动点 从点 出发，以2个长度单位 秒的速度向右运动，设运动时间为 秒，问：
是否存在某个时刻 ，恰好使得点 到点 的距离是点 到点 的距离的2倍？若存在，
请求出 的值；若不存在，请说明理由；
（3）若动点 从点 出发向点 运动，同时，动点 从点 出发向点 运动，经过2秒
相遇；若动点 从点 出发向点 运动，同时，动点 从点 出发与点 同向运动，经过
6秒相遇，试求 点与 点的运动速度（长度单位 秒）．
【解答】解：（1） 设点 对应的数为 ，
则 ， ，
，
，
解得： ，
点 对应的数为 ；
（2）存在某个时刻 ，使得 到点 的距离是 到点 的距离的2倍，
由已知得： 对应的数为 ，， ，
，
，
当 时， ；
当 时， ；
的值为6或2；
（3）设 点的运动速度为 个长度单位 秒， 点的运动速度为 个长度单位 秒，
由题意得： ，
解得 ，
点的运动速度为2个长度单位 秒， 点的运动速度为1个长度单位 秒．
34．数轴上 、 两点对应的数分别是 、12，线段 在数轴上运动，点 在点 的左
边，且 ，点 是 的中点．
（1）如图1，当线段 运动到点 、 均在 、 之间时，若 ，则 16
， ， ；
（2）当线段 运动到点 在 、 之间时，求 与 的数量关系；
（3）当点 运动到数轴上表示数 的位置时，动点 从点 出发，以每秒3个单位长度
的速度向右运动，抵达 后，立即以同样速度返回，同时点 从 出发，以每秒1个单位
长度的速度向终点 运动，设它们运动的时间为 秒 ，求 为何值时， 、 两点间的距离为1个单位长度．
【解答】（1） 数轴上 、 两点对应的数分别是 、12，
；
， ，
点 是 的中点．
故答案为：16，6，2；
（2） 点 是 的中点
设 ，
（3）①当 时， 对应数： ， 对应数
依题意得：
解得： 或
②当 时， 对应数 ， 对应数
依题意得：
解得： 或
为 秒， 秒， 秒， 秒时，两点距离是1．
35．如图， 、 分别为数轴上的两点， 点对应的数为 ， 点对应的数为100．（1）请写出与 、 两点距离相等的点 所对应的数；
（2）现有一只电子蚂蚁 从 点出发，以6单位 秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂
蚁 恰好从 点出发，以4单位 秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的 点相
遇，你知道 点对应的数是多少吗？（写出计算过程）
（3）在题（2）中，若运动 秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出 的值．
【解答】解：（1） 点对应的数是 ；
（2） ， 之间的距离为 ，
设它们的相遇时间是 秒，依题意有：
，
解得 ，
即相同时间 点运动路程为： （个单位），
即从数 向右运动48个单位到数28，
故 点对应的数是28；
（3）相遇前： （秒 ，
相遇后： （秒 ．
故 的值为55或65．
36．【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具．利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现
了许多重要的规律：数轴上 点、 点表示的数为 、 ，则 ， 两点之间的距离
，若 ，则可简化为 ；线段 的中点 表示的数为 ．
【问题情境】
已知数轴上有 、 两点，分别表示的数为 ，8，点 以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点 以每秒2个单位向左匀速运动．设运动时间为 秒 ．
【综合运用】
（1）运动开始前， 、 两点的距离为 1 8 ；线段 的中点 所表示的数 ．
（2）点 运动 秒后所在位置的点表示的数为 ；点 运动 秒后所在位置的点表示的
数为 ；（用含 的式子表示）
（3）它们按上述方式运动， 、 两点经过多少秒会相距4个单位长度？
（4）若 ， 按上述方式继续运动下去，线段 的中点 能否与原点重合？若能，求
出运动时间，并直接写出中点 的运动方向和运动速度；若不能，请说明理由．（当 ，
两点重合，则中点 也与 ， 两点重合）．
【解答】解：（1） 、 两点的距离为： ；线段 的中点 所表示的数为
．
故答案为：18； ；
（2）由题意可得点 运动 秒后所在位置的点表示的数为 ；点 运动 秒后所在
位置的点表示的数为 ；
故答案为： ； ；
（3）设它们按上述方式运动， 、 两点经过 秒会相距4个单位长度，
当点 在点 左侧时，
依题意列式，得 ，
解得 ；
当点 在点 右侧时，
，
解得 ，
答：它们按上述方式运动， 、 两点经过2.8秒或4.4秒会相距4个单位长度．（4）能．
设 ， 按上述方式继续运动 秒线段的中点 能与原点重合，
根据题意列方程，可得 ，
解得 ．
运动开始前 点的位置是 ，运动2秒后到达原点，
由此得 点的运动方向向右，其速度为： 个单位长度．
答：运动时间为2秒，中点 点的运动方向向右，其运动速度为每秒 个单位长度．
37．如图，数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为8，点 从点 出发，以每秒3个
单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度
向左匀速运动．设运动时间为 秒 ．
（1）填空： 秒后，点 表示的数为 ；点 表示的数为 ．
（2）求当 为何值时， ；
（3）当点 运动到点 的右侧时，点 是线段 上靠近于点 的四等分点，点 为线
段 上靠近于点 的三等分点，求 的值．
【解答】解：（1） 秒后，点 表示的数为 ；点 表示的数为 ．
故答案为： ； ；
（2）根据题意得：
，
，解得： 或 ，
当 或 时， ；
（3）根据题意得
，
，
．
38 ． 已 知 数 轴 上 ， ， 三 个 点 表 示 的 数 分 别 是 ， ， ， 且 满 足
，动点 、 都从点 出发，且点 以每秒1个单位长度的速
度向终点 移动．
（1）求 ， ， 的值；
（2）若 为 的中点， 为 的中点，试判断在 点运动的过程中，线段 的长度
是否发生变化，请说明理由；
（3）当点 运动到点 时，点 再从点 出发，以每秒3个单位长度的速度在 ， 之
间往返运动，直至 点停止运动， 点也停止运动．问 点开始运动后的第几秒， ，
两点之间的距离为2？请说明理由．
【解答】解：（1） ，
， ， ，
， ， ；
（2）设点 表示的数为 ，
当点 在点 左侧时，
为 的中点， 为 的中点，
点 表 示 的 数 为 ： ， 点 表 示 的 数 为 ：，
，
当点 在点 右侧时，
点 表示的数为： ，点 表示的数为： ，
，
综上，在 点运动的过程中，线段 的长度不发生变化，恒为3；
（3） 点 运动到点 时，点 再从点 出发，点 以每秒1个单位长度的速度向终点
移动，点 再从点 出发，以每秒3个单位长度的速度在 ， 之间往返运动，
， ， ，
点 从点 运动至点 的时间为： ，点 从点 运动至点 的时间为：
，
可将 ， 两点距离为2的情况分为以下4种，
设点 从点 运动 后， ， 两点距离为2，
， ， ，①如图，当点 ，点 向右运动，且点 在点 右侧时，
， ，
，
解得： ，
，
点开始运动后的第8秒， ， 两点之间的距离为2；
②如图，当点 ，点 向右运动，且点 在点 左侧时，
， ，
，
解得： ，
，
点开始运动后的第10秒， ， 两点之间的距离为2；
③如图，当点 向右运动，点 向左运动，且点 在点 左侧时，
，
，
， ，
，解得： ，
，
点开始运动后的第14.5秒， ， 两点之间的距离为2；
④如图，当点 向右运动，点 向左运动，且点 在点 右侧时，
，
，
， ，
，
解得： ，
，
点开始运动后的第15.5秒， ， 两点之间的距离为2；
综上，当点 运动的第8，10，14.5，15.5秒， ， 两点之间的距离为2．
39．材料：在学习绝对值时，我们知道了 表示5和3在数轴上对应的两点之间的距
离；又如 ，所以 表示5和 在数轴上对应的两点之间的距离．
若点 ，点 在数轴上分别表示数 和数 ，则点 ，点 之间的距离可表示为 ．
根据材料内容，完成下面问题：
已知数轴上三点 ， ， 对应的数分别为 ，0，4，点 为数轴上任意一点，其表示
的数为 ．
（1）如果点 ，点 之间的距离等于1，那么 3 或 5 ；
（2）如果 ，那么 ；
（3）若点 表示的数是 ，现在有一蚂蚁从点 出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动时，经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点 ，点 的距离之和是8．
【解答】解：（1）如果点 ，点 之间的距离等于1，那么 或 ．
故答案为：3或5；
（2） ，
．
故答案为：1.5；
（3）设蚂蚁运动的时间为 秒，则蚂蚁所在的点对应的数是 ，
蚂蚁所在的点到点 、点 的距离之和是8，
蚂蚁所在的点在点 的左侧或在点 的右侧，
或 ，
解得 或 ．
答：经过 或 秒，蚂蚁所在的点到点 、点 的距离之和是8．
40．如图，在数轴上，点 对应原点，点 在原点的左侧，对应的数是 ；点 在原点的
右侧，对应的数是 ，并且 ．
（1） ； ．
（2） ， 是数轴上的两个动点，点 从点 出发，同时点 从点 出发，点 的速度
大于点 的速度．若两点同向运动，经过3秒相遇；若两点相向而行，经过1秒相遇，
① ， 两点的速度分别是多少？
②若点 相向而行，且点 运动到点 后原速返回，经过几秒钟，点 ， 第二次相遇？
（3）在（2）的条件下，当点 ， 沿数轴同向运动时，经过几秒钟，相距9个单位长度？【解答】解：（1） ，
， ，
， ，
故答案为： ，2；
（2）① ， ，
，
设 的速度每秒 个单位， 的速度是每秒 个单位，
根据题意得： ，
解得 ，
的速度每秒4个单位， 的速度是每秒2个单位；
②设经过 秒钟，点 ， 第二次相遇，
根据题意得： ，
解得 ，
经过3秒钟，点 ， 第二次相遇；
（3）设经过 秒， ， 相距9个单位长度，
运动后表示的数是 ， 运动后表示的数是 ，
，
或 ，
解得 或 （舍去），
经过 秒， ， 相距9个单位长度．
