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专题 3.5 一元一次方程（满分 100）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列各式中：
3
①由3x＝﹣4系数化为1得x＝﹣ ；
4
②由5＝2﹣x移项得x＝5﹣2；
2x−1 x−3
③由 =1+ 去分母得2（2x﹣1）＝1+3（x﹣3）；
3 2
④由2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）＝1去括号得4x﹣2﹣3x﹣9＝1．
其中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
根据解一元一次方程的去分母、去括号、移项及系数化1的方法依次判断后即可解答.
【解题过程】
4
①由3x=﹣4系数化为1得x=﹣ ，可知①错误；
3
②由5=2﹣x移项得x=2﹣5，可知②错误；
2x−1 x−3
③由 =1+ 去分母得2（2x﹣1）=6+3（x﹣3），可知③错误；
3 2
④由2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）=1去括号得4x﹣2﹣3x+9=1，可知④错误．
综上，正确的结论有0个，故选A.
2．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？
译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车
可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ）
x+2 x x x−9 x x+9 x−2 x
A． = −9 B． +2= C． −2= D． = +9
3 2 3 2 3 2 3 2【思路点拨】
设有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解题过程】
解：设有x人，根据车的辆数不变列出等量关系，
x
每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为： +2，
3
x−9
每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则车辆数为： ，
2
x x−9
∴列出方程为： +2= ．
3 2
故选：B．
2x−1 x+a
3．解方程 = −1时，小刚在去分母的过程中，右边的“-1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解
3 2
为x=2，则方程正确的解是（ ）
1 1
A．x=−3 B．x=−2 C．x= D．x=−
3 3
【思路点拨】
先按此方法去分母，再将x=-2代入方程，求得a的值，然后把a的值代入原方程并解方程．
【解题过程】
解：把x=2代入方程2（2x-1）=3（x+a）-1中得：6=6+3a-1，
1
解得：a= ，
3
1
正确去分母结果为2（2x-1）=3（x+ ）-6，
3
去括号得：4x-2=3x+1-6，
解得：x=-3．
故选：A
4．今年某月的月历上圈出了相邻的三个数a、b、c，并求出了它们的和为39，这三个数在月历中的排布不
可能是（ ）
A． B． C． D．【思路点拨】
日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1根据题意可列方程求解.
【解题过程】
解：A、b=a+7，c=b+7=a+14，
∵a+b+c=39,
∴a+a+7+a+14=39，解得a=6；
B、b=a+1+7=a+8，c=b+1+7=a+16，
∵a+b+c=39,
∴a+a+8+a+16=39，解得a=5；
C、b=a-1+7=a+6，c=b+1=a+7，
∵a+b+c=39,
26
∴a+a+6+a+7=39，解得a= ；
3
D、b=a+7，c=b+1=a+8，
∵a+b+c=39,
∴a+a+7+a+8=39，解得a=8.
由题可知，a、b、c均为整数，
所以本题选择C.
| 2| | 4|
5．满足方程 x+ + x− =2的整数x有（ ）个
3 3
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【思路点拨】
4 2 2 4
分类讨论：x≥ ，x≤− ，− <x< 时，分别解方程求得答案.
3 3 3 3
【解题过程】
4 2 4 4
解：当x≥ 时，原方程为： x+ +x− =2，得x= ，不合题意舍去；
3 3 3 3
2 2 4 2
当x≤− 时，原方程为： −x− + −x=2，得x=− ，不合题意舍去；
3 3 3 3
2 4 2 4 2 4 | 2| | 4|
当− <x< 时，原方程为： x+ + −x=2，得2=2，说明当− <x< 时关系式 x+ + x− =2恒
3 3 3 3 3 3 3 3
成立，所以满足条件的整数解x有：0和1.
故选：C.6．若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x
的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（ ）
A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解
C．只有一个解 D．无解
【思路点拨】
首先解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x，可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n，再根据方程有两个解的条件可
得到m，n的值，然后代入方程（m+n）x+3＝4x+m中即可知道其解的情况．
【解题过程】
解：解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x
可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n
∵有至少两个不同的解，
∴6m+3n﹣6＝3m+n＝0，
即m＝﹣2，n＝6，
把m＝﹣2，n＝6代入（m+n）x+3＝4x+m中得：4x+3＝4x+m，
∴方程（m+n）x+3＝4x+m无解．
故选：D．
2kx+a x−bk
7．若不论k取什么实数，关于x的方程 − =1（a、b是常数）的根总是x＝1，则a+b＝（
3 6
）
1 3 1 3
A． B． C．− D．−
2 2 2 2
【思路点拨】
2kx+a x−bk
把x=1代入 − =1得到(b+4)k=7−2a，根据方程的根总是x=1，推出¿，解出a、b的值，
3 6
计算a+b即可得出答案．
【解题过程】
2k+a 1−bk
解：把x=1代入得： − =1，
3 6
去分母得：4k+2a−1+kb−6=0，
即(b+4)k=7−2a，
2k+a 1−bk
∵不论k取什么实数，关于x的方程 − =1的根总是x＝1，
3 6
∴¿ ，7
解得：a= ，b=−4，
2
7 1
∴a+b= −4=− ．
2 2
故选：C．
3−ax x+3
8．已知关于x的一元一次方程x− = −1的解是偶数，则符合条件的所有整数a的和为
6 2
（ ）
A．−12 B．−14 C．−20 D．−32
【思路点拨】
先用含a的式子表示出原方程的解，再根据解为偶数，可求得a的值，则符合条件的所有整数a的和可
求．
【解题过程】
3−ax x+3
解：x﹣ ＝ ﹣1，
6 2
6x﹣（3﹣ax）＝3（x+3）﹣6
6x﹣3+ax＝3x+9﹣6
6x+ax﹣3x＝9﹣6+3
（a+3）x＝6
6
x＝ ，
a+3
∵方程的解是偶数，
∴当a+3＝3，即a＝0时，x＝2；
当a+3＝1，即a＝﹣2时，x＝6；
当a+3＝﹣3，即a＝﹣6时，x＝﹣2；
当a+3＝﹣1，即a＝﹣4时，x＝﹣6；
则符合条件的所有整数a的和是0﹣2﹣6﹣4＝﹣12．
故选：A．
3x−5m x−m
9．若关于x的一元一次方程 − =19的解，比关于x的一元一次方程﹣2（3x﹣4m）＝1﹣5
2 3
（x﹣m）的解大15，则m＝（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【思路点拨】3x−5m x−m 114+13m
分别求出方程 − =19的解为x= ，方程−2(3x−4m)=1−5(x−m)的解为
2 3 7
114+13m
x=3m−1，然后根据题意得到 =3m−1+15，由此求解即可．
7
【解题过程】
3x−5m x−m
解： − =19
2 3
去分母得：3(3x−5m)−2(x−m)=114，
去括号得：9x−15m−2x+2m=114，
移项得：9x−2x=114+15m−2m，
合并得：7x=114+13m，
114+13m
系数化为1得：x= ；
7
−2(3x−4m)=1−5(x−m)
去括号得：−6x+8m=1−5x+5m，
移项得：−6x+5x=1+5m−8m，
合并得：−x=1−3m，
系数化为1得：x=3m−1；
3x−5m x−m
∵关于x的一元一次方程 − =19的解，比关于x的一元一次方程
2 3
−2(3x−4m)=1−5(x−m)的解大15，
114+13m
∴ =3m−1+15，
7
∴114+13m=21m+98，
解得m=2，
故选A．
10．如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点．点P沿O→A→O以每秒2个
单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过10秒）．若点P在运动
过程中，当PB＝2时，则运动时间t的值为（ ）
3 5 3 7 13 15
A． 秒或 秒 B． 秒或 秒或 秒或 秒
2 2 2 2 2 213 17 3 7 13 17
C．3秒或7秒或 秒或 秒 D． 秒或 秒或 秒或 秒
2 2 2 2 2 2
【思路点拨】
分0≤t≤5与5≤t≤10两种情况进行讨论，根据PB＝2列方程，求解即可．
【解题过程】
解：①当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t，
∵PB＝2，
∴|2t−5|＝2，
∴2t−5＝−2，或2t−5＝2，
3 7
解得t＝ 或t＝ ；
2 2
②当5≤t≤10时，动点P所表示的数是20−2t，
∵PB＝2，
∴|20−2t−5|＝2，
∴20−2t−5＝2，或20−2t−5＝−2，
13 17
解得t＝ 或t＝ ．
2 2
3 7 13 17
综上所述，运动时间t的值为 秒或 秒或 秒或 秒．
2 2 2 2
故选：D．
评卷人 得 分
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x-2＝0如果是一元一次方程，则其解为_____．
【思路点拨】
利用一元一次方程的定义判断即可．
【解题过程】
解：∵关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，
（1）当2m﹣1＝1，即m＝1，
即x﹣2＝0
解得：x＝2，
（2）当m=0时，−x−2＝0，解得：x=−2
1
（3）当2m-1=0，即m= 时，
2
1 1
方程为 − x−2=0
2 2
解得：x=-3，
故答案为x=2或x=-2或x=-3．
2kx+m x−nk
12．若关于x的方程 = +2，无论k为任何数时，它的解总是x=1，那么m+n=_______．
3 6
【思路点拨】
先将x=1代入原方程得，根据无论k为任何数时(4+n)k=13−2m恒成立，可得k的系数为0，由此即可
求出答案．
【解题过程】
2kx+m x−nk
解：将x=1代入 = +2，
3 6
2k+m 1−nk
∴ = +2，
3 6
∴(4+n)k=13−2m，
由题意可知：无论k为任何数时(4+n)k=13−2m恒成立，
∴n+4=0，
13
∴n=−4，m= ，
2
5
∴m+n= ，
2
5
故答案为：
2
13．对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的
−1+2+3 4
数．例如：M{－1，2，3}＝ = ，min{－1，2，3}＝－1，如果M{3，2x＋1，4x－1}＝min{2，
3 3
－x＋3，5x}，那么x＝_______.
【思路点拨】
根据题中的运算规则得到M{3，2x＋1，4x－1}=1+2x，然后再根据min{2，－x＋3，5x}的规则分情况讨论
即可得.【解题过程】
3+2x+1+4x−1
解：M{3，2x＋1，4x－1}= =2x+1，
3
∵M{3，2x＋1，4x－1}＝min{2，－x＋3，5x}，
∴有如下三种情况：
1 5 5
①2x+1=2，x= ，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2， ， }=2，成立；
2 2 2
2 7 10
②2x+1=-x+3，x= ，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2， ， }=2，不成立；
3 3 3
1 8 5 5
③2x+1=5x，x= ，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2， ， }= ，成立，
3 3 3 3
1 1
∴x= 或 ，
2 3
1 1
故答案为 或 .
2 3
14．甲乙两地相距180km，一列慢车以40km/h的速度从甲地匀速驶往乙地，慢车出发30分钟后，一列快
车以60km/h的速度从甲地匀速驶往乙地．两车相继到达终点乙地，在整个过程中，两车恰好相距10km的
次数是____________次．
【思路点拨】
利用时间=路程÷速度，可求出快车未出发且两车相距10km的时间，设快车出发x小时时，两车相距
10km，分快车未超过慢车时、快车超过慢车10km时及快车到达乙地后三种情况，根据路程=速度×时间结
合两车之间相距10km，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，进而可得出结论．
【解题过程】
1
解：∵10÷40= h，
4
1
∴快车未出发，慢车出发 小时时，两车相距10km；
4
设快车出发x小时时，两车相距10km．
30
快车未超过慢车时，40（x+ ）-10=60x，
60
1
解得：x= （h）；
2
30
快车超过慢车10km时，40（x+ ）+10=60x，
603
解得：x= （h）；
2
30
快车到达乙地后，40（x+ ）=180-10，
60
15
解得：x= （h）．
4
∴两车恰好相距10km的次数是4．
故答案为：4．
15．如图，长方形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，点E是CD的中点，动点P从A点出发，以每秒1cm
的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，那么当x=_____________秒
时，ΔAPE的面积等于5cm2．
【思路点拨】
设AP＝x，分为三种情况讨论，如图1，当点P在AB上，即0＜x≤4时，根据三角形的面积公式建立方程
求出其解即可；如图2，当点P在BC上，即4＜x≤7时，由S APE＝S ABCE－S PAB－S PCE建立方
△ 四边形 △ △
1
程求出其解即可；如图3，当点P在EC上，即7＜x≤11时，由S APE＝ PE·BC＝5建立方程求出其解即
△ 2
可．
【解题过程】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=3，AB=CD=4
如图1，当点P在AB上，即0<x≤4时，
1
∴S APE= AP·BC=5，
△ 23
整理得： x=5
2
10
解得：x=
3
如图2，当点P在BC上，即4<x≤7时，
∵E是DC的中点，
∴DE＝CE＝2．
∵BP＝x−4，CP＝7－x，
1 1 1
∴S APE＝S ABCE－S PAB－S PCE＝ ×(2+4)×3− ×4×(x−4)− ×2×(7−x)=5
△ 四边形 △ △ 2 2 2
解得：x=5；
当点P在EC上，即7<x≤11时，
PE＝9−x
1 1
∴S APE= PE·BC= (9−x)×3=5，
△ 2 2
17
解得：x= ＜7(舍去）
3
10
综上所述，当x= 或5时，ΔAPE的面积等于5cm2
3
10
故答案为： 或5
3
评卷人 得 分三．解答题（本大题共8小题，满分55分）
16．解下列方程：
11 2 2 5
(1) x+ = x- ；
9 7 9 7
(2)278(x－3)－463(6－2x)－888(7x－21)＝0；
3 2 x
(3) [ ( -1)-2]-x=2；
2 3 4
1 1 1
(4)x- [x- (x-9)]= (x-9)．
3 3 9
【思路点拨】
（1）将方程移项合并同类项，即可求出解；
（2）把x-3当作一个整体，先合并后再解方程即可；
（3）先去中括号，再解方程即可；
（4）把x-9当作一个整体，先合并后再解方程即可.
【解题过程】
11 2 2 5
(1) x＋ ＝ x- ；
9 7 9 7
11 2 5 2
解： x－ x＝－ － ，
9 9 7 7
x＝－1.
(2)278(x－3)－463(6－2x)－888(7x－21)＝0；
解：278(x－3)＋463×2(x－3)－888×7(x－3)＝0，
(278＋463×2－888×7)(x－3)＝0，
x＝3.
3 2 x
(3) [ ( -1)-2]-x=2
2 3 4
x
解： －1－3－x＝2，
4
x＝－8.
1 1 1
(4)x－ [x－ (x－9)]＝ (x－9)．
3 3 9
1 1 1
解：x－ x＋ (x－9)＝ (x－9)，
3 9 92
x＝0，
3
x＝0.
0.1x+0.03 0.2x−0.03 3
17．解方程，（1） − + =0
0.2 0.3 4
2014−x 2016−x 2018−x 2020−x
（2） + = +
2013 2015 2017 2019
【思路点拨】
（1）首先把分子和分母中的小数化为整数，然后按照去分母、去括号、合并同类项、移项、系数化为1的
步骤解方程即可；
1−x 1−x 1−x 1−x
（2）先变形为1+ +1+ =1+ +1+ ，再整理得
2013 2015 2017 2019
1 1 1 1
(1−x)( + − − )=0，即可解.
2013 2015 2017 2019
【解题过程】
0.1x+0.03 0.2x−0.03 3 10x+3 20x−3 3
解：（1）方程 − + =0变形为 − + =0，
0.2 0.3 4 20 30 4
去分母得3(10x+3)−2(20x−3)+45=0，
去括号合并同类项得-10x+60=0,
移项得-10x=-60,
系数化为1得x=6.
2014−x 2016−x 2018−x 2020−x 1−x 1−x 1−x 1−x
（2）方程 + = + 变形为1+ +1+ =1+ +1+ ，
2013 2015 2017 2019 2013 2015 2017 2019
1−x 1−x 1−x 1−x
∴ + − − =0
2013 2015 2017 2019
1 1 1 1
∴(1−x)( + − − )=0
2013 2015 2017 2019
∴1−x=0，
∴x=1.
18．已知关于x的方程（|k|﹣3）x2﹣（k﹣3）x+2m+1＝0是一元一次方程．
（1）求k的值；
（2）若已知方程与方程3x﹣2＝4﹣5x+2x的解互为相反数，求m的值．
【思路点拨】（1）根据一元一次方程的定义即可得到¿，由此求解即可；
（2）先求出方程3x−2=4−5x+2x的解为x=1，再根据相反数的定义即可得到方程
(|k|−3)x2−(k−3)x+2m+1=0的解为x=−1，由此进行求解即可．
【解题过程】
解：（1）∵关于x的方程(|k|−3)x2−(k−3)x+2m+1=0是一元一次方程，
∴¿，
∴k=−3；
（2）∵3x−2=4−5x+2x，
∴3x+5x−2x=4+2即6x=6，
解得x=1，
∴方程3x−2=4−5x+2x的解为x=1，
∵方程(|k|−3)x2−(k−3)x+2m+1=0即6x+2m+1=0的解与方程3x−2=4−5x+2x的解互为相反
数，
∴方程(|k|−3)x2−(k−3)x+2m+1=0的解为x=−1，
∴6×(−1)+2m+1=0，
5
∴m= ．
2
19．定义：对于一个有理数x，我们把[x]称作x的对称数.
若x≥0，则[x]=x-2:若x<0，则[x]=x+2.例：[1]=1-2=-1，[-2]=-2+2=0
3
（1）求[ ]，[-1]的值；
2
（2）已知有理数a>0.b<0，且满足[a]=[b]，试求代数式(b−a）3−2a+2b的值：
（3）解方程：[2x]+[x+1]=1
【思路点拨】
（1）利用题中新定义计算即可得到结果
（2）根据已知条件及新定义计算得到a−b=4，对原式化简整理再整体代入计算即可；
（3）分三种情况讨论：x<−1；−1≤x<0；x≥0
【解题过程】3 (3 ) 1 1
解：（1）[ ][-1]= −2 ×(−1+2)=− ×1=− ；
2 2 2 2
（2）∵a>0.b<0，且满足[a]=[b]，
∴a−2=b+2，即：a−b=4
∴(b−a）3−2a+2b
=−(a−b) 3−2(a−b)
=−43−2×4
=−72；
（3）当x<−1时：[2x]+[x+1]=2x+2+x+1+2=3x+5=1
4 4
∴x=− <−1，符合题意，∴x=−
3 3
当−1≤x<0时：[2x]+[x+1]=2x+2+x+1−2=3x+1=1
∴x=0，不在−1≤x<0之中，不符合题意，舍去；
当x≥0时：[2x]+[x+1]=2x−2+x+1−2=3x−3=1
4 4
∴x= >0，符合题意，∴x=
3 3
4 4
综上方程的解是：x=− 或x=
.
3 3
20．下表是中国移动两种“4G套餐”计费方式（月租费固定收，主叫不超过主叫时间，流量不超上网流
量不再收费，主叫超时和上网超流量部分加收超时费和超流量费）
主叫通
月租费 话 上网流量 主叫超时部分 超出流量部分
接听
（元） （分 （G） （元/分钟） （元/G）
钟）
方式一 38 200 3 免费 0.15 10
方式二 60 300 5 免费 0.10 8
（1）若某月小张主叫通话时间为260分钟，上网流量为4G，则他按方式一计费需________元，按方式二
计费需_______元；
（2）若某月小张按方式二计费需78元，主叫通话时间为320分钟，则小张该月上网流量为多少G？
（3）若某月小张上网流量为4G，是否存在某主叫通话时间t（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若
存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】
（1）根据表中数据分别计算两种计费方式，求解即可；
（2）由题意可知上网流量超过5G，设小张该月上网流量为xG，根据题意列方程得：
60+0.1×(320−300)+8(x−5)=78，解出即可；
（3）分三种情况：当0≤t≤200时，38+(4−3)×10=48≠60；当200<t≤300时，可得
38+(4−3)×10+0．15×(t−200)=60，当t>300时，可得
38+(4−3)×10+0.15×(t−200)=60+0.1×(t−300)，解出判断即可．
【解题过程】
.解：（1）方式一：
38+0.15（260﹣200）+10（4﹣3）
＝38+0.15×60+10×1
＝38+9+10
=57．
方式二：
∵没有超出套餐
∴方式二：60
故答案为：57；60．
（2）∵60+0.1×(320−300)=62<78，
∴该月上网流量超过5G．
设小张该月上网流量为xG，根据题意列方程得：
60+0.1×(320−300)+8(x−5)=78
解得：x=7
答：小张该月上网流量为7G．
（3）当0≤t≤200时，
38+(4−3)×10=48≠60，
∴不存在；
当200<t≤300时，
38+(4−3)×10+0.15×(t−200)=60，
解得：t=280；
当t>300时，
38+(4−3)×10+0.15×(t−200)=60+0.1×(t−300)解得：t=240<300，舍．
综上所述，当上网流量为4G，主叫通话时间为280分钟时，两种计费方式相同．
21．某超市的平时购物与国庆购物对顾客实行优惠规定如下：
平时购物 国庆购物 实际付款
第一档 不超过200元的部分 不超过200元的部分 原价
第二档 超过200元但不超过800元的部分 超过200元但不超过500元的部分 九折
第三档 超过800元的部分 超过500元的部分 八折
例如：某人在平时一次性购物600元，则实际付款为：200＋（600－200）×0.9＝560（元）
(1)若王阿姨在国庆期间一次性购物600元，他实际付款______元．
(2)若王阿姨在国庆期间实际付款380元．那么王阿姨一次性购物____元；
(3)王阿姨在平时和国庆先后两次购买了相同价格的货物，两次一共付款1314元，求王阿姨这两次每次购
买的货物的原价多少元？
【思路点拨】
（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出王阿姨实际付款多少；
（2）根据题意，可以先判断购买的货物是否超过，然后列出相应的方程，再求解即可；
（3）根据题意，利用分类讨论的方法列出相应的方程，然后求解即可．
【解题过程】
(1)解：200+(500−200)×0.9+(600−500)×0.8=550；
(2)解：设王阿姨一次购物x元，若x=500时，王阿姨实际付款应为：200+(500−200)×0.8=440
（元），
∵440>380>200，
∴200<x<500，
∴列方程：200+(x−200)×0.9=380，
解得：x=400；
∴王阿姨这两次每次购买的货物的原价400元；
(3)解：设这两次每次购物的货物原价为x元，
①当x≤200时，2x≤400，不符合题意；
②当200<x≤500时，可列方程为：
200+(x−200)×0.9+(x−200)×0.9=1314，
7370
解得：x= ，
97370
>500，不符合题意；
9
③当500<x≤800时，可列方程
200+(x−200)×0.9+200+(500−200)×0.9+(x−500)×0.8=1314，
解得：x=720，
500<720<800，符合题意；
④当x>800时，可列方程
200+(800−200)×0.9+(x−800)×0.8+200+(500−200)×0.9+(x−500)×0.8 =1314，
解得：x=715，
715<800，不符合题意，
综上述x=720．
答：王阿姨这两次每次购买的货物的原价720元．
22．如图，甲、乙两个长方体容器放置在同一水平桌面上，容器甲的底面积为80dm2，高为6dm；容器乙
的底面积为40dm2，高为9dm.容器甲中盛满水，容器乙中没有水，容器乙的最下方装有一只处在关闭状态
的水龙头．现从容器甲向容器乙匀速注水，每分钟注水20dm3．
(1)容器甲中水位的高度每分钟下降__________dm，容器乙中水位的高度每分钟上升__________dm；
(2)当容器乙注满水时，求此时容器甲中水位的高度；
(3)在容器乙注满水的同时，打开水龙头开始放水，水龙头每分钟放水60dm3.从容器甲开始注水起，经过多
长时间，两个容器中水位的高度相差4dm？
【思路点拨】
（1）根据：每分钟的注水量÷容器的底面积，即可求得两容器中水位每分钟下降和上升的高度；
（2）两容器中容积的差便是容器甲中剩余的水，根据体积÷底面积，即可求得此时容器甲中水位的高度；
（3）分三种情况考虑：在容器乙未注满水时，容器甲的水位比容器乙的水位高4dm；在容器乙未注满水
时，容器乙的水位比容器甲的水位高4dm；在容器乙注满水时，容器乙的水位比容器甲的水位高4dm；根据等量关系：两容器高度差=4，列出方程解决．
【解题过程】
解：（1）容器甲中水位的高度每分钟下降：20÷80=0.25(dm)；
容器乙中水位的高度每分钟下降：20÷40=0.5(dm)．
故答案为：0.25，0.5
（2）两容器的体积差为：80×6−40×9=120(dm3)
当容器乙注满水时，容器甲中水位的高度为：120÷80=1.5(dm)
（3）①在容器乙未注满水时，设开始注水x分钟，容器甲的水位比容器乙的水位高4dm，
由题意得：(6−0.25x)−0.5x=4
8
解得：x=
3
8
即开始注水 分钟，容器甲的水位比容器乙的水位高4dm；
3
②在容器乙未注满水时，设开始注水y分钟，容器乙的水位比容器甲的水位高4dm
由题意得：0.5y−(6−0.25y)=4
40
解得：y=
3
40
即开始注水 分钟，容器乙的水位比容器甲的水位高4dm；
3
③在容器乙注满水时，设开始注水z分钟，容器乙的水位比容器甲的水位高4dm
60−20 ( 40×9)
由题意得：9− × z− −(6−0.25z)=4
40 20
68
解得：z=
3
68
即开始注水 分钟，容器乙的水位比容器甲的水位高4dm．
3
8 40 68
综上所述，从容器甲开始注水开始，经过 分钟或 分钟或 分钟，两个容器中水位的高度相差4dm．
3 3 3
23．如图，A在数轴上所对应的数为−2．
（1）点B与点A相距4个单位长度，则点B所对应的数为______．
（2）在（1）的条件下，如图1，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数
轴向右运动，当点A运动到−6所在的点处时，求A，B两点间距离．
（3）如图2，若点B对应的数是10，现有点P从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点Q从点B出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒．在运动过程中，P到B的距离、
B到Q的距离以及P到Q的距离中，是否会有某两段距离相等的时候？若有，请求出此时t的值；若没有，
请说明理由．
图1
图2
【思路点拨】
（1）设B点表示的数为x，根据两点距离公式列出方程解答便可；
（2）先求出运动后两点表示的数，再根据距离公式求得结果；
（3）根据题意用t的代数式表示PB，BQ，PQ，再分三种情况（PB=BQ，PB=PQ，BQ=PQ）列出方程求
解，若存在解，则有相等情况，若无解则不存在相等情况．
【解题过程】
解：（1）点B在点A左侧时，
B为：−2−4=−6
点B在点A右侧时，
B为：−2+4=2，
综上所述，点B对应的数为−6或2．
（2）①当B对应的数为−6时，
A：−2−(−6)=4个单位，4÷2=2（秒），
B：−6+2×2=−2，
∴AB=−2−(−6)=4；
②当B对应的数为2时，
A：−2−(−6)=4个单位，4÷2=2（秒），
B：2+2×2=6
AB=6−(−6)=12
综上所述，A，B两点之间的距离为4或12．
（3）在运动过程中，会有两段距离相等的时候，
由题可知：P点表示的数为−2+4t，
Q点表示的数为10+t∴AP=4t
BQ=t，
PQ=|10+t+2−4t|=|12−3t|
PB=|12−4t|
分三种情况：
①当PB=BQ时，
B为PQ中点或P与Q重合，
若B为PQ中点，如图1
图1
则AB−AP=BQ
即12−4t=t
解得t=2.4，
若P与Q重合，
如图2，
图2
则AP−AB=BQ，
即4t−12=t，
解得t=4．
②当PB=PQ时，
P为BQ中点或B，Q重合，
若P为BQ中点，如图3，
图3
则BQ=2(AP−AB)，
即t=2(4t−12)24
解得t=
7
若B，Q重合，则t=0（不合题意）
③当BQ=PQ时，
Q为BP中点或B，P重合
若Q为BP中点，如图4
图4
则AP−AB=2BQ，
即4t−12=2t，
解得t=6
若B，P重合，
则AP=AB，
即4t=12
解得t=3．
24
综上所述，当t=2.4或4或 或6或3时，线段PB，PQ，BQ中存在两条线段相等．
7
24．如图，AB和CD是数轴上的两条线段，线段AB的长度为1个单位长度，线段CD的长度为2个单位长
度，B，C之间的距离为6个单位长度且与原点的距离相等．分别以AB，CD为边作正方形ABEF，正方形
CDGH．
(1)直接写出：B表示的数为______，D表示的数为______；
(2)P，Q是数轴上的动点，点P从B出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动，点Q从C出发，向B运
动，P，Q相遇后均立即以每秒比之前多1个单位长度的速度返回，分别到达B，C点后立即返回，第二次
相遇时P，Q两点同时停止运动．已知第一次相遇时，点P到点C的距离比点P到点B的距离多两个单位
长度，求P，Q第二次相遇时，点P所表示的数．
(3)将AB和CD较近的两个端点之间的距离叫做正方形ABEF和正方形CDGH之间的最小距离，将AB和CD较远的两个端点之间的距离叫做正方形ABEF和正方形CDGH之间的最大距离．例如图中正方形ABEF
和正方形CDGH之间的最小距离即B，C之间的距离，最大距离即A，D之间的距离．若正方形ABEF以
每秒1个单位长度的速度向数轴的正方向运动，正方形CDGH以每秒2个单位长度的速度向数轴的负方向
运动．设运动时间为t秒，当这两个正方形之间的最大距离是最小距离的两倍时，请直接写出t的值．
【思路点拨】
（1）求得OB=OC=3，根据数轴上点的位置关系，即可求解；
（2）先求得第一次相遇时点P所表示的数，所用时间，Q的速度；再设第二次相遇时，点P所表示的数为
y，根据题意列方程求解即可；
（3）设运动时间为t秒，则点B、点A、点C、点D所表示的数分别为t-3、、t-4、3-2t、5-2t，再画出图
形，利用两点之间的距离公式列出方程，解方程即可求解．
【解题过程】
1
（1）解：根据题意，OB=OC= BC=3，
2
∴B表示的数为−3，C表示的数为3，
∵线段CD的长度为2个单位长度，
∴D表示的数为5，
故答案为：−3，5；
（2）解：设第一次相遇时，点P所表示的数为x，则BP=x+3，CP=3-x，
根据题意得：3-x=2(x+3)，
解得：x=-1，
此时点P所表示的数为-1，
P所走的路程为-1+3=2(个单位)，时间为2÷1=2(秒)，
Q所走的路程为1+3=4，则Q的速度为4÷2=2(个单位/秒)，
设第二次相遇时，点P所表示的数为y，则BP=y+3，CP=3-y，
P所走的路程为y+3+(-1+3)= y+5，Q所走的路程为3-y +(1+3)= 7-y，
P的速度为1+1=2(个单位/秒)，Q的速度为2+1=3(个单位/秒)，
y+5 7− y
根据题意得： = ，
2 3
1
解得：y=− ，
5
1
此时点P所表示的数为− ；
5（3）解：设运动时间为t秒，则点B所表示的数为t-3，点A所表示的数为t-4，点C所表示的数为3-
2t，点D所表示的数为5-2t，
①当两个正方形相遇前，
最小距离CB=3-2t- (t-3)=6-3t，最大距离DA=5-2t- (t-4)=9-3t，
根据题意得：9-3t=2(6-3t)，
解得：t=1；
②当点B在CD之间时，
最小距离BC= t-3- (3-2t)=3t-6，最大距离DA=5-2t- (t-4)=9-3t，
根据题意得：9-3t=2(3t-6)，
7
解得：t= ；
3
1
③当点A、B都在CD之间时，此时AC=BD= ，
2
1
根据题意得：t-4- (3-2t)= ，
2
5
解得：t= ；
2
④当点A在CD之间时，最小距离DA=5-2t- (t-4)=9-3t，最大距离BC= t-3- (3-2t)=3t-6，
根据题意得：3t-6=2(9-3t)，
8
解得：t= ；
3
⑤当两个正方形相遇离开后，
最小距离AD= t-4- (5-2t)=3t-9，最大距离BC= t-3- (3-2t)=3t-6，
根据题意得：3t-6=2(3t-9)，
解得：t=4；
7 5 8
综上，t的值为1秒或 秒或 秒或 秒或4秒．
3 2 3
