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专题 3.5 一元一次方程（满分 100）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列各式中：
3
①由3x＝﹣4系数化为1得x＝﹣ ；
4
②由5＝2﹣x移项得x＝5﹣2；
2x−1 x−3
③由 =1+ 去分母得2（2x﹣1）＝1+3（x﹣3）；
3 2
④由2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）＝1去括号得4x﹣2﹣3x﹣9＝1．
其中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
根据解一元一次方程的去分母、去括号、移项及系数化1的方法依次判断后即可解答.
【解题过程】
4
①由3x=﹣4系数化为1得x=﹣ ，可知①错误；
3
②由5=2﹣x移项得x=2﹣5，可知②错误；
2x−1 x−3
③由 =1+ 去分母得2（2x﹣1）=6+3（x﹣3），可知③错误；
3 2
④由2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）=1去括号得4x﹣2﹣3x+9=1，可知④错误．
综上，正确的结论有0个，故选A.
2．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？
译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车
可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ）
x+2 x x x−9 x x+9 x−2 x
A． = −9 B． +2= C． −2= D． = +9
3 2 3 2 3 2 3 2【思路点拨】
设有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解题过程】
解：设有x人，根据车的辆数不变列出等量关系，
x
每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为： +2，
3
x−9
每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则车辆数为： ，
2
x x−9
∴列出方程为： +2= ．
3 2
故选：B．
2x−1 x+a
3．解方程 = −1时，小刚在去分母的过程中，右边的“-1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解
3 2
为x=2，则方程正确的解是（ ）
1 1
A．x=−3 B．x=−2 C．x= D．x=−
3 3
【思路点拨】
先按此方法去分母，再将x=-2代入方程，求得a的值，然后把a的值代入原方程并解方程．
【解题过程】
解：把x=2代入方程2（2x-1）=3（x+a）-1中得：6=6+3a-1，
1
解得：a= ，
3
1
正确去分母结果为2（2x-1）=3（x+ ）-6，
3
去括号得：4x-2=3x+1-6，
解得：x=-3．
故选：A
4．今年某月的月历上圈出了相邻的三个数a、b、c，并求出了它们的和为39，这三个数在月历中的排布不
可能是（ ）
A． B． C． D．【思路点拨】
日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1根据题意可列方程求解.
【解题过程】
解：A、b=a+7，c=b+7=a+14，
∵a+b+c=39,
∴a+a+7+a+14=39，解得a=6；
B、b=a+1+7=a+8，c=b+1+7=a+16，
∵a+b+c=39,
∴a+a+8+a+16=39，解得a=5；
C、b=a-1+7=a+6，c=b+1=a+7，
∵a+b+c=39,
26
∴a+a+6+a+7=39，解得a= ；
3
D、b=a+7，c=b+1=a+8，
∵a+b+c=39,
∴a+a+7+a+8=39，解得a=8.
由题可知，a、b、c均为整数，
所以本题选择C.
| 2| | 4|
5．满足方程 x+ + x− =2的整数x有（ ）个
3 3
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【思路点拨】
4 2 2 4
分类讨论：x≥ ，x≤− ，− 0.b<0，且满足[a]=[b]，试求代数式(b−a）3−2a+2b的值：
（3）解方程：[2x]+[x+1]=1
【思路点拨】
（1）利用题中新定义计算即可得到结果
（2）根据已知条件及新定义计算得到a−b=4，对原式化简整理再整体代入计算即可；
（3）分三种情况讨论：x<−1；−1≤x<0；x≥0
【解题过程】3 (3 ) 1 1
解：（1）[ ][-1]= −2 ×(−1+2)=− ×1=− ；
2 2 2 2
（2）∵a>0.b<0，且满足[a]=[b]，
∴a−2=b+2，即：a−b=4
∴(b−a）3−2a+2b
=−(a−b) 3−2(a−b)
=−43−2×4
=−72；
（3）当x<−1时：[2x]+[x+1]=2x+2+x+1+2=3x+5=1
4 4
∴x=− <−1，符合题意，∴x=−
3 3
当−1≤x<0时：[2x]+[x+1]=2x+2+x+1−2=3x+1=1
∴x=0，不在−1≤x<0之中，不符合题意，舍去；
当x≥0时：[2x]+[x+1]=2x−2+x+1−2=3x−3=1
4 4
∴x= >0，符合题意，∴x=
3 3
4 4
综上方程的解是：x=− 或x=
.
3 3
20．下表是中国移动两种“4G套餐”计费方式（月租费固定收，主叫不超过主叫时间，流量不超上网流
量不再收费，主叫超时和上网超流量部分加收超时费和超流量费）
主叫通
月租费 话 上网流量 主叫超时部分 超出流量部分
接听
（元） （分 （G） （元/分钟） （元/G）
钟）
方式一 38 200 3 免费 0.15 10
方式二 60 300 5 免费 0.10 8
（1）若某月小张主叫通话时间为260分钟，上网流量为4G，则他按方式一计费需________元，按方式二
计费需_______元；
（2）若某月小张按方式二计费需78元，主叫通话时间为320分钟，则小张该月上网流量为多少G？
（3）若某月小张上网流量为4G，是否存在某主叫通话时间t（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若
存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】
（1）根据表中数据分别计算两种计费方式，求解即可；
（2）由题意可知上网流量超过5G，设小张该月上网流量为xG，根据题意列方程得：
60+0.1×(320−300)+8(x−5)=78，解出即可；
（3）分三种情况：当0≤t≤200时，38+(4−3)×10=48≠60；当200300时，可得
38+(4−3)×10+0.15×(t−200)=60+0.1×(t−300)，解出判断即可．
【解题过程】
.解：（1）方式一：
38+0.15（260﹣200）+10（4﹣3）
＝38+0.15×60+10×1
＝38+9+10
=57．
方式二：
∵没有超出套餐
∴方式二：60
故答案为：57；60．
（2）∵60+0.1×(320−300)=62<78，
∴该月上网流量超过5G．
设小张该月上网流量为xG，根据题意列方程得：
60+0.1×(320−300)+8(x−5)=78
解得：x=7
答：小张该月上网流量为7G．
（3）当0≤t≤200时，
38+(4−3)×10=48≠60，
∴不存在；
当200300时，
38+(4−3)×10+0.15×(t−200)=60+0.1×(t−300)解得：t=240<300，舍．
综上所述，当上网流量为4G，主叫通话时间为280分钟时，两种计费方式相同．
21．某超市的平时购物与国庆购物对顾客实行优惠规定如下：
平时购物 国庆购物 实际付款
第一档 不超过200元的部分 不超过200元的部分 原价
第二档 超过200元但不超过800元的部分 超过200元但不超过500元的部分 九折
第三档 超过800元的部分 超过500元的部分 八折
例如：某人在平时一次性购物600元，则实际付款为：200＋（600－200）×0.9＝560（元）
(1)若王阿姨在国庆期间一次性购物600元，他实际付款______元．
(2)若王阿姨在国庆期间实际付款380元．那么王阿姨一次性购物____元；
(3)王阿姨在平时和国庆先后两次购买了相同价格的货物，两次一共付款1314元，求王阿姨这两次每次购
买的货物的原价多少元？
【思路点拨】
（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出王阿姨实际付款多少；
（2）根据题意，可以先判断购买的货物是否超过，然后列出相应的方程，再求解即可；
（3）根据题意，利用分类讨论的方法列出相应的方程，然后求解即可．
【解题过程】
(1)解：200+(500−200)×0.9+(600−500)×0.8=550；
(2)解：设王阿姨一次购物x元，若x=500时，王阿姨实际付款应为：200+(500−200)×0.8=440
（元），
∵440>380>200，
∴200500，不符合题意；
9
③当500800时，可列方程
200+(800−200)×0.9+(x−800)×0.8+200+(500−200)×0.9+(x−500)×0.8 =1314，
解得：x=715，
715<800，不符合题意，
综上述x=720．
答：王阿姨这两次每次购买的货物的原价720元．
22．如图，甲、乙两个长方体容器放置在同一水平桌面上，容器甲的底面积为80dm2，高为6dm；容器乙
的底面积为40dm2，高为9dm.容器甲中盛满水，容器乙中没有水，容器乙的最下方装有一只处在关闭状态
的水龙头．现从容器甲向容器乙匀速注水，每分钟注水20dm3．
(1)容器甲中水位的高度每分钟下降__________dm，容器乙中水位的高度每分钟上升__________dm；
(2)当容器乙注满水时，求此时容器甲中水位的高度；
(3)在容器乙注满水的同时，打开水龙头开始放水，水龙头每分钟放水60dm3.从容器甲开始注水起，经过多
长时间，两个容器中水位的高度相差4dm？
【思路点拨】
（1）根据：每分钟的注水量÷容器的底面积，即可求得两容器中水位每分钟下降和上升的高度；
（2）两容器中容积的差便是容器甲中剩余的水，根据体积÷底面积，即可求得此时容器甲中水位的高度；
（3）分三种情况考虑：在容器乙未注满水时，容器甲的水位比容器乙的水位高4dm；在容器乙未注满水
时，容器乙的水位比容器甲的水位高4dm；在容器乙注满水时，容器乙的水位比容器甲的水位高4dm；根据等量关系：两容器高度差=4，列出方程解决．
【解题过程】
解：（1）容器甲中水位的高度每分钟下降：20÷80=0.25(dm)；
容器乙中水位的高度每分钟下降：20÷40=0.5(dm)．
故答案为：0.25，0.5
（2）两容器的体积差为：80×6−40×9=120(dm3)
当容器乙注满水时，容器甲中水位的高度为：120÷80=1.5(dm)
（3）①在容器乙未注满水时，设开始注水x分钟，容器甲的水位比容器乙的水位高4dm，
由题意得：(6−0.25x)−0.5x=4
8
解得：x=
3
8
即开始注水 分钟，容器甲的水位比容器乙的水位高4dm；
3
②在容器乙未注满水时，设开始注水y分钟，容器乙的水位比容器甲的水位高4dm
由题意得：0.5y−(6−0.25y)=4
40
解得：y=
3
40
即开始注水 分钟，容器乙的水位比容器甲的水位高4dm；
3
③在容器乙注满水时，设开始注水z分钟，容器乙的水位比容器甲的水位高4dm
60−20 ( 40×9)
由题意得：9− × z− −(6−0.25z)=4
40 20
68
解得：z=
3
68
即开始注水 分钟，容器乙的水位比容器甲的水位高4dm．
3
8 40 68
综上所述，从容器甲开始注水开始，经过 分钟或 分钟或 分钟，两个容器中水位的高度相差4dm．
3 3 3
23．如图，A在数轴上所对应的数为−2．
（1）点B与点A相距4个单位长度，则点B所对应的数为______．
（2）在（1）的条件下，如图1，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数
轴向右运动，当点A运动到−6所在的点处时，求A，B两点间距离．
（3）如图2，若点B对应的数是10，现有点P从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点Q从点B出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒．在运动过程中，P到B的距离、
B到Q的距离以及P到Q的距离中，是否会有某两段距离相等的时候？若有，请求出此时t的值；若没有，
请说明理由．
图1
图2
【思路点拨】
（1）设B点表示的数为x，根据两点距离公式列出方程解答便可；
（2）先求出运动后两点表示的数，再根据距离公式求得结果；
（3）根据题意用t的代数式表示PB，BQ，PQ，再分三种情况（PB=BQ，PB=PQ，BQ=PQ）列出方程求
解，若存在解，则有相等情况，若无解则不存在相等情况．
【解题过程】
解：（1）点B在点A左侧时，
B为：−2−4=−6
点B在点A右侧时，
B为：−2+4=2，
综上所述，点B对应的数为−6或2．
（2）①当B对应的数为−6时，
A：−2−(−6)=4个单位，4÷2=2（秒），
B：−6+2×2=−2，
∴AB=−2−(−6)=4；
②当B对应的数为2时，
A：−2−(−6)=4个单位，4÷2=2（秒），
B：2+2×2=6
AB=6−(−6)=12
综上所述，A，B两点之间的距离为4或12．
（3）在运动过程中，会有两段距离相等的时候，
由题可知：P点表示的数为−2+4t，
Q点表示的数为10+t∴AP=4t
BQ=t，
PQ=|10+t+2−4t|=|12−3t|
PB=|12−4t|
分三种情况：
①当PB=BQ时，
B为PQ中点或P与Q重合，
若B为PQ中点，如图1
图1
则AB−AP=BQ
即12−4t=t
解得t=2.4，
若P与Q重合，
如图2，
图2
则AP−AB=BQ，
即4t−12=t，
解得t=4．
②当PB=PQ时，
P为BQ中点或B，Q重合，
若P为BQ中点，如图3，
图3
则BQ=2(AP−AB)，
即t=2(4t−12)24
解得t=
7
若B，Q重合，则t=0（不合题意）
③当BQ=PQ时，
Q为BP中点或B，P重合
若Q为BP中点，如图4
图4
则AP−AB=2BQ，
即4t−12=2t，
解得t=6
若B，P重合，
则AP=AB，
即4t=12
解得t=3．
24
综上所述，当t=2.4或4或 或6或3时，线段PB，PQ，BQ中存在两条线段相等．
7
24．如图，AB和CD是数轴上的两条线段，线段AB的长度为1个单位长度，线段CD的长度为2个单位长
度，B，C之间的距离为6个单位长度且与原点的距离相等．分别以AB，CD为边作正方形ABEF，正方形
CDGH．
(1)直接写出：B表示的数为______，D表示的数为______；
(2)P，Q是数轴上的动点，点P从B出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动，点Q从C出发，向B运
动，P，Q相遇后均立即以每秒比之前多1个单位长度的速度返回，分别到达B，C点后立即返回，第二次
相遇时P，Q两点同时停止运动．已知第一次相遇时，点P到点C的距离比点P到点B的距离多两个单位
长度，求P，Q第二次相遇时，点P所表示的数．
(3)将AB和CD较近的两个端点之间的距离叫做正方形ABEF和正方形CDGH之间的最小距离，将AB和CD较远的两个端点之间的距离叫做正方形ABEF和正方形CDGH之间的最大距离．例如图中正方形ABEF
和正方形CDGH之间的最小距离即B，C之间的距离，最大距离即A，D之间的距离．若正方形ABEF以
每秒1个单位长度的速度向数轴的正方向运动，正方形CDGH以每秒2个单位长度的速度向数轴的负方向
运动．设运动时间为t秒，当这两个正方形之间的最大距离是最小距离的两倍时，请直接写出t的值．
【思路点拨】
（1）求得OB=OC=3，根据数轴上点的位置关系，即可求解；
（2）先求得第一次相遇时点P所表示的数，所用时间，Q的速度；再设第二次相遇时，点P所表示的数为
y，根据题意列方程求解即可；
（3）设运动时间为t秒，则点B、点A、点C、点D所表示的数分别为t-3、、t-4、3-2t、5-2t，再画出图
形，利用两点之间的距离公式列出方程，解方程即可求解．
【解题过程】
1
（1）解：根据题意，OB=OC= BC=3，
2
∴B表示的数为−3，C表示的数为3，
∵线段CD的长度为2个单位长度，
∴D表示的数为5，
故答案为：−3，5；
（2）解：设第一次相遇时，点P所表示的数为x，则BP=x+3，CP=3-x，
根据题意得：3-x=2(x+3)，
解得：x=-1，
此时点P所表示的数为-1，
P所走的路程为-1+3=2(个单位)，时间为2÷1=2(秒)，
Q所走的路程为1+3=4，则Q的速度为4÷2=2(个单位/秒)，
设第二次相遇时，点P所表示的数为y，则BP=y+3，CP=3-y，
P所走的路程为y+3+(-1+3)= y+5，Q所走的路程为3-y +(1+3)= 7-y，
P的速度为1+1=2(个单位/秒)，Q的速度为2+1=3(个单位/秒)，
y+5 7− y
根据题意得： = ，
2 3
1
解得：y=− ，
5
1
此时点P所表示的数为− ；
5（3）解：设运动时间为t秒，则点B所表示的数为t-3，点A所表示的数为t-4，点C所表示的数为3-
2t，点D所表示的数为5-2t，
①当两个正方形相遇前，
最小距离CB=3-2t- (t-3)=6-3t，最大距离DA=5-2t- (t-4)=9-3t，
根据题意得：9-3t=2(6-3t)，
解得：t=1；
②当点B在CD之间时，
最小距离BC= t-3- (3-2t)=3t-6，最大距离DA=5-2t- (t-4)=9-3t，
根据题意得：9-3t=2(3t-6)，
7
解得：t= ；
3
1
③当点A、B都在CD之间时，此时AC=BD= ，
2
1
根据题意得：t-4- (3-2t)= ，
2
5
解得：t= ；
2
④当点A在CD之间时，最小距离DA=5-2t- (t-4)=9-3t，最大距离BC= t-3- (3-2t)=3t-6，
根据题意得：3t-6=2(9-3t)，
8
解得：t= ；
3
⑤当两个正方形相遇离开后，
最小距离AD= t-4- (5-2t)=3t-9，最大距离BC= t-3- (3-2t)=3t-6，
根据题意得：3t-6=2(3t-9)，
解得：t=4；
7 5 8
综上，t的值为1秒或 秒或 秒或 秒或4秒．
3 2 3
