专题6.1考前必做30题之二次根式小题培优提升（压轴篇，八下人教）-2023复习备考（解析版）人教版_初中数学人教版_八年级数学下册_保存转存之后查看(1)_旧版-可参考_06习题试卷

2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍【人教版】 专题6.1考前必做30题之二次根式小题培优提升（压轴篇，八下人教） 本套试题主要针对期中期末考试的选择填空压轴题，所选题目典型性和代表性强，均为 中等偏上和较难的题目，具有一定的综合性，适合学生的培优拔高训练.试题共30题，选择 20道，每题3分，填空10道，每题4分，总分100分.涉及的考点主要有以下方面： 1.二次根式的概念与性质：二次根式的识别及有意义的条件、二次根式的性质和化简 2.二次根式的乘除：二次根式的乘法法则及计算、二次根式的除法法则及计算、最简二次根 式 3.二次根式的加减：二次根式的加减、二次根式的混合运算、乘法公式在二次根式计算中的 应用、二次根式的化简及求值、二次根式的应用、二次根式的规律探究题、二次根式的材料 综合阅读题 一、单选题 √x−2 1．（2023秋·贵州铜仁·八年级统考期末）代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） x A．x≥2，且x≠0 B．x≥2 C．x≤2 D．x>2 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质及分式的有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意得：¿， 解得：x≥2， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不为零， 掌握知识点是解题关键． √33 2．（2022秋·重庆北碚·九年级西南大学附中校考开学考试）估算√44+ 的值最接近下列哪个整数 √3 （ ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】先根据二次根式混合运算的法则化简代数式，然后估算即可． √33 【详解】解∶√44+ √3 =2√11+√11 =3√11 =√99，∵81<99<100， ∴√81<√99<√100， 即9<√99<10， 由于99最接近100， √33 ∴√44+ 的值最接近10． √3 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，估算无理数大小要用逼近法．用有理数逼近无 理数，求无理数的近似值． √ 1 3．（2023春·八年级单元测试）若|a−2|+b2+4b+4+ c2−c+ =0，则√b2−√a−√c的值是（ ） 4 3 A．2− √2 B．4 C．1 D．8 2 【答案】A 【分析】先将原式变形为 |a−2|+(b+2) 2+ √ ( c− 1) 2 =0 ，再根据非负性的性质求出a、b、c的值，然后代 2 值计算即可． √ 1 【详解】解：∵|a−2|+b2+4b+4+ c2−c+ =0， 4 ∴ |a−2|+(b+2) 2+ √ ( c− 1) 2 =0 ， 2 ∵ |a−2|≥0，(b+2) 2≥0， √ ( c− 1) 2 ≥0 ， 2 ∴ |a−2|=0，(b+2) 2=0， √ ( c− 1) 2 =0 ， 2 1 ∴a−2=0，b+2=0，c− =0 2 1 ∴a=2，b=−2，c= ， 2 √1 √2 3√2 ∴√b2−√a−√c=√22−√2− =2−√2− =2− ． 2 2 2 故选：A．【点睛】本题主要考查了非负数的性质，二次根式的化简求值，正确根据非负数的性质求出a、b、c的值 是解题的关键． 1 4．（2023秋·河南南阳·九年级统考期末）已知m为实数，且m=√2x−1+1，下列说法：①x≥ ；②当 2 x=5时，m的值是4或−2；③m≥1；④√2x−1>0．其中正确的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据二次根式成立的条件，二次根式的性质，即可一一判定． 【详解】解：∵m=√2x−1+1成立， ∴√2x−1≥0，2x−1≥0， 1 ∴m=√2x−1+1≥1，x≥ ， 2 故①③正确，④不正确； ②当x=5时，m=√10−1+1=3+1=4， 故②不正确； 故正确的有：2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，二次根式的性质，熟练掌握和运用二次根式的相关知识是解决 本题的关键． 5．（2023春·浙江·八年级专题练习）若y=√x−2+√2−x−3，则x+ y的立方根是（ ） A．1 B．5 C．−5 D．−1 【答案】D 【分析】利用二次根式中的被开方数是非负数，求得x=2，进而得出y=−3，即可求出x+ y的值得到立方 根． 【详解】解：∵y=√x−2+√2−x−3， ∴x−2≥0且2−x≥0， ∴x=2， ∴y=√x−2+√2−x−3=0+0−3=−3， ∴x+ y=2−3=−1， ∴−1的立方根是−1， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，求一个数的立方根，正确掌握被开方数的符号是解题关键．6．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）若 ，则a，b，c的大小关系是（ ） a=2020×2022−2020×2021,b=√20232−4×2022,c=√20212+1 A．c>b>a B．c>a>b C．b>a>c D．b>c>a 【答案】A 【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论． 【详解】解：∵a=2020×2022−2020×2021=2020×(2022−2021)=2020， ∴a2=20202， ∵ ， ， b=√20232−4×2022 c=√20212−1 ∴ ， b2=20232−4×2022=(2022+1) 2−4×2022=(2022−1) 2=20212 c2=20212+1， ∵20202<20212<20212+1，即c2>b2>a2， ∵a、b、c都是大于0的实数， ∴c>b>a， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决 本题的关键． 7．（2022秋·福建·九年级统考期末）下列与2√2为同类二次根式的是（ ） A．√50 B．√40 C．√22 D．√0.8 【答案】A 【分析】二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．先将各选项化为最 简二次根式，再看被开方数是否相同即可． 【详解】解：A. √50=5√2，与2√2为同类二次根式，符合题意； B. √40=2√10，与2√2不是同类二次根式，不符合题意； C. √22与2√2不是同类二次根式，不符合题意； 2 D. √0.8= √5，与2√2不是同类二次根式，不符合题意． 5 故选：A． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义以及二次根式的化简，掌握同类二次根式的定义是解答本题的关 键．8．（2022·浙江·九年级自主招生）若 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 ，则 （ ）（其中 表示不 A= 1+ + + 1+ + + 1+ + +⋯+ 1+ + [A]= [A] 12 22 22 32 32 42 20212 20222 超过A的最大整数） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】C 【分析】根据 1 1 (n+1 1 ) 2 ，得出√ 1 1 n+1 1 1 1 ，将 1+ + = − 1+ + = − =1+ − n2 (n+1) 2 n n+1 n2 (n+1) 2 n n+1 n n+1 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 进行变形为： A= 1+ + + 1+ + + 1+ + +⋯+ 1+ + 12 22 22 32 32 42 20212 20222 【详解】解：对于正整数n，有 1 1 ( 1) 2 2 1 (n+1) 2 2 ( 1 ) 2 (n+1 1 ) 2 ， 1+ + = 1+ − + = − + = − n2 (n+1) 2 n n (n+1) 2 n n n+1 n n+1 ∴√ 1 1 n+1 1 1 1 ， 1+ + = − =1+ − n2 (n+1) 2 n n+1 n n+1 ∴ √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 A= 1+ + + 1+ + + 1+ + +⋅⋅⋅+ 1+ + 12 22 22 32 32 42 20212 20222 ( 1 1) ( 1 1) ( 1 1) ( 1 1 ) = 1+ − + 1+ − + 1+ − +⋅⋅⋅+ 1+ − 1 2 2 3 3 4 2021 2022 1 =2022− ， 2022 因此，不超过A的最大整数为2021，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，知道√ 1 1 1 1 是解答本题的关键． 1+ + =1+ − n2 (n+1) 2 n n+1 9．（2022秋·江苏·八年级统考期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为6和24，则图 中阴影部分面积为（ ）A．5 B．5√5 C．6 D．6√6 【答案】C 【分析】根据图形可以求得图中两个小正方形的边长，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 大正方形ABCD的边长为2√6，小正方形EFHG的边长为√6， ∴图中阴影部分的面积为：√6×(2√6−√6)=√6×√6=6， 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算和正方形，长方形的面积，解答本题的关键是明确题意，求出大小 正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 10．（2021·浙江·九年级自主招生）已知A=√3+√5,B=√3−√5，求A3+B3的整数部分为（ ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】根据题意求出 ， ，可得 ，再由 ，即 A2+B2=6 AB=2 A+B=√10 A3+B3=(A+B)(A2−AB+B2) 可求解． 【详解】解：∵A=√3+√5,B=√3−√5， ∴ A2+B2=(√3+√5) 2 +(√3−√5) 2 =6 ， A×B=√3+√5×√3−√5=√4=2， ∴ ， (A+B) 2=A2+2A×B+B2=6+2×2=10 ∴A+B=√10或−√10（舍去），∴ ， A3+B3=(A+B)(A2−AB+B2)=√10×(6−2)=4√10=√160 ∵144<160<169， ∴12<√160<13， ∴√160的整数部分为12， 即A3+B3的整数部分为12． 故选：B 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，完全平方公式的应用，熟练掌握二次根式 的混合运算，无理数的估算，完全平方公式是解题的关键． 11．（2023秋·四川宜宾·九年级统考期中）已知√27−√3=a√3−√3=b√3，则a+b=（ ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据二次根式的减法法则进行运算，求出a,b的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：√27−√3=3√3−√3=2√3， ∴a=3,b=2， ∴a+b=3+2=5； 故选D． 【点睛】本题考查二次根式的减法法则．熟练掌握二次根式的减法法则是解题的关键． 12．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简 √ a+b (a−b) 的结果是（ ） a−b A． B． C． D． √a2−b2 √b−a −√a2−b2 −√b2−a2 【答案】C 【分析】根据数轴图可知 ， ，再根据 化简式子即可． a−b<0 a+b<0 √a2=|a| 【详解】解：根据数轴图可知a−b<0，a+b<0， √ a+b ∴(a−b) a−b√(a+b)(a−b) =(a−b) (a−b) 2 √(a+b)(a−b) =(a−b) √(a−b) 2 √a2−b2 =(a−b) |a−b| √a2−b2 =(a−b) −(a−b) =−√a2−b2 故选：C． 【点睛】本题考查数轴和二次根式及绝对值的化简，分式的基本性质，解题关键是根据数轴图判断绝对值 里数值的正负． a−b 13．（2023春·八年级单元测试）规定a⊗b= ，则√5⊗2的值是（ ） a+b A．5+4√5 B．5−4√5 C．9−4√5 D．9+4√5 【答案】C a−b 【分析】根据新定义a⊗b= ，直接将a=√5,b=2代入后，分母有理化即可得到答案． a+b a−b 【详解】解：∵ a⊗b= ， a+b √5−2 ∴ √5⊗2= √5+2 (√5−2)(√5−2) = (√5−2)(√5+2) 5−4√5+4 = 5−4 =9−4√5， 故选：C． 【点睛】本题考查新定义运算，涉及代数式求值、分母有理化，熟练掌握二次根式运算法则是解决问题的 关键．14．（2023·全国·九年级专题练习）已知 ，则 的值是（ ） |a+√3|+b2−4b+4=0 (ab) 2 A．18 B．4√3 C．6 D．12 【答案】D 【分析】先将已知等式转化为 ，再根据绝对值和偶次方的非负性可得 的值，然后 |a+√3|+(b−2) 2=0 a,b 代入计算即可得． 【详解】解：∵|a+√3|+b2−4b+4=0， ， ∴|a+√3|+(b−2) 2=0 又 ， ∵|a+√3|≥0,(b−2) 2≥0 ∴a+√3=0,b−2=0， 解得a=−√3,b=2， 则 ， (ab) 2=(−√3×2) 2=12 故选：D． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式分解因式、绝对值和偶次方的非负性、代数式求值、二次根式的乘 法，利用完全平方公式将已知等式转化为 是解题关键． |a+√3|+(b−2) 2=0 1 1 15．（2023秋·四川宜宾·九年级统考期中）已知√x+ =√5(x>1)，则x+ 的值为（ ） √x x A．√5 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】根据 1 ，得到( 1 ) 2 1 ，即可得解． √x+ =√5(x>1) √x+ =x+ +2=5 √x √x x 1 【详解】解：∵√x+ =√5(x>1)， √x ∴( √x+ 1 ) 2 =(√5) 2，即： x+ 1 +2=5 √x x 1 ∴x+ =3； x 故选B．1 【点睛】本题考查分式的求值．将√x+ 作为一个整体，利用平方法进行求解，是解题的关键． √x 16．（2021春·山东威海·八年级校考期中）计算 正确的结果是（ ） (√7+2√2) 2018 (√7−2√2) 2019 A．2√2−√7 B．√7+2√2 C．1 D．√7−2√2 【答案】D 【分析】利用二次根式的乘法，平方差公式，逆用积的乘方法则计算即可． 【详解】∵ (√7+2√2) 2018 (√7−2√2) 2019 = (√7+2√2) 2018 ·(√7−2√2) 2018 ·(√7−2√2) = 2018 [(√7+2√2)·(√7−2√2)] ·(√7−2√2) =√7−2√2， ∴选D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，平方差公式，逆用积的乘方法则，熟练掌握法则是解题的关键． 17．（2022春·广东惠州·八年级统考期末）已知 √ 1 1 √9 3， √ 1 1 √49 7， T = 1+ + = = T = 1+ + = = 1 12 22 4 2 2 22 32 36 6 T = √ 1+ 1 + 1 = √ (13) 2 = 13，… T = √ 1+ 1 + 1 ，其中 n 为正整数．设 S =T +T +T +⋯+T ， 3 32 42 12 12 n n2 (n+1) 2 n 1 2 3 n 则S 值是（ ） 2022 2022 2022 1 1 A．2022 B．2023 C．2022 D．2023 2023 2023 2023 2022 【答案】A 【分析】根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案． 【详解】解：由题意，可得 √ 1 1 3 1 ， T = 1+ + = =1+(1− ) 1 12 22 2 2 √ 1 1 7 1 1 ， T = 1+ + = =1+( − ) 2 22 32 6 2 3√ 1 1 13 1 1 ， T = 1+ + = =1+( − ) 3 32 42 12 3 4 …… √ 1 1 1 1 ， T = 1+ + =1+( − ) n n2 (n+1) 2 n n+1 ∴S =T +T +T +⋯+T 2022 1 2 3 2022 1 1 1 1 1 1 1 =1+(1− )+1+( − )+1+( − )+⋅⋅⋅+1+( − ) 2 2 3 3 4 2022 2023 1 1 1 1 1 1 1 =1×2022+(1− + − + − +⋅⋅⋅+ − ) 2 2 3 3 4 2022 2023 1 =2022+(1− ) 2023 2022 =2022 ． 2023 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简以及实数数字类的规律探索，探索规律，准确计算是解题关键． 18．（2022秋·河北秦皇岛·八年级校联考阶段练习）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数， 如 ， ， ．现对82进行如下操作：82第一次 [ 82 ] ，第二次 [ 9 ] ， [4]=4 [√3]=1 [−2.5]=−3 → =9 → =3 √82 √9 第三次 [ 3 ] ，这样对82只需进行3次操作后即可变为1，类似地，对300只需进行多少次操作后即 → =1 √3 可变为1（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】[x]表示不大于x的最大整数，依据题目中提供的操作进行计算即可． 【详解】解：第一次：[ 300 ] ， =[10√3]=17 √300第二次：[ 17 ] ， =[√17]=4 √17 第三次：[ 4 ] ， =[2]=2 √4 第四次：[ 2 ] ， =[√2]=1 √2 故对300只需进行4次操作后即可变为1， 故选：B． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是明确[x]表示不大于x的最大整数． 1 19．（2022秋·河南驻马店·九年级校考阶段练习）观察下列等式：第1个等式：a = =√2−1；第2 1 1+√2 1 1 1 个等式：a = =√3−√2；第3个等式：a = =2−√3；第4个等式：a = =√5−2， 2 √2+√3 3 √3+2 4 2+√5 ……，按照上述规律，计算：a +a +a +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+a =（ ） 1 2 3 99 A．3√11−1 B．10−3√11 C．9 D．8 【答案】C 1 【分析】首先根据题意，得出一般规律a = =√n+1−√n，代入数字相加即可得解． n √n+1+√n 1 【详解】解：第1个等式：a = =√2−1， 1 1+√2 1 第2个等式：a = =√3−√2， 2 √2+√3 1 第3个等式：a = =2−√3， 3 √3+2 1 第4个等式：a = =√5−2， 4 2+√5 …… 1 第n个等式：a = =√n+1−√n， n √n+1+√n ∴a +a +a +⋯⋯+a 1 2 3 99 =√2−1+√3−√2+2−√3+⋯+√100−√99 =√100−1=10−1 =9，故C正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数字的变化规律以及分母有理化，首先要理解题意，找到规律，并进行推导得到 答案． 1 20．（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考开学考试）有依次排列的一列式子： ， 1+√2 1 1 1 1 1 ， ， ， ， …小红对式子进行计算得： √2+√3 √3+2 2+√5 √5+√6 √6+√7 第1个式子： 1 √2−1 ； = =√2−1 1+√2 (1+√2)×(√2−1) 第2个式子： 1 √3−√2 …… = =√3−√2 √2+√3 (√2+√3)×(√3−√2) 1 根据小红的观察和计算，她得到以下几个结论：①第8个式子为 ；②对第n个式子进行计算的结果 √8+3 1 为√n+1−√n；③前100个式子的和为√101−1；④将第n个式子记为a ，令b = ，且 n n a n ，则正整数 ．小红得到的结论中正确的有（ ） 9a2+19a b +9b2=575 n=15 n n n n A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】直接写出第n个式子的通式可判断①②，③④直接计算即可． 【详解】由题可知，第n个式子： 1 √n−√n+1 √n−√n+1 ， = = =√n+1−√n √n+√n+1 (√n+√n+1)×(√n−√n+1) √n 2 −√n+1 2 故②正确； 那么第8个式子为√9−√8=3−2√2 而 1 (3−√8) 3−√8 ，故①正确； = = =3−2√2 √8+3 (√8+3)(3−√8) 32−√8 2 第100个式子为：√101−√100 则前100个式子的和为：−1+√2−√2+√3+……−√100+√101=√101−1，故③正确；1 1 1 令a =x,b = ，则9a2+19a b +9b2=575可化为9x2+19x⋅ +9 =575 n n x n n n n x x2 1 9(x2+ )=556 x2 1 √n+1+√n 因为a =√n+1−√n,b = = =√n+1+√n n n √n+1−√n (√n+1−√n)(√n+1+√n) 1 所以9(x2+ )=556可化为： 9[ (√n+1+√n) 2+(√n+1+√n) 2]=556 x2 若 ，则 ，故④错误． n=15 9[ (√n+1+√n) 2+(√n+1+√n) 2]≠556 综上所述，①②③正确． 故选：C 【点睛】此题考查二次根式的规律，解题关键是将此数式的通式直接写出来，同时化简时需要分母有理化． 二、填空题 三、21．（2023秋·海南海口·九年级校联考期末）已知 ，化简： _______． −1＜x＜3 √(x−3) 2−|x+1|= 【答案】−2x+2 【分析】根据二次根式的性质和绝对值的性质直接计算即可． 【详解】 ； √(x−3) 2−|x+1|=|x−3|−|x+1| 因为−1＜x＜3，所以|x−3|<0,|x+1|>0， 即 ， √(x−3) 2−|x+1|=|x−3|−|x+1|=3−x−x−1=2−2x 故答案为：−2x+2． 【点睛】此题考查二次根式的性质和绝对值的性质，解题关键是牢记公式 ． √a2=|a|=¿ 22．（2022春·广东河源·八年级校考期中）若b=√a−3+√3−a，则ab=________． 【答案】1 【分析】根据二次根式的性质，求得a，b，即可求解． 【详解】解：由二次根式的性质可得，a−3≥0，3−a≥0， 解得a=3， 则b=0， ∴ab=30=1， 故答案为：1．【点睛】此题考查了二次根式的性质及零次幂的运算，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件，正确求 得 a，b． 23．（2022秋·河南开封·八年级统考期末）计算： ______． (−√2) 2+|1−√2|−√3−8= 【答案】3+√2##√2+3 【分析】先化简各式，再进行加减运算． 【详解】解：原式=2+√2−1−(−2) =2+√2−1+2 =3+√2； 故答案为：3+√2． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算．正确的化简各式，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键． √ y √ x 24．（2023春·浙江宁波·八年级校考阶段练习）已知x+ y=−2，xy=3，则代数式 + 的值是 x y ____________； 2√3 【答案】 3 【分析】根据题意可判断x<0，y<0，然后再根据二次根式乘除法法则和合并同类二次根式法则进行化简 求值即可． 【详解】∵ x+ y=−2，xy=3， ∴ x<0，y<0， √ y √ x ∴ + x y √xy √xy =− − x y (x+ y)√xy =− xy (−2)×√3 =− 3 2√3 = 3 2√3 故答案为： ． 3 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式乘除法公式和合并同类二次根式法则是解本 题的关键．25．（2023春·全国·八年级专题练习）实数m在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果为 |m−1|+√m2 ___． 【答案】1 【分析】由数轴可得：0＜m＜1，则有m−1＜0，再进行化简即可． 【详解】解：由数轴得：0＜m＜1， ∴m-1＜0， ∴ |m−1|+√m2 =−(m−1)+m =−m+1+m =1 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简，数轴，解答的关键是由数轴得出0＜m＜1． 26．（2023春·全国·八年级专题练习）已知△ABC的三边分别为a、b、c，化简： ___________． √(a+b+c) 2+√(a−b−c) 2+√(b−c−a) 2−√(c−a−b) 2= 【答案】4c 【分析】根据三角形三边的关系得到a+b+c>0，a0，a0，a0，a”“<”或“=”）； 1 1 1 1 （3）计算： + + +⋯+ =___________． √2+1 √3+√2 √4+√3 √2022+√2021 【答案】 √6+1（答案不唯一） > √2022−1 【分析】（1）先利用平方差公式计算 ，从而可得答案； (√6−1)(√6+1) 1 1 （2）先变形可得√2021−√2020= ，√2022−√2021= ，结合 √2021+√2020 √2022+√2021 √2021+√2020<√2022+√2021，从而可得答案； （3）先分母有理化，从而原式可化为√2−1+√3−√2+√4−√3+···+√2022−√2021，再合并同类二次 根式即可． 【详解】解：（1）∵ ， (√6−1)(√6+1)=6−1=5 ∴√6−1的有理化因式为√6+1． 1 1 （2）∵√2021−√2020= ，√2022−√2021= ， √2021+√2020 √2022+√2021 而√2021+√2020<√2022+√2021， 1 1 ∴ > ， √2021+√2020 √2022+√2021 ∴√2021−√2020>√2022−√2021． 1 1 1 1 （3） + + +⋯+ √2+1 √3+√2 √4+√3 √2022+√2021 (√2−1) √3−√2 √4−√3 √2022−√2021 = + + +⋯+ (√2+1)(√2−1) (√3+√2)(√3−√2) (√4+√3)(√4−√3) (√2022+√2021)(√2022−√2021) =√2−1+√3−√2+√4−√3+···+√2022−√2021 =√2022−1． 故答案为：（1）√6−1；（2）>；（3）√2022−1． 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，与实数运算相关的规律探究，分母有理化的应用，熟练的利 用分母有理化解决问题是解本题的关键． 28．（2022秋·辽宁丹东·八年级统考期末）若5+√10与5−√10的小数部分分别为a,b，则a+b=______． 【答案】1【分析】先估算出√10的大小，再用含√10的式子表示出a,b，然后代入计算即可． 【详解】解：∵3<√10<4， ∴8<5+√10<9，1<5−√10<2， ∴a=5+√10−8=√10−3,b=5−√10−1=4−√10， ∴a+b=√10−3+4−√10=1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小、代数式求值以及二次根式的加减运算，求得a,b的值是解题 的关键． 29．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）使用手机支付宝付款时，常常需要用到密码．嘉淇学完二次 根式后，突发奇想，决定用“二次根式法”来产生密码．如，对于二次根式√169，计算结果为13，中间 加一个大写字母X，就得到一个六位密码“169X13”．按照这种产生密码的方法，则利用二次根式√121 产生的六位密码是__________． 【答案】121X11 【分析】先求出√121的值，再根据题意即可得出结论． 【详解】解：∵√121=11， ∴产生的六位数密码是121X11， 故答案为：121X11． 【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知算术平方根的意义是解答此题的关键． 30．（2022秋·四川遂宁·九年级统考期末）观察下列等式： √ 1 1 3 1 ； x = 1+ + = =1+ 1 12 22 2 1×2 √ 1 1 7 1 ； x = 1+ + = =1+ 2 22 32 6 2×3 √ 1 1 13 1 ； x = 1+ + = =1+ 3 32 42 12 3×4 …… 根据以上规律，计算x +x +x +…+x −2023=______． 1 2 3 2023 2023 【答案】 2024 【分析】根据等式所呈现的规律，将原式转化为( 1) (1 1) (1 1) ( 1 1 ) 2023+ 1− + − + − +⋅⋅⋅+ − −2023，再进行运算即可求解． 2 2 3 3 4 2023 2024 【详解】解： √ 1 1 3 1 ( 1)； x = 1+ + = =1+ =1+ 1− 1 12 22 2 1×2 2 √ 1 1 7 1 (1 1)； x = 1+ + = =1+ =1+ − 2 22 32 6 2×3 2 3 √ 1 1 13 1 (1 1)； x = 1+ + = =1+ =1+ − 3 32 42 12 3×4 3 4 …… √ 1 1 1 ( 1 1 )； x = 1+ + =1+ =1+ − 2023 20232 20242 2023×2024 2023 2024 ∴x +x +x +…+x −2023 1 2 3 2023 ( 1) (1 1) (1 1) ( 1 1 ) =2023+ 1− + − + − +⋅⋅⋅+ − −2023 2 2 3 3 4 2023 2024 1 1 1 1 1 1 1 =1− + − + − +⋅⋅⋅+ − 2 2 3 3 4 2023 2024 1 =1− 2024 2023 = 2024 2023 故答案为： ． 2024 【点睛】本题考查了数字变化类，掌握等式所呈现的规律是正确计算的前提．