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专题 6.2 实数之九大考点
目录
【典型例题】
【考点一 无理数的定义与分类】
【考点二 实数的分类】
【考点三 实数与数轴】
【考点四 实数的大小比较】
【考点五 无理数整数部分的有关计算】
【考点六 实数的混合运算】
【考点七 程序设计与实数运算】
【考点八 新定义下的实数运算】
【考点九 与实数运算相关的规律题】
【过关检测】
【典型例题】
【考点一 无理数的定义与分类】
例题：（2023上·江苏扬州·八年级扬州教育学院附中校考阶段练习）实数 ， 中，无理
数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练】
1．（2023上·河南郑州·八年级校考阶段练习）在实数 、0、 、 、 、 （每
相邻两个5之间0的个数依次加1）， 中，无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2023上·河北沧州·八年级统考期中）在实数 ， ， ，0， ， ， ， ， ，
（相邻两个1之间的0依次增加1个）中，无理数的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点二 实数的分类】
例题：（2023下·湖南株洲·七年级统考阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里： ， ， ，
，0， ， ， ．(1)有理数集合：{________________…}；
(2)负无理数集合：{______________…}；
(3)正实数集合：{________________…}．
【变式训练】
1．（2023下·广西崇左·七年级校考阶段练习）把下列各数填入相应的大括号内：
有理数集合： ；无理数集合： ；
正实数集合： ；负实数集合： ．
2．（2023上·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期中）把下列各数分别填入所属的集合中：
① ；② ；③ ；④0；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ；⑨
有理数：{_____________________________}；
无理数：{_____________________________}；
正实数：{_____________________________}；
负实数：{_____________________________}．
【考点三 实数与数轴】
例题：（2023上·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期中）如图，若正方形 的面积为7．顶点
在数轴上表示的数为1，点 在数轴上，且 ，则点 表示的数是 ．
【变式训练】
1．（2023上·浙江杭州·七年级校考期中）如图，正方形 的面积为 ，顶点 在数轴上表示的数为
，若点 在数轴上（点 在点 的左侧），且 ，则点 所表示的数为 ．
2．（2023上·河北唐山·八年级统考期中）如图，有一个半径为 个单位长度的圆，将圆上的点A放在原
点，并把圆沿数轴逆时针方向滚动一周，点A到达点 的位置，则点 表示的数 (用含π的式子表示)；
若点B表示的数是 ，则点B在点 的 (填 “左边” 、 “右边”)【考点四 实数的大小比较】
例题：（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）比较大小：
．
【变式训练】
1．（2023上·河北沧州·八年级统考期中）大小比较： （填＞、＝或＜）．
2．（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）比较大小： ，
【考点五 无理数整数部分的有关计算】
例题：（2023上·浙江杭州·七年级杭州市十三中教育集团（总校）校联考期中）若 的整数部分为
，小数部分为 ，则 ， ．
【变式训练】
1．（2023上·四川达州·八年级校考期中） 的整数部分是a， 的整数部分是b，则
.
2．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）已知a为 的整数部分，b为 的小数部分，则
的值为 ．
【考点六 实数的混合运算】
例题：（2023上·河南周口·八年级校联考期中）计算：
(1) ；
(2) ．
【变式训练】
1．（2023下·七年级课时练习）计算：
(1) ；
(2) ．
2．（2023上·江苏常州·八年级校考期中）计算：(1) ；
(2) ．
【考点七 程序设计与实数运算】
例题：（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳彩虹学校校考期中）一个数值转换器，如图所示：
(1)当输入的 为 时，输出的 值是______；
(2)若输入有效的 值后，始终输不出 值，请写出所有满足要求的 的值，并说明你的理由；
(3)若输出的 是 ，请求出两个满足要求的 值．
【变式训练】
1．（2023上·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）下图是一个数值转换机
(1)当输入的x为16时，输出的y值是______．
(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出满足要求的x的值______．
(3)若输入的值 ，且输出的y是 ，请写出满足要求的x的值______．
2．（2023下·河北张家口·七年级统考期末）如图是一个数值转换器 ，其工作原理如图所示．
(1)当输入的x值为 时，求输出的y值；
(2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；
(3)若输出的y值是 ，直接写出x的负整数值．
【考点八 新定义下的实数运算】例题：（2023上·重庆北碚·八年级江北中学校考期中）任何实数a，可用 表示不超过a的最大整数，如
， .现对 进行如下操作： .这样对
只需要进行3次操作后变为1，类似地，只需要进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是
．
【变式训练】
1．（2023上·浙江丽水·七年级统考期中）定义“★”是一种新运算，对于任意有实数 ．当
时， ；当 时， ．例如： ， ，那么
．
2．（2023上·湖南衡阳·九年级校联考阶段练习）我们规定运算符号 的意义是：当 时，
；当 时， ，其他运算符号意义不变，按上述规定，计算 结
果为 ．
【考点九 与实数运算相关的规律题】
例题：（2023下·全国·七年级专题练习）探究题：
(1)计算下列各式，完成填空：
＝6， ＝ ， ＝ ， ＝
(2)通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是 ；请用这一规
律计算： ．
【变式训练】
1．（2023上·云南文山·八年级统考阶段练习）探索猜想，分析探索题：细心观察如图（1），认真分析各
式，然后解答问题．
， ； ， ；
， ……．(1)请用含有n（n为正整数）的等式表示上述规律： ______．
(2)推算出 ______（直接写出答案）．
(3)若一个三角形的面积是 ，那么它是第______个三角形．
(4)求出 的值．
2．（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期中）观察下列各式：
第一个式子： ；
第二个式子： ；
第三个式子： ；
…
(1)求第四个式子为： ；
(2)求第n个式子为： （用n表示）；
(3)求 ＋…＋ 的值．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023上·河南南阳·八年级统考期中）下列各数中： ， ， ， ， ， ，无理数的
个数有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）实数 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023上·浙江金华·七年级校联考期中）已知 的小数部分为a， 的小数部分为b，则
的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
4．（2023上·河北沧州·八年级统考期中）如图，数轴上有三个点，A点表示的实数为2，B点表示的实数
为 ，且 ，则点C表示的实数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·江苏苏州·七年级校考阶段练习）定义一种对正整数 的“F”运算，①当 为奇数时，结果为
；②当 为偶数时，结果为 （其中 是使 为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取
，如图所示，若 ，则第201次“F”的运算的结果是（ ）
A．1 B．4 C．6 D．8
二、填空题
6．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）比较下列实数的大小
12
7．（2023上·浙江宁波·七年级校考阶段练习）已知x，y为有理数， ， ，
．
8．（2023上·辽宁沈阳·八年级沈阳市雨田实验中学校考期中）如图，数轴上点A为线段 的中点，A，
B两点表示的数分别为 和 ，则点C所表示的数为 ．
9．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）如图，是一个无理数筛选器
的工作流程图，当输入 为 时，输出的 值为 ．
10．（2023上·河北石家庄·八年级校考期中）规定：用符号 表示一个不大于实数 的最大整数，例
如：， ， ，按这个规定：
（1） ；（2） ；
（3）若 ，则 的取值范围是 ．
三、解答题
11．（2023上·山西临汾·八年级校联考期中）计算：
(1) ；
(2) ．
12．（2023上·贵州六盘水·八年级统考期中）计算：
(1) ；
(2) ．
13．（2023上·浙江绍兴·七年级校考期中）把下列各数填在相应的括号内（填序号）：① ，②
，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ，⑦ ，⑧ （每两个3之间依次多一个
2）
(1)整数集合{ …}；
(2)分数集合{ …}；
(3)无理数集合{ …}．
14．（2023上·江苏连云港·八年级校联考阶段练习）如图，数轴上从左至右依次有C，O，A，B四个点，
分别对应的数字为x，0，1和 ，且 ．
(1)求 的长，并求x的值；
(2)求 的平方根．
15．（2023上·江苏宿迁·八年级校联考阶段练习）材料1： 的整数部分是 ，小数部分是 ，小数部
分可以看成是 得来的，类比来看， 是无理数，而 ，所以 的整数部分是1，于是可用 来表示 的小数部分．
材料2：若 ，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即 ， 要满足 ，
．根据以上材料，完成下列问题：
(1) 的整数部分是______，小数部分是______；
(2) 也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为 ，求 的算术平方根．
16．（2023上·山东济南·七年级校联考阶段练习）观察下列各式：
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
(1) ．
(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式 ．
(3)利用上述规律计算： （仿照上式写出过程）．
