专题 09 压轴精选
角平线之双平分模型与动边强化练
学校：__________ 班级：__________姓名：__________学号：__________
考点目录
一、经典难点：角的n平分。.........................................................................................1
二、角平分线之双平分模型。............................................6
三、角平分线与新定义的融合。.........................................12
四、易错考点：角平分的两种情况。.....................................26
五、难点：定值的存在性...............................................28
六、综合提升：线段与角的共性的融合。.................................35
七、动边问题：边（角）的旋转—抓住：起边，临界边，终边，分类讨论。...39
八、典例分析：.......................................................47
【典例分析】
例1：已知：∠AOC=∠BOD=a(0°<a<180°)．
(1)如图1，若a=90°．
①写出图中一组相等的角（除直角外）__________，
理由是________________．
②那么∠COD+∠AOB=_________°．
(2)如图2，∠AOC与∠BOD重合，若a=60°，将∠BOD绕点O以5度/秒的速度作
逆时针旋转，运动时间为t（0<t<24）秒．
①当t=______秒时，OB平分∠AOC；
1
②试说明：当t为何值时， ∠AOB= ∠COD？
4
【答案】(1)①∠AOD=∠BOC，同角的余角相等；②180
36
(2)①6；② 或20
5
【详解】（1）解：①∵∠AOC=∠BOD=a=90°，
∴∠AOD+∠AOB=90°，∠BOC+∠AOB=90°，∴∠AOD=∠BOC（同角的余角相等）．
故答案为：∠AOD=∠BOC，同角的余角相等；
②∵∠AOC=∠BOD=a=90°，
∴∠COD+∠AOB
=∠AOC+∠AOD+∠AOB
=∠AOC+∠BOD
=90°+90°
=180°．
故答案为：180；
1
（2）解：①根据题意，得∠BOC= ∠AOC，
2
1
即5t= ×60，
2
解得t=6．
故答案为：6；
②当OB在∠AOC的内部时，
1
∵∠AOB= ∠COD，
4
1
∴60−5t= (60+5t)，
4
36
解得t= ；
5
当OB在∠AOC的外部时，
1
∵∠AOB= ∠COD，
4
1
∴5t−60= (60+5t)，
4
解得t=20，
36 1
综上，t为 或20时，∠AOB= ∠COD
5 4
例2：如图，OC在∠AOB外部，OM，ON分别是∠AOC，∠BOC的平分线．
∠AOB=110°，∠BOC=60°，则∠MON的度数为（ ）
试卷第2页，共49页A．50° B．75° C．60° D．55°
【答案】D
【详解】解：∵∠AOB=110°，∠BOC=60°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=170°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
1 1
∴∠COM= ∠AOC=85°，∠CON= ∠BOC=30°，
2 2
∴∠MON=∠COM−∠CON=55°．
故选：D．
实战训练
一、经典难点：角的n平分。
1．（1）如图1，已知∠AOB内部有三条射线，ON平分∠BOC，OM平分∠AOC，
若∠AOB=60°，求∠AOM+∠BON的度数；
（2）若将（1）中的条件“ON平分∠BOC，OM平分∠AOC”改为“
1 3
∠NOB= ∠COB，∠COM= ∠COA”，且∠AOB=α，求∠AOM+∠BON
4 4
的度数；
（3）如图2，若ON、OC在∠AOB的外部时，ON平分∠BOC，OM平分∠AOC，
当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想：∠MON与β的大小有关系吗？如果没有，指出
结论并说明理由．
1 1
【答案】（1）30°；（2） α；（3）没有关系，∠MON= α，理由见解析
4 2
【详解】（1）∵ON平分∠BOC， OM平分∠AOC，
1 1
∴∠COM= ∠AOC，∠CON= ∠BOC，
2 21 1 1 1
∴∠MON=∠COM+∠CON= ∠AOC+ ∠BOC= ∠AOB= ×60°=30°，
2 2 2 2
∴∠AOM+∠BON=∠AOB−∠MON=60°−30°=30°；
1 3
（2）∵∠AOB=α，∠NOB= ∠COB，∠COM= ∠COA，
4 4
3 3 3
∴∠MON=∠MOC+∠NOC= (∠AOC+∠BOC)= ∠AOB= α，
4 4 4
3 1
∴∠AOM+∠BON=α− α= α；
4 4
（3）与β的大小无关．理由：
∵∠AOB=α，∠BOC=β，
∴∠AOC=α+β，
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
1 1 1 1
∴∴∠MOC= ∠AOC= (α+β)，∠NOC= ∠BOC= β，
2 2 2 2
1 1 1
∴∠MON=∠MOC−∠NOC= (α+β)− β= α，
2 2 2
1
即∠MON= α．
2
∠MON与β的大小无关。
2．已知直线AB与CD相交于点O，且OM平分∠AOC．
(1)如图1，若ON平分∠BOC，求∠MON的度数；
1
(2)如图2，若∠CON= ∠BON，∠MON=55°，求∠BON的度数．
3
【答案】(1)∠MON=90°
(2)∠BON=105°
【详解】（1）解：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
1 1
∴∠MOC= ∠AOC，∠NOC= ∠BOC，
2 2
1 1 1 1
∠MON=∠MOC+∠NOC= ∠AOC+ ∠BOC= (∠AOC+∠BOC)= ∠AO，B
2 2 2 2
∵∠AOB=180°，
试卷第4页，共49页∴∠MON=90°．
1
（2）解：∵∠CON= ∠BON，∠MON=55°，
3
设∠MOC=x,∠NOC= y，
则x+ y=55°，∠BON=3 y，2x+4 y=180°即x+2y=90°，
∴(x+ y)+ y=90°，
∴55°+ y=90°，
解得：y=35°，
∴∠BON=3 y=3×35°=105°．
3．如图，已知点O为直线AB上一点，∠COD=90°，OE是∠AOD的平分线．
(1)如图1，若∠COE=55°，求∠BOD的度数；
(2)如图2，OF是∠BOC的平分线，求∠EOF的度数；
(3)在（2）的条件下，OP是∠BOD的一条三等分线，若∠AOC+∠DOF=∠EOF，
求∠FOP的度数．
【答案】(1)110°
(2)45°
(3)35°或55°
【详解】（1）解：∵∠COD=90°，∠COE=55°，
∴∠DOE=∠COD−∠COE=35°，
∵OE是∠AOD的平分线，
∴∠AOD=2∠DOE=70°，
∴∠BOD=180°−∠AOD=180°−70°=110°；
答：∠BOD的度数为110°．
（2）解：∵OE是∠AOD的平分线．
1 1
∴∠AOE= ∠AOD= (∠AOC+90°)，
2 2
∵OF是∠BOC的平分线，
1 1
∴∠BOF=∠COF= ∠BOC= (∠BOD+90°)，
2 2
1
∴∠EOF=180°−∠AOE−∠BOF=180°− (∠AOC+∠BOD)−90°
2∵∠AOC+∠BOD=180°−90°=90°，
∴∠EOF=45°，
答：∠EOF的度数为45°．
（3）解：由（2）得∠EOF=45°
∵∠AOC+∠DOF=∠EOF=45°，
∴∠DOF=45°−∠AOC，
1 1
又∵∠DOF=∠COD−∠COF=90°− (∠BOD+90°)=45°− ∠BOD，
2 2
1
∴45°−∠AOC=45°− ∠BOD，
2
1
∴∠AOC= ∠BOD，
2
∵∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠AOC=30°，∠BOD=60°，
∴∠DOF=45°−30°=15°，
1
当∠DOP= ∠BOD，
3
∴∠DOP=20°，
∴∠FOP=∠DOF+∠DOP=15°+20°=35°；
2
当∠DOP= ∠BOD，
3
∴∠DOP=40°，
∴∠FOP=∠DOF+∠DOP=15°+40°=55°
4．点O直线AB上一点，过点O作射线OC，使得∠BOC=65°，将一直角三角板的
直角顶点放在点O处．
(1)如图1，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，求∠MOC的度数；
(2)如图2，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的平分线，
求∠BON和∠CON的度数；
1
(3)将三角板MON绕点O在直线AB上方逆时针旋转，若∠NOC= ∠AOM，求
4
∠NOB的度数．
试卷第6页，共49页【答案】(1)25°
(2)∠BON=40°，∠CON=25°
170°
(3) 或70°
3
【详解】（1）解：∵∠NOM=90°，∠BOC=65°，
∴∠MOC=∠MON−∠BOC=90°−65°=25°；
故答案为：25°．
（2）解：∵∠BOC=65°，OC是∠MOB的角平分线，
∴∠MOB=2∠BOC=130°，
∴∠BON=∠MOB−∠MON=130°−90°=40°，
∠CON=∠COB−∠BON=65°−40°=25°，
即∠BON=40°，∠CON=25°；
1
（3）解：∵∠NOC= ∠AOM，
4
∴∠AOM=4∠NOC．
∵∠BOC=65°，
∴∠AOC=∠AOB−∠BOC=180°−65=115°，
当ON在OC左边时，如图：
∵∠NOM=90°，
∴∠AOM+∠NOC=∠AOC−∠MON=115°−90°=25°，
∴4∠NOC+∠NOC=25°，
∴∠NOC=5°，
∴∠NOB=∠BOC+∠NOC=65°+5°=70°；
当ON在OC右边时，如图：
∵∠NOM=90°，
∴∠AOM−∠NOC=∠AOC−∠MON=115°−90°=25°，∴4∠NOC−∠NOC=25°，
25°
∴∠NOC= ，
3
170°
∴∠NOB=∠BOC−∠NOC= ，
3
170°
综上所述，∠NOB的度数为 或70°．
3
二、角平分线之双平分模型。
5．解答题
(1)如图，若∠AOB=120°， ∠AOC=40°，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，
求∠DOE的度数；
(2)若∠AOB，∠AOC是平面内两个角，∠AOB=m°， ∠AOC=n°
(n<m<180°)，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，求∠DOE的度数．（用含m、
n的代数式表示）
【答案】(1)40°
1
(2)所以当射线OC在∠AOB的内部时，∠DOE= (m−n)°；当射线OC在∠AOB的
2
1
外部时，∠DOE= (n+m)°．
2
【详解】（1） ∠AOB=120°，OD平分∠AOB，
∠AOD=∠B ∵ OD= 1 ∠AOB=60°
2
∴
OE分别平分∠AOC，∠AOC=40°．
∵ ∠AOE= 1 ∠AOC=20°
2
∴
∠DOE=∠AOD−∠AOE=60°−20°=40°．
∴（2）若射线OC在∠AOB的内部，如图2
试卷第8页，共49页∵∠AOB=m°，∠AOC=n°，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．
1 1 1
∴∠DOE=∠AOD−∠AOE= ∠AOB− ∠AOC= (m−n)°
2 2 2
1
∴∠DOE= (m−n)°．
2
1
所以当射线OC在∠AOB的内部时，∠DOE= (m−n)°．
2
若射线OC在∠AOB外部时，如图3
∵∠AOB=m°，∠AOC=n°，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．
1 1 1
∴∠DOE=∠AOD+∠AOE= ∠AOB+ ∠AOC= (n+m)°
2 2 2
1
∴∠DOE= (n+m)°．
2
1
所以当射线OC在∠AOB的外部时，∠DOE= (n+m)°．
2
6．在同一平面内，我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”．例如：
∠AOB和∠BOC都有公共顶点O和一条公共边OB，所以这两个角是“共边角”．
【问题解决】：
（1）当两个“共边角”为60°和30°时，它们非公共边的两边的夹角是______°，这两
个“共边角”的平分线的夹角度数为______°；
（2）若两个“共边角”非公共边的两边所成的角是直角，则这两个角的平分线的夹角度数为______°．
（3）若OD、OE分别平分“共边角”∠AOC和∠BOC，试猜想∠DOE与∠AOB
的关系，并以图①或图②为例说明理由．
【知识迁移】：
（4）在同一条直线上，我们把有一个公共端点的两条线段称为“共端点线段”．例如：
AB和BC都有公共端点B，所以这两条线段是“共端点线段”若两条“共端点线段”
的长度分别为m和n，则这两条线段的中点之间的距离为______．
【答案】（1）30或90，15或45；（2）45或135；（3）选择图①或图②，猜想：
1 m+n |m−n|
∠DOE= ∠AOB，理由见解析；（4） 或 ．
2 2 2
【详解】解：（1）解：如图1，∠AOB=60°， ∠BOC=30°，
∴则∠AOC=60°−30°=30°，
1 1
∴ ∠AOC= ×30°=15°；
2 2
如图2，∠AOB=60°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=60°+30°=90°，
1 1
∴ ∠AOC= ×90°=45°；
2 2
故答案为：30或90，15或45；
（2）OM、ON分别是∠AOB，∠BOC的平分线，∠AOC=90°，如图3，
试卷第10页，共49页∵OM、ON分别是∠AOB，∠BOC的平分线，
1 1
∴∠BOM= ∠AOB，∠BON= ∠BOC，
2 2
1 1
∴∠MON=∠BOM+∠BON= (∠AOB+∠BOC)= ∠AOC，
2 2
∵∠AOC=90°，
∴∠MON=45°；
如图4，
∵OM、ON分别是∠AOB，∠BOC的平分线，
1 1
∴∠BOM= AOB，∠BON= ∠BOC，
2 2
1
∴∠MON=∠BOM+∠BON= (∠AOB+∠BOC)，
2
∵∠AOB+∠BOC=360°−∠AOC=270°，
1
∴∠MON= ×270°=135°；
2
故答案为：45或135；
（3）我选择图①：
1
猜想：∠DOE= ∠AOB．
2
理由如下：
∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
1 1
∴∠DOC= ∠AOC，∠EOC= ∠BOC，
2 2
∴∠DOE=∠DOC−∠EOC，1 1
= ∠AOC− ∠BOC，
2 2
1
= ∠AOB；
2
我选择图②：
1
猜想：∠DOE= ∠AOB．
2
理由如下：
∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
1 1
∴∠DOC= ∠AOC，∠EOC= ∠BOC，
2 2
∴∠DOE=∠DOC+∠EOC，
1 1
= ∠AOC+ ∠BOC
2 2
1
= ∠AOB；
2
（4）当点B位于点A、C间时，如图，AB=m，BC=n，
∴AC=m+n，
1 m+n
∴ AC= ；
2 2
当点B位于点A、C间外，如图，AB=m，BC=n，
∴AC=|m−n|，
1 |m−n|
∴ AC= ；
2 2
m+n |m−n|
故答案为： 或 ．
2 2
7．如图所示，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
(1)如果∠AOB=40°，∠DOE=25°，求∠BOE的度数；
(2)如果∠AOE=120°，∠COD=20°，求∠AOB的度数．
试卷第12页，共49页【答案】(1)90°
(2)40°
【详解】（1）（1）∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，
∠AOB=40°，∠DOE=25°，
∴∠BOC=∠AOB=40°，∠COD=∠DOE=25°，则∠COE=2∠DOE=50°,
∴∠BOE=∠BOC+∠COE=40°+50°=90°．
（2）∵OD是∠COE的平分线，∠COD=20°，
∴∠COE=2∠COD=2×20°=40°，
∵∠AOE=120°，
∴∠AOC=∠AOE−∠COE=120°−40°=80°，
∵OB是∠AOC的平分线，
1 1
∴∠AOB= ∠AOC= ×80°=40°．
2 2
8．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD．OF平分∠COE，
∠BOF=15°，求∠DOE的度数．
【答案】50°
【详解】解：∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，
1 1
∴∠EOF=∠COF= ∠COE，∠EOD=∠BOE= ∠BOD，
2 2
∵∠BOF=15°，
∴∠BOE=∠EOF−∠BOF=∠EOF−15°，
∠COB=∠COF+∠BOF=∠EOF+15°，
∴∠BOD=2∠BOE=2∠EOF−30°，
∵∠COB+∠BOD=180°，
∴2∠EOF−30°+∠EOF+15°=180°，
∴∠EOF=65°，
∴∠DOE=∠BOE=∠EOF−15°=50°．
9．如图，已知A、O、B三点在同一条直线上，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．(1)直接写出∠EOC+∠DOC的度数为_______°；
(2)若∠BOC=72°，求∠AOD的度数．
【答案】(1)90；
(2)54°．
【详解】（1）解：∠EOC+∠DOC的度数为90°．
理由：∵OD平分∠AOC，OE平分 ∠BOC，
1 1
∴∠DOC= ∠AOC，∠COE= ∠BOC，
2 2
∵∠AOC+∠BOC=180°，
1 1 1
∴∠EOC+∠DOC= ∠BOC+ ∠AOC= (∠BOC+∠AOC)=90°，
2 2 2
故答案为：90；
（2）解：∵ ∠BOC=72°，
∴∠AOC=180°−∠BOC=108°，
∵OD平分∠AOC，
1 1
∴∠AOD= ∠AOC= ×108°=54°，
2 2
∴∠AOD的度数为54°．
三、角平分线与新定义的融合。
10．定义：从∠MPN的顶点P引一条射线PQ（不与PM重合），若
∠QPN+∠MPN=180°，则称射线PQ为∠MPN关于边PN的补线．
(1)下列说法：①一个角关于某边的补线一定在这个角的外部；②一个角关于某边的补
线一定有2条；③一个角关于某边的补线有1条或2条，其中正确的是 ；（填序号）
(2)如图，O是直线AB上一点，射线OC，OD在AB同侧，OD是∠BOC的平分线，
则OC是∠AOD关于边OD的补线吗？为什么？
(3)已知射线OC为∠AOB关于边OB的补线，OP是∠BOC的平分线．若∠AOB=α，
试卷第14页，共49页试用含α的式子表示∠AOP（直接写出结果）．
【答案】(1)③
(2)OC是∠AOD关于边OD的补线，理由见解答
1 1 3 3
(3)∠AOP可以表示为90°+ α或90°− α或90°− α或 α−90°
2 2 2 2
【详解】（1）解：①当这个角是钝角时，它的补线一条在内部，邻补的在外部；
②当这个角是直角时，它的补线只有1条；
③当这个角是直角时，它的补线只有1条，当这个角不是直角时，有两条；
故答案为：③；
（2）解：OC是∠AOD关于边OD的补线，理由如下：
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠BOD=∠COD，
∵∠BOD+∠AOD=180°，
∴∠COD+∠AOD=180°，
又∵OC不与OA重合，
∴OC是∠AOD关于边OD的补线．
（3）解：当∠AOB为钝角，且OC在∠AOB内部时，如图所示：
∵射线OC为∠AOB关于边OB的补线，
∴∠AOB+∠BOC=180°，
∵∠AOB=α，
∴∠BOC=180°−α，
∵OP是∠BOC的平分线．
1 1
∴∠BOP= ∠BOC=90°− α，
2 2
1 3
∴∠AOP=∠AOB−∠BOP= α−(90°−α)= α−90°．
2 2
当∠AOB为钝角，且OC在∠AOB外部时，如图所示：
∵射线OC为∠AOB关于边OB的补线，∴∠AOB+∠BOC=180°，
∵∠AOB=α，
∴∠BOC=180°−α，
∵OP是∠BOC的平分线．
1 1
∴∠BOP= ∠BOC=90°− α，
2 2
( 1 ) 1
∴∠AOP=∠AOC−∠BOP=180°− 90°− α = α+90°．
2 2
当∠AOB为锐角，且OA在∠BOC内部，且0<α≤60°时，如图所示：
∵射线OC为∠AOB关于边OB的补线，
∴∠AOB+∠BOC=180°，
∵∠AOB=α，
∴∠BOC=180°−α，
∵OP是∠BOC的平分线．
1 1
∴∠BOP= ∠BOC=90°− α，
2 2
1 3
∴∠AOP=∠BOP−∠AOB=90°− α−α=90°− α；
2 2
当∠AOB为锐角，且OA在∠BOC内部，且60<α<90°时，如图所示：
∵射线OC为∠AOB关于边OB的补线，
∴∠AOB+∠BOC=180°，
∵∠AOB=α，
∴∠BOC=180°−α，
∵OP是∠BOC的平分线，
试卷第16页，共49页1 1
∴∠BOP= ∠BOC=90°− α，
2 2
( 1 ) 3
∴∠AOP=∠AOB−∠BOP=α− 90°− α = α−90°；
2 2
当∠AOB为锐角，且OA在∠BOC外部，如图所示：
∵射线OC为∠AOB关于边OB的补线，
∴∠AOB+∠BOC=180°，
∵∠AOB=α，
∴∠BOC=180°−α，
∵OP是∠BOC的平分线，
1 1
∴∠BOP= ∠BOC=90°− α，
2 2
( 1 ) 1
∴∠AOP=∠AOB+∠BOP=α+ 90°− α =90°+ α；
2 2
当∠AOB为直角时，OC只能在∠AOB的外部，如图所示：
∵射线OC为∠AOB关于边OB的补线，
∴∠AOB+∠BOC=180°，
∵∠AOB=α，
∴∠BOC=180°−α，
∵OP是∠BOC的平分线，
1 1
∴∠BOP= ∠BOC=90°− α，
2 2
( 1 ) 1
∴∠AOP=∠AOB+∠BOP=α+ 90°− α =90°+ α；
2 21 3 3
综上分析可知：∠AOP可以表示为90°± α或90°− α或 α−90°．
2 2 2
11．
【阅读理解】
1
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠AOC＝ ∠BOC，则称射线OC是射线OA在
2
1
∠AOB内的一条“友好线”．如图1，若∠AOB＝75°，∠AOC＝25°，则∠AOC＝
2
∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．
【解决问题】
(1)在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD （填“是”或“不是”）射
线OB在∠AOB内的一条“友好线”；
(2)如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，
ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 （用含n的代数式表示）；
(3)如图3，射线OB先从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒1°的速度逆时针旋
转；10秒后射线OC也从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度逆时针
旋转，当射线OC与射线OA的延长线重合时，运动停止．问：当射线OC运动时间为
多少秒时，射线OA，OB，OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两
条射线所组成的角内的一条“友好线”？
【答案】(1)是
试卷第18页，共49页1
(2) n
6
5 20 710 340
(3) 或 或15或 或 秒
7 13 11 7
【详解】（1）解：∵OB是∠BOC的平分线，
∴∠BOD＝∠COD，
1
∵∠COA＝ ∠BOC，
2
1
∴∠BOD＝ ∠AOD，
2
∴射线OD是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”．
故答案为：是．
（2）∵射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，∠AOB的度数为n，
1 1
∴∠BOM＝ ∠AOB＝ n，
3 3
∵ON平分∠AOB，
1 1
∴∠BON＝ ∠AOB＝ n，
2 2
1 1 1
∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝ n﹣ n＝ n．
2 3 6
1
故答案为： n．
6
（3）设运动时间为x秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是其余两条射线中
某条射线的“友好线”．
∵当射线OC与射线OA的延长线重合时，运动停止
360
∴x≤ =72
5
1
如图，当射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”时，当∠AOC= ∠BOC
2
时，
根据题意可得∠AOB=(10+x)°,∠AOC=5x°,则
∠BOC=∠AOB−∠AOC=(10+x)°−5x°=(10−4x)°1
5x= (10−4x)
2
5
解得x=
7
1
如图,当射线OC是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”时，当 ∠AOC=∠BOC
2
时，
∠AOB=(10+x)°,∠AOC=5x°,
∠BOC=∠AOB−∠AOC=(10+x)°−5x°=(10−4x)°
1
×5x=10−4x
2
20
解得x=
13
20
即运动时间为 秒时，射线OC是射线OB的“友好线”．
13
1
③如图，当射线OB是射线OA在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠AOB＝
2
∠COB，
∠AOB=(10+x)°,∠AOC=5x°,
∠BOC=∠AOC−∠AOB=5x°−(10+x)°−5x°=(4x−10)°
1
所以10+x＝ (4x−10)，
2
解得x＝15（符合题意），
即运动时间为15秒时，射线OB是射线OA的“友好线”．
试卷第20页，共49页1
④如图，当射线OB是射线OC在∠AOC内的一条“友好线”时，则 ∠AOB＝
2
∠COB，
∠AOB=(10+x)°,∠AOC=5x°,
∠BOC=∠AOC−∠AOB=5x°−(10+x)°−5x°=(4x−10)°
1
∴ (10+x)=4x−10
2
10
解得x=
3
⑤如图，∵ ∠AOB=(10+x)°,∠AOC=(360−5x)°
1
当∠AOC= ∠AOB时
2
1
360−5x= (10+x)
2
710
解得：x=
11
1
当 ∠AOC=∠AOB时
2
1
(360−5x)=10+x
2
340
解得：x=
7
5 20 710 340
综上所述，当运动时间为 或 或15或 或 秒时，符合题意要求．
7 13 11 712．【阅读】：
通过学习我们知道，|a|的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离．由于|a|可
以看作|a−0|，那么|a−0|的几何意义为数轴上表示数a与0的两点间的距离．这个
结论还可以推广为：点A，B在数轴上分别表示数a、b，那么A，B之间的距离可表示
为|a−b|．
【探索】：
（1）数轴上表示2和−5的两点之间的距离是______；
（2）若使a所表示的点到表示2和−5的点的距离之和为7，所有符合条件的整数a的
和为______；
【动手折一折】：
小博同学在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
（3）折叠纸面，使3表示的点和−6表示的点重合，
①5表示的点和______表示的点重合；
②已知A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为100，且A，B两点经折叠后重合，则
点A表示的数是______，点B表示的数是______；
【拓展延伸】：
（4）动点P，Q同时从−3对应的点出发沿数轴向右运动，点P，点Q的速度分别为3
个单位长度/s和1个单位长度/s，是否存在某一时刻，使得原点O，P，Q这三个点中，
有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出此时点P所代表的数；若不存
在，请说明理由．
【方法迁移】
（5）如图，∠AOB=140°，OC平分∠AOB．现有射线OP、OQ分别从OC、OB
同时出发，以每秒15°和每秒10°的速度绕点O顺时针旋转，当OP旋转一周时，这两
条射线都停止旋转．问经过______秒后，射线OP、OQ的夹角为30°．
【答案】（1）7；（2）−12；（3）①−8②−51.5，48.5；（4）点P对应的数为
6 3
− 或 ；（5）8或20
5 2
【详解】解：（1）表示2和−5两点之间的距离是|2−(−5)|=7，
试卷第22页，共49页故答案为：7；
（2）∵使a所表示的点到表示2和−5的点的距离之和为7，
∴|a−2|+|a+5|=7，
∴−5≤a≤2，
∵a是整数，
∴a的值为−5，−4，−3，−2，−1，0，1，2，
−5+(−4)+(−3)+(−2)+(−1)+0+1+2=−12；
∴故答案为：−12；
（3）①∵3表示的点和−6表示的点重合，
3+(−6) 3
∴折叠的点表示的数是 =− ，
2 2
设则5表示的点和x表示的点重合，
5+x 3
∴ =− ，
2 2
解得x=−8，
∴5表示的点和−8表示的点重合；
故答案为：−8；
②设A点表示的数是x，则B点表示的数是x+100，
x+x+100 3
∴ =− ，
2 2
103
解得x=− =−51.5，
2
−51.5+100=48.5，
∴点A表示的数−51.5，点B表示的数是48.5，
故答案为：−51.5，48.5；
（4）由题意知，运动时间为t秒，
则点P对应的数为3t−3，点Q对应的数为t−3，
当点O为P，Q这两个点的中点时，OP=OQ，
3
∴3t−3=0−(t−3)，解得t= ；
2
3
此时，点P对应的数为 ；
2
当点Q为O，P这两个点的中点时，PQ=OQ，
∴3t−3−(t−3)=t−3，解得t=−3（舍去）；
当点P为Q，O这两个点的中点时，PQ=OP，3
∴3t−3−(t−3)=0−(3t−3)，解得t= ；
5
6
此时，点P对应的数为− ；
5
6 3
综上，点P对应的数为− 或 ；
5 2
（5）∵∠AOB=140°，OC平分∠AOB，
1
∴∠BOC= ∠AOB=70°，
2
由题意得∠COP=(15t)°，∠BOQ=(10t)°，
在OP、OQ重合前，∠COQ=∠COB+∠BOQ=70+10t−15t，
∴70+10t−15t=30，解得t=8；
在OP、OQ重合后，∠POQ=∠COP−∠COQ=15t−(70+10t)，
∴15t−(70+10t)=30，解得t=20；
综上，经过8秒或20秒后，射线OP、OQ的夹角为30°．
故答案为：8或20．
13．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB、∠AOC、
∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的
“定分线”．
（1）一个角的平分线_________这个角的“定分线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，若∠MPN=a，且射线PQ是∠MPN的“定分线”，则∠MPQ=
________(用含a的代数式表示出所有可能的结果）；
（3）如图2，若∠MPN=48°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒8°的速度逆
时针旋转，当PQ与PN成90°时停止旋转，旋转的时间为t秒；同时射线PM绕点P以
每秒4°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止．当PQ是∠MPN的“定分线”时，求t
的值．
1 1 2
【答案】（1）是；（2） a, a, a；（3）t=2.4，6，4
2 3 3
【详解】解：（1）当OC是角∠AOB的平分线时，
∵∠AOB=2∠AOC，
试卷第24页，共49页∴一个角的平分线是这个角的“定分线”；
故答案为：是；
（2）∵∠MPN=α分三种情况
①∵射线PQ是∠MPN的“定分线”，
∴∠MPN=2∠MPQ=α，
1
∴∠MPQ= α，
2
②∵射线PQ是∠MPN的“定分线”，
∴∠QPN=2∠MPQ，
∵∠QPN+∠QPM=α，
∴3∠MPQ=α，
1
∴∠MPQ= α，
3
③∵射线PQ是∠MPN的“定分线”，
∴2∠QPN=∠MPQ，
∵∠QPN+∠QPM=α，
∴3∠QPN =α，
1
∴∠QPN = α，
3
2
∴∠QPM = α，
3
1 1 2
∴∠MPQ= α或 α或 α；
2 3 3
1 1 2
故答案为： α或 α或 α；
2 3 3
（3）依题意有三种情况：
1
①∠NPQ= ∠NPM，
3
由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,
1
∴8t= （4t+48），
3
解得t=2.4(秒)；1
②∠NPQ= ∠NPM
2
由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,
1
∴8t= （4t+48），
2
解得t=4(秒)；
2
③∠NPQ= ∠NPM
3
由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,
2
∴8t= （4t+45），
3
解得：t=6(秒)，
故t为2.4秒或4秒或6秒时，PQ是∠MPN的“定分线”．
1
14．【阅读理解】射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA= ∠AOB，则我
3
们称射线OC是射线OA的“友好线”.例如，如图1，∠AOB=60°，
试卷第26页，共49页1
∠AOC=∠COD=∠BOD=20°，则∠AOC= ∠AOB，称射线OC是射线OA的
3
1
友好线；同时，由于∠BOD= ∠AOB，称射线OD是射线OB的友好线．
3
【知识运用】
(1)如图2，∠AOB=105°，射线OM是射线OA的友好线，则∠AOM为多少度；
(2)如图3，∠AOB=180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时
针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒4°的速度顺时针旋转，当射线OD
与射线OA重合时，运动停止；
①是否存在某个时刻t(秒)，使得∠COD的度数是30°，若存在，求出t的值，若不存
在，请说明理由；
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．请
直接写出所有答案；
【答案】(1)35°
150 180 360
(2)①存在，t= 秒或30秒；②t= 秒或 秒或30秒或36秒
7 13 17
【详解】（1）解：∵射线OM是射线OA的“友好线”，且∠AOB=105°，
1 1
∴∠AOM= ∠AOB= ×105°=35° ．
3 3
180
（2）射线OD与OA重合时，t= =45（秒）
4
①存在
当∠COD的度数是30°时，∠AOC=(3t)°，∠BOD=(4t)°，
有两种可能：
若在相遇之前，则180°−∠BOD−∠AOC=30°，即180−4t−3t=30，
150
∴t= ；
7
若在相遇之后，则∠BOD+∠AOC−180°=30°，即4t+3t−180=30，
∴t=30；150
综上所述，当t= 秒或30秒时，∠COD的度数是30°．
7
②相遇之前：
（I）如图1，
1
OC是OA的“友好线”时，则∠AOC= ∠AOD，
3
1
即3t= (180−4t)，
3
180
∴t= ；
13
（II）如图2，
1
OC是OD的“友好线”时，则∠COD= ∠AOD，
3
1
即180−4t−3t= (180−4t)，
3
360
∴t= ；
17
相遇之后：
（III）如图3，
1
OD是OC的“友好线”时，则∠COD= ∠AOC
3
试卷第28页，共49页1
即4t+3t−180= ×3t，
3
∴t=30；
（Ⅳ）如图4，
1
OD是OA的“友好线”时，则∠AOD= ∠AOC
3
1
即180−4t= ×3t，
3
∴t=36；
180 360
所以，综上所述，当t= 秒或 秒或30秒或36秒时，OC、OD、OA中恰好有
13 17
一条射线是另一条射线的“友好线”．
四、易错考点：角平分的两种情况。
15．已知∠AOB=80°,OM是∠AOB的平分线，∠BOC=20°，ON是∠BOC的平
分线，则∠MON的度数为 ．
【答案】50°或30°
【详解】解：当OC在∠AOB内时，如图所示，
∵OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠AOB=80°，∠COB=20°，
1 1
∴∠AOM=∠BOM= ∠AOB=40°，∠BON= ∠COB=10°，
2 2
∴∠MON=∠BOM−∠BON=40°−10°=30°；
当OC在∠AOB外部时，如图所示，∵OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠AOB=80°，∠COB=20°，
1 1
∴∠AOM=∠BOM= ∠AOB=40°，∠BON= ∠COB=10°，
2 2
∴∠MON=∠BOM+∠BON=10°+40°=50°．
故答案为：50°或30°．
16．已知∠AOB=80°,OM是∠AOB的平分线，∠BOC=20°，ON是∠BOC的
平分线，则∠MON的度数为 ．
【答案】50°或30°
【详解】解：当OA与∠BOC的位置关系如图1所示时，
∵OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠AOB=80°，∠COB=20°，
1 1 1 1
∴∠AOM= ∠AOB= ×80°=40°，∠BON= ∠COB= ×20°=10°，
2 2 2 2
∴∠MON=∠BON﹣∠AOM=40°﹣10°=30°；
当OA与∠BOC的位置关系如图2所示时，
∵OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠AOB=80°，∠COB=20°，
1 1 1 1
∴∠BOM= ∠AOB= ×80°=40°，∠BON= ∠BOC= ×20°=10°，
2 2 2 2
试卷第30页，共49页∴∠MON=∠BOM+∠BON=10°+40°=50°．
故答案为：50°或30°．
17．已知∠AOB=80°，OC平分∠AOB，射线OM与OC所形成的角度是10°，那么
∠AOM的度数是 °
【答案】30或50/50或30
【详解】解：如图1，
∵∠AOB=80°，OC平分∠AOB，
1 1
∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB= ×80°=40°，
2 2
∵射线OM与OC所形成的角度是10°，
∴∠COM=10°，
∴∠AOM=∠AOC−∠COM=40°−10°=30°；
如图2，
∵∠AOB=80°，OC平分∠AOB，
1 1
∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB= ×80°=40°，
2 2
∵射线OM与OC所形成的角度是10°，
∴∠COM=10°，
∴∠AOM=∠AOC+∠COM=40°+10°=50°；
综上可知∠AOM的度数是30°或50°．
故答案为：30或50．五、难点：定值的存在性
18．如图1，已知线段AB=34cm，CD=4cm，线段CD在线段AB上运动（点C不与
点A重合），点E、F分别是AC、BD的中点．
(1)若AC=10cm，则EF= cm；
(2)当线段CD在线段AB上运动时，试判断线段EF的长度是否会发生变化，如果不变，
请求出线段EF的长度；如果变化，请说明理由；
(3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠COD在∠AOB内部转动，
OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD．类比以上发现的线段的规律，若
∠EOF=80°，∠COD=35°，求∠AOB的度数．
【答案】(1)19
1
(2)EF的长度不会发生变化，EF= (AB+CD)=19，理由见详解
2
(3)∠AOB的度数为125°
【详解】（1）解：∵线段AB=34cm，CD=4cm，AC=10cm，
∴BD=AB−CD−AC=34−4−10=20（cm），
∵点E、F分别是AC、BD的中点，
1 1 1 1
∴AE=EC= AC= ×10=5，DF=BF= BD= ×20=10，
2 2 2 2
∴EF=EC+CD+DF=5+4+10=19（cm），
故答案为：19．
（2）解：∵线段AB=34cm，CD=4cm，
∴AC+BD=AB−CD，
∵点E、F分别是AC、BD的中点，
1 1
∴AE=EC= AC，DF=BF= BD，
2 2
1 1
∴EF=EC+CD+DF= AC+ BD+CD，
2 2
1 1 1 1 1
∴EF= (AC+BD)+CD= (AB−CD)+CD= AB+ CD= (AB+CD)，
2 2 2 2 2
试卷第32页，共49页1 1
∴EF= (AB+CD)= ×(34+4)=19，
2 2
∴线段CD在线段AB上运动（点C不与点A重合）时，EF的长度不会发生变化，
EF=19．
1
（3）解：根据线段的规律可知，∠EOF= (∠AOB+∠COD)，
2
∵∠EOF=80°，∠COD=35°，
1
∴80°= (∠AOB+35°)，解得，∠AOB=125°，
2
∴∠AOB的度数为125°．
19．已知O为直线AB上一点，射线OD、OC、OE位于直线AB上方，OD在OE的左
侧，∠AOC=120°，∠DOE=80°．
(1)如图1，当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数；
(2)点F在射线OB上，若射线OF绕点O逆时针旋转n°（0<n<180且n≠60），
∠FOA=3∠AOD．当∠DOE在∠AOC内部（图2）和∠DOE的两边在射线OC
的两侧（图3）时，∠FOE和∠EOC的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不
变，求出其关系．
【答案】(1)40°
(2)不改变，∠EOF=2∠EOC，理由见解析
【详解】（1）解：∵OD平分∠AOC，
1
∴∠COD= ∠AOC=60°，
2
∵∠DOE=80°．
∴∠COE=∠DOE−∠COD=20°，
∴∠AOE=∠AOC+∠COE=120°+20°=140°，
∴∠BOE=180°−∠AOE=40°；
（2）①∠DOE在∠AOC内部时．
令∠AOD=x°，则∠DOF=2x°，∠EOF=80°−2x°，
∴∠EOC=120°−(x°+2x°+80°−2x°)=40°−x°，
∴∠EOF=2∠EOC；②∠DOE的两边在射线OC的两侧时．令∠AOD=x°，
则∠DOF=2x°，∠DOC=120°−x°，∠EOF=2x°−80°，
∴∠EOC=80°−(120°−x°)=x°−40°，
∴∠EOF=2∠EOC．
综上可得，∠FOE和∠EOC的数量关系不改变，∠EOF=2∠EOC
20．已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点O放置于直线MN上，直角边OA与
直线MN重合，其中∠AOB=90°，然后将三角板AOB绕点O顺时针旋转，设
1
∠AOM=α，从点O引射线OC和OD，OC平分∠BON，∠BOD= ∠MOB．
3
(1)如图2，填空：当α=30°时，∠CON=______°．
(2)如图2，当0°<α<90°时，求∠COD的度数（用含α的代数式表示）；
1
(3)如图3，当90°<α<180°时，请判断∠COD− ∠BON的值是否为定值，若为定
6
值，求出该定值，若不是定值，请说明理由．
【答案】(1)30
1
(2)75°− α
6
(3)是定值，理由见解析
【详解】（1）解：当α=30°时，由题意可知∠AOB=90°，∠MON是平角，
∴∠BON=180°−∠AOB−α=60°，
又∵OC平分∠BON，
1
∴∠CON= ∠BON=30°．
2
故答案为：30；
（2）当0°<α<90°时，如图2，
∵∠MON是平角，∠AOM=α，∠AOB=90°，
∴∠BON=∠MON−∠AOM−∠AOB=180°−α−90°=90°−α，
∵OC平分∠BON，
1 1
∴∠BOC= ∠BON= (90°−α)，
2 2
试卷第34页，共49页1
∵∠MOB=∠MOA+∠AOB=90°+α，∠BOD= ∠MOB，
3
1
∴∠BOD= (90°+α)，
3
1 1 1
∴∠COD=∠BOD+∠BOC= (90°+α)+ (90°−α) =75°− α；
3 2 6
1
（3）当90°<α<180°时（如图3），∠COD− ∠BON为定值．
6
理由如下：
∵∠MON是平角，∠AOM=α，∠AOB=90°，
∴∠AON=∠MON−∠AOM=180°−α，
∠NOB=∠AOB−∠AON=90°−(180°−α)=α−90°，
∵OC平分∠NOB，
1 1
∴∠BOC= (α−90°)= α−45°，
2 2
1
∵∠DOB= ∠MOB，∠MOB=360°−∠AOM−∠AOB=270°−α，
3
1
∴∠DOB=90°− α，
3
( 1 ) (1 ) 1
∴∠COD=∠DOB+∠BOC= 90°− α + α−45° = α+45°，
3 2 6
1 (1 ) 1
∴∠COD− ∠BON= α+45° − (α−90°)=60°，
6 6 6
1
∴∠COD− ∠BON为定值，定值为60°．
6
21．已知∠AOB=108°，∠COD=42°．OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．
(1)如图1，当OB，OC重合时，求∠AOE−∠BOF的值；
(2)如图2，当∠COD从图1所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒时（
0<t<10），在旋转过程中∠AOE−∠BOF的值是否会因t的变化而变化？若不发生
变化，请求出该定值：若发生变化，请说明理由．(3)在（2）的条件下，当∠COF=18°时，求t的值．
【答案】(1)33°
(2)不变，∠AOE−∠BOF=33°是定值．
(3)2
【详解】（1）解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
1 1 1 1
∴∠AOE= ∠AOC= ×108°=54°，∠BOF= ∠BOD= ×42°=21°，
2 2 2 2
∴∠AOE−∠BOF=54°−21°=33°；
（2）解：∠AOE−∠BOF=33°是定值．理由如下：
由题意：∠BOC=3t°，
则∠AOC=∠AOB+3t°=108°+3t°，∠BOD=∠COD+3t°=42°+3t°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
1 1 3
∴∠AOE= ∠AOC= (108°+3t°)=54°+ t°，
2 2 2
1 1 3
∠BOF= ∠BOD= (42°+3t°)=21°+ t°，
2 2 2
( 3 ) ( 3 )
∠AOE−∠BOF= 54°+ t° − 21°+ t° =33°．
2 2
∴∠AOE−∠BOF的值是定值，定值为33°；
（3）解：根据题意得：∠BOF=(3t+18)°，
3
∴3t+18=21+ t，
2
解得：t=2．
故答案为2．
22．如图，∠AOB=100°，∠COD=40°，射线OE平分∠AOC，射线OF平分
∠BOD（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）．
试卷第36页，共49页(1)如图，当OB，OC重合时，求∠EOF的度数；
(2)当∠COD从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度(0<n<40)时，∠AOE−∠BOF
的值是否为定值？若是定值，求出∠AOE−∠BOF的值，若不是，请说明理由．
(3)当∠COD从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度(0<n<220)时，∠AOE与
∠BOF具有怎样的数量关系？
【答案】(1)70°
(2)为定值，理由见解析
(3)当0<n<80时， ∠AOE−∠BOF=30°；当80≤n<140时，
∠AOE−∠BOF=110°；当140≤n<220时，∠BOF−∠AOE=30°
【详解】（1）解：∵∠AOB=100°，∠COD=40°，射线OE平分∠AOC，射线
OF平分∠BOD，
1 1 1 1
∴∠EOB= ∠AOB= ×100°=50°、∠BOF= ∠COD= ×40°=20°，
2 2 2 2
∴∠EOF=∠EOB+∠BOF=50°+20°=70°；
（2）解：∠AOE−∠BOF的值为定值，
理由如下：如图：
∵∠COD从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度(0<n<40)
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=100°+n°，∠BOD=∠BOC+∠COD=n°+40°，
点C、D在直线AO的右侧，
∵射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，
1 100°+n° 1 n°+40°
∴∠AOE= ∠AOC= ，∠BOF= ∠BOD= ，
2 2 2 2100°+n° n°+40°
∴∠AOE−∠BOF= − =30°，
2 2
∴∠AOE−∠BOF的值为定值；
（3）解：当0<n<80时，如图2：由(2)知，∠AOE−∠BOF=30°；
当80≤n<140时，如图3所示，
∠AOC=360°−∠AOB−∠BOC=360°−100°−n°=260°−n°，
∠BOD=∠BOC+∠COD=n°+40°，
∵射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，
1 260°−n° 1 n°+40°
∴∠AOE= ∠AOC= ，∠BOF= ∠BOD= ，
2 2 2 2
260°+n° n°+40°
∴∠AOE−∠BOF= − =110°；
2 2
当140≤n<220时，如图4所示，
试卷第38页，共49页∠AOC=360°−∠AOB−n°=360°−100°−n°=260°−n°，
∠BOD=360°−n°−∠COD=360°−n°−40°=320°−n°，
∵射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，
1 260°−n° 1 320°−n°
∴∠AOE= ∠AOC= ，∠BOF= ∠BOD= ，
2 2 2 2
320°−n° 260°−n°
∴∠BOF−∠AOE= − =30°；
2 2
综上，∠AOE与∠BOF具有的数量关系为：当0<n<80时，
∠AOE−∠BOF=30°；当80≤n<140时，∠AOE−∠BOF=110°；当
140≤n<220时，∠BOF−∠AOE=30°．
六、综合提升：线段与角的共性的融合。
23．已知射线OC在∠AOB的内部，若∠AOB，∠AOC和∠BOC三个角中有一个
1
角的度数是另一个角的度数的 ，则称射线OC是∠AOB的奇分线．
2
(1)判断一个角的平分线是否是这个角的奇分线；
(2)如图，∠MPN=54°．
①若射线PQ是∠MPN的奇分线，求∠QPN的度数；
②射线PF从PN位置开始，以每秒旋转3°的速度绕点P按逆时针方向旋转，当
∠FPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．当t为何值时，射线PM
是∠FPN的奇分线．【答案】(1)是
(2)①18°或36°或27°；②当t为27或36或54时
【详解】（1）解：一个角的平分线是这个角的奇分线；
（2）解：①∠MPN=54°，若射线PQ是∠MPN的奇分线，则根据奇分线的定义可
知有3种情况符合题意：
1
当∠QPN= ∠QPM时，
2
1
∠QPN+∠QPM= ∠QPM+∠QPM=54°，
2
解得∠QPM=36°，
则∠QPN=18°；
1
当∠QPM= ∠QPN时，
2
1
∠QPN+∠QPM=∠QPN+ ∠QPN=54°，
2
解得∠QPN=36°；
1
当∠QPN= ∠MPN时，
2
1
∠QPN= ×54°=27°；
2
综上，∠QPN的度数为18°或36°或27°；
1
②当3t=54+ ×54时，解得t=27；
2
当3t=54×2时，解得t=36；
当3t=54+2×54时，解得t=54；
综上，当t为27或36或54时，射线PM是∠FPN的奇分线．
24．【情境探究】
如图1，已知线段AB=30cm，CD=6cm，线段CD在线段AB上运动，E，F分别是
AC,BD的中点，探究线段EF的特征．
(1)若AC=10cm，则EF=________；
(2)当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求
试卷第40页，共49页出EF的长度，如果变化，请说明理由；
(3)如图2，已知∠AOB=130°，∠COD=20°，∠COD在∠AOB内部转动，
OE,OF分别是∠AOC和∠BOD的角平分线，求∠EOF的度数；
(4)请直接写出∠EOF，∠AOB和∠COD之间的数量关系．
【答案】(1)18
(2)不变，18cm
(3)∠EOF=75°
1
(4)∠EOF= (∠AOB+∠COD)
2
【详解】（1）解：∵AB=30cm，CD=6cm，AC=10cm，AB=AC+CD+BD，
∴BD=30−10−6=14cm，
∵E，F分别是AC,BD的中点，
1 1
∴EC= AC=5cm，DF= DB=7cm
2 2
∴EF=CE+CD+DF=5+6+7=18cm；
故答案为：18；
（2）解：EF的长度不变．理由如下：
∵E，F分别是AC,BD的中点，
1 1
∴EC= AC，DF= DB，
2 2
1 1
∴EF=CE+CD+DF= AC+CD+ DB
2 2
1
= (AC+DB)+CD
2
1
= (AB−CD)+CD
2
1
= (AB+CD)
2
∵AB=30cm，CD=6cm，
1
∴EF= (30+6)=18cm
2
（3）解：∵OE,OF分别是∠AOC和∠BOD的角平分线，
1 1
∴∠COE= ∠AOC，∠DOF= ∠BOD，
2 2
1 1
∴∠EOF= ∠AOC+∠COD+ ∠DOB
2 21
= (∠AOC+∠DOB)+∠COD
2
1
= (∠AOB−∠COD)+∠COD
2
1
= (∠AOB+∠COD)，
2
∵∠AOB=130°，∠COD=20°，
∴∠EOF=75°．
（4）解：∵OE,OF分别是∠AOC和∠BOD的角平分线，
1 1
∴∠COE= ∠AOC，∠DOF= ∠BOD，
2 2
1 1
∴∠EOF= ∠AOC+∠COD+ ∠DOB
2 2
1
= (∠AOC+∠DOB)+∠COD
2
1
= (∠AOB−∠COD)+∠COD
2
1
= (∠AOB+∠COD)
2
25．问题提出
如图（1），已知线段AB=12cm，点C为线段AB上的一个动点，点D,E分别是AC
和BC的中点．
（1）若AC=4cm，求DE的长；
（2）若把“点C为线段AB上的一个动点”改为“点C为直线AB的一个动点”，当
AC=4cm时，求DE的长；
知识迁移
（3）如图（2），过∠AOB的内部任一点C画射线OC，其中OD､OE分别平分
∠AOC和∠BOC；试猜想∠AOB与∠DOE的大小关系，并说明理由．
1
【答案】（1）6cm；（2）∠DOE= ∠AOB
2
【详解】解：（1）∵AB=12cm，AC=4cm，
∴BC=AB−AC=8(cm)，
∵点D、E分别是AC和BC的中点，
试卷第42页，共49页1 1
∴DC= AC=2(cm)，CE= BC=4(cm)，
2 2
∴DE=DC+CE=6(cm)；
（2）分两种情况： ①当点C在线段AB上，由（1）得DE=6cm；
②当点C在直线A的左边，如图所示，
∴BC=AC+AB=4+12=16(cm)，
∵AC=4(cm)，且D是AC的中点，
1
∴CD= AC=2(cm)，
2
又∵E分别是BC的中点，
1
∴CE= BC=8(cm)，
2
∴DE=CE−CD=8−2=6(cm)，
∴当C在直线AB上时，线段DE的长度是6cm；
综上，DE的长是6cm．
1
（3）∠DOE= ∠AOB，理由如下：
2
∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
1 1
∴∠DOC= ∠AOC，∠COE= ∠BOC，
2 2
1 1
∴∠DOE=∠DOC+∠COE= (∠AOC+∠BOC)= ∠AOB．
2 2
七、动边问题：边（角）的旋转—抓住：起边，临界边，终边，
分类讨论。
26．在数学的学习过程中，我们要不断地归纳，思考和迁移，综合运用所学知识和解
题方法，这样才能提高我们解决问题的能力，下面就从学完《数轴》发现的规律，开
始我们的探究之旅吧!
规律发现：
(1)点A表示的数是4，点B表示的数是10，则线段AB的中点C表示的数为 ；
(2)点A表示的数是−7，点B表示的数是5，则线段AB的中点C表示的数为 ；
发现：点A表示的数是a，点B表示的数是b，则线段AB的中点C表示的数为 ．
直接运用：数轴上有三个不重合的点A、B、C，点A表示的数为x+2，点B表示的数为2x+3，C
表示的数为x−4，且AB=AC，则x值为 ．
类比迁移：
如图：OB⊥OX,OA⊥OC,∠COX=30°，若射线OA绕O点每秒30°的速度顺时
针旋转，射线OB绕O点每秒20°的速度顺时针旋转，射线OC以每秒10°的速度逆时
针旋转，三线同时旋转，当一条射线与直线OX重合时，三条射线同时停止运动，问：
运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线？
问题解答：
①设运动时间为t秒，请用含t的式子表示：
∠AOX=（ ）度；
∠BOX=（ ）度；
∠COX=（ ）度．
②请直接写出你探究的所有符合条件的运动时间．
【答案】(1)7
a+b
(2)−1，发现： ，直接运用：5，类比迁移：①120−30t,90−20t,30+10t，②
2
15
1.5秒或 秒或2.4秒
7
【详解】（1）解：在数轴上，点A表示的数是4，点B表示的数是10，则线段AB的
中点C表示的数为
4+10
=7，
2
故答案为：7；
（2）解：在数轴上，点A表示的数是−7，点B表示的数是5，则线段AB的中点C表
(−7)+5
示的数为 =−1；
2
故答案为：−1；
a+b
发现：点A表示的数是a，点B表示的数是b，则线段AB的中点C表示的数为 ；
2
试卷第44页，共49页a+b
故答案为： ；
2
直接运用：∵ AB=AC，
∴点A在点B和点C中点上，
(2x+3)+(x−4)
∴ =(x+2)，即3x−1=2x+4，
2
解得：x=5；
故答案为：5；
类比迁移：①根据题意，在没有运动前，
∵ OB⊥OX,OA⊥OC,∠COX=30°，
∴ ∠BOX=90°,∠AOC=90°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COX+∠BOC=90°，
∴∠AOB=∠COX=30°，
∴ ∠AOX=∠AOC+∠BOX=120°，
在运动后，
∵射线OA绕O点每秒30°的速度顺时针旋转，射线OB绕O点每秒20°的速度顺时针
旋转，射线OC以每秒10°的速度逆时针旋转，
∴ ∠AOX=120°−30°t；∠BOX=90°−20°t；∠COX=30°+10°t；
故答案为：120−30t,90−20t,30+10t；
②OB⊥OX,OA⊥OC,∠COX=30°，
∴∠AOB=30°，
经分析知2秒时OB与OC重合，所以在2秒以前设运动t 秒时，OB是OA与OC的角平
1
分线，
∴ 30°−10°t =60°−30°t ，
1 1
解得：t =1.5；
1
经分析知2秒时OB与OC重合，2.25秒时OA与OC重合，所以在2秒到2.25秒间，
OC是OA与OB的角平分线，设运动t 秒时，
2
∴ 30°t −60°=90°−40°t ，
2 2
15
解得：t = ；
2 7
3秒时OA与OB重合，所以在3秒以前设运动t 秒时，OA是OB与OC的角平分线，
3
∴ 30°t +10°t −90=20°t +30°−30°t ，
3 3 3 3
解得：t =2.4．
3
4秒时与OA直线OX重合，设3秒后4秒前运动t 秒时OB是OA与OA的角平分线，
4
∴20°t −60°+10°t =30°t −30°−20°t ，
4 4 4 4解得：t =1.5（舍去）．
4
15
故运动1.5秒或 秒或2.4秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线．
7
27．如图1，一直角三角尺的直角顶点O在直线AB上，一边OC在射线OA上，另一边
OD在直线AB的上方，将直角三角尺在平面内绕点O顺时针旋转，且OE平分∠BOC，
OF平分∠DOB，如图2．
(1)如图2，当∠AOC=70°时，
①求∠BOC和∠DOB的度数；
②求∠EOF的度数．
(2)在直角三角尺旋转过程中，设∠AOC=α，若0°<α<180°，则
①求∠BOC和∠DOB的度数（用含α的代数式表示）；
②∠EOF的度数是否发生变化，请通过计算说明理由．
【答案】(1)①∠BOC=110°，∠DOB=20°；②∠EOF=45°
(2)①当0°<α≤90°时，∠BOC=180°−α，∠DOB=90°−α；当90°<α<180°时，
∠BOC=180°−α，∠DOB=α−90°；
②∠EOF的度数没有发生变化
【详解】（1）①∠BOC=180°−∠AOC=180°−70°=110°，
∵由题意得，△COD是直角三角形，
∴∠COD=90°，
∴∠DOB=∠BOC−∠COD=110°−90°=20°，
②∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE=55°，
∵OF平分∠DOB，
∴∠BOF=∠DOF=10°，
∴∠EOF=∠BOE−∠BOF=55°−10°=45°；
（2）①当0°<α≤90°时，
∠BOC=180°−∠AOC=180°−α，
∵△COD是直角三角形，
试卷第46页，共49页∴∠COD=90°，
∴∠DOB=∠BOC−∠COD=180°−α−90°=90°−α；
当90°<α<180°时，
∠BOC=180°−∠AOC=180°−α，
∵△COD是直角三角形，
∴∠COD=90°，
∴∠DOB=∠AOC+∠COD−180°=α+90°−180°=α−90°；
②当0°<α≤90°时，
∵OE平分∠BOC，
α
∴∠COE=∠BOE=90°− ，
2
∵OF平分∠DOB，
α
∴∠BOF=∠DOF=45°− ，
2
α α
∴∠EOF=∠BOE−∠BOF=90°− −(45°− )=45°，
2 2
∴∠EOF的度数没有发生变化；
当90°<α<180°时，
∵OE平分∠BOC，
α
∴∠COE=∠BOE=90°− ，
2
∵OF平分∠DOB，
α
∴∠BOF=∠DOF= −45°，
2
α α
∴∠EOF=∠BOE−∠BOF=90°− +( −45°)=45°，
2 2
∴∠EOF的度数没有发生变化．
28．如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每
秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿道时针方向以每秒6°的速度旋转，直线MN
保持不动，如图2，设旋转时间为t(t的值在0到30之间，单位：秒)．
(1)当t=3时，求∠AOB的度数；(2)在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t的值；
(3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA的夹角为90°？如果存在，
请直接写出t的值：如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)150°
(2)24秒
(3)存在，9秒或27秒
【详解】（1）解：当t=3时，∠AOM=3×4=12°，∠BON=3×6=18°，
所以∠AOB=180°−12°−18°=150°，
答：∠AOB的度数是150°；
（2）根据题意，当∠AOB第二次达到60°时，
4t+6t=180+60，解得t=24，
答：当∠AOB第二次达到60°时，t的值是24秒；
（3）存在这样的t，使得射线OB与射线OA的夹角为90°，理由如下：
当射线OB与射线OA第一次夹角为90°时，两条射线共旋转180°−90°=90°，
所以4t+6t=90，解得t=9；
当射线OB与射线OA第二次夹角为90°时，两条射线共旋转180°+90°=270°，
所以4t+6t=270，解得t=27，综上所述，t的值是9秒或27秒．
29．如图，点O是直线MN上一点．将射线OM绕点O逆时针旋转，转速为每秒5°，
得到射线OA；同时，将射线ON绕点O顺时针旋转，转速为OM转速的3倍，得到射
线OB．设旋转时间为t秒（0≤t≤12）．
(1)当t=4秒时（如图1），求∠AOB的度数；
(2)当射线OA与射线OB重合时（如图2），求t的值；
(3)是否存在t值，使得射线OB平分∠AOM？如果存在，请求出t的值；如果不存在，
请说明理由．
【答案】(1)100°
(2)9
72
(3)存在t值，使得射线OB平分∠AOM，t的值为 ．
7
【详解】（1）解：当t=4时，∠AOM=4×5°=20°，∠BON=4×3×5°=60°，
∴∠AOB=180°−∠AOM−∠BON=100°，
试卷第48页，共49页∴当t=4秒时，∠AOB为100°．
（2）解：根据题意得：5t+3×5t=180，解得t=9，
∴当射线OA与射线OB重合时，t的值是9．
（3）解：存在t值，使得射线OB平分∠AOM，
如图：∵∠BON=3×(5t)°=(15t)°,
∴∠BOM=180°−15°t,
∵射线OB平分∠AOM，
72
∴5t=2(180−15t)，解得t= ，
7
72
∴t的值为 ．
7
30．如图，∠AOB=90°,∠COD=60°．
(1)若OC平分∠AOD，求∠BOC的度数；
1
(2)渃∠BOC= ∠AOD，求∠AOD的度数；
14
(3)若射线OP从射线OB的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒12°的速度旋转，同
时射线OQ从射线OA的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒9°的速度旋转，射线
1
OP旋转的时间为t（单位：秒），且0<t<7.5，求当∠QOP= ∠AOP时t的值．
2
【答案】(1)30°
(2)140°
(3)3或5
【详解】（1）解：∵OC平分∠AOD，
1
∴∠COD=∠AOC= ∠AOD，
2∵∠COD=60°，
∴∠AOC=60°，
∴∠BOC=∠AOB−∠AOC=30°；
1
（2）解：设∠AOD=x，则∠BOC= x，
14
∵∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠BOD=∠COD−∠BOC，
∴∠AOD=∠AOB+∠COD−∠BOC，
∵∠AOB=90°，∠COD=60°，
∴∠AOD=150°−∠BOC，
1
∴x=150− x，
14
解得：x=140°，
∴∠AOD的度数为140°．
（3）解：当射线OP与射线OQ未相遇之前，如图，
由题意得：∠AOQ=9t，∠BOP=12t，
∴∠AOP=90°−∠BOP=90°−12t，
∠QOP=90°−∠AOQ−∠BOP=90°−21t，
1
∵∠QOP= ∠AOP
2
1
∴90°−21t= (90°−12t)，
2
解得：t=3；
当射线OP与射线OQ相遇后且均在∠AOB内部时，如图，
试卷第50页，共49页由题意得：∠AOQ=9t，∠BOP=12t，
∴∠AOP=90°−∠BOP=90°−12t，
∠QOP=∠BOP−∠BOQ=∠BOP−(90°−∠AOQ)=21t−90°，
1
∵∠QOP= ∠AOP
2
1
∴21t−90°= (90°−12t)
2
解得：t=5；
1
综上所述，当∠QOP= ∠AOP时t=3或5．
2
