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七年级上学期数学期末培优检测（尖子生专用 C）
考试范围：七年级上册全部；考试时间：120分钟；满分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
试卷说明：
本试卷难系数约0.4，只适合尖子生考前查漏补缺使用。
一、单选题（共33分）
1．（3分）一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y，那么这个两位数是
（ ）．
A．x+ y B．10xy C．10(x+ y) D．10x+ y
【答案】D
【详解】解：∵一个两位数，它的十位数是x，个位数字是y，
∴根据两位数的表示方法，这个两位数表示为：10x+ y．
故选：D
2．（3分）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则|a−b|−|b|=（ ）
A．2b−a B．−a C．a−2b D．a
【答案】B
【详解】解：由题意得a<0|b|,
∴a−b<0,
∴|a−b|−|b|=−(a−b)−b=b−a−b=−a,
故选B
3．（3分）如图，OC在∠AOB外部，OM，ON分别是∠AOC，∠BOC的平分线．
∠AOB=110°，∠BOC=60°，则∠MON的度数为（ ）
A．50° B．75° C．60° D．55°
【答案】D
【详解】解：∵∠AOB=110°，∠BOC=60°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=170°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
1 1
∴∠COM= ∠AOC=85°，∠CON= ∠BOC=30°，
2 2
∴∠MON=∠COM−∠CON=55°．
故选：D．
4．（3分）如图，点C是线段AB上任意一点（不与端点重合），点M是AB的中点，
点P是AC的中点，点Q是BC的中点，给出下列结论：①PQ=MB；②
1 1 1
PM= (AM−MC)；③PQ= (AQ+AP)；④MQ= (MB+MC)．其中正确的有
2 2 2
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：∵M是AB中点，
1
∴AM=BM= AB，
2
∵P是AC中点，
1
∴AP=CP= AC，
2
∵点Q是BC中点，
1
∴CQ=BQ= BC，
2
1 1
对于①：PQ=PC+CQ= (AC+BC)= AB=BM，故①正确；
2 2
1 1
对于②：PM=AM−AP= (AB−AC)= BC，
2 2
1 1
PM=AM−AP= (AB−AC)= BC，故②正确；
2 2
1 1
对于③：PQ=PC+CQ= (AC+BC)= AB，
2 2
而
1 1 1 1 1 1
(AQ+AP)= [(AP+PQ)+AP]=AP+ PQ= (AC+PQ)= (AC+BM)> A，B
2 2 2 2 2 2
故③错误；
试卷第2页，共16页1 1 1
对于④： (MB+MC)= (MA+MC)= AC，
2 2 2
1 1 1 1 1
MQ=MC+CQ=(AC−AM)+ BC=AB−BC− AB+ BC= (AB−BC)= A，C
2 2 2 2 2
故④正确；
故对3个，
故选C．
5．（3分）计算机按如图所示程序工作，如果输入的数是1，那么输出的数是（ ）
A．657 B．−657 C．−639 D．639
【答案】C
【详解】解：当x=1时，(1−8)×9=−63，
∵|−63|<100，
∴当x=−63时，(−63−8)×9=−639
∵|−639|>100，
∴输出的数是−639，
故选：C
6．（3分）东汉初年，我国的《周髀算经》里就有“径一周三”的古率，提出了圆的
直径与周长之间存在一定的比例关系．将图中的半圆弧形铁丝(MN)向右水平拉直（保
持M端不动）．根据该古率，与拉直后铁丝N端的位置最接近的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】A
【详解】解：∵半圆的直径是1，
∴由“径一周三”知圆的周长，
3
∴半圆的周长为 ，
2
∴拉直后铁丝N端的位置最接近的是点A，
故选：A．1
7．（3分）若− xm−3y与2x2yn−2是同类项，则(m−2n) 2023的值为（ ）
3
A．2022 B．−2022 C．−1 D．1
【答案】C
1
【详解】解：∵ − xm−3 y与2x2yn−2是同类项，
3
∴m−3=2，n−2=1，
∴m=5，n=3，
∴ ，
(m−2n) 2023=(5−2×3) 2023=−1
故选：C．
8．（3分）如图，把一个圆剪去一部分，所得涂色部分的图形周长比原来圆的周长小，
能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．垂线段最短 B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短 D．经过一点有无数条直线
【答案】C
【详解】解：由于两点之间线段最短，
∴把一个圆剪去一部分，所得涂色部分的图形周长比原来圆的周长小．
故选：C．
9．（3分）如果一个正方形的周长为(2a+b)（其中a>0，b>0），则该正方形的面
积为（ ）．
a2 ab b2 a2 b2
A． + + B． + C．4a2+b2 D．
4 4 16 4 16
4a2+4ab+b2
4
【答案】A
【详解】解：∵一个正方形的周长为(2a+b)，
2a+b
∴正方形的边长为 ，
4
试卷第4页，共16页∴正方形的面积为(2a+b) 2 a2 ab b2，
= + +
4 4 4 16
故选：A．
10．（3分）下列说法中正确的有（ ）
①过两点有且只有一条直线；
②连接两点的线段的长度叫两点的距离；
③两点之间线段最短；
④如果AB=BC，则点B是AC的中点；
⑤直线经过点A，那么点A在直线上．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【详解】解：∵过两点有且只有一条直线，故①正确；
∵连接两点的线段的长度叫两点的距离，故②正确；
∵两点之间，线段最短，故③正确；
当B在直线AC外时，AB=BC，则点B不是AC的中点，故④错误；
∵直线l经过点A，那么点A在直线l上，故⑤正确，
即正确的有4个，
故选：C．
1
11．（3分）若关于x的一元一次方程 x+3=2x+b的解为x=−3，则关于y的一
2022
1
元一次方程 (y+1)+3=2(y+1)+b的解为（ ）
2022
A．y=1 B．y=−2 C．y=−3 D．y=−4
【答案】D
1
【详解】解：∵关于x的一元一次方程 x+3=2x+b的解为x=−3，
2022
1
∴关于y的一元一次方程 (y+1)+3=2(y+1)+b中，有y+1=−3，
2022
∴y=−4；
1
即方程 (y+1)+3=2(y+1)+b的解为y=−4；
2022
故选：D
二、填空题（共15分）2
12．（3分）点C和点D都在直线AB上，若BC= AC且AC=6cm，AB=CD．则
3
AD= cm．
【答案】4或8或16
2
【详解】解：∵BC= AC且AC=6cm，
3
∴BC=4cm，
①当点C在点B左侧，点D在点C右侧时，如图1，
∴AB=AC+BC=10cm，
∵AB=CD，
∴CD=10cm，
∴AD=AC+CD=16cm；
②当点C在点B左侧，点D在点C左侧时，如图2，
∴AB=AC+BC=10cm，
∵AB=CD，
∴CD=10cm，
∴AD=CD−AC=4cm；
③当点C在点B右侧，点D在点C右侧时，如图3，
∴AB=AC−BC=2cm，
∵AB=CD，
∴CD=2cm，
∴AD=AC+CD=8cm，
④当点C在点B右侧，点D在点C左侧时，如图3，
∴AB=AC−BC=2cm，
∵AB=CD，
试卷第6页，共16页∴CD=2cm，
∴AD=AC−CD=4cm，
故答案为：4或8或16．
13．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，
初键步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意是：“有人要去某关口，
路程378里，第一天键步行走，第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一
半，一共走了六天才到达目的地，”则此人第六天走的路程为
【答案】6里
【详解】解：设第六天走了x里，
依题意得：x+2x+4x+8x+16x+32x=378，
解得x=6(里).
故答案为6里.
14．（3分）有两根木条,一根AB长为100cm,另一根CD长为150cm,在它们的中点处
各有一个小圆孔MN(圆孔直径忽略不计,MN抽象成两个点),将它们的一端重合,放置在
同一条直线上,此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是 cm.
【答案】125或25
【详解】本题有两种情形：
（1）当A、C（或B、D）重合，且剩余两端点在重合点同侧时，
1 1
MN=CN-AM= CD- AB，
2 2
=75-50=25cm；
（2）当B、C（或A、C）重合，且剩余两端点在重合点两侧时，
1 1
MN=CN+BM= CD+ AB，
2 2
=75+50=125cm．
故两根木条的小圆孔之间的距离MN是25cm或125cm．
15．（3分）已知数轴上有A、B两点分别表示数2和4，点C表示数为x，A、B、C
三点中，有一点恰好是另外两点为端点的线段的中点，x的值为 ．【答案】0或3或6
【详解】解：根据题意，
∵数轴上有A、B两点分别表示数2和4，点C表示数为x，
当点A为线段BC的中点时，
x+4
=2，
2
∴x=0；
当点B为线段AC的中点时，
2+x
=4，
2
∴x=6；
当点C为线段AB的中点时，
2+4
x= =3；
2
∴x的值为：0或3或6
故答案为：0或3或6．
16．（3分）由若干个相同的小正方体堆成的几何体从正面、上面看得到的图形如图
所示，则堆成这个几何体最少需要 个正方体．
【答案】12
【详解】结合主视图，可得小正方体的分布情况如下，
则共有3+2+3+1+1+1+1=12（个）
故答案为：12
三、解答题（共72分）
17．（6分）计算
试卷第8页，共16页（1）－3＋2－4×（－5）；（2）7
÷
(2
−
1)
−
1
×(−4) 2
9 3 5 3
11
【答案】（1）19；（2）-
3
【详解】（1）－3＋2－4×（－5）
=-3+2+20
=19；
（2）7
÷
(2
−
1)
−
1
×(−4) 2
9 3 5 3
7 7 1
= ÷ − ×16
9 15 3
5 16
= −
3 3
11
=−
3
18．（6分）解方程
4 7 y−1 5 y−4
（1）x－4= x＋2；（2） −1=
3 4 6
7
【答案】（1）x=－18；（2）y=
11
4
【详解】（1）∵x−4= x+2，
3
∴3x-12=4x+6，
∴3x-4x=12+6
∴-x=18
∴x=-18；
7 y−1 5 y−4
（2）∵ −1= ，
4 6
∴3（7y-1）-12=2（5y-4），
∴21y-3-12=10y-8，
∴21y-15=10y-8，
∴21y-10y=15-8
∴11y=7
7
∴y=
1119．（6分）已知 ， ．
A=4x2−2(3 y2+2x2+x) B=6 y2−3xy+4
1
(1)若x=− ，y=−1，求A+B的值；
2
(2)若A+B的值与x的取值无关，则y=______．
7
【答案】(1)−2x−3xy+4，
2
2
(2)−
3
【详解】（1）解：∵ ，
A=4x2−2(3 y2+2x2+x) B=6 y2−3xy+4
∴
A+B=4x2−2(3 y2+2x2+x)+6 y2−3xy+4
=4x2−6 y2−4x2−2x+6 y2−3xy+4
=−2x−3xy+4，
1
当x=− ，y=−1时，
2
原式 ( 1) ( 1) 7；
=−2× − −3× − ×(−1)+4=
2 2 2
（2）解：由（1）知A+B=−2x−3xy+4=−(2+3 y)x+4，
∵A+B的值与x的取值无关，
∴−(2+3 y)=0
2
解得：y=− ．
3
20．（8分）定义：关于x的方程ax−b=0与方程bx−a=0（a，b均为不等于0的常
数）互为“反对方程”．例如：方程2x−1=0与方程x−2=0互为“反对方程”．
(1)若方程2x−3=0与方程3x−c=0互为“反对方程”，则c=______．
(2)若关于x的方程4x+3m+1=0与方程5x−n+2=0互为“反对方程”．求m，n的
值．
(3)若关于x的方程2x+3b−1=0与其“反对方程”的解都是整数，求常数b的值．
【答案】(1)2；
(2)m=−2，n=6；
1
(3)b=− 或b=1．
3
【详解】（1）解：∵2x−3=0与方程3x−c=0互为“反对方程”
∴c=2，
试卷第10页，共16页故答案为：2；
（2）解：将4x+3m+1=0转化为：4x−(−3m−1)=0，
将5x−n+2=0转化为：5x−(n−2)=0，
∵4x+3m+1=0与5x−n+2=0互为“反对方程”，
∴−3m−1=5，n−2=4，
∴m=−2，n=6；
（3）解：类比（2）同理可得方程2x+3b−1=0的“反对方程”为(1−3b)x−2=0，
由2x+3b−1=0解得：
1−3b
x= ，
2
由(1−3b)x−2=0解得：
2
x= ，
1−3b
∵2x+3b−1=0与(1−3b)x−2=0的解都是整数，
1−3b 2
∴ 与 都是整数，
2 1−3b
∴1−3b=±2，
1
当1−3b=2时解得b=− ，
3
当1−3b=−2时解得b=1，
1
∴b=− 或b=1．
3
21．（8分）如图①，已知线段 AB＝12cm，点 C 为 AB 上的一个动点，点 D，E
分别是 AC 和 BC的中点．
（1）若 AC＝4cm，求 DE 的长．
（2）若 AC＝acm（不超过 12cm），求 DE 的长．
（3）知识迁移：如图②，已知∠AOB＝120°，过角的内部任意一点 C 画射线OC，
若OD，OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，求∠DOE 的度数．
【答案】（1）6
（2）6
（3）60°
【详解】（1）∵AB＝12cm，AC＝4cm，∴BC=8cm，
∵点 D，E 分别是 AC 和 BC的中点，
∴CD=2cm，CE=4cm，
∴DE=6cm.
（2）∵AC＝acm，
∴BC=AB-AC=12-a，
∵点 D，E 分别是 AC 和 BC的中点，
1 1
∴DE=CD+CE= （AC+BC）= （a+12-a） =6cm，
2 2
（3）∵OD，OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，
1 1
∴∠DOE=∠DOC+∠COE= (∠AOC+∠COB)= ∠AOB
2 2
∵∠AOB＝120°，
∴∠DOE=60°.
22．（8分）某花店先后以每支2元和每支4元的价格两次共购进玫瑰700支，且第二
次付款是第一次付款的1.5倍．
(1)求两次各购进玫瑰多少支？共付款多少钱？
(2)若花店起初以每支6元的价格销售玫瑰，但售出500支后，受市场影响，花店把剩
下的玫瑰每支标价9元，再打折后全部售出，已知这两次销售共获利1900元，请问花
店对剩下的玫瑰是打几折销售的？
【答案】(1)第一次购进玫瑰400支，第二次购进玫瑰300支，共用了2000元；
(2)五折．
【详解】（1）设第一次购进玫瑰x支，则第二次购进玫瑰(700−x)支．
根据题意得方程：4(700−x)=2x×1.5．
解方程得：x=400．
∴700−x=300（支）．
2×400+4×300=2000（元）．
答：第一次购进玫瑰400支，第二次购进玫瑰300支，共用了2000元．
（2）设花店对剩下的玫瑰是打a折销售的．
a
根据题意得方程：6×500+9× ×(700−500)=2000+1900，
10
解方程得：a=5．
答：花店对剩下的玫瑰是打五折销售的．
23．（8分）数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表
示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题.
试卷第12页，共16页如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”.图中点A表示
－10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位.动
点P从点A出发，以2单位秒的速度沿着折线数抽”的正方向运动，从点O运动到点
B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单
位秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之
后也立刻恢复原速.当点P到达点C时，两点都停上运动.设运动的时间为1秒.问：
(1)t＝2秒时，点P在“折线数轴”上所对应的数是_______；点P到点Q的距离是
_____单位长度；
(2)动点P从点4运动至C点需要_______秒；
(3)P、Q两点相遇时，求出t的值和此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数；
(4)如果动点P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等，直
接写出t的值.
31 16
【答案】(1)−6,22 (2)10 (3)t= , (4)2，6.5，11，17
3 3
【详解】解：
(1)当t＝2秒时，点P运动了4，此时对应的数为：−10+4=−6，
点Q运动了2，此时Q对应的数为：18−2=16，
(2)∵点P到点Q的距离是16−(−6)=16+6=22单位长度.
此时分为三段：PO、OB、BC,
点P在点4运动到B点需要时间：t =6÷1=6(秒)，
1
8
从B到C需要时间：t = =4(秒)，
2 2
∴一共需要：t +t =6+4=10(秒)；
1 2
(3)经分析可得相遇一定在OB上，设经过时间t两者相遇，
此时在OB上点Q的时间为：t−8，
在OB上点P的时间为：t−5，
根据总路程为28，列出方程：
10+(t−5)×1+8+(t−8)×2=28
31
解得：t= ，
331
即：经过 秒，P、Q两点相遇，
3
此时对应的数为：(31 ) 16.
−5 ×1=
3 3
(4)动点P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等，有4种
可能：
①动点Q在CB上，动点P在AO上，
则：8−t=10−2t，解得：t=2.
②动点Q在CB上，动点P在OB上，
则：(t−5)×1=8−t，解得：t=6.5.
③动点Q在BO上，动点P在OB上，
则：(t−5)×1=(t−8)×2，解得：t=11.
④动点Q在OA上，动点P在BC上，
则：(t−13)×1+10=(t−15)×2+10，解得：t=17.
24．（10分）我们知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性质．
【提出问题】能否借助一架天平和一个10克的砝码测量出一个乒乓球和一个一次性纸
杯的质量？
【实验探究】准备若干相同的乒乓球和若干相同的一次性纸杯（每个乒乓球的质量相
同，每个纸杯的质量也相同），设一个乒乓球的质量是x克，经过试验，将有关信息记
录在下表中：
天平状 乒乓球总 一次性纸杯的总
记录 天平左边 天平右边
态 质量 质量
记录 5个乒乓球，1个10 15个一次性
平衡 5x ______
一 克的砝码 纸杯
1个一次性
记录 纸杯
3个乒乓球 平衡 3x ______
二 1个10克的
砝码
【解决问题】
（1）将表格中两个空白部分用含x的代数式表示；
（2）分别求出一个乒乓球的质量和一个一次性纸杯的质量．
【及时迁移】
（3）借助以上相关数据以及实验经验，你能设计一种方案，使实验中选取的乒乓球的
个数是纸杯的个数的3倍吗？请补全下面横线上内容，完善方案，并说明方案设计的
合理性．
试卷第14页，共16页方案：将天平左边放置______，天平右边放置______，使得天平平衡．
理由：
【答案】（1）5x+10；3x−10；（2）一个乒乓球的质量为4克，一个一次性纸杯
的质量为2克；（3）3个乒乓球，1个一次性纸杯和1个10克的砝码，详见解析；
【详解】解：（1）根据题意可得：记录一中的一次性纸杯的总质量为：5x+10；
记录二中的一次性纸杯的总质量为：3x−10，
故答案为：5x+10；3x−10，
（2）由题意得：5x+10=15(3x−10)，
解得：x=4，∴3x−10=2
答：一个乒乓球的质量为4克，一个一次性纸杯的质量为2克．
及时迁移：将天平左边放置3个乒乓球，天平右边放置1个一次性纸杯和1个10克的
砝码，使得天平平衡．
故答案为：3个乒乓球，1个一次性纸杯和1个10克的砝码，
理由：不唯一，算术方法或者方程方法说明都可以，言之有理即可．
25．（12分）【阅读材料】
我们知道，“角”是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．射线在单位时间内以
固定的角度绕其端点沿某一方向旋转，经过不同的旋转时间都会形成不同的角．
在行程问题中，我们知道：运动路程＝运动速度×运动时间；
类似的，在旋转问题中，我们规定：旋转角度＝旋转角速度×旋转时间．
例如（如图），射线OM从射线OA出发，以每秒10°的旋转速度（称为“旋转角速
度”）绕点逆时针旋转．旋转1秒得旋转角度∠MOA＝10°×1＝10°，旋转2秒得旋转
角度∠MOA＝10°×2＝20°，……，旋转t秒得旋转角度∠MOA＝10°×t＝（10t）°．
【问题解决】
如图1，射线OA上有两点M、N．将射线OM以每秒10°的旋转角速度绕点O逆时针
旋转（OM最多旋转9秒）；射线OM旋转3秒后，射线ON开始以每秒20°的旋转角
速度绕点O逆时针旋转，如图2所示．设射线ON旋转时间为t秒．
(1)当t＝2时，∠MON＝_____°；
(2)当∠MON＝20°时，求t的值；(3)如图3，OM、ON总是在某个角∠AOB的内部旋转，且当ON为∠AOB的三等分线
时，OM恰好平分∠AOB，求∠AOB的度数．
【答案】(1)10；
(2)1或5；
(3)90°或180°
【详解】（1）解：当t＝2时，∠MOA＝10°×（2+3）＝50°，∠NOA＝20°×2＝40°，
∴∠MON＝∠MOA-∠AON＝10°，
故答案为：10；
（2）当OM与ON重合前，10（t+3）-20=20t，解得t=1；
当OM与ON重合后，10（t+3）-20=20t，解得t=5，
故t的值为1或5；
（3）解：①如图，当OM与ON重合前，设∠AON=x，则∠AOB=3x，∠AOM=1.5x，
∴∠AOM=1.5∠AON，
∴10(t+3)=1.5×20t，
解得t=1.5，
∴∠AON=20t=30°，
∴∠AOB=3×30°=90°；
②如图，当OM与ON重合后，设∠BON=a，则∠AOB=3a，∠AOM=1.5a，
∠AON=2a，
3
∴∠AOM= ∠AON，
4
3
∴10(t+3)= ×20t，
4
解得t=6，
∴∠AON=20t=120°=2a，
∴a=60°，
∴∠AOB=3a=180°；
试卷第16页，共16页∴∠AOB的度数为90°或180°．
