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专题 09 压轴精选
角平线之双平分模型与动边强化练
学校：__________ 班级：__________姓名：__________学号：__________
考点目录
一、经典难点：角的n平分。.........................................................................................1
二、角平分线之双平分模型。............................................2
三、角平分线与新定义的融合。..........................................4
四、易错考点：角平分的两种情况。.....................................10
五、难点：定值的存在性...............................................10
六、综合提升：线段与角的共性的融合。.................................12
七、动边问题：边（角）的旋转—抓住：起边，临界边，终边，分类讨论。...13
【典例分析】
例1：已知：∠AOC=∠BOD=a(0°<a<180°)．
(1)如图1，若a=90°．
①写出图中一组相等的角（除直角外）__________，
理由是________________．
②那么∠COD+∠AOB=_________°．
(2)如图2，∠AOC与∠BOD重合，若a=60°，将∠BOD绕点O以5度/秒的速度作
逆时针旋转，运动时间为t（0<t<24）秒．
①当t=______秒时，OB平分∠AOC；
1
②试说明：当t为何值时， ∠AOB= ∠COD？
4
【答案】(1)①∠AOD=∠BOC，同角的余角相等；②180
36
(2)①6；② 或20
5
【详解】（1）解：①∵∠AOC=∠BOD=a=90°，
∴∠AOD+∠AOB=90°，∠BOC+∠AOB=90°，∴∠AOD=∠BOC（同角的余角相等）．
故答案为：∠AOD=∠BOC，同角的余角相等；
②∵∠AOC=∠BOD=a=90°，
∴∠COD+∠AOB
=∠AOC+∠AOD+∠AOB
=∠AOC+∠BOD
=90°+90°
=180°．
故答案为：180；
1
（2）解：①根据题意，得∠BOC= ∠AOC，
2
1
即5t= ×60，
2
解得t=6．
故答案为：6；
②当OB在∠AOC的内部时，
1
∵∠AOB= ∠COD，
4
1
∴60−5t= (60+5t)，
4
36
解得t= ；
5
当OB在∠AOC的外部时，
1
∵∠AOB= ∠COD，
4
1
∴5t−60= (60+5t)，
4
解得t=20，
36 1
综上，t为 或20时，∠AOB= ∠COD
5 4
例2：如图，OC在∠AOB外部，OM，ON分别是∠AOC，∠BOC的平分线．
∠AOB=110°，∠BOC=60°，则∠MON的度数为（ ）
试卷第2页，共19页A．50° B．75° C．60° D．55°
【答案】D
【详解】解：∵∠AOB=110°，∠BOC=60°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=170°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
1 1
∴∠COM= ∠AOC=85°，∠CON= ∠BOC=30°，
2 2
∴∠MON=∠COM−∠CON=55°．
故选：D．
实战训练
一、经典难点：角的n平分。
1．（1）如图1，已知∠AOB内部有三条射线，ON平分∠BOC，OM平分∠AOC，
若∠AOB=60°，求∠AOM+∠BON的度数；
（2）若将（1）中的条件“ON平分∠BOC，OM平分∠AOC”改为“
1 3
∠NOB= ∠COB，∠COM= ∠COA”，且∠AOB=α，求∠AOM+∠BON
4 4
的度数；
（3）如图2，若ON、OC在∠AOB的外部时，ON平分∠BOC，OM平分∠AOC，
当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想：∠MON与β的大小有关系吗？如果没有，指出
结论并说明理由．
2．已知直线AB与CD相交于点O，且OM平分∠AOC．(1)如图1，若ON平分∠BOC，求∠MON的度数；
1
(2)如图2，若∠CON= ∠BON，∠MON=55°，求∠BON的度数．
3
3．如图，已知点O为直线AB上一点，∠COD=90°，OE是∠AOD的平分线．
(1)如图1，若∠COE=55°，求∠BOD的度数；
(2)如图2，OF是∠BOC的平分线，求∠EOF的度数；
(3)在（2）的条件下，OP是∠BOD的一条三等分线，若∠AOC+∠DOF=∠EOF，
求∠FOP的度数．
4．点O直线AB上一点，过点O作射线OC，使得∠BOC=65°，将一直角三角板的
直角顶点放在点O处．
(1)如图1，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，求∠MOC的度数；
(2)如图2，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的平分线，
求∠BON和∠CON的度数；
1
(3)将三角板MON绕点O在直线AB上方逆时针旋转，若∠NOC= ∠AOM，求
4
∠NOB的度数．
二、角平分线之双平分模型。
试卷第4页，共19页5．解答题
(1)如图，若∠AOB=120°， ∠AOC=40°，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，
求∠DOE的度数；
(2)若∠AOB，∠AOC是平面内两个角，∠AOB=m°， ∠AOC=n°
， 、 分别平分 、 ，求 的度数．（用含 、
(n<m<180°) OD OE ∠AOB ∠AOC ∠DOE m
n的代数式表示）
6．在同一平面内，我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”．例如：
∠AOB和∠BOC都有公共顶点O和一条公共边OB，所以这两个角是“共边角”．
【问题解决】：
（1）当两个“共边角”为60°和30°时，它们非公共边的两边的夹角是______°，这两
个“共边角”的平分线的夹角度数为______°；
（2）若两个“共边角”非公共边的两边所成的角是直角，则这两个角的平分线的夹角
度数为______°．
（3）若OD、OE分别平分“共边角”∠AOC和∠BOC，试猜想∠DOE与∠AOB
的关系，并以图①或图②为例说明理由．
【知识迁移】：
（4）在同一条直线上，我们把有一个公共端点的两条线段称为“共端点线段”．例如：
AB和BC都有公共端点B，所以这两条线段是“共端点线段”若两条“共端点线段”
的长度分别为m和n，则这两条线段的中点之间的距离为______．
7．如图所示，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．(1)如果∠AOB=40°，∠DOE=25°，求∠BOE的度数；
(2)如果∠AOE=120°，∠COD=20°，求∠AOB的度数．
8．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD．OF平分∠COE，
∠BOF=15°，求∠DOE的度数．
9．如图，已知A、O、B三点在同一条直线上，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．
(1)直接写出∠EOC+∠DOC的度数为_______°；
(2)若∠BOC=72°，求∠AOD的度数．
三、角平分线与新定义的融合。
10．定义：从∠MPN的顶点P引一条射线PQ（不与PM重合），若
∠QPN+∠MPN=180°，则称射线PQ为∠MPN关于边PN的补线．
(1)下列说法：①一个角关于某边的补线一定在这个角的外部；②一个角关于某边的补
线一定有2条；③一个角关于某边的补线有1条或2条，其中正确的是 ；（填序号）
(2)如图，O是直线AB上一点，射线OC，OD在AB同侧，OD是∠BOC的平分线，
则OC是∠AOD关于边OD的补线吗？为什么？
试卷第6页，共19页(3)已知射线OC为∠AOB关于边OB的补线，OP是∠BOC的平分线．若∠AOB=α，
试用含α的式子表示∠AOP（直接写出结果）．
（1）解：①当这个角是钝角时，它的补线一条在内部，邻补的在外部；
②当这个角是直角时，它的补线只有1条；
③当这个角是直角时，它的补线只有1条，当这个角不是直角时，有两条；
故答案为：③；
（2）解：OC是∠AOD关于边OD的补线，理由如下：
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠BOD=∠COD，
∵∠BOD+∠AOD=180°，
∴∠COD+∠AOD=180°，
又∵OC不与OA重合，
∴OC是∠AOD关于边OD的补线．
（3）解：当∠AOB为钝角，且OC在∠AOB内部时，如图所示：
∵射线OC为∠AOB关于边OB的补线，
∴∠AOB+∠BOC=180°，
∵∠AOB=α，
∴∠BOC=180°−α，
∵OP是∠BOC的平分线．
1 1
∴∠BOP= ∠BOC=90°− α，
2 2
1 3
∴∠AOP=∠AOB−∠BOP= α−(90°−α)= α−90°．
2 2
当∠AOB为钝角，且OC在∠AOB外部时，如图所示：
∵射线OC为∠AOB关于边OB的补线，
∴∠AOB+∠BOC=180°，
∵∠AOB=α，
∴∠BOC=180°−α，∵OP是∠BOC的平分线．
1 1
∴∠BOP= ∠BOC=90°− α，
2 2
∴ ( 1 ) 1 ．
∠AOP=∠AOC−∠BOP=180°− 90°− α = α+90°
2 2
当∠AOB为锐角，且OA在∠BOC内部，且0<α≤60°时，如图所示：
∵射线OC为∠AOB关于边OB的补线，
∴∠AOB+∠BOC=180°，
∵∠AOB=α，
∴∠BOC=180°−α，
∵OP是∠BOC的平分线．
1 1
∴∠BOP= ∠BOC=90°− α，
2 2
1 3
∴∠AOP=∠BOP−∠AOB=90°− α−α=90°− α；
2 2
当∠AOB为锐角，且OA在∠BOC内部，且60<α<90°时，如图所示：
∵射线OC为∠AOB关于边OB的补线，
∴∠AOB+∠BOC=180°，
∵∠AOB=α，
∴∠BOC=180°−α，
∵OP是∠BOC的平分线，
1 1
∴∠BOP= ∠BOC=90°− α，
2 2
试卷第8页，共19页∴ ( 1 ) 3 ；
∠AOP=∠AOB−∠BOP=α− 90°− α = α−90°
2 2
当∠AOB为锐角，且OA在∠BOC外部，如图所示：
∵射线OC为∠AOB关于边OB的补线，
∴∠AOB+∠BOC=180°，
∵∠AOB=α，
∴∠BOC=180°−α，
∵OP是∠BOC的平分线，
1 1
∴∠BOP= ∠BOC=90°− α，
2 2
∴ ( 1 ) 1 ；
∠AOP=∠AOB+∠BOP=α+ 90°− α =90°+ α
2 2
当∠AOB为直角时，OC只能在∠AOB的外部，如图所示：
∵射线OC为∠AOB关于边OB的补线，
∴∠AOB+∠BOC=180°，
∵∠AOB=α，
∴∠BOC=180°−α，
∵OP是∠BOC的平分线，
1 1
∴∠BOP= ∠BOC=90°− α，
2 2
∴ ( 1 ) 1 ；
∠AOP=∠AOB+∠BOP=α+ 90°− α =90°+ α
2 211．
【阅读理解】
1
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠AOC＝ ∠BOC，则称射线OC是射线OA在
2
1
∠AOB内的一条“友好线”．如图1，若∠AOB＝75°，∠AOC＝25°，则∠AOC＝
2
∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．
【解决问题】
(1)在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD （填“是”或“不是”）射
线OB在∠AOB内的一条“友好线”；
(2)如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，
ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 （用含n的代数式表示）；
(3)如图3，射线OB先从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒1°的速度逆时针旋
转；10秒后射线OC也从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度逆时针
旋转，当射线OC与射线OA的延长线重合时，运动停止．问：当射线OC运动时间为
多少秒时，射线OA，OB，OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两
条射线所组成的角内的一条“友好线”？
12．【阅读】：
通过学习我们知道，|a|的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离．由于|a|可
以看作|a−0|，那么|a−0|的几何意义为数轴上表示数a与0的两点间的距离．这个
试卷第10页，共19页结论还可以推广为：点A，B在数轴上分别表示数a、b，那么A，B之间的距离可表示
为|a−b|．
【探索】：
（1）数轴上表示2和−5的两点之间的距离是______；
（2）若使a所表示的点到表示2和−5的点的距离之和为7，所有符合条件的整数a的
和为______；
【动手折一折】：
小博同学在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
（3）折叠纸面，使3表示的点和−6表示的点重合，
①5表示的点和______表示的点重合；
②已知A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为100，且A，B两点经折叠后重合，则
点A表示的数是______，点B表示的数是______；
【拓展延伸】：
（4）动点P，Q同时从−3对应的点出发沿数轴向右运动，点P，点Q的速度分别为3
个单位长度/s和1个单位长度/s，是否存在某一时刻，使得原点O，P，Q这三个点中，
有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出此时点P所代表的数；若不存
在，请说明理由．
【方法迁移】
（5）如图，∠AOB=140°，OC平分∠AOB．现有射线OP、OQ分别从OC、OB
同时出发，以每秒15°和每秒10°的速度绕点O顺时针旋转，当OP旋转一周时，这两
条射线都停止旋转．问经过______秒后，射线OP、OQ的夹角为30°．
13．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB、∠AOC、
∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的
“定分线”．
（1）一个角的平分线_________这个角的“定分线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，若∠MPN=a，且射线PQ是∠MPN的“定分线”，则∠MPQ=
________(用含a的代数式表示出所有可能的结果）；
（3）如图2，若∠MPN=48°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒8°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成90°时停止旋转，旋转的时间为t秒；同时射线PM绕点P以
每秒4°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止．当PQ是∠MPN的“定分线”时，求t
的值．
1
14．【阅读理解】射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA= ∠AOB，则我
3
们称射线OC是射线OA的“友好线”.例如，如图1，∠AOB=60°，
1
∠AOC=∠COD=∠BOD=20°，则∠AOC= ∠AOB，称射线OC是射线OA的
3
1
友好线；同时，由于∠BOD= ∠AOB，称射线OD是射线OB的友好线．
3
【知识运用】
(1)如图2，∠AOB=105°，射线OM是射线OA的友好线，则∠AOM为多少度；
(2)如图3，∠AOB=180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时
针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒4°的速度顺时针旋转，当射线OD
与射线OA重合时，运动停止；
①是否存在某个时刻t(秒)，使得∠COD的度数是30°，若存在，求出t的值，若不存
在，请说明理由；
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．请
直接写出所有答案；
四、易错考点：角平分的两种情况。
15．已知∠AOB=80°,OM是∠AOB的平分线，∠BOC=20°，ON是∠BOC的平
试卷第12页，共19页分线，则∠MON的度数为 ．
16．已知∠AOB=80°,OM是∠AOB的平分线，∠BOC=20°，ON是∠BOC的
平分线，则∠MON的度数为 ．
17．已知∠AOB=80°，OC平分∠AOB，射线OM与OC所形成的角度是10°，那么
∠AOM的度数是 °
五、难点：定值的存在性
18．如图1，已知线段AB=34cm，CD=4cm，线段CD在线段AB上运动（点C不与
点A重合），点E、F分别是AC、BD的中点．
(1)若AC=10cm，则EF= cm；
(2)当线段CD在线段AB上运动时，试判断线段EF的长度是否会发生变化，如果不变，
请求出线段EF的长度；如果变化，请说明理由；
(3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠COD在∠AOB内部转动，
OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD．类比以上发现的线段的规律，若
∠EOF=80°，∠COD=35°，求∠AOB的度数．
19．已知O为直线AB上一点，射线OD、OC、OE位于直线AB上方，OD在OE的左
侧，∠AOC=120°，∠DOE=80°．
(1)如图1，当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数；
(2)点F在射线OB上，若射线OF绕点O逆时针旋转n°（0<n<180且n≠60），
∠FOA=3∠AOD．当∠DOE在∠AOC内部（图2）和∠DOE的两边在射线OC
的两侧（图3）时，∠FOE和∠EOC的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不
变，求出其关系．20．已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点O放置于直线MN上，直角边OA与
直线MN重合，其中∠AOB=90°，然后将三角板AOB绕点O顺时针旋转，设
1
∠AOM=α，从点O引射线OC和OD，OC平分∠BON，∠BOD= ∠MOB．
3
(1)如图2，填空：当α=30°时，∠CON=______°．
(2)如图2，当0°<α<90°时，求∠COD的度数（用含α的代数式表示）；
1
(3)如图3，当90°<α<180°时，请判断∠COD− ∠BON的值是否为定值，若为定
6
值，求出该定值，若不是定值，请说明理由．
21．已知∠AOB=108°，∠COD=42°．OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．
(1)如图1，当OB，OC重合时，求∠AOE−∠BOF的值；
(2)如图2，当∠COD从图1所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒时（
0<t<10），在旋转过程中∠AOE−∠BOF的值是否会因t的变化而变化？若不发生
变化，请求出该定值：若发生变化，请说明理由．
(3)在（2）的条件下，当∠COF=18°时，求t的值．
22．如图，∠AOB=100°，∠COD=40°，射线OE平分∠AOC，射线OF平分
∠BOD（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）．
试卷第14页，共19页(1)如图，当OB，OC重合时，求∠EOF的度数；
(2)当∠COD从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度(0<n<40)时，∠AOE−∠BOF
的值是否为定值？若是定值，求出∠AOE−∠BOF的值，若不是，请说明理由．
(3)当∠COD从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度(0<n<220)时，∠AOE与
∠BOF具有怎样的数量关系？
六、综合提升：线段与角的共性的融合。
23．已知射线OC在∠AOB的内部，若∠AOB，∠AOC和∠BOC三个角中有一个
1
角的度数是另一个角的度数的 ，则称射线OC是∠AOB的奇分线．
2
(1)判断一个角的平分线是否是这个角的奇分线；
(2)如图，∠MPN=54°．
①若射线PQ是∠MPN的奇分线，求∠QPN的度数；
②射线PF从PN位置开始，以每秒旋转3°的速度绕点P按逆时针方向旋转，当
∠FPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．当t为何值时，射线PM
是∠FPN的奇分线．
24．【情境探究】
如图1，已知线段AB=30cm，CD=6cm，线段CD在线段AB上运动，E，F分别是
AC,BD的中点，探究线段EF的特征．(1)若AC=10cm，则EF=________；
(2)当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求
出EF的长度，如果变化，请说明理由；
(3)如图2，已知∠AOB=130°，∠COD=20°，∠COD在∠AOB内部转动，
OE,OF分别是∠AOC和∠BOD的角平分线，求∠EOF的度数；
(4)请直接写出∠EOF，∠AOB和∠COD之间的数量关系．
25．问题提出
如图（1），已知线段AB=12cm，点C为线段AB上的一个动点，点D,E分别是AC
和BC的中点．
（1）若AC=4cm，求DE的长；
（2）若把“点C为线段AB上的一个动点”改为“点C为直线AB的一个动点”，当
AC=4cm时，求DE的长；
知识迁移
（3）如图（2），过∠AOB的内部任一点C画射线OC，其中OD､OE分别平分
∠AOC和∠BOC；试猜想∠AOB与∠DOE的大小关系，并说明理由．
七、动边问题：边（角）的旋转—抓住：起边，临界边，终边，
分类讨论。
26．在数学的学习过程中，我们要不断地归纳，思考和迁移，综合运用所学知识和解
题方法，这样才能提高我们解决问题的能力，下面就从学完《数轴》发现的规律，开
始我们的探究之旅吧!
规律发现：
(1)点A表示的数是4，点B表示的数是10，则线段AB的中点C表示的数为 ；
(2)点A表示的数是−7，点B表示的数是5，则线段AB的中点C表示的数为 ；
试卷第16页，共19页发现：点A表示的数是a，点B表示的数是b，则线段AB的中点C表示的数为 ．
直接运用：
数轴上有三个不重合的点A、B、C，点A表示的数为x+2，点B表示的数为2x+3，C
表示的数为x−4，且AB=AC，则x值为 ．
类比迁移：
如图：OB⊥OX,OA⊥OC,∠COX=30°，若射线OA绕O点每秒30°的速度顺时
针旋转，射线OB绕O点每秒20°的速度顺时针旋转，射线OC以每秒10°的速度逆时
针旋转，三线同时旋转，当一条射线与直线OX重合时，三条射线同时停止运动，问：
运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线？
问题解答：
①设运动时间为t秒，请用含t的式子表示：
∠AOX=（ ）度；
∠BOX=（ ）度；
∠COX=（ ）度．
②请直接写出你探究的所有符合条件的运动时间．
（1）解：在数轴上，点A表示的数是4，点B表示的数是10，则线段AB的中点C表
示的数为
4+10
=7，
2
故答案为：7；
（2）解：在数轴上，点A表示的数是−7，点B表示的数是5，则线段AB的中点C表
(−7)+5
示的数为 =−1；
2
故答案为：−1；
a+b
发现：点A表示的数是a，点B表示的数是b，则线段AB的中点C表示的数为 ；
2
a+b
故答案为： ；
2
直接运用：∵ AB=AC，∴点A在点B和点C中点上，
(2x+3)+(x−4)
∴ =(x+2)，即3x−1=2x+4，
2
解得：x=5；
故答案为：5；
类比迁移：①根据题意，在没有运动前，
∵ OB⊥OX,OA⊥OC,∠COX=30°，
∴ ∠BOX=90°,∠AOC=90°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COX+∠BOC=90°，
∴∠AOB=∠COX=30°，
∴ ∠AOX=∠AOC+∠BOX=120°，
在运动后，
∵射线OA绕O点每秒30°的速度顺时针旋转，射线OB绕O点每秒20°的速度顺时针
旋转，射线OC以每秒10°的速度逆时针旋转，
∴ ∠AOX=120°−30°t；∠BOX=90°−20°t；∠COX=30°+10°t；
故答案为：120−30t,90−20t,30+10t；
②OB⊥OX,OA⊥OC,∠COX=30°，
∴∠AOB=30°，
经分析知2秒时OB与OC重合，所以在2秒以前设运动t 秒时，OB是OA与OC的角平
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分线，
∴ 30°−10°t =60°−30°t ，
1 1
解得：t =1.5；
1
27．如图1，一直角三角尺的直角顶点O在直线AB上，一边OC在射线OA上，另一边
OD在直线AB的上方，将直角三角尺在平面内绕点O顺时针旋转，且OE平分∠BOC，
OF平分∠DOB，如图2．
(1)如图2，当∠AOC=70°时，
①求∠BOC和∠DOB的度数；
②求∠EOF的度数．
试卷第18页，共19页(2)在直角三角尺旋转过程中，设∠AOC=α，若0°<α<180°，则
①求∠BOC和∠DOB的度数（用含α的代数式表示）；
②∠EOF的度数是否发生变化，请通过计算说明理由．
28．如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每
秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿道时针方向以每秒6°的速度旋转，直线MN
保持不动，如图2，设旋转时间为t(t的值在0到30之间，单位：秒)．
(1)当t=3时，求∠AOB的度数；
(2)在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t的值；
(3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA的夹角为90°？如果存在，
请直接写出t的值：如果不存在，请说明理由．
29．如图，点O是直线MN上一点．将射线OM绕点O逆时针旋转，转速为每秒5°，
得到射线OA；同时，将射线ON绕点O顺时针旋转，转速为OM转速的3倍，得到射
线OB．设旋转时间为t秒（0≤t≤12）．
(1)当t=4秒时（如图1），求∠AOB的度数；
(2)当射线OA与射线OB重合时（如图2），求t的值；
(3)是否存在t值，使得射线OB平分∠AOM？如果存在，请求出t的值；如果不存在，
请说明理由．
30．如图，∠AOB=90°,∠COD=60°．(1)若OC平分∠AOD，求∠BOC的度数；
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(2)渃∠BOC= ∠AOD，求∠AOD的度数；
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(3)若射线OP从射线OB的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒12°的速度旋转，同
时射线OQ从射线OA的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒9°的速度旋转，射线
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OP旋转的时间为t（单位：秒），且0<t<7.5，求当∠QOP= ∠AOP时t的值．
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