文档内容
专题8 实数中蕴含的数学思想和实数的大小比较（解析版）
类型一 特殊到一般的思想
第一部分 专题典例剖析+针对训练
典例1 （2022春•临邑县期末）阅读与思考
请阅读下面材料，并完成相应的任务．
在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这
两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：
小聪：√4×25=√100=10，√4×√25=2×5＝10．所以√4×25=√4×√25．
小明：（√4×25）2＝4×25＝100．（√4×√25）2＝（2×5）2＝100．
这就说明√4×25和√4×√25都是 4×25 的算术平方根，而 4×25 的算术平方根只有一个，所以
√4×25=√4×√25．
任务：
（1）猜想：当a≥0，b≥0时，√ab和√a×√b之间存在怎样的关系？并仿照小聪或小明的方法举出一
个例子进行说明：
（2）运用以上结论．计算：①√16×36；②√49×121；
（3）解决实际问题：已知一个长方形的长为√100，宽为√49，求这个长方形的面积．
思路引领：（1）由题意可得当a≥0，b≥0时，√ab=√a×√b；
（2）根据法则计算①√16×36=√16×√36；②√49×121=√49×√121；
（3）由长方形的面积可求S=√100×√49=√100×49，再化简求值即可．
解：（1）当a≥0，b≥0时，√ab=√a×√b；
例如：∵√4×9=6，√4×√9=6，
∴√4×9=√4×√9；
（2）：①√16×36
=√16×√36
＝4×6
＝24；
②√49×121
=√49×√121
＝7×11＝77；
（3）∵长方形的长为√100，宽为√49，
∴S=√100×√49=70，
答：这个长方形的面积为70．
总结提升：本题考查实数的运算，熟练掌握二次根式的化简与运算是解题的关键．
√121
典例2 请你观察下列计算过程：因为112=121，所以 =11；用样，因为1112=12321，所以
√12321 √12345678987654321
=111；…；由此猜想 =________．
思路引领：观察被开方数121、12321、…，这些数字都是从两头1开始，往中间依次递增的对称
型数字；而 121=112，12321=1112，…这就是说 121，12321…，这些数的算术平方根分别是 11，
111，…，这些算术平方根全部由1组成，1的个数与被开方数中从两头到中间的位数一样．根据这个
√12345678987654321
规律，可以猜想12345678987654321=1111111112，所以 =111111111．
答案：111111111．
思路引领：本题考查数字规律问题，考查学生观察推测能力．
变式训练
√3 3√3 2 4×2 √5 5√5
1．（2022春•南京校级月考）观察等式：√3+ = ，2+ = ，√5+ = ，…
2 2 3 3 4 4
（1）你能猜想有什么规律呢？请用含n的式子表示（n≥3的整数） ；
a 10a
（2）按上述规律，若√10+ = ，则a+b＝ ；
b 9
（3）仿照上面内容，另编一个等式，验证你在（1）中得到的规律．
思路引领：（1）仿照已知等式得到一般性规律，写出即可；
（2）根据得出的规律确定出a与b的值，即可求出a+b的值；
（3）根据题意写出满足题意的等式，验证即可．
√n n√n
解：（1）根据题意得：√n+ = （n≥3的整数）；
n−1 n−1
√10 10√10
（2）根据题意得：√10+ = ，得到a=√10，b＝9，即a+b=√10+9；
9 9
√11 11√11
（3）√11+ = ．
10 10√n n√n
故答案为：（1）√n+ = （n≥3的整数）；（2）√10+9
n−1 n−1
总结提升：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2022春•福清市期中）先阅读下面材料，再解答问题：
材料：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，
而零与无理数的积为零．由此可得：若 a+b√m=0，其中a，b为有理数，√m是无理数，则a＝0，b＝
0．
证明：∵a+b√m=0，a为有理数
∴b√m是有理数
∵b为有理数，√m是无理数
∴b＝0
∴a+0√m=0
∴a＝0
（1）若a+b√3=3+√3，其中a、b为有理数，请猜想a＝ ，b＝ ，并根据以上材料证明你的
猜想；
（2）已知√11的整数部分为a，小数部分为b，且x，y为有理数，x，y，a，b满足11y+√11（y−√11
x）＝（b+2）√11+a√11，求x，y的值．
思路引领：（1）猜想有理数和有理数相等，无理数和无理数相等，根据若 a+b√m=0，其中a，b为有
理数，√m是无理数，则a＝0，b＝0进行证明；
（2）估算无理数的大小，代入方程，化简即可得出答案．
解：（1）a＝3，b＝1，
证明：∵a+b√3=3+√3，其中a、b为有理数，
∴a﹣3+（b﹣1）√3=0，
∴a﹣3＝0，b﹣1＝0，
∴a＝3，b＝1，
故答案为：3，1；
（2）∵9＜11＜16，
∴3＜√11＜4，
∴a＝3，b=√11−3，
∵x，y，a，b满足11y+√11（y−√11x）＝（b+2）√11+a√11，
∴11y+√11y﹣11x＝（√11−3+2）√11+3√11，∴11（y﹣x）+y√11=11+2√11，
∴11（y﹣x）＝11，y＝2，
∴x＝1，y＝2．
总结提升：本题考查了无理数的估算，实数的运算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是
解题的关键．
3．（2022春•兴宁区校级期中）阅读与思考
请阅读下面材料，并完成相应的任务．
在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这
两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：
小聪：√4×25=√100=10，
√4×25=2×5＝10，所以√4×25=√4×√25．
小明：(√4×25) 2=4×25＝100，
(√4×25) 2=(2×5) 2=100．
这就说明√4×25和√4×√25都是 4×25 的算术平方根，而 4×25 的算术平方根只有一个，所以
√4×25=√4×√25．
任务：
（1）猜想：当a≥0，b≥0时，√ab和√a×√b之间存在怎样的关系？并仿照小聪或小明的方法举出一
个例子进行说明；
（2）运用以上结论，计算：①√16×36；②√49×121；
（3）解决实际问题：已知一个长方形的长为√32，宽为√8，求这个长方形的面积．
思路引领：（1）由题意可得√a×√b=√ab；
（2）①√16×36=√16×√36；②√49×121=√49×√121；
（3）由长方形的面积可求S=√32×√8，再化简求值即可．
解：（1）√a×√b=√ab，
例如：√4×9=√4×√9=6；
（2）①√16×36=√16×√36=4×6＝24；
②√49×121=√49×√121=7×11＝77；
（3）∵长方形的长为√32，宽为√8，
∴S=√32×√8=√32×8=16，
答：这个长方形的面积为16．总结提升：本题考查实数的运算，熟练掌握二次根式的化简与运算是解题的关键．
4．（2019春•阜阳期中）观察下列各等式及验证过程．
√1 1 1√2 √1 1 √ 1 √ 2 1√2
− = ，验证 − = = = ；
2 3 2 3 2 3 2×3 22×3 2 3
√1 1 1 1√3 √1 1 1 √ 1 √ 3 1√3
( − )= ，验证： ( − )= = = ；
2 3 4 3 8 2 3 4 2×3×4 2×32×4 3 8
√1 1 1 1 √ 4 √1 1 1 √ 1 √ 4 1 √ 4
( − )= ，验证： ( − )= = = ．
3 4 5 4 15 3 4 5 3×4×5 3×42×5 4 15
√1 1 1
（1）按照上述三个等式及其验证过程的基本思想，猜想 ( − )的变形结果并进行验证．
4 5 6
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式，并证明．
思路引领：（1）观察已知等式，将原式进行适当变形得到结果，验证即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出结果，验证即可．
√1 1 1 1√ 5
解：（1）根据题意得： ( − )= ，
4 5 6 5 24
√1 1 √ 1 1√ 25 √ 1
等式左边= × = ，右边= = ，
4 30 120 5 120 120
左边＝右边，成立；
√1 1 1 1 √ n+1
（2）归纳总结得： ( − )= （n为正整数），
n n+1 n+2 n+1 n(n+2)
√ 1 1 √ (n+1) 2 √ 1
证明：等式左边= ，右边= = ，
n(n+1)(n+2) n+1 n(n+1)(n+2) n(n+1)(n+2)
左边＝右边，成立．
总结提升：此题考查了实数的运算，弄清题中的规律是解本题的关键．
5．（2022秋•苏州期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出﹣50653的立方根？他进行了如
下步骤：
①首先进行了估算：因为103＝1000，1003＝1000000，所以√350653是两位数；
②其次观察了立方数：13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝
729；猜想√350653的个位数字是7；
③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为33＝27，43＝64，所以√350653的十位数字应为3，于是猜想√350653=37，验证得：50653的立方根是37；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到√3−50653=−37，同时发现结论：若两个数互为相反数，
则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
（1）√3−117649= ；
（2）若√31−2x+√35=0，则x＝ ；
已知√3 x−2+2=x，且√33 y−1与√31−2x互为相反数，求x，y的值．
思路引领：（1）根据题中的猜想得出√3117649的个位数与十位数，再取其相反数即可；
（2）根据两数相加等于0列出关于x的方程，求出x的值；由√3 x−2+2＝x求出x的值，再根据相反数
的定义列出关于y的方程，求出y的值即可．
解：（1）∵103＝1000，1003＝1000000，
∴√3117649是两位数．
∵13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729；√3117649的个位数
字是9．
∵将117649往前移动3位小数点后约为117，因为33＝27，43＝64，53＝125，所以√350653的十位数字
应为4，
∴117649的立方根是49，．
∵两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，
∴√3−117649=−49．
故答案为：﹣49；
（2）∵√31−2x+√35=0，
∴1﹣2x＝﹣5，解得x＝3．
∵√3 x−2+2＝x，
∵√3 x−2=x﹣2，
∴x﹣2＝0，x﹣2＝﹣1或x﹣2＝1，解得x＝2，1或3；
∵√33 y−1与√31−2x互为相反数，
∴3y﹣1＝2x﹣1，即
4
当x＝2时，3y﹣1＝3，解得y= ；
3
2
当x＝1时，3y﹣1＝1，解得y= ；
3
当x＝3时，3y﹣1＝5，解得y＝2．4 2
故答案为：3；x＝2时，y= ；x＝1时，y= ；x＝3时，y＝2．
3 3
总结提升：本题考查的是实数的性质，熟知若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数是
解题关键．
类型二 数形结合思想
典例3（2022秋•九龙坡区期末）如图实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简√b2−√(a−c) 2−|c
﹣b|+√3 c3= ．
思路引领：利用数轴得到a，b，c的取值范围，再利用绝对值的意义，二次根式的性质和立方根的意义
化简运算即可．
解：由题意得：a＜0，b＜0，c＞0，
∴a﹣c＜0，c﹣b＞0．
∴原式＝|b|﹣|a﹣c|﹣（c﹣b）+c
＝﹣b+a﹣c﹣c+b+c
＝a﹣c．
故答案为：a﹣c．
总结提升：本题主要考查了实数的运算，实数与数轴，绝对值的意义，二次根式的性质和立方根的意义，
利用数轴得到a，b，c的取值范围是解题的关键．
变式训练
1．（2022秋•新华区校级期末）如图，数轴上点P表示的数可能是（ ）
A．√2 B．√3 C．√5 D．√7
思路引领：先估算出各选项中无理数的大小，再根据数轴做出判断即可．
解：∵2＜√7＜3，
2＜√5＜3，
1＜√3＜2，
1＜√2＜2，
且√7距离3更近，√5距离2更近，∴点P表示的数可能是√5，
故选：C．
总结提升：本题考查了无理数的估算，常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
2．（2022 秋•南关区校级期末）实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是
（ ）
A．|a|＜|b| B．a+b＜0 C．a﹣b＞0 D．ab＞0
思路引领：利用数轴知识判断a、b的符号和绝对值，再判断选项正误．
解：由数轴图可知，a＜0，b＞0，|a|＜|b|，
∴A选项正确；
a+b＞0，B选项错误；
a﹣b＜0，C选项错误；
ab＜0，D选项错误．
故选：A．
总结提升：本题考查了实数与数轴，绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义．
3．（2022秋•九龙坡区校级期末）正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为﹣2
和﹣1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转 1次后，点C所对应的数为0；
则翻转2022次后，点C所对应的数是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
思路引领：结合数轴发现根据翻折的次数与点C应的数字的关系即可做出判断．
解：正方形ABCD每翻转4次为一个循环，
第一次翻转C在0，第五次翻转到了4，第九次翻转到了8，依次类推，第2022次翻转到了2021，
转2022次点C所对应的数为2020．
故选：A．
总结提升：本题考查和数轴有关的规律变化问题，关键是明白正方形ABCD每翻转4次为一个循环．
类型三 分类讨论思想
典例4（2022•广阳区一模）一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为16时，输出的y值是 ；（2）若输出的y是√3，请写出两个满足要求的x值： ．
思路引领：（1）将x＝16代入程序进行计算即可；
（2）根据算术平方根的定义进行取值．
解：（1）当x＝16时，√16=4，4是有理数，不能输出，
√4=2，2是有理数，不能输出，
√2是无理数，输出y=√2，
故答案为：√2；
（2）当x＝3时，√3是无理数，y=√3；
当x＝9时，√9=3，3是有理数，不能输出，√3是无理数，y=√3．
故答案可为：3或9．
总结提升：此题考查了运用算术平方根解决程序计算问题的能力，关键是能准确求解算术平方根，并能
辨别无理数．
典例5（2021秋•宿城区校级期末）求x的值：25（x+2）2﹣36＝0．
思路引领：先移项，然后根据平方根的定义解方程即可求解．
解：移项得，25（x+2）2＝36，
36
∴（x+2）2= ，
25
6
∴x+2＝± ，
5
6
∴x＝﹣2± ，
5
4 16
∴x=− 或x=− ．
5 5
总结提升：本题考查了根据平方根的定义解方程，正确计算是解题的关键．
变式训练
1．（2022秋•东阳市期中）如图所示的是一个无理数筛选器的工作流程图，根据下面叙述回答相关问题．
（1）当x为8时，y的值为 ．
（2）当输出的y值是√33时，输入的x值唯一吗？若不唯一，请写出其中两个输入的x值．
（3）是否存在输入某个x值后，却始终输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，
请说明理由．思路引领：（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数；
（3）根据运算法则以及立方根的定义解答即可．
解：（1）当x为8时，y的值为√32，
故答案为：√32；
（2）当输出的y值是√33时，输入的x值可以是3或27，故不唯一；
（3）当输入的数是﹣1、0、或﹣1时，取它们的立方根始终是﹣1、0和1，
∴输入x＝﹣1、0和﹣1时，始终输不出y值．
总结提升：本题考查无理数与立方根，正确理解给出的运算方法是关键．
2．（2022春•龙马潭区月考）已知（x﹣1）2＝16，求x的值．
思路引领：根据平方根的定义进行计算即可．
解：（x﹣1）2＝16，
由平方根的定义可得，x﹣1＝4或x﹣1＝﹣4，
解得x＝5或x＝﹣3，
答：x＝5或x＝﹣3．
总结提升：本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的关键．
类型四 转化思想
√1 √2
典例6（2021秋•信都区期中）比较大小：− 和− ．
3 5
思路引领：两个负数比较大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的反而小．
√1 √1 √2 √2
解：∵|− |= ，|− |= ，
3 3 5 5√1 1 √2 2
（ ）2= ，（ ）2= ，
3 3 5 5
1 2
而 ＜ ，
3 5
√1 √2
∴− ＞− ．
3 5
总结提升：本题考查实数的大小比较，掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解题关键．
√6+1 3
针对训练2．（2021秋•榆阳区校级月考）通过估算比较 与 的大小？
2 2
3 2+1 √6+1 3
思路引领：先判断出√6与2的大小，再把 化成 ，从而得出 与 的大小．
2 2 2 2
解：∵√6＞2，
√6+1 2+1
∴ ＞ ，
2 2
√6+1 3
∴ ＞ ．
2 2
思路引领：此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是比较出√6与2的大
小．
类型五 实数的大小比较
方法1 平方法
5√3
典例7 比较 和8的大小
5√3 5√3
思路引领：因为（ ）2=75，82=64，所以 ＞8．
5√3
总结提升：两个无理数比较大小时，除了用平方法，也可以把 和8变为含有根号的数，添加根号
√a
的依据是( )2=a(a≥0)的逆应用．
变式训练
1．（2020秋•中原区校级月考）比较大小：√24与4.7；
解：（1）∵4.72＝22.09，24＞22.09，
∴√24＞4.7；
总结提升：此题主要考查了估算无理数大小以及实数比较大小，正确估算无理数大小是解题的关键．
2．比较大小：1+√6与√2+√5．思路引领：两个正数相比，平方越大数越大．
解：∵（1+√6）2＝7+2√6，（√2+√5）2＝7+2√10，7+2√6＜7+2√10，
∴1+√6＜√2+√5．
总结提升：本题考查实数的大小比较，正确运用适当的方法是解决本题的关键
方法2 作差法
√19−2 2
典例8（2019秋•滦南县期末）课堂上，老师出了一道题，比较 与 的大小．
3 3
小明的解法如下：
√19−2 2 √19−2−2 √19−4
解： − = = ，因为42＝16＜19，所以√19＞4，所以√19−4＞0．
3 3 3 3
√19−4 √19−2 2
所以 ＞0，所以 ＞ ，我们把这种比较大小的方法称为作差法．
3 3 3
（1）根据上述材料填空（在横线上填“＞”“＝”或“＜”）：
①若a﹣b＞0，则a b；
②若a﹣b＝0，则a b；
③若a﹣b＜0，则a b．
9−√22 2
（2）利用上述方法比较实数 与 的大小．
4 3
思路引领：（1）根据不等式的性质即可求解；
（2）根据作差法即可比较大小．
解：（1）①若a﹣b＞0，则a＞b；
②若a﹣b＝0，则a＝b；
③若a﹣b＜0，则a＜b．
故答案为：＞，＝，＜；
9−√22 2
（2） −
4 3
27−3√22−8
=
12
19−3√22
=
12
19−√198
= ，
12
∵192＝361＞198，
∴19＞√198，∴19−√198＞0．
19−√198
∴ ＞0，
12
9−√22 2
∴ ＞ ．
4 3
总结提升：考查了实数大小比较，关键是熟练掌握比较大小的作差法．
方法3 取近似值法
√17
4
典例9 比较－ 和 的大小．
√17
4
解析：因为－ ≈－1.0308， ≈－1.0472，
故－1.0308＞－1.0472，
√17
4
所以－ ＞ ．
总结提升：要比较的两个数关系不明确，也找不到其中的规律时，可通过取近似值法比较大小．
方法4 估算法
典例10 通过估计，比较大小．
（1）√24与5.1
√3−1 1
（2） 与 ．
5 5
思路引领：（1）直接求出5.12＝26.01进而比较得出答案；
（2）利用√3−1＜1，进而比较即可．
解：（1）∵5.12＝26.01，
∴√24＜5.1；
（2）∵√3−1＜1，
√3−1 1
∴ ＜ ．
5 5
总结提升：此题主要考查了估算无理数大小以及实数比较大小，正确估算无理数大小是解题关键．
变式训练
1．√10在两个连续整数a和b之间，a＜√10＜b，那么a、b的值分别是 ．比较大小：（1）3 √10； （2）7√6 6√7；
√3−2的相反数是 ，绝对值是 ．
思路引领：首先找出与10邻近的两个完全平方数，则这两个数应该是9和16，即√32＜√10＜√42，
由此可求得a、b的值．
根据底数越大幂越大，可得答案；
根据相反数的定义，绝对值的性质即可求解．
解：由于3=√9，4=√16，
∴√9＜√10＜√16；
∴a＝3，b＝4．
（1）∵3=√9，9＜10，
∴3＜√10；
（2）∵7√6=√294，6√7=√252，
294＞252，
∴7√6＞6√7；
√3−2的相反数是2−√3，绝对值是 2−√3．
故答案为：3，4；＜；＞；2−√3，2−√3．
总结提升：此题主要考查了无理数的估算能力，用估算的方法求无理数的近似值，主要是依据两个公式：
（1）√a2=a（a≥0）；（2）√3 a3=a （a为任意数）．熟记这两个公式是解答此类题的关键．同时考查
了实数大小比较，利用底数越大幂越大是解题关键2．
1+√3
2．比较大小： 与1+√2．
2
思路引领：先估算√3和√2的大小，再比较这两个数的大小．
解：∵1＜√3＜2，1＜√2＜2，
∴2＜1+√3＜3，2＜1+√2＜3，
1+√3
∴1＜ ＜1.5，
2
1+√3
∴ ＜1+√2．
2
总结提升：此题主要考查了估算无理数大小以及实数比较大小，正确估算无理数大小是解题的关键．
方法5 放缩法√7+2 √57−2
典例9 比较 与 的大小．
√7 √57<8
解析：因为2＜ ＜3，7＜ ，
√7+2 √57−2
所以 ＜3＋2=5， ＞7－2=5，
√7+2 √57−2
即 ＜ ．
总结提升：放缩法应用的关键是找出合适的参考值，这一数值取决于两个被比较的实数.可以先确定每
个数的范围，找这两个数的临界值，使其中一个数比参考数值大，另一个比此数值小，实现比较的目的．
变式训练
1．（2021秋•南京期末）比较大小：√3 √2+1．（填“＞”、“＜”或“＝”）．
思路引领：先估算√3与√2的值即可判断．
解：∵1＜3＜4，
∴1＜√3＜2，
∵1＜2＜4，
∴1＜√2＜2，
∴2＜√2+1＜3，
∴√3＜√2+1，
故答案为：＜．
总结提升：本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练掌握平方数是解题的关键．
第二部分 专题提优训练
1．（2021•漳平市模拟）实数a，b在数轴上的位置如图，则|a﹣b|﹣|a+b|等于（ ）
A．﹣2a B．﹣2b C．2b﹣2a D．2a+2b
思路引领：先由数轴可得：a＜0＜b，|a|＜|b|，再根据绝对值的化简法则计算即可．
解：由数轴可得：a＜0＜b，|a|＜|b|
∴|a﹣b|﹣|a+b|＝b﹣a﹣a﹣b＝﹣2a
故选：A．
总结提升：本题考查了利用数轴进行绝对值的化简计算，数形结合、明确绝对值的化简法则，是解题的
关键．2．（2021秋•宜宾期末）如图所示，已知数轴上的点A、O、B、C、D分别表示数﹣2、0、1、2、3，则表
示数3−√5的点P应落在（ ）
A．线段AO上 B．线段OB上 C．线段BC上 D．线段CD上
思路引领：估算出√5的值即可解答．
解：∵4＜5＜9，
∴2＜√5＜3，
∴﹣3＜−√5＜−2，
∴0＜3−√5＜1，
∴表示数3−√5的点P应落在线段OB上，
故选：B．
总结提升：本题考查了无理数的估算，实数与数轴，熟练掌握平方数是解题的关键．
3．（2022秋•房山区期中）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a＜﹣2 B．b＜1 C．﹣a＞b D．﹣a＜﹣b
思路引领：先根据数轴得出a，b的范围，再结合排除法求解．
解：由题意得：﹣2＜a＜﹣1＜1＜b＜2，
∴﹣a＞1，﹣b＜﹣1，
∴﹣a＞b，
根据排除法，﹣a＞b，
故选：C．
总结提升：本题考查了实数和数轴，数形结合思想和排除法数解题的关键．
4．（2020 春•牡丹江期中）已知点 A、B、C 在数轴上表示的数 a、b、c 的位置如图所示，化简
√a2+|a+b|−√3 (a+c) 3= ﹣ 3 a ﹣ b ﹣ c ．
思路引领：原式利用二次根式、立方根性质化简，再利用绝对值的代数意义计算即可求出值．
解：根据数轴上点的位置得：a＜b＜0＜c，
∴a+b＜0，则原式＝|a|+|a+b|﹣（a+c）＝﹣a﹣a﹣b﹣a﹣c＝﹣3a﹣b﹣c．
故答案为：﹣3a﹣b﹣c．
总结提升：此题考查了实数的运算，以及实数与数轴，熟练掌握二次根式性质及绝对值的代数意义是解
本题的关键．
5．（2010秋•海淀区校级期末）已知a＜b＜0，M＝a+b，N＝﹣a+b，H＝a﹣b，G＝﹣a﹣b，那么M，
N，H，G的大小关系为 （用“＞”连接）．
思路引领：由a＜b＜0，得出M＝a+b＜0，N＝﹣a+b＞0，H＞M，G＞N，从而可以得出答案．
解：∵a＜b＜0，
∴M＝a+b＜0，N＝﹣a+b＞0，
H＝a﹣b＜0，但H＞M，
G＝﹣a﹣b＞0，但G＞N，
∴G＞N＞H＞M，
故答案为G＞N＞H＞M．
总结提升：本题考查了实数大小比较的法则，任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数
都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
6．（宁波期中）观察下列等式：
|1−√2|=√2−1，|√2−√3|=√3−√2，|√3−√4|=√4−√3
将 以 上 三 个 等 式 相 加 得
|√1−√2|+|√2−√3|+|√3−√4|=√2−1+√3−√2+√4−√3=√4−1=2−1=1
（1）猜想并写出：|√n−√n+1|= √n+1−√n ；
（2）直接写出下列格式的计算结果|√1−√2|+|√2−√3|+⋯+|√2012−√2013|= √2013− 1
|√1−√2|+|√2−√3|+⋯+|√n−√n+1|= √n+1− 1 ．
思路引领：（1）根据题中所给出的式子进行猜想即可；
（2）根据题中所给出的例子进行解答即可．
解：（1）∵|1−√2|=√2−1，|√2−√3|=√3−√2，|√3−√4|=√4−√3，
∴|√n−√n+1|=√n+1−√n．
故答案为：√n+1−√n；
（2）∵|√1−√2|+|√2−√3|+|√3−√4|=√2−1+√3−√2+√4−√3
=√2−1+√3−√2+√4−√3
=√4−1＝2﹣1
＝2，
∴|√1−√2|+|√2−√3|+…+|√2012−√2013|
=√2−1+√3−√2+⋯+√2013−√2012
=√2013−1；
同理可得，|√1−√2|+|√2−√3|+…+|√n−√n+1|
=√2−1+√3−√2+⋯+√n+1−√n
=√n+1−1．
故答案为：√2013−1，√n+1−1．
总结提升：本题考查的是实数的运算，根据题意找出规律是解答此题的关键．
7．（2019秋•秦都区校级期中）求满足下列各式x的值：
（1）x2﹣9＝0；
（2）（x﹣4）2＝4．
思路引领：（1）先得出x2＝9，再根据平方根的定义求解可得；
（2）先根据平方根的定义得出x﹣4的值，继而可得答案．
解：（1）∵x2﹣9＝0，
∴x2＝9，
则x＝±√9，即x＝±3；
（2）∵（x﹣4）2＝4，
∴x﹣4＝±√4，即x﹣4＝±2，
∴x＝4±2，
∴x＝6或x＝2．
总结提升：本题主要考查平方根，解题的关键是掌握平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数
就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
8．通过估算比较下列各组数的大小．
（1）√76与8.5；
（2）√33与√2；
√5+1 5
（3） 与 ．
2 3
思路引领：对于（1），利用无理数的估算，得到√76在8.5和9之间，由此判断即可；对于（2），对两个根式6次方，然后比较大小即可；
对于（3），通分两个分数，然后估算无理数，比较分子的大小即可得解．
解：（1）∵82＝64＜76，92＝81＞76．
∴√76在8和9之间．
又∵8.52＝72.25＜76，
∴√76在8.5和9之间，
∴√76＞8.5．
（2）（√33）6＝9，（√2）6＝8，
∴√33＞√2．
3√5+3 10
（3）通分得 与 ．
6 6
因为√5≈2.2，所以3√5+3≈9.6＜10，
√5+1 5
所以 ＜ ．
2 3
总结提升：本题考查实数大小的比较，掌握运算方法是解题的关键．
9．比较√13+√5与√15+√3的大小．
思路引领：利用平方法比较大小即可．
解：∵（√13+√5）2＝13+2×√13×√5+5＝18+2√65，
（√15+√3）2＝15+2×√15×√3+3＝18+2√45，
∴（√13+√5）2＞（√15+√3）2，
∴√13+√5＞√15+√3．
总结提升：本题考查实数大小比较，利用平方法比较大小是解题的关键．
10．通过估算，比较下列各组数中两个数的大小．
（1）√76与8.5；
（2）√3530与8.5；
（3）√2+√3与√15；
√3−1 1
（4） 与 ．
2 2
思路引领：（1）利用无理数的估算，得到√76在8.5和9之间，由此判断即可；
（2）对8.5求立方，然后比较大小即可；
（3）两数平方，然后估算无理数即可得解；
（4）比较分子的大小即可得解．解：（1）∵82＝64＜76，92＝81＞76，
∴√76在8和9之间．
又∵8.52＝72.25＜76，
∴√76在8.5和9之间，
∴√76＞8.5；
（2）∵8.53＝614.125，614.125＞530，
∴√3530＜8.53．
（3）（√2+√3）2＝5+2√6，（√15）2＝15，
∵2√6＜10，
∴5+2√6＜15，
∴√2+√3＜√15．
（4）∵√3＜2，
∴√3−1＜1，
√3−1 1
∴ ＜ ．
2 2
总结提升：本题考查了实数大小比较，熟练掌握利用无理数的估算比较大小的方法是解题的关键．
11．（2011秋•青羊区校级期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题：
(√2+1)(√2−1)=1，(√3+√2)(√3−√2)=1，(√4+√3)(√4−√3)=1，(√5+√4)(√5−√4)=1，
…
（1）观察上面的规律，计算下列式子的值．
1 1 1 1
（ + + +⋯+ ）•（√2012+1）
√2+1 √3+√2 √4+√3 √2012+√2011
（2）利用上面的规律，试比较√11−√10与√12−√11的大小．
1
思路引领：（1）先由题目给出的一组等式，可得出规律 =√n+1−√n，再将所求式子中各
√n+1+√n
项按此规律化简后相加，合并同类二次根式即可；
（2）利用倒数关系比较大小即可．
1
解：（1）由上面的解题规律可直接写出 =√n+1−√n，
√n+1+√n
1 1 1 1
则( + + +⋯+ )⋅(√2012+1)•（√2012+1）
√2+1 √3+√2 √4+√3 √2012+√2011
＝[（√2−1）+（√3−√2）+（√4−√3）+…+（√2012−√2011）]•（√2012+1）＝（√2012−1）×（√2012+1）
＝2012﹣1
＝2011；
1 1
（2）∵ =√11+√10， =√12+√11，
√11−√10 √12−√11
∵√11+√10＜√12+√11，
1 1
∴ ＜ ，
√11−√10 √12−√11
∴√11−√10＞√12−√11．
1
总结提升：本题主要考查了实数的大小比较，通过观察得出规律 =√n+1−√n是解题的关键．
√n+1+√n
12．（2016秋•井陉矿区期中）请你帮助小猴子解答它提出的两个问题．
（1）已知实数√13在a，b这两个相邻的整数之间，且a＜b，求a，b的值；
（2）比较−√ab和﹣5的大小．
思路引领：（1）根据9＜13＜16，可得3＜√13＜4，可得答案；
（2）先求出−√ab=−√3×4=−√12，先求出√12＜√25，再根据两个负实数绝对值大的反而小得出
−√12＞−√25．
解：（1）∵9＜13＜16，
∴3＜√13＜4，
∴a＝3，b＝4；
（2）−√ab=−√3×4=−√12，
﹣5=−√25，
∵12＜25，
∴√12＜√25，
∴−√12＞−√25，
即−√ab＞−5．
总结提升：本题考查了估算无理数的大小，实数大小比较的方法，是基础题，需熟练掌握．
1 1
13．（2018 秋•资中县期中）能力拓展：A ：√2−√1= ；A ：√3−√2= ；A ：
1 2 3
√2+√1 √3+√21 1 1
√4−√3= ；A ：√5−√4= ；…；A ： √n+1−√n= ．
√4+√3 4 √5+√4 n √n+1+√n
（1）请观察A ，A ，A 的规律，按照规律完成填空；
1 2 3
（2）请比较下列代数式的大小：
①√3−√2和√2−√1； ②√7−√6和√5−√4；
（3）请直接写出√n+1−√n与√n−√n−1的大小关系．
思路引领：（1）观察A ，A ，A 的规律可知，即可得到结论；
1 2 3
（2）根据（1）的结论即可得到结果；
（3）利用（1）的结论进行填空即可．
1
解：（1）观察A ，A ，A 的规律可知，√n+1−√n= ，
1 2 3 √n+1+√n
1
故答案为：√n+1−√n= ；
√n+1+√n
1 1 1 1
（2）∵√2−√1= ；√3−√2= ； ＞ ，
√2+√1 √3+√2 √2+1 √3+√2
∴√3−√2＜√2−√1；
1 1 1 1
∵√7−√6= ，√5−√4= ； ＜ ，
√7+√6 √5+√4 √7+√6 √5+√4
∴√7−√6＜√5−√4；
1 1 1 1
（3）∵√n+1−√n= ，√n−√n−1= ， ＜ ，
√n+1+√n √n+√n−1 √n+1+√n √n+√n−1
∴√n+1−√n＜√n−√n−1．
总结提升：主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有
理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项
符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．
14．（2019秋•中原区校级月考）比较两个正实数的大小有很多种方法，请你用合适的方法比较下列两组
数的大小．
（1）√2+√6与√3+√5；
（2）√2020−√2019与√2019−√2018．
思路引领：（1）先求出两个数的平方，再比较即可；
（2）先求出两个数的倒数，再比较即可．
解：（1）（√2+√6）2＝8+2√12，（√3+√5）2＝8+2√15，
∵√12＜√15，∴√2+√6＜√3+√5；
1 √2020+√2019
（2） = =√2020+√2019，
√2020−√2019 (√2020−√2019)×(√2020+√2019)
1
同理 =√2019+√2018，
√2019−√2018
∵√2020+√2019＞√2019+√2018，
∴√2020−√2019＜√2019−√2018．
总结提升：本题考查了实数的大小比例，能选择适当的方法进行比较是解此题的关键，用了平方法和倒
数法．
15．（2021春•凤山县期中）完成下列解答：
（1）用“＞”、“＜”或“＝”填空：√1 √2，√2 √3；
（2）由（1）可知：①|√1−√2|＝ ，②|√2−√3|＝ ；
（3）计算：|√1−√2|+|√2−√3|+|√3−√4|+…+|√2020−√2021|（计算结果保留根号）．
思路引领：（1）根据算术平方根的意义，判断即可；
（2）根据绝对值的意义，即可解答；
（3）先化简每一个绝对值，然后再进行计算即可解答．
解：（1）√1＜√2，√2＜√3，
故答案为：＜，＜；
（2）①|√1−√2|=√2−1，②|√2−√3|=√3−√2，
故答案为：√2−1，√3−√2；
（3）|√1−√2|+|√2−√3|+|√3−√4|+…+|√2020−√2021|
=√2−1+√3−√2+√4−√3+...+√2021−√2020
=√2021−1．
总结提升：本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握算术平方根，绝对值的意义是解题的关键
