文档内容
专题8 实数中蕴含的数学思想和实数的大小比较（原卷版）
类型一 特殊到一般的思想
第一部分 专题典例剖析+针对训练
典例1 （2022春•临邑县期末）阅读与思考
请阅读下面材料，并完成相应的任务．
在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这
两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：
小聪：√4×25=√100=10，√4×√25=2×5＝10．所以√4×25=√4×√25．
小明：（√4×25）2＝4×25＝100．（√4×√25）2＝（2×5）2＝100．
这就说明√4×25和√4×√25都是 4×25 的算术平方根，而 4×25 的算术平方根只有一个，所以
√4×25=√4×√25．
任务：
（1）猜想：当a≥0，b≥0时，√ab和√a×√b之间存在怎样的关系？并仿照小聪或小明的方法举出一
个例子进行说明：
（2）运用以上结论．计算：①√16×36；②√49×121；
（3）解决实际问题：已知一个长方形的长为√100，宽为√49，求这个长方形的面积．
√121
典例2 请你观察下列计算过程：因为112=121，所以 =11；用样，因为1112=12321，所以
√12321 √12345678987654321
=111；…；由此猜想 =________．
变式训练
√3 3√3 2 4×2 √5 5√5
1．（2022春•南京校级月考）观察等式：√3+ = ，2+ = ，√5+ = ，…
2 2 3 3 4 4
（1）你能猜想有什么规律呢？请用含n的式子表示（n≥3的整数） ；
a 10a
（2）按上述规律，若√10+ = ，则a+b＝ ；
b 9
（3）仿照上面内容，另编一个等式，验证你在（1）中得到的规律．2．（2022春•福清市期中）先阅读下面材料，再解答问题：
材料：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，
而零与无理数的积为零．由此可得：若 a+b√m=0，其中a，b为有理数，√m是无理数，则a＝0，b＝
0．
证明：∵a+b√m=0，a为有理数
∴b√m是有理数
∵b为有理数，√m是无理数
∴b＝0
∴a+0√m=0
∴a＝0
（1）若a+b√3=3+√3，其中a、b为有理数，请猜想a＝ ，b＝ ，并根据以上材料证明你的
猜想；
（2）已知√11的整数部分为a，小数部分为b，且x，y为有理数，x，y，a，b满足11y+√11（y−√11
x）＝（b+2）√11+a√11，求x，y的值．
3．（2022春•兴宁区校级期中）阅读与思考
请阅读下面材料，并完成相应的任务．
在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这
两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：
小聪：√4×25=√100=10，
√4×25=2×5＝10，所以√4×25=√4×√25．
小明： 4×25＝100，
(√4×25) 2=
100．
(√4×25) 2=(2×5) 2=
这就说明√4×25和√4×√25都是 4×25 的算术平方根，而 4×25 的算术平方根只有一个，所以
√4×25=√4×√25．
任务：
（1）猜想：当a≥0，b≥0时，√ab和√a×√b之间存在怎样的关系？并仿照小聪或小明的方法举出一
个例子进行说明；
（2）运用以上结论，计算：①√16×36；②√49×121；
（3）解决实际问题：已知一个长方形的长为√32，宽为√8，求这个长方形的面积．4．（2019春•阜阳期中）观察下列各等式及验证过程．
√1 1 1√2，验证√1 1 √ 1 √ 2 1√2；
− = − = = =
2 3 2 3 2 3 2×3 22×3 2 3
√1 1 1 1√3，验证：√1 1 1 √ 1 √ 3 1√3；
( − )= ( − )= = =
2 3 4 3 8 2 3 4 2×3×4 2×32×4 3 8
√1 1 1 1 √ 4 ，验证：√1 1 1 √ 1 √ 4 1 √ 4 ．
( − )= ( − )= = =
3 4 5 4 15 3 4 5 3×4×5 3×42×5 4 15
√1 1 1
（1）按照上述三个等式及其验证过程的基本思想，猜想 ( − )的变形结果并进行验证．
4 5 6
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式，并证明．
5．（2022秋•苏州期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出﹣50653的立方根？他进行了如
下步骤：
①首先进行了估算：因为103＝1000，1003＝1000000，所以√350653是两位数；
②其次观察了立方数：13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝
729；猜想√350653的个位数字是7；
③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为33＝27，43＝64，所以√350653的十位数字应为
3，于是猜想√350653=37，验证得：50653的立方根是37；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到√3−50653=−37，同时发现结论：若两个数互为相反数，
则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
（1）√3−117649= ；
（2）若√31−2x+√35=0，则x＝ ；
已知√3 x−2+2=x，且√33 y−1与√31−2x互为相反数，求x，y的值．
类型二 数形结合思想
典例3（2022秋•九龙坡区期末）如图实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简 |c
√b2−√(a−c) 2−﹣b| ．
+√3 c3=
变式训练
1．（2022秋•新华区校级期末）如图，数轴上点P表示的数可能是（ ）
A．√2 B．√3 C．√5 D．√7
2．（2022 秋•南关区校级期末）实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是
（ ）
A．|a|＜|b| B．a+b＜0 C．a﹣b＞0 D．ab＞0
3．（2022秋•九龙坡区校级期末）正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为﹣2
和﹣1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转 1次后，点C所对应的数为0；
则翻转2022次后，点C所对应的数是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
类型三 分类讨论思想
典例4（2022•广阳区一模）一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为16时，输出的y值是 ；
（2）若输出的y是√3，请写出两个满足要求的x值：
．
典例5（2021秋•宿城区校级期末）求x的值：25（x+2）2﹣36＝0．
变式训练
1．（2022秋•东阳市期中）如图所示的是一个无理数筛选器的工作流程图，根据
下面叙述回答相关问题．
（1）当x为8时，y的值为 ．
（2）当输出的y值是√33时，输入的x值唯一吗？若不唯一，请写出其中两个输入的x值．
（3）是否存在输入某个x值后，却始终输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，
请说明理由．2．（2022春•龙马潭区月考）已知（x﹣1）2＝16，求x的值．
类型四 转化思想
√1 √2
典例6（2021秋•信都区期中）比较大小：− 和− ．
3 5
√6+1 3
针对训练2．（2021秋•榆阳区校级月考）通过估算比较 与 的大小？
2 2
类型五 实数的大小比较
方法1 平方法
5√3
典例7 比较 和8的大小
变式训练
1．（2020秋•中原区校级月考）比较大小：√24与4.7；
2．比较大小：1+√6与√2+√5．
方法2 作差法
√19−2 2
典例8（2019秋•滦南县期末）课堂上，老师出了一道题，比较 与 的大小．
3 3
小明的解法如下：
√19−2 2 √19−2−2 √19−4
解： − = = ，因为42＝16＜19，所以√19＞4，所以√19−4＞0．
3 3 3 3
√19−4 √19−2 2
所以 ＞0，所以 ＞ ，我们把这种比较大小的方法称为作差法．
3 3 3
（1）根据上述材料填空（在横线上填“＞”“＝”或“＜”）：
①若a﹣b＞0，则a b；②若a﹣b＝0，则a b；③若a﹣b＜0，则a b．
9−√22 2
（2）利用上述方法比较实数 与 的大小．
4 3方法3 取近似值法
√17
4
典例9 比较－ 和 的大小．
方法4 估算法
典例10 通过估计，比较大小．
√3−1 1
（1）√24与5.1 （2） 与 ．
5 5
变式训练
1．√10在两个连续整数a和b之间，a＜√10＜b，那么a、b的值分别是 ．
比较大小：（1）3 √10； （2）7√6 6√7；
√3−2的相反数是 ，绝对值是 ．
1+√3
2．比较大小： 与1+√2．
2
方法5 放缩法
√7+2 √57−2
典例9 比较 与 的大小．
变式训练
1．（2021秋•南京期末）比较大小：√3 √2+1．（填“＞”、“＜”或“＝”）．第二部分 专题提优训练
1．（2021•漳平市模拟）实数a，b在数轴上的位置如图，则|a﹣b|﹣|a+b|等于（ ）
A．﹣2a B．﹣2b C．2b﹣2a D．2a+2b
2．（2021秋•宜宾期末）如图所示，已知数轴上的点A、O、B、C、D分别表示数﹣2、0、1、2、3，则表
示数3−√5的点P应落在（ ）
A．线段AO上 B．线段OB上 C．线段BC上 D．线段CD上
3．（2022秋•房山区期中）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a＜﹣2 B．b＜1 C．﹣a＞b D．﹣a＜﹣b
4．（2020 春•牡丹江期中）已知点 A、B、C 在数轴上表示的数 a、b、c 的位置如图所示，化简
．
√a2+|a+b|−√3 (a+c) 3=
5．（2010秋•海淀区校级期末）已知a＜b＜0，M＝a+b，N＝﹣a+b，H＝a﹣b，G＝﹣a﹣b，那么M，
N，H，G的大小关系为 （用“＞”连接）．
6．（宁波期中）观察下列等式：
|1−√2|=√2−1，|√2−√3|=√3−√2，|√3−√4|=√4−√3
将 以 上 三 个 等 式 相 加 得
|√1−√2|+|√2−√3|+|√3−√4|=√2−1+√3−√2+√4−√3=√4−1=2−1=1
（1）猜想并写出：|√n−√n+1|= ；
（2）直接写出下列格式的计算结果|√1−√2|+|√2−√3|+⋯+|√2012−√2013|=
|√1−√2|+|√2−√3|+⋯+|√n−√n+1|= ．
7．（2019秋•秦都区校级期中）求满足下列各式x的值：
（1）x2﹣9＝0； （2）（x﹣4）2＝4．8．通过估算比较下列各组数的大小．
√5+1 5
（1）√76与8.5； （2）√33与√2； （3） 与 ．
2 3
9．比较√13+√5与√15+√3的大小．
10．通过估算，比较下列各组数中两个数的大小．
√3−1 1
（1）√76与8.5；（2）√3530与8.5；（3）√2+√3与√15；（4） 与 ．
2 2
11．（2011秋•青羊区校级期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题：
(√2+1)(√2−1)=1，(√3+√2)(√3−√2)=1，(√4+√3)(√4−√3)=1，(√5+√4)(√5−√4)=1，
…
（1）观察上面的规律，计算下列式子的值．
1 1 1 1
（ + + +⋯+ ）•（√2012+1）
√2+1 √3+√2 √4+√3 √2012+√2011
（2）利用上面的规律，试比较√11−√10与√12−√11的大小．
12．（2016秋•井陉矿区期中）请你帮助小猴子解答它提出的两个问题．
（1）已知实数√13在a，b这两个相邻的整数之间，且a＜b，求a，b的值；
（2）比较−√ab和﹣5的大小．1 1
13．（2018 秋•资中县期中）能力拓展：A ：√2−√1= ；A ：√3−√2= ；A ：
1 2 3
√2+√1 √3+√2
1 1
√4−√3= ；A ：√5−√4= ；…；A ： ．
√4+√3 4 √5+√4 n
（1）请观察A ，A ，A 的规律，按照规律完成填空；
1 2 3
（2）请比较下列代数式的大小：①√3−√2和√2−√1； ②√7−√6和√5−√4；
（3）请直接写出√n+1−√n与√n−√n−1的大小关系．
14．（2019秋•中原区校级月考）比较两个正实数的大小有很多种方法，请你用合适的方法比较下列两组
数的大小．
（1）√2+√6与√3+√5； （2）√2020−√2019与√2019−√2018．
15．（2021春•凤山县期中）完成下列解答：
（1）用“＞”、“＜”或“＝”填空：√1 √2，√2 √3；
（2）由（1）可知：①|√1−√2|＝ ，②|√2−√3|＝ ；
（3）计算：|√1−√2|+|√2−√3|+|√3−√4|+…+|√2020−√2021|（计算结果保留根号）．
