跟踪训练05三角函数的图象与性质（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

跟踪训练 05 三角函数的图象与性质 一．选择题（共15小题） 1．（2023•福建模拟）函数 恒有 ，且 在 ， 上单调递增，则 的值为 A． B． C． D． 或 【解答】解： 函数 恒有 ， ，即 ， ， ， ， ①． 在 ， 上单调递增， ，且 ，则 ②． 综合①②可得， ， 故选： ． 2．（2023春•朝阳区校级期中）已知函数 的部分图象如图所示，那么它的一条对 称轴方程可以是 A． B． C． D． 【解答】解：由图可知函数 的图象关于 对称． 故选： ．3．（2023•惠州模拟）记函数 的最小正周期为 ，若 ，且 的图象关于点 ， 中心对称，则 A．1 B． C． D．3 【解答】解：函数 的最小正周期为 ， 则 ，由 ，得 ， ， 的图象关于点 ， 中心对称， ， 且 ，则 ， ． ， ，取 ，可得 ． ， 则 ． 故选： ． 4．（2023•佛山模拟）在下列函数中，最小正周期为 且在 为减函数的是 A． B． C． D． 【解答】解：由于 不是周期函数，故排除 ； 由于在 上， ， ， 不单调，故排除 ； 由于 是周期为 的周期函数，在 上， 单调递减， 故 满足条件； 由于 的最小正周期为 ，故排除 ，故选： ． 5．（2023•平顶山模拟）已知函数 是偶函 数，且 在 上单调，则 的最大值为 A．1 B．3 C．5 D． 【解答】解：因为 ， 所以 ， 则 ①， 因为 是偶函数， 所以直线 是 图象的对称轴，所以 ②． 由①②可得， ，又 ， 所以 ， 则 ， ， 因为 在 上单调， 的最小正周期为 ， 所以 ，解得 ，故 的最大值为5， 经检验 在 上单调． 故选： ． 6．（2023春•金牛区校级月考） 定义域为 A． B． C． D．【解答】解：由题意得 ， 解得 ，故定义域为 ． 故选： ． 7．（2023•安徽三模）已知函数 ，则下列结论正确的有 A． 的最小正周期为 B．直线 是 图象的一条对称轴 C． 在 上单调递增 D．若 在区间 上的最大值为1，则 【解答】解： 函数 ， 的最小正周期为 ，故 错误； 令 ，求得 ，可得直线 不是 图象的一条对称轴，故 错 误； 当 时， ， ，函数 不单调，故 错误； 若 在区间 ， 上的最大值为1， ， ， 可得 ，求得 ，故 正确． 故选： ． 8．（2023•河北模拟）已知函数 在区间 上不 单调，则 的最小正整数值为A．1 B．2 C．3 D．4 【 解 答 】 解 ： ， 由 ，若 ，有 ， 当 为正整数时， 在区间 上不单调，则有 ，解得 ， 则 的最小正整数值为2． 故选： ． 9．（2023春•涡阳县期末）设函数 ，则 A． 且 在 应调递增 B． 且 在 单调递减 C． 且 在 单调递增 D． 且 在 单调递减 【解答】解：由于 ，得 的最小 正周期不是 ； ，则 的周期为 ， 当 ， 时， ， 由于 ，得 ，故 ， 当 ， 时， ， 由于 ，得 ，故 ，综上所述，可得 的值域为 ， 当 时， ， 由于 ，得 ， 根据余弦函数性质可知 在 上单调递增．故 选项正确． 故选： ． 10．（2023•临河区校级模拟）已知函数 ， ， 若 ，则 的最小值为 A． B． C． D． 【解答】解： ， ， ， ， 若 ， 则 ， ，或 ， ， 若 ， ， 则 ， ， ， ， 则两式相加得： ， 即 ， 则当 时， 的最小值为 ． 若 ， ， 则 ， ， ， ，则两式相加的 ， 即 ， 则当 时， 的最小值为 ． 综上 的最小值为 ． 故选： ． 11．（2023•柳南区二模）已知函数 ，则该函数的一个单调递减区间是 A． B． C． D． 【解答】解：由 的单调递减区间 ， ， 可得 ，解得 ， ， 则函数 的递减区间为 ， ， ． 令 ，可得 的一个递减区间为 ， ， 对照选项可知，只有选项 成立． 故选： ． 12．（2023•湖滨区三模）已知函数 ，其中 ，若函数满足以 下条件： ①函数 在区间 上是单调函数； ② 对任意 恒成立； ③经过点 的任意直线与函数 恒有交点，则 的取值范围是 A． ， ， B．C． D． 【解答】解： ，且 ， ， ①若函数 在区间 上是单调函数，则 ， ， ， ②若 对任意 恒成立；则 ， ， ③若经过点 的任意直线与函数 恒有交点， 则 ， ， ， ， ， ， ， ， ①当 时，则 ， ②当 时，则 ， ③当 时，则 ， ， ， 的取值范围是 ， ， ． 故选： ． 13．（2023 春•安徽期中）已知函数 为正整数， 在区间 上单调，且 ，则 A． B． C． D． 【解答】解：由题意得 ，即 ， 所以 ， 因为 为正整数， 所以 ， ， 因为 ， 所以 ， 即 ， 所以 ， 因为 ， 则 ． 故选： ． 14．（2023•仙游县校级模拟）函数 在 上的值域为 A． ， B． C． D． ， 【解答】解：由 得 ， 故 ． 故选： ． 15．（2023春•盐城期中）设函数 在区间 恰有三条对称轴、两个零 点，则 的取值范围是 A． B． C． D．【解答】解：由函数 ， ， 可得 ， ． 由题意可得 ， 解得 ． 故选： ． 二．多选题（共5小题） 16．（2023春•合江县校级期中）已知函数 ，则下列关于该函数性质说法 正确的有 A． 的一个周期是 B． 的图象关于直线 对称 C． 的值域是 ， D． 在区间 上单调递减 【解答】解： ：因为 ， 所以 是函数 的周期，故本选项说法正确； ：因为 ， 所以 ， ， 故本选项说法不正确： ，因 ， ， 则 的图象关于直线 对称， 正确；：因为 ，所以函数 是单调递减函数， 因此有 ，而 ，所以 在区间 上单调递减，故本选项说 法正确． 故选： ． 17．（2023•平江县校级模拟）设函数 ，若 在 ， 上有且 仅有3条对称轴，则 A． 在 ， 上有且仅有2个最大值点 B． 在 ， 上有且仅有2个零点 C． 的取值范围是 D． 在 上单调递增 【解答】解： ， ， ， ， ， 令 ， ， 画出 图象进行分析： 对于 选项：由图象可知： 在 ， 上有且仅有 ， 对应的这2个最大值点，故 选项正确； 对于 选项：当 ，即 时， 在 ， 有且仅有2个零点；当 ，即 时， 在 ， 有且仅有3个零点，故 选项不正 确； 对于 选项： 在 ， 有且仅有3条对称轴， ， ， 的取值范围是 ，故 选项正确； 对于 选项： ， ， ， ， 由 选项可知， ， ， 即 在 上单调递增，故 选项正确． 故选： ． 18．（2023春•丰城市校级期中）下列各式正确的是 A． B． C． D． 【解答】解：因为 ， ， 在 单调递增，所以 ，所以 正确； 因为 ， ， 所以 ，所以 正确： ， ，故 ，所以 错误； 因为 ，在 内 单调递增，所以 ，所以 正确． 故选： ． 19．（2023春•南京月考）若函数 ，则下列结论正确的是 A．函数 最小正周期为 B．函数 在区间 ， 上单调递增 C．函数 图象关于 对称 D．函数 的图象关于点 ， 对称 【解答】解：若 ，则 ， 错误； 令 可得 ，即 在区间 ， 上单调递增， 正确； 令 ， 可得 ， 当 时，可得函数的一个对称轴 ， 正确； 令 ， 可得 ， 当 时， ， 故函数的一个对称中心为 ， ， 正确． 故选： ． 20．（2023•广州模拟）已知函数 ，其图像上相邻的 两个最高点之间的距离为 ， 在 上是单调函数，则下列说法不正确的是 A． 的最大值为B． 在 ， 上的图像与直线 没有交点 C． 在 上没有对称轴 D． 在 上有一个零点 【解答】解： 相邻的两个最高点之间的距离为 ， ，即 ，得 ， 则 ， 在 上是单调函数， 当 时， ， 则 ， ， ， ，则 只能是单调递增函数，此时必有 ， 即 ，即 的最大值为 ，故 正确， 当 时， ， ， ， ，则当 时， ，此时 与 有 交点，故 错误， 当 时， ， ， ， ，则当 时，得 ，即此时 是对称 轴，故 错误， 当 时， ， ，， ， ，则此时 没有零点， 故 错误． 故错误的是 ． 故选： ． 三．填空题（共5小题） 21．（2023春•海淀区校级期中） 的值域是 ， ． 【解答】解：由题意知， ， ， 得 ， ，即函数 的值域为 ， ． 故答案为： ， ． 22．（2023春•黄浦区校级期中）余弦函数 的零点为 ， ． 【解答】解：根据余弦函数的图象和性质，可得余弦函数 的零点为 ， ． 故答案为： ， ． 23．（2023 春•长宁区校级期中）函数 的单调递增区间为 ， ， ． 【解答】解：函数 ， 令 ， ；解得 ， ， 即 ， ； 所以函数 的单调递增区间是： ， ， ． 故答案为： ， ， ． 24．（2023•闵行区校级一模）已知 ，若在 上恰有两个不相等的 实数 、 满足 （a） （b） ，则实数 的取值范围是 ， ． 【解答】解：因为 ，所以 ， 因 为 在 上 恰 有 两 个 不 相 等 的 实 数 、 满 足 （ a ） （ b ） ， 且 ， 所以，函数 在 上恰有两个最大值点， 所以， ，解得 ， 因此，实数 的取值范围是 ， ． 故答案为： ， ． 25．（2023春•当涂县校级期中）已知函数 在区间 上单调 递减，则实数 的取值范围为 ， ． 【解答】解：由题意有 ，可得 ， 又由 ，必有 ，可得 ． 故实数 的取值范围为： ， ． 四．解答题（共3小题） 26．（2023春•闵行区校级期中）已知 ． （1）求函数 的最小正周期及单调递增区间； （2）求函数 在区间 上的取值范围． 【解答】解：因为 ， （1） ， 由 ， ，可得 ， ， 所以 的单调递增区间为： ， ， ； （2）当 时， ， ， 所以 ， ， 所以 ， ， 所以 在区间 上的取值范围为： ， ． 27．（2022秋•青岛期末）已知函数 是 的一个零点． （1）求 ； （2）若 时，方程 有解，求实数 的范围． 【解答】解：（1）由题意 ， 则 ， ， ．（2）由（1）得 ， ， 则 ， ，则 ， 方程 有解，则 ． 28．（2023春•石景山区期末）已知函数 ， 是 的一个零点． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）当 ， 时，若曲线 与直线 有2个公共点，求 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由题意 ，即 ， 因为 ，所以 ， 解得 ； （ Ⅱ ） 由 （ Ⅰ ） ， 因为 ， 时，则 ， ， 所以曲线 与直线 有2个公共点， 当 或 时， ， 当 时 ， 则 ， ． 所以 的取值范围是 ， ．