文档内容
全等变化模型六 半角模型
【模型展示】
1
四方形ABCD中，BC=DC，∠B+∠D=180°，∠ECF= ∠BCD
【模型条件】 2
①EF=BE+FD
【模型结论】
②CF平分∠EFD，CE平分∠BEF
证明：
【模型应用】【模型巩固】
【例6-1】如图，正方形ABCD中，∠EAF的两边分别与边BC、CD交于点E、F，AE、AF分别交
BD于点G、H，且∠EAF＝45°．
（1）当∠AEB＝55°时，求∠DAH的度数；
（2）设∠AEB＝ ，则∠AFD＝ （用含 的代数式表示）；
（3）求证：∠AEB＝∠AEF．
α α
【解答】解：（1）由ABCD为正方形，则∠DAB＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，
当∠AEB＝55°时，∠EAB＝90°﹣∠AEB＝90°﹣55°＝35°，
∴∠DAH＝90°﹣∠EAF﹣∠EAB＝90°﹣45°﹣35°＝10°，
（2）由四边形ABCD为正方形可知，∠ABE＝∠ADF＝∠BAD＝90°，
∵∠AEB＝ ，∴∠EAB＝90°﹣ ，
∴∠DAF＝∠BAD﹣∠EAB﹣∠EAF＝90°﹣（90°﹣ ）﹣45°＝ ﹣45°，
α α
∴∠AFD＝90°﹣∠DAF＝90°﹣（ ﹣45°）＝135°﹣ ．
α α
故答案为：135°﹣ ．
α α
（3）证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABI，
α
可得E、B、I三点共线，
由旋转可知∠DAF＝∠BAI，AF＝AI，
∵∠DAF+∠EAB＝90°﹣∠EAF＝45°，∴∠BAI+∠EAB＝45°＝∠IAE，
在△EAF和△EAI中，
，
∴△EAF≌△EAI（SAS）．
∴∠AEF＝∠AEI＝∠AEB．
【例6-2】在正方形ABCD中，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN，垂足为H，若M、N分别在边CB、DC
的延长线上移动．
①试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系．
②求证：AB＝AH．
【解答】解：①DN﹣BM＝MN．
证明如下：
如图，
在DC上截取DF＝BM，连接AF，
△ABM和△ADF中
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝90°，即MAF＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，
∴∠MAN＝∠FAN＝45°，
在△MAN和△FAN中
，
∴△MAN≌△FAN（SAS），
∴MN＝NF，
∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，
∴DN﹣BM＝MN；
②∵△MAN≌△FAN，
∴∠HNA＝∠DNA，
∵∠H＝∠D＝90°，AN＝AN，
∴△AHN≌△ADN（AAS），
∴AD＝AH，
∵AD＝AB，
∴AH＝AB．
【例6-3】如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，4），A（4，
4），过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点
（1）若OF+BE＝AB，求证：CF＝CE．
（2）如图（2），且∠ECF＝45°，S△ECF ＝6，求S△BEF 的值．
【解答】解：（1）证明：∵AB⊥x轴，AC⊥y轴
∴∠ABO＝∠ACO＝90°
∵∠BOC＝90°
∴∠A＝360°﹣∠ABO﹣∠ACO﹣∠BOC＝90°
∴∠A＝∠BOC
∵C（0，4），A（4，4）∴OC＝AC＝AB＝4
∵OF+BE＝AB，AB＝AE+BE
∴OF＝AE
在△COF和△CAE中
∴△COF≌△CAE（SAS）
∴CF＝CE．
（2）将△ACE绕点C顺时针旋转90°，
则FG＝AE+OF，CG＝CE，∠ACE＝∠GCO
∵∠ECF＝45°，
∴∠ACE+∠FCO＝∠ACO﹣∠ECF＝90°45°＝45°
∴∠GCF＝∠GCO+∠FCO＝∠ACE+∠FCO＝45°
∴∠GCF＝∠ECF
在△GCF和△ECF中
∴△GCF≌△ECF（SAS）
∵S△ECF ＝6
∴S△GCF ＝6
∴S△ECA +S△OCF ＝6
∵由（1）知四边形OBAC为边长为4的正方形
∴S四边形OBAC ＝4×4＝16
∴S△BEF ＝S四边形OBAC ﹣S△ECF ﹣S△ECA ﹣S△OCF ＝16﹣6﹣6＝4
∴S△BEF 的值为4．
【例6-4】如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN＝
45°．
（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量
关系；
（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，
给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；【解答】解：（1）BM+DN＝MN，理由如下：
如图1，在MB的延长线上，截取BE＝DN，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABE＝90°＝∠D，
在△ABE和△ADN中， ，
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，
∴∠EAN＝∠BAD＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAM＝45°＝∠NAM，
在△AEM和△ANM中， ，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME＝MN，
又∵ME＝BE+BM＝BM+DN，
∴BM+DN＝MN；
（2）（1）中的结论不成立，DN﹣BM＝MN．理由如下：
如图2，在DC上截取DF＝BM，连接AF，
则∠ABM＝90°＝∠D，
在△ABM和△ADF中， ，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，即∠MAF＝∠BAD＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠MAN＝∠FAN＝45°，
在△MAN和△FAN中， ，
∴△MAN≌△FAN（SAS），
∴MN＝NF，
∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，
∴DN﹣BM＝MN．
【模型拓展】
【拓展6-1】如图，已知 ， 轴于 ，且满足 ，
（1）求 点坐标；
（2）分别以 ， 为边作等边三角形 和 ，如图1试判定线段 和 的数量关系
和位置关系．
（3）如图2过 作 轴于 ， ， 分别为线段 ， 上的两个动点，满足
试探究 的值是否发生变化？如果不变，请说明理由并求其值；如果变化，请说明理由．
【解答】解：（1）根据题意得： 且 ，
解得： ， ，则 的坐标是 ；
（2） ，且 ．
如图1，连接 ， ，
的坐标是 ， ，
是等边三角形，
， ，
，
在直角 中， ，，
是等边三角形， ，
即 是 的角平分线，
，且 平分 ， ，
，
，
，
故 ，且 ．
（3）不变．
延长 至点 ，使 ，连接 ，
在 与 中， ，
，
， ，
，
，
在 与 中， ，
，
，
．
【拓展6-2】如图1，点 、 在 轴正半轴上，点 、 分别在 轴上， 平分 与 轴交
于 点， ．
（1）求证： ；
（2）在（1）中点 的坐标为 ，点 为 上一点，且 ，如图2，求 的
长；
（3）在（1）中，过 作 于 点，点 为 上一动点，点 为 上一动点，（如图 ，
当点 在 上移动、点 在 上移动时，始终满足 ，试判断 、 、
这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．【解答】（1）证明： ，
．
在 和 中
，
．
．
（2）解：由（1）知 ，
，过 作 于 点，如右图所示：
，
，
在 和 中
，
，
．
在 和 中，
，
可知： ；
．
（3） ．证明：由（1）知： ，
在 轴的负半轴上取 ，连接 ，如右图所示：
在 和 中
，
．
， ．
．
在 和 中
，
．
，
．
【拓展6-3】如图1， 为等腰三角形， ，点 在线段 上（不与 ， 重合），
以 为腰长作等腰直角 ， 于 ．（1）求证： ；
（2）连接 交 于 ，若 ，求 的值；
（3）如图2，过 作 交 的延长线于点 ，过 点作 交 于 ，连接 ，
当点 在线段 上运动时（不与 ， 重合），式子 的值会变化吗？若不变，求出该
值；若变化，请说明理由．
【解答】（1）证明： 为等腰三角形， ，点 在线段 上（不与 ， 重合），
以 为腰长作等腰直角 ， 于 ．
， ， ，
，
在 和 中，
，
；
（2）解： ， ，
， ．
在 和 中，
，
，
，
， ， ，
，
，
，
；
（3）式子 的值不会变化．如下图2所示：作 交 于点 ，
， ， ，
， ，
，
为等腰直角三角形，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
．
