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第25 章 概率初步（单元测试·拔尖卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2021秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）如图，在3×3的方格中，A，B，C，D，E，F分别位于
格点上，从C，D，E，F四点中任意取一点，与点A，B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概
率是（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2022秋·九年级课时练习）某中学初三年级四个班，四个数学老师分别任教不同的班．期末考试
时，学校安排统一监考，要求同年级数学老师交换监考，那么安排初三年级数学考试时可选择的监考方案
有（ ）种．
A．8 B．9 C．10 D．12
3．（2022秋·九年级单元测试）从﹣3，﹣2，﹣1，0，1这五个数中，随机取出一个数，记为a，若a
使得关于x的不等式组 无解，且关于x的分式方程 有整数解的概率为
（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·九年级单元测试）下列命题中，假命题的个数为（ ）
（1）“ 是任意实数， ”是必然事件；
（2）抛物线 的对称轴是直线 ；
（3）若某运动员投篮2次，投中1次，则该运动员投1次篮，投中的概率为 ；（4）某件事情发生的概率是1，则它一定发生；
（5）某彩票的中奖率为10%，则买100张彩票一定有1张会中奖；
（6）函数 与 轴必有两个交点．
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2023秋·九年级单元测试）设a,b是两个任意独立的一位正整数, 则点（a,b）在抛物线y=ax2-bx上
方的概率是 （ ）
A． B． C． D．
6．（2017春·九年级单元测试）从－3，1，－2这三个数中，任选两个数的积作为k的值，则使正比
例函数y＝kx的图象经过第二、四象限的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·浙江·模拟预测）现有三个正方体形的公正骰子，每个骰子的六个面上分别标有点数1，2，
3，4，5，6．投掷这三个骰子，则其中两个骰子的点数之和恰好等于余下的一个骰子的点数的概率是（
）
A． B． C． D．
8．（2023秋·九年级课时练习）将号码分别为1，2，3，…，9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅
号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个球，号码为a，放回后乙再摸出一个球，号码为b，则使不等
式 成立的事件发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），
小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为 ，宽为 的长方形，将不规则图案围
起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上
或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可
估计不规则图案的面积大约是（ ）A． B． C． D．
10．（2021·山东德州·校考一模）我国魏晋时期的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股
形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明
了勾股定理，如图，若 ， ，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域内的概率
（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2021·安徽·九年级专题练习）若事件“对于二次函数y=x2﹣2mx+1，当x≤1时，y随着x的增大
而减小．”是必然事件，则实数m的取值范围是 ．
12．（2023·全国·九年级假期作业）从 位男同学和 位女同学中任选 人参加志愿者活动，所选 人
中恰好是一位男同学和一位女同学的概率是 ．
13．（2022秋·浙江·九年级专题练习）从 ， ， ， ， ， 这 个数中任意选一个数作为 的值，
则使关于 的方程 的解是负数，且关于 的一次函数 的图象不经过第一象限的概
率为 ．
14．（2022春·四川南充·九年级专题练习）现有张正面分别标有数字0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为 ，
则使得关于 的一元二次方程 有实数根，且关于 的分式方程 有解的概率为
．
15．（2020秋·九年级单元测试）如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，
画一个对角线为AC和BD的菱形，使不规则区域落在菱形内，其中AC=8m，BD=4m，现向菱形内随机投掷
小石子（假设小石子落在菱形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则
区域的频率稳定在常数25%，由此可估计不规则区域的面积是 m2．
16．（2020·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考二模）为了庆祝“六一儿童节”，育才初一年
级同学在班会课进行了趣味活动，小舟同学在模板上画出一个菱形 ，将它以点 为中心按顺时针方
向分别旋转90°，180°，270°后得到如图所示的图形，其中 ， ，然后小舟将此图
形制作成一个靶子，那么当我们投飞镖时命中阴影部分的概率为 ．
17．（2023春·四川成都·九年级专题练习）已知 满足
，则使一次函数 的图象经过一、二、四象
限的 的概率是 ．
18．（2022秋·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）如图，以扇形 的顶点 为原点，半径 所在的直线为 轴，建立平面直角坐标系，点 的坐标为 ， ．现从 中随机选
取一个数记为 ，则 的值既使得抛物线 与扇形 的边界有公共点，又使得关于 的方程
的解是正数的概率是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023·广东梅州·校考一模）五一期间在银川会展中心进行车展，某汽车经销商推出A、
B、C、D四种型号的小轿车共1000辆进行展销．C型号轿车销售的成交率为50%，其它型号轿车的销售情
况绘制在图1和图2两幅尚不完整的统计图中．
（1）请你将图2的统计图补充完整．
（2）通过计算说明，哪一种型号的轿车销售情况最好？
（3）若对已售出轿车进行抽奖，现将已售出A、B、C、D四种型号轿车的发票（一车一票）放到一
起，从中随机抽取一张，求抽到A型号轿车发票的概率．
20．（8分）（2022秋·浙江温州·九年级统考阶段练习）（1）把长为 的线段任意分成3条线段，求这3条线段能够构成一个三角形的3条边的概率．
（2）据统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108
万辆．为了保护环境，缓解汽车拥堵，该市拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过
125.48万辆；且从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的 ．假设每年新
增汽车数量相同，请估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆，并求出求2008年
底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率．
21．（10分）（2023秋·全国·九年级专题练习）在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分
别标有数字1，2，3，4，随机地一次摸取两张纸牌，请用列表或画树状图的方法解决下列问题．
（1）计算两次摸取纸牌上数字之和为5的概率；
（2）甲、乙两人进行游戏，如果两次摸取纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸取纸牌上数
字之和为偶数，则乙胜．这是个公平的游戏吗？请说明理由．
22．（10分）（2023秋·江苏·九年级开学考试）小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封
闭图形ABC．为了知道它的面积，他在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，在不远处向图形内掷石子，
且记录如下：
掷石子次数石子落在的区域ABC 50次 150次 300次
石子落在圆内（含圆上）的次数m 14 43 93
石子落在阴影内的次数n 19 85 186
（1）随着次数的增多，小明发现m与n的比值在一个常数k附近波动，请你写出k的值．（2）请利
用学过的知识求出封闭图形ABC的大致面积．23．（10分）（2023·北京海淀·九年级期末）为了增加学生的阅读量，达到让学生“在阅读中成长，
在成长中阅读”的效果，某中学计划在各班设立图书角．为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的
书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查．学校团委在收集整理了学生喜爱的书籍类型（A．科普、B．文
学、C．体育、D．其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，如图所示．
请你根据以上信息，解答下列问题．
（1）随机抽样调查的样本容量是______，扇形统计图中“B”所对应的圆心角的度数为______度；
（2）补全条形统计图；
（3）抽样中选择文学类书籍的学生有2名男生和2名女生，校团委计划从中随机抽取2名学生参加团
委组织的征文大赛，求恰好抽出一男一女的概率．
24．（12分）（2023·广东广州·校考二模）为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A， ，
三种午餐供师生选择，单价分别是10元，12元，15元，为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该
校上周A， ， 三种午餐购买情况的数据制成统计表，又根据过去平均每份午餐的利润与周销售量之间
的关系绘制成条形统计图：
种类 数量（份）
A 1800
2300
900请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）该校师生上周购买午餐费用的中位数是______．
（2）为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人只能选择两种不同的午餐交替食用，试通过列表或
画树状图的方法求该校学生小芳选择“ ”组合的概率；
（3）经分析与预测，该校师生购买午餐的种类与数量相对稳定．根据规定，配餐公司平均每份午餐
的利润不得超过3元，否则应调低午餐的单价．
①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价；
②为了便于操作，配餐公司决定只调低一种午餐的单价，且调低幅度至少1元（只能整数元），为了
使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，请问应把哪一种午餐的单价调整为多少元？
参考答案
1．D
【分析】根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是
等腰三角形，即可得出答案．
解：根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰
三角形，
故P（所作三角形是等腰三角形）= ．
故选D．
【点拨】本题考查概率公式和等腰三角形的判定，解题关键是熟记随机事件A的概率P（A）=事件A
可能出现的结果数所有可能出现的结果数的商．2．B
【分析】可分4个位置，对于每个位置做出可能的判断，列出树状图即可．
解：设4个班级分别为A、B、C、D，相对应的4个老师分别为a，b，c，d，画树状图为：
由图中可以看出，共有9种情况．
故选B．
【点拨】本题考查了用列树状图的方法解决问题，注意应去掉本班教师监考本班学生的排法.
3．A
【分析】先解不等式组，再根据不等式组无解，分式方程有整数解即可得解．
解： ，
由①得，x≤a，
由②得，x＞ ，
可见，x取-3，-2，-1，0时，不等式组无解；
解分式方程 得，
x= ，
当a取-3，-1，1时，分式方程有整数解，
当a取-1时，分式方程x=2是增根．
综上，a取-3时，符合题意，P= ．
故选A．
【点拨】本题考查简单事件的概率、不等式组以及分式方程，能求解分式方程是解题的关键．
4．C
解：（1）“a是任意实数，|a|-5＞0”是不确定事件，是假命题；（2）抛物线y=（2x+1）2的对称轴是直线x=- ，是假命题；
（3）若某运动员投篮2次，投中1次，则该运动员投1次篮，投中的概率为 ，是假命题；
（4）某件事情发生的概率是1，则它一定发生，是真命题；
（5）某彩票的中奖率为10%，则买100张彩票中奖的可能性很大，但不是一定中奖，是假命题；
（6）函数y=-9（x+2014）2+ 与x轴必有两个交点，是真命题，
则假命题的个数是4；
故选C．
考点：命题与定理．
5．D
【分析】根据a、b是两个任意独立的一位正整数，得出a，b取1～9，然后求出点（a，b）在抛物线
y=ax2-bx的上方的所有情况，再根据概率公式，即可求出答案．
解：∵a、b是两个任意独立的一位正整数，
∴a，b取1～9，
∴代入x=a时，y=a3-ba，
∵点（a，b）在抛物线y=ax2-bx的上方，
∴b-y=b-a3+ba＞0，
当a=1时，b-1+b＞0，
∴b＞ ，有9个数，b=1，2，3，4，5，6，7，8，9，
当a=2时，b-8+2b＞0，
∴b＞ ，有7个数，b=3，4，5，6，7，8，9，
当a=3时，b-27+3b＞0，
∴b＞ ，有3个数，b=7，8，9，
当a=4时，b-64+4b＞0，
∴b＞ ，有0个数，b在此以上无解，
∴共有19个，而总的可能性为9×9=81，∴点（a，b）在抛物线y=ax2-bx的上方的概率是 ；
故选D．
【点拨】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A
出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
6．D
解：根据题意画树状图为：
共有6种可能的情况，而正比例函数的图像经过二、四象限的条件是k＜0，因此符合的有4种可能，
因此符合条件的概率为： .
故选D.
点睛：此题主要考查了树状图或列表法求概率，解题时根据抽取两数求积k的值，然后根据正比例函
数图像经过的象限判断出k的范围，然后求符合条件的概率即可.
7．D
【分析】先求得总的可能情形，根据题意得出有9种可能，按照不同方式可得共有45种符合题意的情
形，进而根据概率公式，即可求解．
解：根据树状图法可得第一个数字有6种情形，第二个数字可以选6个数字，第三个数字也可以选6
个数字，故总可能结果有 种可能
依题意， ， ，共有9种可能，
每种有6种排列方式，
其中 ， ， 每种可能有3种不同排列
； 和 ， 共9种可能；
的排列有 6种可能，同理 ....，6种可能
则符合题意的共有 种，
∴其中两个骰子的点数之和恰好等于余下的一个骰子的点数的概率是 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了根据概率公式求概率，根据题意找出符合题意的可能数是解题的关键．
8．D
【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有9×9种结
果，满足条件的事件是使不等式a-2b+10＞0成立的，即2b-a＜10，列举出当当b=1，2，3，4，5，6，7，
8，9时的所有的结果，得到概率．
解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有9×9=81种结果，
满足条件的事件是使不等式a-2b+10＞0成立的，即2b-a＜10
当b=1，2，3，4，5时，a有9种结果，共有45种结果，
当b=6时，a有7种结果
当b=7时，a有5种结果
当b=8时，a有3种结果
当b=9时，a有1种结果
∴共有45+7+5+3+1=61种结果，
∴所求的概率是 ，
故选D．
【点拨】本题考查等可能事件的概率，在解题的过程中注意列举出所有的满足条件的事件数时，因为
包含的情况比较多，又是一个数字问题，注意做到不重不漏．
9．B
【分析】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.35，因此用频率估计概
率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为0.35，即可求得不规则图案的面积．
解：p由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.35，于是把
0.35作为概率．
设不规则图案的面积为xcm2，则有
解得：x=14即不规则图案的面积为14cm2．
故选：B．
【点拨】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折
线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于0.35附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这
对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．
10．C
【分析】设小正方形的边长为x，根据已知条件得到AB＝2+3＝5，根据勾股定理列方程求得x＝1，再
根据三角形的面积公式计算即可得到结论．
解：
设小正方形的边长为x
∵a＝2，b＝3
∴AB＝2+3＝5
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2
∴（2+x）2+（x+3）2＝52
∴x＝1，x＝﹣6（不合题意舍去）
∴
∴ ，阴影面积
∴针尖落在阴影域内的概率＝
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理、一元二次方程、概率等知识；求解的关键是熟练掌握概率、一元二次
方程和勾股定理的性质，从而完成求解．
11．m≥1【分析】先算出二次函数的对称轴，然后根据已知条件及二次函数的图象可以得到解答．
解：对于二次函数y=x2﹣2mx+1，对称轴为x=m．
∵当x≤1时，y随x的增大而减小，
∴m≥1，
∴实数m的取值范围是m≥1．
故答案为：m≥1．
【点拨】本题考查二次函数、一元一次不等式及概率的综合运用，熟练掌握和理解二次函数图象及其
增减性、一元一次不等式解集在数轴上的表示及必然事件的含义是解题关键．
12．
【分析】根据题意画出树状图，由树状图求得所选2人中恰好是一位男同学和一位女同学的情况，再
利用概率公式即可求得答案．
解：根据题意画树状图：
∵共有20种可能的结果，所选2人中恰好是一位男同学和一位女同学的情况有12种，
∴所选2人中恰好是一位男同学和一位女同学的概率为： = ，
故答案为
【点拨】本题考查的是用画树状图法求概率．画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，
树状图法适合两步或两步以上完成的事件．概率=所求情况数与总情况数之比．熟练掌握画树状图、灵活
运用求概率的公式是解题关键．
13． ．
【分析】先求出分式方程的解，再根据解为负数求出此时m的取值范围，再根据一次函数图像不经过
第一象限求出m的取值范围，最终确定m可以选取的数值，最后计算概率．
解：解分式方程 得：
方程的解为负数，且 ，
解得： 且 ，
一次函数 图象不经过第一象限，
，
且 ，
在 ， ， ， ， ， 这 个数中符合 且 的有 ， 这 个数，
使分式方程的解为负数且一次函数图象不经过第一象限的概率为
故答案为： ．
【点拨】本题考查概率公式，分式方程的解，一次函数图象与系数的关系等知识点，综合性较强。注
意求分式方程的解时分母不能为零．
14．
【分析】根据一元二次方程有实数根，求出a的取值范围，再根据分式方程有解，求出a的取值范围，
综合两个结果即可得出答案．
解：一元二次方程 有实数根，
∴ .
∴ ，
∴ ，1，2，
关于 的分式方程 的解为： ，
且 且 ，
解得： 且 ，
∴ ，
∴使得关于 的一元二次方程，
有实数根，且关于 的分式方程 有解的概率为： .
故答案为：【点拨】本题考查一元二次方程有实数根、分式方程有解和概率的计算公式，掌握一元二次方程有实
数根和分式方程有解是解题的关键．
15．4．
【分析】首先确定小石子落在不规则区域的概率，然后利用概率公式求得其面积即可．
解：∵经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数25%附近，
∴小石子落在不规则区域的概率为0.25，
∵AC=8m，BD=4m，
∴面积为 ×8×4=16m2，
设不规则部分的面积为s，
则 =0.25，
解得：s=4，
故答案为4．
【点拨】考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估
计概率．
16．
【分析】连接BD、AC、OA、OC．先求得菱形ABCD的面积和 ACO的面积，然后可求得四边形ABCO
和凹四边形ADCO的面积，最后依据它们的面积比进行求解即可．△
解：连接BD、AC、OA、OC，AC与BD相交于点E．
∵ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝ ，
∴∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形．
∴BD＝AB＝ ．∴AE＝ABsin60°＝ × ＝6．
∴AC=2 AE =12．
∴ ＝ BD•AC＝24 ．
∴ ．
由旋转的性质可知OC＝OA，∠COA＝90°，
∴OC＝ AC＝ ×12＝6 ．
∴△AOC的面积＝ OC•OA＝36．
∴ ＝ ，
．
∴命中阴影部分的概率 ．
故答案为： .
【点拨】本题主要考查的是几何概率问题，解答本题主要应用了菱形的性质、旋转的性质，求得四边
形ABCO和凹四边形ADCO的面积是解题的关键．
17． ．
【分析】根据 的值不是1就是－1，得出 有6个是负数，2006个是正数，再根据一次函数经过一、
二、四象限得出一次项系数小于0，即可求出概率．
解：∵ 的值不是1就是－1，
且 满足 ，
∴ ， ， ，∴ 有6个是负数，2006个是正数，
∵ 时直线 的图象经过一、二、四象限，
∴使直线 的图象经过一、二、四象限的 概率是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查概率的求解，解题的关键是掌握绝对值的性质，一次函数的图象和性质，以及概率
的求解方法．
18．
【分析】根据题意可以求得点A的坐标，由关于x的方程 的解是正数可以求得a的取值范围，
抛物线y＝ 与扇形AOB的边界有公共点，可以求得相应的a的取值范围，从而可以得到满足a的值
既使得抛物线y＝ 与扇形AOB的边界有公共点，又使得关于x的方程 的解是正数的a的取
值范围，从而可以得到符合要求的a的值，进而求得概率是多少.
解：由已知可得，OB＝2,OA＝2，∠AOB＝45°，
则点A的横坐标：OA（cos45°＝2× ＝ ，纵坐标为：OA（sin45°＝2× ＝ ，
即点A的坐标为：（ ， ），
∵ ，解得：x＝ ，
∴方程 的解是正解时，
＞0，得a＞－1，
又∵抛物线y＝ 与扇形AOB的边界有公共点，∴
解得－2≤a≤ －1，
∴a的值既使得抛物线 与扇形 的边界有公共点，
又使得关于 的方程 的解是正数时满足的条件是：－1＜a＜ －1，
∴从－2，－ ，－1，－ ，0， 中随机选取一个数记为a，
则a的值既使得抛物线 与扇形 的边界有公共点，
又使得关于 的方程 的解是正数的概率是： ，
故答案为 .
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质以及概率的概念，需要我们熟练掌握二次函数的系数、常数
项的取值与图象之间的关系.
19．（1）见分析；（2）D；（3）
【分析】（1）先利用扇形统计图计算出C型号轿车的展销量，然后用它的展销量乘以50%得到C型
轿车的销售量，再补全条形图；
（2）分别计算出四种型号轿车销售的成交率，然后进行比较判断即可；
（3）利用概率公式计算即可．
解：（1）C型号轿车的销售量为1000×20%×50%=100（辆），补全统计图如图所示，（2）解：A型号的轿车销售成交率为 ；
B型号的轿车销售成交率为 ；
D型号的轿车销售成交率为 ；
C型号的轿车销售成交率为 ；
∴D型号的轿车销售情况最好；
（3）抽到A型号的轿车发票的概率
【点拨】本题考查了条形统计图和扇形统计图的应用及概率的计算，正确地从统计图中获得有用的信
息是解题的关键．
20．（1） ；（2）该市每年新增汽车数量最多不能超过20万辆；2008年底至2010年底该市拥有量
的年平均增长率为
【分析】（1）根据三角形三边关系求解即可；
（2）设2008年底至2010年底该市拥有量的年平均增长率为x，设从2011年初起每年新增汽车数量为
y万辆，然后根据题意列出一元二次方程和一元一次不等式方程并求解即可．
解：（1）设其中两条线段的长为 ，则第3条线段的长为 ，于是 的取值范围是：
①
要使3条线段构成一个三角形的3条边，其充要条件是其中任意一条线段的长度小于其余两条线段的
长度之和．这等价于每条线段的长度都小于 ，即
②
将 视为坐标系的坐标， ，而满足条件②的点 在以 为顶点的 内，
故所求概率为
答：3条线段能构成一个三角形的三边的概率为 ；
（2）设2008年底至2010年底该市拥有量的年平均增长率为x，
根据题意得 ，
解得 （不合题意，舍去），
设从2011年初起每年新增汽车数量为y万辆，
根据题意得 ，
解得 ．
答：该市每年新增汽车数量最多不能超过20万辆；2008年底至2010年底该市拥有量的年平均增长率
为 ．
【点拨】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用、三角形三边关系和概率计算方法，解决
本题的关键是掌握数形结合的思想．
21．（1） ；（2）这不是个公平的游戏，理由见分析
【分析】（1）结合题意，根据树状图法求概率的性质计算，即可得到答案；
（2）结合（1）的结论，根据树状图法求概率的性质分别计算甲和乙胜的概率，从而完成求解.
解：（1）根据题意，树状图如下：∴随机地一次摸取两张纸牌，共有12种情况，其中两次摸取纸牌上数字之和为5的情况共有4种
∴两次摸取纸牌上数字之和为5的概率 ；
（2）根据（1）的结论，随机地一次摸取两张纸牌，共有12种情况，其中两次摸取纸牌上数字之和为
奇数的情况有8种，两次摸取纸牌上数字之和为偶数的情况有4种
∴甲胜的概率 ，乙胜的概率 ，
∴甲胜的概率大于乙胜的概率
∴这不是个公平的游戏.
【点拨】本题考查了概率的知识；解题的关键是熟练掌握树状图法求概率的性质，从而完成求解.
22．（1） ；（2）3π．
【分析】（1）根据次数越多，频率越稳定，用300次时石子落在圆内（含圆上）的次数 石子落在
阴影内的次数即可得答案.（2）根据石子落在圆内和石子落在阴影内的次数的关系求出圆的面积约占封闭
图形ABC面积的比例即可求出封闭图形ABC的大致面积.
解：（1）根据统计表，可得石子落在圆内的概率与落在阴影部分的概率之比k= = ；
（2）石子落在圆内和石子落在阴影内的次数关系，随着试验次数的增多，逐渐趋向于为1：2，
所以圆的面积约占封闭图形ABC面积的 ，
因为S =π，
圆
所以封闭图形ABC的面积约为3π．
【点拨】本题考查的是利用频率计算概率在实际生活中的运用，关键是得到阴影与圆的比；用规则图
形来估计不规则图形的比是常用的方法．
23．（1）400；108°；（2）见分析；（3）
【分析】（1）由A组的数量除以百分比，即可得到样本容量；由B的百分比乘以360°即可得到圆心角度数；
（2）先求出B、D的数量，然后补全条形统计图即可；
（3）由题意，画出树状图，然后利用概率公式，即可求出概率．
（1）解：样本容量是： ；
C所占的百分比为： ；
∴扇形统计图中“B”所对应的圆心角的度数为：（1-25％-10％-35％）×360°＝108°．
故答案为：400，108
（2）解：D的数量为： ，
B的数量为： ；
补全条形图如下：
（3）解：由题意，树状图如下：
∴共有等可能事件12种可能，其中一男一女的有8种可能．
所以 ．
【点拨】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合，列表法和树状图法求概率，解题的关键是熟练
掌握题意，正确的理解统计图的信息，从而进行解题．
24．（1）12；（2） ；（3）①需要；②应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，
才能使下周平均每份午餐的利润不超过且更接近3元
【分析】（1）中位数要求将三种午餐价格从小到大排列，找到最中间的一个数字；
（2）根据题意画树状图，即可解答；
（3）①根据条形统计图找到A、B、C的利润，算出总利润并除以总人数，计算平均利润，与3元对比即可；②对于调低单价，对A、B、C三种午餐分别计算每个降价1元之后的利润，要明白降的越多，距
离3元的利润越远的道理，因此在A、B、C三种午餐分别降价1元时比较哪种情况更符合要求即可作答．
（1）解：全校师生上周购买午餐的份数为 （份），
对于5000份数据，按照从小到大排列后，中位数为第2500和2501个数的平均数，通过统计表知，
（A+B）一共为 （份），因此中位数为B午餐的费用，即为12．
故答案为：12；
（2）树状图如下：
根据树状图能够得到共有6种情况，其中“BC”组合共有2种情况，
∴小芳选择“ ”组合的概率为 ；
（3）①根据条形统计图得知，A的利润为2元，B的利润为4元，C的利润为3元，
平均利润为： （元），
∵ ，因此应调低午餐单价；
②假设调低A单价一元，平均每份午餐的利润为： （元），
调低B单价一元，平均每份午餐的利润为： （元），
调低C单价一元，平均每份午餐的利润为： （元），
当A、B、C调的越低，利润就越低，因此距离3元的利润就会越远，故最低即为降低1元；为了使得
下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，综上所述，应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调
整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元．
【点拨】本题主要考查了中位数的概念及求法、统计表和条形统计图的综合运用、用列表法或树状图
法求概率等知识，学会综合运用条形统计图和统计表，得到要分析的数据是解题的关键．
