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第6 章 几何图形初步（单元测试·培优卷）
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1．（2024七年级上·全国·专题练习）[传统文化]作为中国汉族特有的手工制造陶土工艺品的紫砂壶，成型
工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅．如图是一个做工精湛的石瓢壶，则从上面看到的该物体
的形状图可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级上·黑龙江大庆·期中）关于线段的描述正确的有（ ）．
①线段 与线段 是同一条线段
②线段有两个端点
③将线段向一个方向无限延长就形成了射线
④画一条线段 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图是一个正方体的展开图，其中相对的面上的数字互为相反数，
则单项式 的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（20-21六年级下·上海杨浦·期末）从世博地图可知，亚洲联合馆（A 点）在中国国家馆（O 点）的北
偏东 ，太平洋联合馆（B点）在中国国家馆的北偏西 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如图， ，点C是线段 延长线上一点，点M为线段
的中点，在线段 上存在一点N（N在M的右侧且N不与B、C重合），使得 且
，则k的值为（ ）A．2 B．3 C．2或3 D．不能确定
6．（20-21七年级上·四川绵阳·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则C是 的中点
B．如果一个角有补角，那么这个角一定有余角
C．若 ， ，那么
D．把弯曲的公路改直，就能缩短路程，依据的数学原理是两点之间线段最短
7．（2024七年级上·云南·专题练习）若 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（23-24七年级上·重庆·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若
， 为 的角平分线，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）点C是线段 上任意一点，点 分别是 的中点，
下列说法正确的是（ ）
A． B．当点C为 的中点时，
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么
10．（22-23七年级上·浙江湖州·期末）定义：从 的顶点出发，在角的内部引一条射线 ，把
分成 的两部分，射线 叫做 的三等分线．若在 中，射线 是 的三等
分线，射线 是 的三等分线，设 ，则 用含x的代数式表示为（ ）
A． 或 或 B． 或 或 C． 或 或 D． 或 或二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（24-25七年级上·全国·期末）已知 ，则 的余角为 ， 的补角为
．
12．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，画射线 ，在射线 上依次截取 ，在线段
上截取 ，则 的长为 ．
13．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图是一个时钟的钟面，此时钟面上的时间是下午1点30分，
时钟的分针与时针所成的钝角的度数为 度．
14．（24-25七年级上·全国·期中）如图，线段 ，E、F、G分别是 的中
点，且 ，则 的长为 ．
15．（23-24七年级上·广东肇庆·期末）如图，将三个同样的直角三角尺的直角顶点重合放置，那么
的度数为 ．
16．（24-25七年级上·全国·期末）如图，已知 ，现将射线 绕点 顺时针匀
速旋转，射线 保持不动，当射线 与射线 重合时停止旋转．当三条射线构成的角中有两个角
相等（重合除外）时，射线 旋转的角度为 ．17．（20-21七年级上·江苏南京·期末）如图，AB＝8cm，点D为射线AC上一点，且AD＝10cm，点E为
平面上任一点．且BE＝3AE．
（1）如果点E在直线AB上，则AE的长度为 cm；
（2）如果3ED+BE的值最小，请指明点E的位置，此时最小值是 cm．
18．（24-25六年级上·山东威海·期中）有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针
方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第 次后，骰子朝下一面的点数是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）（24-25七年级上·全国·期末）如图，已知线段 上依次有四个点分别为
，其中点M是线段 的中点，点N是线段 的中点，若线段 ，线段 ，
求线段 的长．请完成下列填空：
解：
；
点M是线段 的中点，
③______．点N是线段 的中点，
； ④______
⑤______ ，
⑥______（cm）．
20．（本小题满分8分）（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，直角三角板 的直角顶点O在直线
上， 平分 ．
(1)比较 和 的大小，并说明理由；
(2)若 平分 ，求 的度数．
21．（本小题满分10分）（2025七年级下·全国·专题练习）利用折纸可以作出角平分线，如图1， 即
为 的平分线．如图2、图3，折叠长方形纸片， 均是折痕，折叠后，点 落在点 处，点
落在点 处，连接 ．(1)如图2，若点 恰好落在 上，且 ，求 的度数；
(2)如图3，当点 在 的内部时，若 ，求 的度数．
22．（本小题满分10分）（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，点 为线段 的中点．
(1)如图1，若 ，点 为线段 的中点，则 ________ ；
(2)如图2，若点 在线段 上，且 ，求 的值；
(3)若 ，点 在直线 上，且 ，点 为 的中点，请探究 与 之间的数量关
系．23．（本小题满分10分）（22-23七年级上·河南周口·阶段练习）设棱锥的顶点数为V，面数为F，棱数
为E．
发现：如图，三棱锥中， ；五棱锥中， __________， __________，
__________．
猜想：①十棱锥中， ；
②n棱锥中， __________， __________， __________．（用含有n的式子表示）
探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系：__________；
②棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系：__________．
拓展：棱柱的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间是否也存在某种等量关系？若存在试写出相应的
等式；若不存在，请说明理由．
24．（本小题满分12分）（23-24七年级上·辽宁大连·期末）综合与探究
待例感知：
（1）如图1.线段 ，C为线段 上的一个动点，点D，E分别是 ， 的中点．
①若 ，则线段 的长为__________ ．
②设 ，则线段 的长为__________ ．
知识迁移：
（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若 ， 是 内部的一条射线，射
线 平分 ，射线 平分 ，求 的度数.
拓展探究：
（3）如图3，若 ， ，当 在 的外部时，分别在 内部和内部画射线 ， ，使 ， ，求 的度数．参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A B A D A D C C
1．C
【分析】本题考查了从不同方向看几何体，从不同的方向观察几何体是解题的关键，
根据从上面看到的该紫砂壶从选项中选取即可求解；
【详解】解：根据题意从上面往下面看紫砂壶，可以得到如图 所示；
故选：
2．C
【分析】本题考查线段和射线的相关定义以及表示方法，根据线段的定义确定①②，根据线段的延长线确
定③正确，根据线段的表示方法确定④．
【详解】解：①线段 与线段 是同一条线段，正确；
②线段有两个端点，正确；
③将线段向一个方向无限延长就形成了射线，正确；
④画一条线段 ，原表述错误．
所以描述正确的有①②③，共3个．
故选：C．
3．A
【分析】本题考查代数式求值，先根据正方体的展开图的相对面一定隔着一个小正方形，确定相对面，进
而根据相反数的定义，求出 的值，进而求出单项式的值即可．
【详解】解：由图可知， 与4是相对面， 和1是相对面，
∴ ，
∴ ，
故选A．
4．B
【分析】根据题意画出草图，根据图形计算 即可
【详解】解：由题意得出图形：所以 ，
故选：B．
【点睛】此题考查的知识点是方向角，关键是根据题意准确画出图形，根据图形求角的度数．
5．A
【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，一元一次方程的应用，设 ，则
， ，根据线段中点的定义得到 ，则
，再由 得到 ，据此可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵点M为线段 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选A．
6．D
【分析】根据线段的中点定义，余角，补角的定义，两个角的和与差，线段最短原理判定即可．
【详解】因为 ，但C不一定是 的中点，
所以A不符合题意；
因为钝角没有余角，确有补角，
所以B 不符合题意；
因为 ， ，
所以 或 ，
所以C不符合题意；
因为把弯曲的公路改直，就能缩短路程，依据的数学原理是两点之间线段最短，
所以D符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了两点之间线段最短，线段的中点即线段上一点把线段分成相等的两条线段；余角即两
个角的为 ；补角即两个角的为 ，两个角的和与差，熟练掌握定义及其性质是解题的关键．
7．A
【分析】本题主要考查了角的大小比较，熟练掌握角的单位换算是解答本题的关键．
把 化为 ，然后再比较大小即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．8．D
【分析】本题考查了三角板中的角度计算和角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．设
，则 ，得到 ，则 ，解得 ，则
，即可求出 的度数．
【详解】解：设 ，则 ，
由题意可知， ，
，
∴
解得， ，
∴ ，
∵ 为 的角平分线，
∴ ，
∴
故选：D．
9．C
【分析】本题主要考查了线段的中点性质，根据线段的中点性质可推出 ，
，当 时， ，即可推出 ，进而即可得解，解题的
关键是能正确表示线段的和差倍分．
【详解】A：∵M、N分别是 、 的中点，
∴ ， ，
∵C为 上任意一点，
∴ 不一定等于 ，
∴ 不一定等于 ，
∴A错误，不符合题意；
B：当C为 中点时， ，
∴ ，
∴ ，∴B错误，不符合题意；
C：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴C正确，符合题意；
D：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴D错误，不符合题意；
故选：C．
10．C
【分析】分四种情况，分别计算，即可求解．
【详解】解：如图：射线 是 的三等分线，射线 是
的三等分线，
则 ， ，
；
如图：射线 是 的三等分线，射线 是 的三等分线，则 ， ，
；
如图：射线 是 的三等分线，射线 是 的三等分线，
则 ， ，
；
如图：射线 是 的三等分线，射线 是 的三等分线，
则 ， ，
；
综上， 为 或 或 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
11．
【分析】本题主要考查了求一个角的余角， 求一个角的补角，角的单位与角度制等知识点，熟练掌握余
角和补角的定义是解题的关键：如果两个角的和等于 （直角），则这两个角互为余角，即其中每一个
角是另一个角的余角；如果两个角的和等于 （平角），则这两个角互为补角，即其中每一个角是另一
个角的补角．根据余角和补角的定义直接列式计算即可．
【详解】解： ，
的余角 ，
的补角 ，
故答案为： ， ．
12．1
【分析】本题主要考查线段的和差，根据线段的和差即可得到结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：1．
13．135
【分析】本题考查钟面角，整个圆分为12个大格，每个大格30度，下午1点30分时，时针与分针所成的
钝角含4.5个大格，由此可解．
【详解】解：下午1点30分时，时针与分针所成的钝角含4.5个大格，每个大格30度，
因此时钟的分针与时针所成的钝角的度数为： （度），
故答案为：135．
14．7
【分析】本题考查与线段中点有关的计算，设 ，中点得到：
，根据 ，列出方程求出 的值，再根据线段的和差
关系进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴设 ，
∵E、F、G分别是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：7．
15．【分析】本题主要考查了余角和补角，角度的计算，正确理解 这一关系是
解决本题的关键．
根据 ，利用正方形的角都是直角，即可求得 和 的度数从而求解．
【详解】解：∵ ，
，
又∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
16． 或
【分析】本题主要考查分类讨论的思想、角的和差关系，根据题意，先进行分类讨论，再根据角的和差关
系解决此题．
【详解】解：三条射线构成的角中有两个角相等（重合除外）时，可能存在以下两种情形：
①当射线 旋转到 的外部时， ．
∴射线 旋转的角度为 ．
②当射线 旋转到 内部时， ．
∴ ，
∴射线 旋转的角度为 ，
综上：射线 旋转的角度为 或 ．
故答案为： 或 ．
17． 2或4/4或2 30
【分析】（1）点E在直线AB上有3种情况，点E在线段AB上、在线段BA的延长线上、在线段AB的延
长线上，显然在射线AB上不合题意，分别就剩余两种情况求得AE的值；
（2）结合BE＝3AE知3ED+BE＝3（DE+AE），在△ADE中知当点E在线段AD上时，DE+AE最小，可求
得3ED+BE的最小值；
【详解】解：（1）∵BE＝3AE，
∴当点E在线段AB上时，AE+BE＝AB，即AE+3AE＝8，解得：AE＝2cm，当点E在线段BA的延长线上时，BE﹣AE＝AB，即3AE﹣AE＝8，解得：AE＝4cm，
故答案为：2或4．
（2）∵BE＝3AE，
∴3ED+BE＝3ED+3AE＝3（DE+AE），
当点E在线段AD上时，DE+AE最小，DE+AE＝AD＝10cm，
故3ED+BE的最小值为30cm，
故答案为：30．
【点睛】本题考查了线段的和差计算，两点之间线段最短，将3ED+BE转化为3（DE+AE）是解题的关键．
18．4
【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，规律探究；根据正方体相对两个面上的数字进行分析解
答即可．
【详解】解：观察图可知，点数 和点数 相对，点数 和点数 相对，且四次一循环，
则可知滚动第一次点数 朝上，滚动第二次点数 朝上，滚动第三次点数 朝上，滚动第四次点数 朝上，
，
滚动第 次后与第四次相同，
滚动第 次后朝上的点数是 ，
朝下的点数是 ．
故答案为： ．
19．① ② ③ ④ ⑤ ⑥18
【分析】本题考查的是两点间的距离，首先利用线段的中点表示出 与 的和，然后表示出线段
即可．
【详解】解：
；
点M是线段 的中点，
．
点N是线段 的中点，
； ，
，．
故答案为：① ② ③ ④ ⑤ ⑥18
20．(1) ；理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了角的比较大小和角平分线的性质，解一元一次方程，解决此题的关键是熟练运用
角平分线的性质及角的和差列出方程式．
（1）先说明 ，再说明 ，从而得出 ，再根据
，即可得到 ；
（2）设 ，则 ， ，列方程即可求得．
【详解】（1）解： ；理由如下：
，
，
平分 ，
，
，
，
．
（2）解：设 ，
平分 ，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
．
21．(1) ；
(2) ．
【详解】解：（1）由折叠的性质，可知 ．因为点 落在 上，所以
，所以 ，所以 ．因为 ，所
以 ；
（2）由折叠的性质，可知 ，所以
，即 的度数为 ．
22．(1)3
(2) 或
(3) 或
【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，线段之间的数量关系，解题的关键是熟练掌握中点的定义，
数形结合．
（1）根据线段中点定义，数形结合，进行计算即可；
（2）分两种情况进行讨论：当点E在点D的左侧时，当点E在点D的右侧时，分别画出图形，求出结果
即可；
（3）分两种情况进行讨论：当点E在线段 的延长线上时，当点E在线段 上时，分别画出图形，求
出结果即可．
【详解】（1）解：∵点 为线段 的中点， ，
∴ ，
∵点 为线段 的中点，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
（2）解：∵点 为线段 的中点，
∴ ，
设 ，则
当点E在点D的左侧时，如图所示：∴ ，
∴ ，
∴ ；
当点E在点D的右侧时，如图所示：
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上分析可知， 或 ．
（3）解：∵点 为线段 的中点， ，
∴ ，
∵F为 的中点， ，
∴ ，
当点E在线段 的延长线上时，如图所示：
此时 ；
当点E在线段 上时，如图所示：
此时 ．
综上分析可知， 或 ．
23．发现：6，6，10；
猜想：② ；
探究：① ，② ；
拓展：存在，相应的等式为：【分析】发现：根据三棱锥、五棱锥的特征填写即可；
猜想：根据十棱锥的特征填写即可，推写n棱锥的特征的特征填写即可；
探究：①通过列举得到棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系，②通过列举得到棱锥的顶点数
（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系；
拓展：根据棱柱的特征得到棱柱的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系．
【详解】发现：三棱锥中， ，五棱锥中， ，
故答案为：6，6，10；
猜想：①十棱锥中， ，
②n棱锥中， ，
故答案为：② ， ， ；
探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系： ，
②棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系： ，
故答案为：① ，② ；
拓展：棱柱的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间也存在某种等量关系，相应的等式是：
．
【点睛】本题主要考查了立体几何的点、棱、面，熟知对应的立体图形的特征是解决本题的关键．
24．（1）①8，②8；（2） ；（3）
【分析】（1）①先求出 ，根据中点定义求出 ，
，最后求出结果即可；
②根据中点定义得出 ，然后求出结果即可；
（2）利用角平分线的定义得到 ， ，再利用角的和差关系进行计算即可；
（3）设 ，得出 ， ，求
出 ，表示出 ， ，
最后求出结果即可．
【详解】解：（1）①∵ ， ，∴ ，
∵点D，E分别是 ， 的中点，
∴ ， ，
∴ ；
②∵点D，E分别是 ， 的中点， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：①8；②8；
（2）∵由射线 平分 ，射线 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即 的度数为 ；
（3）设 ，
则 ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了与线段有关的计算，线段中点的定义，角平分线的定义，几何图形中角有关的计算，
解题关键是能根据图形正确得到线段或角之间的和差关系，同时要求学生牢记中点、角平分线的定义等相关概念．
