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第6 章 实数（单元测试·综合卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，叫做“面”．这是中国传统数学对无
理数的最早记载．下面符合“面”的描述的数是（ ）
A． B． C． D．
2．若 是 的算术平方根，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ，则 的值可以为（ ）
A． B． C． D．
4．对于 说法错误的是（ ）
A．表示 的立方根B．结果等于 C．与 的结果相等 D．没有意义
5．已知： ，则
A．-46800 B．-4680 C．-46.8 D．-4.68
6．已知正实数 的两个不相同的平方根如下表所示，则 的值为（ ）
正实数
平方根
A．7 B． C．3 D．49
7．面积为13的正方形的边长是a，则a的值在以下哪个范围内（ ）
A． B． C． D．
8．已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
9．对于正实数，定于运算“ ”为： ，其中 为超过 的最小整数，定义运算“*”为：，其中 为不超过 的最大整数，则 的值为（ ）
A． B．9 C．8 D．6
10．交通事故统计发现，每年的汽车追尾事故占所有事故的30％左右．造成追尾事故的主要原因是刹
车距离把握不当，研究发现，在柏油路面上，刹车距离s与车速v的关系式是s＝ （其中
），当刹车距离增加一倍时，车速增加（ ）．
A．1倍 B． 倍 C． －1倍 D．2倍
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．不大于 的最大整数是 ．
12． ．
13．若 ，则 的值为 ．
14．已知a、b均为正整数，如果 ，我们称b是 的“主要值”，那么 的主要值是
．
15．数轴上点A表示的数为1，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等．已知点B到原点
的距离为 ，则点C表示的数是 ．
16．如图，将面积为7的正方形 和面积为9的正方形 分别绕原点O顺时针旋转，使 ，
落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则 ．
17．有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是 ，则 ．
18．第一个等式： ；第二个等式： ；第三个等式： ；
……根据所给的式子找出规律，并写出第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）
．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（1）计算：
（2）如图，在数轴上的两个点表示为实数a，b，化简：
20．（8分）已知 的平方根是 ， 的立方根为 ．
（1）求a与b的值；
（2）求 的算术平方根．
21．（10分）一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若 ，则 或 ．
（1）根据上述平方根的意义，试求方程 的解．
（2）自由下落物体的高度 （单位：米）与下落时间 （单位：秒）的关系是 ，若有一个物
体从离地 米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间．22．（10分）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示 ，设点B
所表示的数为m.
（1） ______.
（2）求 的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有 与 互为相反数，求 的平
方跟.
23．（10分）（图1）是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线 ， 将它
剪开后，重新拼成一个大正方形 ．
（1）在图（1）中，拼成的大正方形 的面积为___________，边 的长为___________；
（2）现将图（1）水平放置在如图（2）所示的数轴上，使得大正方形的顶点 与数轴上表示 的点
重合，若以点 为圆心， 边的长为半径画圆，与数轴交于点 ，求点 表示的数．24．（12分）请认真阅读下面的材料，再解答问题．
依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．
比如：若 ，则 叫 的二次方根；若 ，则 叫 的三次方根；若 ，则
叫 的四次方根．
（1）依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；
（2）81的四次方根为______； 的五次方根为______；
（3）若 有意义，则 的取值范围是______；若 有意义，则 的取值范围是______；
（4）求 的值： ．
参考答案：
1．A
【分析】根据无理数的定义，逐项判断即可求解．
解：A、 是无理数，故本选项符合题意；
B、 不是无理数，故本选项不符合题意；
C、 不是无理数，故本选项不符合题意；
D、 不是无理数，故本选项不符合题意；
故选：A
【点拨】本题主要考查了无理数，熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．
2．A
【分析】根据算术平方根的定义，即可解答．解： 是 的算术平方根，则 ，即 ，
故选：A．
【点拨】本题考查了算数平方根，熟练掌握算数平方根的意义是解题的关键．
3．A
【分析】本题考查无理数估算，涉及无理数性质，根据 ，即可得到答案，熟练掌握
无理数的估算方法是解决问题的关键．
解： ，
，
故选：A．
4．D
【分析】根据立方根的定义，对各选项分析判断后进行求解.
解：A、 表示 的立方根，说法正确，不符合题意；
B、 ，说法正确，不符合题意；
C、 与 的结果相等，说法正确，不符合题意；
D、 有意义，说法错误，符合题意；
故选：D.
【点拨】本题考查了立方根的定义，是基础题，比较简单.
5．A
【分析】根据立方根的小数点向右移动2位，是被开方数的小数点向右移动6位，可得答案．
解： ，则 ，括号里应为 ，
故选：A．
【点拨】本题考查了立方根，立方根扩大100倍，被开方数扩大1000000倍．
6．D
【分析】根据平方根的性质即可求出 的值，从而可求出 的值．
解：由题意可知： ，
，．
故选：D．
【点拨】本题考查了平方根，一个正数的平方根互为相反数是解题关键．
7．B
【分析】根据题意可得 ，从而可得 ，然后估算出 的值的范围，即可解答．
解：由题意得： ，
∴ （负值舍去），
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴a的值在 范围内．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
8．D
【分析】根据被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律即可得到答案．
解：∵ ，
∴
故选：D．
【点拨】本题考查了被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律．当被开方数的小数点每向
右（或向左）移动3位，它的立方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位．
9．C
【分析】此题主要考查实数的新定义运算，解题的关键是掌握无理数的比较大小.
解：∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
故选：C.
10．B
【分析】知道刹车距离s与车速v的关系式后，再将等式进行变形，使得s变为2s，即可得出答案．
解：由题意知，
刹车距离s与车速v的关系式是： （其中 ），
所以 ，
当刹车距离增加一倍时，即：
即车速增加 倍，
故选：B．
【点拨】本题考查算术平方根的应用，借助算术平方根解决实际问题．
11．2
【分析】直接利用 的取值范围即可得出答案．
解：∵ ，即 ，
∴不大于 的最大整数是2．
故答案为：2．
【点拨】本题考查无理数的估算．正确得出 的取值范围是解题关键．
12．
【分析】本题考查乘方及实数的绝对值化简，根据乘方运算法则和绝对值意义，化简绝对值并计算即
可．解： ，
故答案为： ．
13．
【分析】根据算术平方根及绝对值的非负性求得x，y的值，然后利用立方根的定义即可求得答案．本
题考查算术平方根及绝对值的非负性，立方根，结合已知条件求得x，y的值是解题的关键．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
14．6
【分析】估算出 ，推出 ，根据“主要值”的定义即可求解．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 的主要值是6，
故答案为：6．
【点拨】本题考查了无理数的估算，掌握“主要值”的定义是解题的关键．
15． 或
【分析】本题主要考查了有关实数和数轴的简单应用，先根据点B到原点的距离，求出点B表示的数，
然后分两种情况：当点B在点A右侧时和当点B在点A左侧时，利用两点间的距离公式，求出 和 ，
进行解答即可．
解：∵点B到原点的距离为 ，∴点B表示的数是 ，
当点B在点A右侧时，
∵点A表示的数为1，点B表示的数为 ，
∴ ，
∵点B，C到点A的距离相等，
∴ ，
∴当点B表示的数是 时，点C表示的数是： ；
当点B在点A左侧时，
∵点A表示的数为1，点B表示的数是 ，
∴ ，
∴ ，
点C表示的数是 ，
综上可知：点C表示的数为： 或 ，
故答案为： 或 ．
16．
【分析】分别求出两个正方形的边长，从而得到a，b的值，代入计算即可．
解：∵正方形 的面积为7，正方形 的面积为9
∴ ，
即 ，
∴故答案为：
【点拨】本题考查算术平方根的意义，在数轴上表示实数，正确求出算术平方根是解题的关键．
17．256
【分析】根据算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，把第4次的程序运算输出的数值 代入
计算即可．
解：∵第4次的程序运算输出的数值是 所代入的数值为2，
第3次的程序运算输出的数值是2所代入的数值为 ，
第2次的程序运算输出的数值是4所代入的数值为 ，
第1次的程序运算输出的数值是16所代入的数值为 ，
∴ 符合题意，
故答案为：256．
【点拨】本题考查算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，熟练掌握算术平方根的定义、有理数
和无理数的定义是解题的关键．
18．
【分析】根据前个等式找出分子和分母的规律求解即可．
解：∵第一个等式： ，即 ；
第二个等式： ，即 ；
第三个等式： ，即 ；
……
∴第n个等式： ．故答案为： ．
【点拨】本题考查数字规律探索，根据所给等式找出规律是解题关键．
19．（1）2；（2）
【分析】此题考查了实数的混合运算及化简绝对值、整式加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）按照实数的混合运算顺序运算即可；
（2）根据绝对值性质化简绝对值并进行整式运算即可．
解：（1）
；
（2）由图知： ，
，
．
20．（1） ， ；（2）
【分析】（1）本题考查平方根及立方根的定义，根据若 ，那么 是 的平方根记作 ，
若 ，那么 是 的平方根记作 直接求解即可得到答案；
（2）本题考查算术平方根的定义，根据一个数的正的平方根叫这个数的算术平方根直接求解即可得
到答案；
（1）解：∵ 的平方根是 ，∴ ，
解得： ，
∵ 的立方根是 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ， ；
（2）解：当 ， 时，
，
∴ 的算术平方根为 ．
21．（1） 或 ；（2） 秒
【分析】本题考查平方根及应用，
（1）由平方根的知识可得 ，从而求出方程的解；
（2）将 代入 ，得到 ，再根据平方根的定义求出t的值即可；
熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
（1）解： ，
，
∴ 或 ；
（2）根据题意，得： ，
∴ ，
∴ 或 （负值不符合题意，舍去），
答：这个物体到达地面所需的时间为 秒．
22．（1） ；（2）2；（3）
【分析】（1）根据两点间的距离公式计算即可；
（2）由（1）可得 、 ，再利用绝对值的性质化简绝对值号，最后合并同类项即可解答；
（3）根据绝对值和算术平方根的非负性质求出 、 的值，再代入 ，进而求其平方根即可．
（1）解：∵蚂蚁从点A沿数轴向右爬了 个单位长度到达点 ，点 表示
∴点 表示
∴ ．
故答案为： ．
（2）解：∵
∴ ，
∴
．
（3）解：∵ 与 互为相反数
∴
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
即 的平方根是 ．
【点拨】本题主要考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平
方根等知识点，掌握并灵活运用相关性质是解题的关键．
23．（1）10， ；（2） 或【分析】本题考查实数与数轴，解题的关键是：
（1）根据10个边长均为1的小正方形剪开后，重新拼成一个大正方形 可得正方形 的面
积，由正方形面积公式可得 的长度；
（2）根据数轴上的点表示的数的特点可得E表示的数．
（1）解：∵由10个边长均为1的小正方形剪开后，重新拼成一个大正方形 ，
∴大正方形 的面积为 ；
∴ ，
∴ ，
故答案为：10， ；
（2）∵ ，
∴以点B为圆心， 边的长为半径画圆，与数轴交于点E，点E表示的数为 或 ．
24．（1）若 ，则 叫 的五次方根；（2） ；（3） ， 为任意实数；（4） 或
【分析】（1）根据题意，进行作答即可；
（2）进行开方运算即可；
（3）根据定义，进行计算即可；
（4）利用四次方根解方程即可．
（1）解：五次方根的定义：若 ，则 叫 的五次方根；
（2）解： ；
故答案为： ；
（3）解：∵ 是一个数的四次方，
∴ ，
∴ ；
∴若 有意义，则 的取值范围是 ；
∵ 中 是一个数的五次方，∴ 为任意实数．
故答案为： ， 为任意实数；
（4）解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ．
【点拨】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义．
