2023-2024 学年七年级数学下学期期末模拟卷 02
能力提升培优测
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、
准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第五章~第十章（人教版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单选题
1．计算√64−√364的结果是（ ）
A．0 B．16 C．12 D．4
【答案】D
【分析】先计算算术平方根，立方根，再进行减法运算．
【详解】解：√64−√364=8−4=4，
故选：D．
【点睛】本题考查求算术平方根，立方根，正确计算是解题的关键．
2．下列调查中，调查方式选择合理的是（ ）
A．为了了解某一品牌家具的甲醛含量，选择全面调查
B．为了了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查
C．为了了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查
D．为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择全面调查
【答案】C
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的
调查结果比较近似解答．
【详解】解：为了了解某一品牌家具的甲醛含量，具有破坏性，选择抽样调查，A错误；
为了了解神舟飞船的设备零件的质量情况，每个零件都很重要，都要检查，选择全面调查，B错误；
为了了解某公园全年的游客流量，范围广，选择抽样调查，C正确；
为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，具有破坏性，选择抽样调查，D错误，
故选：C．
【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对
象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不
大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3．下列命题属于真命题的是（ ）
A．坐标轴上的点不属于任何象限 B．若ab=0，则点P(a，b)表示原点
C．点A、B的横坐标相同，则直线AB∥x轴 D．(1，−a2)在第四象限
【答案】A
【分析】根据各象限内点的坐标特征以及坐标轴上的点的坐标特征对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、坐标轴上的点不属于任何象限，属于真命题，本选项符合题意；
B、若ab=0，则点P(a，b)可能是原点，也可能在坐标轴上，原命题属于假命题，本选项不符合
题意；
C、点A、B的横坐标相同，则直线AB∥y轴，原命题属于假命题，本选项不符合题意；
D、当a≠0时，点(1，−a2)在第四象限，原命题属于假命题，本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关
键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+，+)；第二象限(−，+)；第三象限(−，−)；第四
象限(+，−)．
4．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】根据直线的性质，线段的性质对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、测量跳远成绩是利用了“垂线段最短”，故本选项合题意．
B、木板弹出一条墨迹是利用了“两点确定一条直线”，故本选项不合题意；
C、用两个钉子就可以把木条固定在墙上是利用了“两点确定一条直线”，故本选项不合题意；
D、把弯曲的河道改直，就能缩短路程是利用了“两点之间，线段最短”，故本选项不符合题
意；
故选：A．
【点睛】本题考查了线段的性质，直线的性质，解题时注意：两点的所有连线中可以有无数种连
法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
5．若a≠0，下列不等式一定成立的是( )
A．2023−a>2022+a B．−2023a>−2022a
2023 2022
C． > D．−a−2023<−a−2022
a a
【答案】D
【分析】根据不等式的性质逐一判定即可；要判定一个说法错误，只需要找一个反例即可．
【详解】A、令a=1，则2023−a=2022,2022+a=2023，2022<2023，
∴此时2023−a<2022+a，即A选项错误，不符合题意；
B、令a=1，则−2023a=−2023,−2022a=−2022，−2023<−2022
∴此时−2023a<−2022a，即B选项错误，不符合题意；
2023 2022
C、令a=−1，则 =−2023, =−2022，−2023<−2022
a a
2023 2022
∴此时 < ，即C选项错误，不符合题意；
a a
D、因为−2023<−2022，所以−a−2023<−a−2022，
∴D选项正确，符合题意；
故选：D．【点睛】本题考查不等式的性质，利用反例推断一个命题错误和掌握不等式的性质是解题的关
键．
√ 1
6．若3a−22和2a−3是实数m的平方根，则 的值为（ ）
m
1 1 1 1
A． B． C． D．
7 5 35 19
【答案】A
【分析】根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数，求出a，从而即可得解．
【详解】解：∵3a−22和2a−3是实数m的平方根，
∴3a−22+2a−3=0，
解得a=5，
∴2a−3=7，
∴m=49，
m=49，
√ 1 √ 1 1
∴ = = ，
m 49 7
故选A．
【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握一个一个正数的平方根有两个，且互为相反数是解题的关
键．
7．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，
∠A=60°，∠E=45°，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】B
【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD=45°，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD=∠EDF=45°，
∴∠DBC=∠ABD−ABC=45°−30°=15°．故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质得出∠ABD的度数是解题的关键．
8．平面直角坐标系中，已知A(−3，1)，B(1，−2)，作AC∥x轴交y轴于点C，点D在直线
AC上，则线段BD长度的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】先画出符合题意的图形，再根据“点到直线的距离垂线段最短”可得到答案．
【详解】解：如图，AC∥x轴交y轴于点C，点D在直线AC上，
∴BD⊥AC时，BD最小，
∵A(−3，1)，B(1，−2)，
∴D(1，1)，
此时：BD=1−(−2)=3．
故选：B．
【点睛】本题考查的是坐标与图形，点到直线的距离，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关
键．
9．若方程组¿的解是¿，则方程组¿的解是（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】C
【分析】由二元一次方程组的解的定义得出¿，求解即可．
【详解】由题意知，¿ ，
解得，¿，
故选：C．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是掌握换元法，体现了整体思想．
10．某校的劳动实践基地有一块长为10m、宽为8m的长方形空地，学校准备在这块空地上沿平行
于长方形各边的方向割出3个大小和形状完全相同的小长方形菜地（图中阴影部分）分别种上辣
椒、茄子、土豆，如图所示，则每个小长方形菜地的面积是（ ）A．7m2 B．8m2 C．9m2 D．10m2
【答案】B
【分析】设一个小长方形菜地的长为xm，宽为ym，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即
可求解．
【详解】解：设一个小长方形菜地的长为xm，宽为ym，根据题意得，
¿，
解得¿，
∴一个小长方形菜地的面积为xy=2×4=8(m2)．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形列出二元一次方程组是解题的关键．
11．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”
方向依次排列：(1,0)→(2,0)→ (2,1)→(1,1)→(1,2) →(2,2)→⋅⋅⋅根据这个规律，第2023
个点的坐标为（ ）
A．(45,1) B．(45,2) C．(45,3) D．(45,4)
【答案】B
【分析】以正方形最外边上的点为准考虑，点的总个数等于最右边下角的点横坐标的平方，且横
坐标为奇数时最后一个点在x轴上，为偶数时，从x轴上的点开始排列，求出与2023最接近的平
方数为2025，然后写出第2023个点的坐标即可．
【详解】解：由图形可知，图中各点分别组成了正方形点阵，每个正方形点阵的整点数量依次为
最右下角点横坐标的平方，
且当正方形最右下角点的横坐标为奇数时，这个点可以看作按照运动方向到达x轴，当正方形最
右下角点的横坐标为偶数时，这个点可以看作按照运动方向离开x轴，∵452=2025，
∴第2025个点在x轴上坐标为(45,0)，
则第2023个点在(45,2)
故选：B．
【点睛】本题为平面直角坐标系下的点坐标规律探究题，解答时除了注意点坐标的变化外，还要
注意点的运动方向．
12．已知关于x的不等式组¿，下列四个结论：
①若它的解集是1<x≤3，则a=7；
②当a=3，不等式组有解；
③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是11≤a<13；
④若它有解，则a>3．
其中正确的结论个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以
确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式组，从而求出a的范围．
【详解】解：¿，
解不等式①，得x>1．
a−1
解不等式②，得x≤ ，
2
a−1
∴不等式组的解集为1<x≤ ．
2
a−1
①若它的解集是1<x≤3，则 =3，
2
解得a=7，故结论正确；
a−1 3−1
②当a=3时， = =1，
2 2
不等式组无解，故结论不正确；
a−1
③若它的整数解仅有3个，则4≤ <5，
2
解得9≤a<11．
则a的取值范围是9≤a<11，故结论不正确；
a−1
④若它有解， >1，
2解得a>3，故结论正确．
综上可知，正确的有①④，共2个．
故选B．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解
集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关
键．
第II卷（非选择题）
二、填空题
13．已知432=1849，442=1936，452=2025，462=2116．若n为整数且n<√2023<n+1，则n
的值是 ．
【答案】44
【分析】由已知条件的提示可得√1936<√2023<√2025，即44<√2023<45，从而可得答案．
【详解】解：∵1936<2023<2025，
∴√1936<√2023<√2025，即44<√2023<45，
又∵n<√2023<n+1，n为整数，
∴n=44．
故答案为：44．
【点睛】本题考查的是无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键．
14．一个容量为80的样本最大值为143，最小值为50，取组距为10，则可以分成 组．
【答案】10
【分析】根据组距，最大值、最小值、组数以及样本容量的关系进行计算即可．
【详解】解：（143-50）÷10=9.3≈10，
故可以分成10组，
故答案为：10．
【点睛】本题考查频数分布直方图的制作方法，理解组距、组数，极差以及样本容量之间的关系
是正确解答的关键．
15．点A(6−2x, x−3)在x轴的上方，将点A向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度
后得到点B，点B到x轴的距离大于点B到y轴的距离，则x的取值范围是 ．
【答案】3<x<6
【分析】先根据平移表示出点B的坐标，再根据点B到x轴的距离大于点B到y轴的距离列不等
式求解即可．
【详解】解：∵点A(6−2x, x−3)在x轴的上方，将点A向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到点B，
∴A(6−2x−1, x−3+4)，即A(5−2x, x+1)，且x−3>0即x>3，
∴x+1>0，5−2x<0，
∵点B到x轴的距离大于点B到y轴的距离，
∴|x+1|>|5−2x|，即x+1>2x−5，解得：x<6，
∴3<x<6．
故答案为3<x<6．
【点睛】本题主要考查了点的平移、点到坐标轴的距离、解不等式、取绝对值等知识点，灵活运
用相关知识是解答本题的关键．
16．把一根长18m的钢管截成2m长和3m长两种规格的钢管，不浪费材料，共有 种不
同的截法．
【答案】2
【分析】设可以截成x段3m长，y段2m长的钢管，根据截成钢管的总长度为18m，即可得出关于x
，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出结论．
【详解】解：设可以截成x段3m长，y段2m长的钢管，
依题意得：3x+2y=18，
18−3x
∴y= ．
2
又∵x，y均为非负整数，
∴ ¿或¿，
∴共有2种不同的截法．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关
键．
17．如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在BC边上，点G，H在AD边上，分别沿EG,FH折
叠，点B和点C 恰好都落在点P处．若∠EPF=50°，则α+β= ．
【答案】115°/115度
【分析】根据平行线的性质可得∠BEG=∠DGE=α，∠CFH=∠AHF=β，再由折叠的性质可得∠PEB=2∠BEG=2α，∠PFC=2∠CFH=2β，然后根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：根据题意得：AD∥BC，
∴∠BEG=∠DGE=α，∠CFH=∠AHF=β，
由折叠的性质得：∠BEG=∠PEG=α，∠CFH=∠PFH=β，
∴∠PEB=2∠BEG=2α，∠PFC=2∠CFH=2β，
∴∠PEF=180°−∠PEB=180°−2α，∠PFE=180°−∠PFC=180°−2β，
∵∠PEF+∠PFE+∠EPF=180°，∠EPF=50°，
∴180°−2α+180°−2β=180°−50°，
即α+β=115°．
故答案为：115°
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠，三角形内角和，解决问题的关键是熟练掌握折叠
性质，三角形内角和定理，平行线的性质．
18．定义：在平面直角坐标系xOy中，将点P(x,y)变换为P(kx+b,by+k)（k、b为常数），我们
( 5 ) ( 1 1 )
把这种变换称为“T变换”．已知点B(2,1)，C m− ,n ，D m− ,m+ n 经过“T变换”的
2 2 2
对应点分别是E(4,3)、F、G．若CF∥x轴，且点G落在x轴上，则三角形DFG的面积为
．
1
【答案】 /0.5
2
【分析】先根据B(2,1)经过“T变换”的对应点是E(4,3)，求出k,b的值，进而表示出F,G的坐
标，根据CF∥x，得到C,F的纵坐标相同，点G落在x轴上，得到G点的纵坐标为0，求出m,n的
值，再进行求解即可．
【详解】解：∵点B(2,1)经过“T变换”的对应点是E(4,3)，
∴¿，解得：¿，
( 5 ) ( 1 1 )
∴C m− ,n ，D m− ,m+ n 经过“T变换”的对应点为
2 2 2
( 5 ) ( 1 )
F m− +2,2n+1 ,G m− +2,2m+n+1 ，
2 2
( 1 ) ( 3 )
即：F m− ,2n+1 ,G m+ ,2m+n+1 ，
2 2
∵CF∥x，点G落在x轴上，
∴¿，解得：¿，( 1 1) ( 1 ) (3 )
∴D − ,− ，F − ,−1 ，G ,0 ，
2 2 2 2
1
∴DF⊥OG,DF= ，
2
1 1 (3 1) 1
∴三角形DFG的面积为 × × + = ；
2 2 2 2 2
1
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查坐标与图形．解题的关键是理解并掌握“T变换”，以及平行于坐标轴的直线
上的点的特点和坐标轴上点的特点．
三、解答题
19．解下列方程（组）：
(1)2(x−1) 2−18=0；
(2)¿．
【答案】(1)x=4或x=−2；
(2)¿
【分析】（1）根据求平方根的方法解方程即可；
（2）先整理原方程组，然后利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：∵2(x−1) 2−18=0，
∴2(x−1) 2=18
∴(x−1) 2=9
∴x−1=±3，
∴x=4或x=−2；
（2）解：¿
整理得¿①×2+②得：15 y=−15，解得y=−1，
把y=−1代入②得：2x−1=3，解得x=2，
∴方程组的解为¿．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，根据求平方根的方法解方程，正确计算是解题的关
键．
20．解不等式组¿，并将不等式组的解集表示在数轴上．
【答案】−3<x≤1，见解析
【分析】分别求出每一个不等式的解集，并在数轴上表示，即可确定不等式组的解集．
【详解】解：¿
解不等式①，得：x≤1，
解不等式②，得：x>−3，
则不等式组的解集为−3<x≤1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取
大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”或根据数轴表示解集是解答此题的关键
21．如图所示的平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(4,3),B(3,1),C(1,2)，将△ABC平移后得
到△≝¿．已知B点平移的对应点E点(0,−3)（A点与D点对应，C点与F点对应）．
(1)画出平移后的△≝¿，并写出点D的坐标为___________，点F的坐标为___________；
(2)直接写出△ABC的面积___________；(3)连OC、OB，则y轴上是否存在P点，使S =S ，若存在，直接写出P点坐标
△POC △ABC
___________；
【答案】(1)作图见解析，D(1，−1) ,F(−2，−2)，
5
(2)
2
(3)(0，5)或(0，−5)．
【分析】（1）画出图象即可解决问题；
（2）利用割补法求解面积即可；
（3）设出坐标，列一元一次方程即可解决问题；
【详解】（1）解∶∵A(4,3),B(3,1),C(1,2)，B点平移的对应点E点(0,−3)，
∴△ABC向左平移3个单位，再向下平移4个单位得△≝¿，
△≝¿如图所示，D(1，−1) ,F(−2，−2)，
故答案为∶ D(1，−1) ,F(−2，−2)，；
1 1 5
（2）解：S =2×3− ×1×3−2× ×1×2= ，
△ABC 2 2 2
5
故答案为 ；
2
（3）解：y轴上是否存在P点，使S =S ，
△POC △ABC
设P(0，m)，
5 1
∵S =S ，S = ，S = ×|m|×1，
△POC △ABC △ABC 2 △POC 2
1 5
∴ ×|m|×1= ，
2 2解得m=5或m=−5
∴P(0，5)或P(0，−5)，
故答案为(0，5)或(0，−5)．
【点睛】本题考查作图之平移变换，三角形的面积以及解一元一次方程等知识，解题的关键是灵
活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型
22．如图，用两个面积为50cm2的小正方形纸片拼成一个大正方形．
(1)求拼成的大正方形纸片的边长；
(2)若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为
3:2且面积为54cm2？若能，试求出剪出的长方形的长与宽；若不能，请说明理由．
【答案】(1)10cm
(2)能；剪出的长方形的长为9cm，宽为6cm
【分析】（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的面积，即可求出大正方形的边长；
（2）先求出长方形的边长，再判断即可．
【详解】（1）解：大正方形的边长为：√50+50=√100=10(cm)；
（2）解：设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm，根据题意得：
3x⋅2x=54，
解得：x=3或x=−3（舍去），
长方形的长为3×3=9(cm)，宽为2×3=6(cm)，
∵9<10，
∴沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能使剪出的长方形纸片的长宽之比为3:2，且面积为
54cm2．
【点睛】本题考查了算术平方根和平方根的应用，能根据题意列出算式是解此题的关键．
23．已知AB∥CD，E是两直线内一点，F、G分别为AB、CD上的点．
(1)如图，连EF，EG，直接写出∠FEG与∠AFE和∠CGE之间的数量关系___________；(2)如图，∠AFE与∠CGE的平分线交于H点，探究∠FEG与∠FHG之间的数量关系，写出这个
数量关系，并说明理由；
1 1
(3)若H为AB、CD间的一点，且满足∠HFE= ∠AFE,∠HGE= ∠CGE，则直接写出
n n
∠FEG与∠FHG之间的数量关系___________；
【答案】(1)∠FEG=∠AFE+∠CGE
1
(2)∠FHG= ∠FEG，理由见解析；
2
n−1
(3)∠FHG= ∠FEG，理由见解析．
n
【分析】（1）根据平行线的判定和性质即可写出结论；
（2）根据平行线的判定和性质以及角平分线的定义，即可求解；
（3）根据平行线的判定和性质以及角的和差的关系，即可求解．
【详解】（1）解∶如图∶过点E作EH∥AB，
∵AB∥CD，
∴EH∥CD，
∴∠AFE=∠FEH，∠CGE=∠GEH，
∵∠FEG=∠FEH+∠GFE，
∴∠FEG = ∠AFE + ∠CGE，
故答案为∶∠FEG = ∠AFE + ∠CGE；
（2）解：由（1）得∠FHG=∠AFH+∠CGH，∠FEG=∠AFE+∠CGE，∵∠AFE与∠CGE的平分线交于H点，
1 1
∴∠AFH= ∠AFE，∠CGH= ∠CGE，
2 2
1 1
∴∠FHG==∠AFH+∠CGH= (∠AFE+∠CGE)= ∠FEG，
2 2
1
∴∠FHG= ∠FEG；
2
（3）解：由（1）得∠FHG=∠AFH+∠CGH，∠FEG=∠AFE+∠CGE，
1 1
∵∠HFE= ∠AFE,∠HGE= ∠CGE，
n n
n−1 n−1
∴∠HFA= ∠AFE,∠HGC= ∠CGE，
n n
n−1 n−1
∴∠FHG==∠AFH+∠CGH= (∠AFE+∠CGE)= ∠FEG，
n n
n−1
∴∠FHG= ∠FEG．
n
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质以及角平分线的定义，解决本题的关键是应用平行线的
判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
24．实验中学八年级数学社团随机抽取部分学生，对“学习习惯”进行问卷调查设计的问题：对
自己做错的题目进行整理、分析、改正；
答案选项为：A：很少，B：有时，C：常常，D：总是．
将调查结果的数据进行了整理，绘制成部分统计图如下：
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)该调查的样本容量为________，a=________%，b=________%，“常常”对应扇形的圆心角的
度数为________；
(2)请你补全条形统计图；
(3)若该校有3200名学生，请你估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生共有多少名？
【答案】(1)200、12、36、108°
(2)见解析
(3)“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生共有2112名．
【分析】（1）首先用“有时”对错题进行整理、分析、改正的学生的人数除以22%，求出该调查
的样本容量为多少；然后分别用很少、总是“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”的人数
除以样本容量，求出a、b的值各是多少；最后根据“常常”对应的人数的百分比是30%，求出
“常常”对应扇形的圆心角为多少即可；
（2）求出常常“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”的人数，补全条形统计图即可；
（3）用该校学生的人数分别乘“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生占的百分
率即可．
【详解】（1）解：∵44÷22%=200（名），
∴该调查的样本容量为200，
a%=24÷200×100%=12%，则a=12，
b%=72÷200×100%=36%，则b=36，
“常常”对应扇形的圆心角为：360°×30%=108°．
故答案为：200、12、36、108°；
（2）解：200×30%=60（名），
；
（3）解：∵3200×30%=960（名），
∴“常常”对错题进行整理、分析、改正的学生有960名．
∵3200×36%=1152（名），
∴“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有1152名．
960+1152=2112（名）答：“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生共有2112名．
【点睛】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必
要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
25．某经销商购进10件A产品和20件B产品需要155元，购进20件A产品和10件B产品需要
130元．A产品每件售价5元，B产品的销量不超过200件，每件8元；销量超过200件时，超过
的部分每件7元．
(1)求每件A，B产品的进价；
(2)该经销商每天购进A，B产品共300件，并在当天都销售完．
①要求购进B产品的件数多于A产品件数的2倍，B产品的总利润不超过A产品总利润的4倍，
设每天购进A产品x件（x为正整数），求x的取值范围；
②端午节这天，经销商让利销售，将A产品售价每件降低m元，B产品售价每件定为7元，且
A，B产品的总利润的最小值不少于318元，在①中x的取值条件下，直接写出m的最大值．
【答案】(1)每件A产品的进价为3.5元，每件B产品的进价为6元
500
(2)① ≤x＜100（x为正整数）；②0.25
7
【分析】（1）设每件A产品的进价为a元，每件B产品的进价为b元，根据“购进10件A产品
和20件B产品需要155元，购进20件A产品和10件B产品需要130元”，即可得出关于a，b的
二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①设每天购进A产品x件，则购进B产品（300-x）件，根据“购进B产品的件数多于A产
品件数的2倍，B产品的总利润不超过A产品总利润的4倍”，即可得出关于x的一元一次不等式
组，解之即可得出x的取值范围；
②设A，B两种商品全部售完后获得的总利润为w元，利用总利润=每件的销售利润×销售数量
（进货数量），即可得出w关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质即可找出关于m的一元
一次不等式组，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】（1）解：设每件A产品的进价为a元，每件B产品的进价为b元，
由题意得：¿，
解得：¿，
答：每件A产品的进价为3.5元，每件B产品的进价为6元．
（2）①设每天购进A产品x件，则购进B产品（300-x）件，
由题意得：¿，
500
解得： ≤x＜100．
7500
∴x的取值范围为 ≤x＜100（x为正整数）．
7
②设A，B两种商品全部售完后获得的总利润为w元，则w=（5-m-3.5）x+（7-6）（300-x）=
（0.5-m）x+300，
500
∵销售A，B两产品的总利润的最小值不少于318元，且 ≤x＜100，x为正整数，
7
∴¿，
解得：m≤0.25．
答：在①中x的取值条件下，m的最大值为0.25．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解
题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①根据各数量之间的关系，
正确列出一元一次不等式组；②根据各数量之间的关系，找出w关于x的函数关系式．
26．在平面直角坐标系中，有点A(a,0)，B(0,b)，点P(m,2m)在第一象限，若a，b满足
(a+b−7) 2+|a−2b+2|=0．
(1)求点A，B的坐标；
(2)若点P在直线AB上方，且1<S ≤5，求m的取值范围；
△ABP
(3)点C在直线AB上，且S =2S ，求点C的坐标．
△PAC △PBC
【答案】(1)A(4,0)，B(0,3)
14
(2) <m≤2
11
(4 )
(3)C ,2 或C(−4,6)
3
【分析】（1）由已知可以得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组可以得到A、B的坐标；
（2）连接OP，即可用m表示出三角形AOP和三角形BOC的面积，根据
S =S +S −S 可以用m表示出三角形ABP的面积，再由已知条件得到关于m的不等
△ABP AOP △BOP △AOB
式即可；（3）分点C在线段AB上和点C在射线AB上两种情况讨论．
【详解】（1）∵(a+b−7) 2+|a−2b+2|=0，
∴¿
解得，¿，
∴A(4,0)，B(0,3)，
1 1
（2）如图1，连接OP，则S = ×3×4=6，S = ×4×2m=4m，
△AOB 2 △AOP 2
1 3
S = ×3×m= m，
△BOC 2 2
3 11
∴S =S +S −S =4m+ m−6= m−6，
△ABP AOP △BOP △AOB 2 2
∵1<S ≤5，
△ABP
11 14
∴1< m−6≤5，解得： <m≤2；
2 11
（3）连接OC，设C(x,y)
如图2，当点C在线段AB上时，
∵S =2S ，
△PAC △PBC
∴AC=2BC，S =2S ，
△AOC △BOC
1 1
∴S = S = ×6=2，
△BOC 3 △AOB 31
∴ ×3x=2，
2
4
解得，x= ；
3
2 2
又S = S = ×6=4，
△AOC 3 △AOB 3
1
∴ ×4 y=4，解得，y=2；
2
(4 )
∴C ,2
3
如图3，当点C在射线AB上时，
同理可求得，C(−4,6)
(4 )
综上所述，C ,2 或C(−4,6)
3
【点睛】本题考查由直线围成的图形面积的应用，熟练掌握非负数的应用、二元一次方程组的求
解、由直线围成的图形面积的求解及不等式的求解是解题关键．
