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第 04 讲 平方差公式
课程标准 学习目标
1. 掌握平方差公式，以及平方差公式的特征，几何意义，并能
①平方差公式
够在题目中熟练应用。
知识点01 平方差公式
1. 平方差公式：
＝ 。即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方的差。
2. 平方差公式的特征：
两个二项式相乘。若他们其中一项 相同 ，另一项 互为相反数 ，则他们的结果等于相同项
的平方减去互为相反数项的平方。
3. 平方差公式的几何意义：
如图：将图①的蓝色部分移到图②的位置。
图②的面积为：
图①的面积为： ； ；
图①与图②的面积相等。所以【即学即练1】
1．计算：
（1）（a+b）（a﹣2）； （2） ； （3）（m+n）（m﹣n）；
（4）（0.1﹣x）（0.1+x）； （5）（x+y）（﹣y+x）．
【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，可以用平方差公式计算的式子的特点是：两个二
项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果应该是：右边是乘式
中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．即可解答本题．
【解答】解：（1）（a+b）（a﹣2）
＝a2+ba﹣2a﹣2b，
（2）（x﹣ ）（x+ ）
＝ ，
（3）（m+n）（m﹣n）
＝m2﹣n2，
（4）（0.1﹣x）（0.1+x）
＝0.01﹣x2，
（5）（x+y）（﹣y+x）
＝x2﹣y2．
【即学即练2】
2．已知x2﹣y2＝10，x﹣y＝2，则x+y等于 5 ．
【分析】根据平方差公式得出x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）代入已知求出即可．
【解答】解：∵x2﹣y2＝10，x﹣y＝2，
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2（x+y）＝10，
∴x+y＝5．
故答案为：5．
【即学即练3】
3．计算：1232﹣124×122．
【分析】先把124×122写成（123+1）×（123﹣1），利用平方差公式计算，去掉括号后再合并即可．
【解答】解：1232﹣124×122，
＝1232﹣（123+1）（123﹣1），
＝1232﹣（1232﹣12），
＝1．
【即学即练4】
4．如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
【分析】分别表示图（1）和图（2）中阴影部分的面积即可得出答案．
【解答】解：图（1）中阴影部分的面积为：a2﹣b2，
图（2）中阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），
因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：C．
题型01 利用平方差公式计算
【典例1】下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+1）（﹣x﹣1） B．（2+a2）（2﹣a2）
C．（﹣x+y）（x﹣y） D．（x2+y）（x﹣y2）
【分析】根据平方差公式分别进行判断即可．
【解答】解：A、（x+1）（﹣x﹣1），不可以用平方差公式计算，故选项A不符合题意；
B、（2+a2）（2﹣a2），可以用平方差公式计算，故选项B符合题意；
C、（﹣x+y）（x﹣y），不可以用平方差公式计算，故选项C不符合题意；
D、（x2+y）（x﹣y2），不可以用平方差公式计算，故选项D不符合题意；
故选：B．
【变式1】计算：
（1）（x+3y）（x﹣3y）；
（2）（x3+2）（x3﹣2）：
（3）（2m﹣n）（﹣2m﹣n）．
【分析】（1）直接运用平方差公式展开；
（2）先根据平方差公式展开得到原式＝（x3）2﹣22，然后根据幂的乘方法则运算；
（3）先提负号得到原式＝﹣（2m﹣n）（2m+n），然后根据平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣9y2；
（2）原式＝（x3）2﹣22
＝x6﹣4；（3）原式＝﹣（2m﹣n）（2m+n）
＝﹣（4m2﹣n2）
＝﹣4m2+n2．
【变式2】利用乘法公式计算下列各题：
（1）（2x+y）（2x﹣y）；
（2）（ +5y）（ ﹣5y）；
（3）（x+3）（x﹣3）（x2+9）；
（4）（x﹣ ）（x2+ ）（x+ ）．
【分析】（1）利用平方差公式进行计算即可得解；
（2）利用平方差公式进行计算即可得解；
（3）二次利用平方差公式进行计算即可得解；
（4）先把第一项和第三项利用平方差公式计算，然后再次利用平方差公式进行计算即可得解．
【解答】解：（1）（2x+y）（2x﹣y）
＝（2x）2﹣y2
＝4x2﹣y2；
（2）（ x+5y）（ x﹣5y）
＝（ x）2﹣（5y）2
＝ x2﹣25y2；
（3）（x+3）（x﹣3）（x2+9）
＝（x2﹣9）（x2+9）
＝x4﹣81；
（4）（x﹣ ）（x2+ ）（x+ ）
＝（x2﹣ ）（x2+ ）
＝x4﹣ ．
【变式3】计算：
（1）（2a﹣5）（﹣2a﹣5）；
（2） ；
（3）（5ab﹣3x）（﹣3x﹣5ab）；（4） ；
（5） ．
【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，即可解答本题．
【解答】解：（1）（2a﹣5）（﹣2a﹣5）＝25﹣4a2；
（2）（ + ）（ ﹣ ）＝ ；
（3）（5ab﹣3x）（﹣3x﹣5ab）＝9x2﹣25a2b2；
（4）（ ）（ ）﹣ （x+8），
＝ ﹣4﹣ ﹣2x，
＝﹣2x﹣4；
（5）（x﹣y）（ ）﹣（ ）（ ），
＝（x﹣y）（ ）﹣（ ），
＝ ．
题型02 利用平方差公式求值
【典例1】如果a2﹣b2＝12，a+b＝4，则a﹣b＝ 3 ．
【分析】先根据平方差公式分解，再代入求出即可．
【解答】解：∵a2﹣b2＝12，
∴（a+b）（a﹣b）＝12，
∵a+b＝4，
∴a﹣b＝3，
故答案为：3．
【变式1】若a2﹣b2＝10，a﹣b＝2，则a+b的值为（ ）
A．5 B．2 C．10 D．无法计算
【分析】a2﹣b2＝10，即（a+b）（a﹣b）＝10，把a﹣b＝2代入即可求得答案．
【解答】解：∵a2﹣b2＝10，
∴（a+b）（a﹣b）＝10，
∵a﹣b＝2，
∴a+b＝5．
故选：A．【变式2】已知x2﹣y2＝﹣1，x+y＝ ，则x﹣y＝ ﹣ 2 ．
【分析】先对已知等式的左边利用平方差公式分解因式，然后再利用积、因数的关系可得答案．
【解答】解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝﹣1，x+y＝ ，
∴x﹣y＝ ＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【变式3】若a+b＝3，则a2﹣b2+6b的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【分析】将所求的代数式变形处理，将已知条件整体代入即可．
【解答】解：∵a+b＝3，
∴a2﹣b2+6b
＝（a+b）（a﹣b）+6b
＝3a﹣3b+6b
＝3（a+b）
＝3×3
＝9．
故选：C．
【变式4】已知m﹣n＝1，则m2﹣n2﹣2n的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
【分析】根据平方差公式化简，把m﹣n＝1整体代入即可得出答案．
【解答】解：∵m﹣n＝1，
∴原式＝（m+n）（m﹣n）﹣2n
＝m+n﹣2n
＝m﹣n
＝1，
故选：A．
题型03 利用平方差公式简便运算
【典例1】用简便方法计算103×97时，变形正确的是（ ）
A．1002﹣3 B．1002﹣32
C．1002+2×3×100+3 D．1002﹣2×100+32
【分析】利用平方差公式进行简便运算，把原式化为 103×97＝（100+3）（100﹣3）＝1002﹣32，从而
可得答案．
【解答】解：103×97＝（100+3）（100﹣3）＝1002﹣32．故选：B．
【变式1】20132﹣2012×2014的计算结果是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】根据平方差公式计算即可．
【解答】解：20132﹣2012×2014＝20132﹣（2013﹣1）（2013+1）＝20132﹣20132+1＝1．
故选：A．
【变式2】利用平方差公式计算：
（1）31×29；
（2）9.9×10.1；
（3）98×102；
（4）1003×997．
【分析】这是两个二项式相乘，把这两个二项式转化为有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结
果应该是：右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．
【解答】解：（1）（30+1）（30﹣1），
＝900﹣1，
＝899；
（2）（10﹣0.1）（10+0.1），
＝100﹣0.01，
＝99.99；
（3）（100﹣2）（100+2），
＝10000﹣4，
＝9996；
（4）（1000+3）（1000﹣3），
＝1000000﹣9，
＝999991．
【变式3】已知M＝20242，N＝2023×2025，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定
【分析】利用平方差公式把N＝2023×2025变形后即可判断．
【解答】解：∵M＝20242，N＝2023×2025＝（2024﹣1）（2024+1）＝20242﹣1，
20242﹣（20242﹣1）＝1＞0，
∴M＞N．
故选：A．
【变式4】计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…+20012﹣20022+20032﹣20042． ﹣ 200901 0
【分析】本题是平方差公式的应用．
【解答】解：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…+20012﹣20022+20032﹣20042＝﹣[（22﹣12）+（42﹣32）+（62﹣52）+…+（20022﹣20012）+（20042﹣20032）]，
利用平方差公式12﹣22+32﹣42+52﹣62+…+20012﹣20022+20032﹣20042＝﹣[（22﹣12）+（42﹣32）+（62
﹣52）+…+（20022﹣20012）+（20042﹣20032）]
＝ ﹣ [ （ 2﹣ 1 ） （ 2+1 ） + （ 4﹣ 3 ） （ 4+3 ） + （ 6﹣ 5 ） （ 6+5 ） +… + （ 2002﹣ 2001 ）
（2002+2001）+（2004﹣2003）（2004+2003）]
＝﹣（3+7+11+15+…+4003+4007）＝﹣
＝﹣2 009 010．
【变式5】计算： … ．
【分析】根据平方差公式求解即可．
【解答】解：原式＝（1﹣ ）（1+ ）（1﹣ ）（1+ ）…（1﹣ ）（1+ ）
＝ × × × ×…× ×
＝ × ＝ ．
题型04 平方差公式的几何意义
【典例1】如图①，从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形；如图②，然后将剩余部分拼成一个
长方形，上述操作能验证的等式是（ ）
A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+2ab+b2＝（a+b）2
【分析】由图1可知剩余部分的面积，由图2可求长方形的面积，两部分面积相等即可求解．
【解答】解：由图1可知剩余部分的面积为：a2﹣b2，
由图2可求长方形的面积为：（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：C．
【变式1】如图，阴影部分是在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将
阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列2种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（ ）A．① B．② C．①② D．①②都不能
【分析】利用面积法，分别计算左图与右图的阴影部分面积进而可得结论．
【解答】解：如图①，左图的阴影部分的面积为a2﹣b2，右图的阴影部分是上底为2b，下底为2a，高
为（a﹣b）的梯形，因此面积为 （2b+2a）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），
所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
因此图①方法可以验证平方差公式，
如图②，左图的阴影部分的面积为a2﹣b2，右图的阴影部分是底为（a+b），高为（a﹣b）的平行四边
形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
因此图②方法也可以验证平方差公式，
故选：C．
【变式2】王大爷改建一个边长为x（x＞3）米的正方形养殖场，计划正方形养殖场纵向增加3米，横向减
少3米，则改建后养殖场面积的变化情况是（ ）
A．面积减少3m2 B．面积减少9m2
C．面积增加3m2 D．面积增加9m2
【分析】求出变化前后面积差即可．
【解答】解：变化前正方形的面积为x2平方米，
变化后的长为（x+3）米，宽为（x﹣3）米，因此面积为（x+3）（x﹣3）＝（x2﹣9）平方米，
所以变化后面积减少9平方米，
故选：B．
【变式3】如图，边长为（a+3）的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长
方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是（ ）A．2a+3 B．2a+6 C．a+3 D．a+6
【分析】设另一边长为x，然后根据剩余部分的面积的两种表示方法列式计算即可得解．
【解答】解：设另一边长为x，
根据题意得，3x＝（a+3）2﹣a2，
解得x＝2a+3．
故选：A．
【变式4】如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是（ ）
A．80 B．40 C．20 D．10
【分析】设BC＝a，BD＝b，由拼图可知AE＝a﹣b，a2﹣b2＝40，再利用三角形面积公式分别用代数式
表示两个阴影三角形的面积和，再根据平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：设BC＝a，BD＝b，则AE＝a﹣b，a2﹣b2＝40，
所以S阴影部分 ＝ a（a﹣b）+ b（a﹣b）
＝ （a+b）（a﹣b）
＝ ×（a2﹣b2）
＝ ×40
＝20．
故选：C．
1．下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）A．（y+2x）（2x﹣y） B．（﹣x﹣3y）（x+3y）
C．（2x2﹣y2）（2x2+y2） D．（4a+b）（4a﹣b）
【分析】根据（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2平方差公式逐项分析即可．
【解答】解：A． （y+2x）（2x﹣y）＝4x2﹣y2，故能够用平方差公式计算；
B． （﹣x﹣3y）（x+3y）不符合平方差公式的结构，故不能够用平方差公式计算；
C．（2x2﹣y2）（2x2+y2）＝4x4﹣y4，故能够用平方差公式计算；
D． （4a+b）（4a﹣b）＝16a2﹣b2，故能够用平方差公式计算；
故选：B．
2．已知x﹣y＝5，则x2﹣y2﹣10y的值是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【分析】先把x2﹣y2﹣10y变形为：（x+y）（x﹣y）﹣10y，把x﹣y＝5代入，再整理为：5（x﹣y），
再把x﹣y＝5代入计算，即可得出答案．
【解答】解：∵x﹣y＝5，
∴x2﹣y2﹣10y
＝（x2﹣y2）﹣10y
＝（x+y）（x﹣y）﹣10y
＝5（x+y）﹣10y
＝5x+5y﹣10y
＝5x﹣5y
＝5（x﹣y）
＝5×5
＝25．
故选：D．
3．若（a+1）（a﹣1）＝35，则a的值为（ ）
A．±6 B．±3 C．6 D．3
【分析】利用平方差公式进行计算，即可解答．
【解答】解：∵（a+1）（a﹣1）＝35，
∴a2﹣1＝35，
∴a2＝36，
∴a＝±6，
故选：A．
4．已知：a+b＝3，a﹣b＝1，则a2﹣b2等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据平方差公式即可得出答案．
【解答】解：∵a+b＝3，a﹣b＝1，∴原式＝（a+b）（a﹣b）
＝3×1
＝3．
故选：C．
5．计算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4+b4）等于（ ）
A．a4﹣b4 B．a6+b6 C．a6﹣b6 D．a8﹣b8
【分析】根据平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2求解即可得到答案．
【解答】解：（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4+b4）
＝（a2﹣b2）（a2+b2）（a4+b4）
＝（a4﹣b4）（a4+b4）
＝a8﹣b8，
故选：D．
6．若一个正方形的边长增加2cm，则面积相应增加了32cm2，那么这个正方形的边长为（ ）
A．6 cm B．5 cm C．8 cm D．7 cm
【分析】设这个正方形的边长为xcm，根据题意由面积相增加了32cm2列出方程，解方程即可求解．
【解答】解：设这个正方形的边长为xcm，
由题意得（x+2）2﹣x2＝32，
解得x＝7．
故选：D．
7．若（x+y+1）（x+y﹣1）＝8，则x+y的值为（ ）
A．3 B．±3 C．﹣3 D．±5
【分析】根据题中条件，掌握解方程的基本方法是解决问题的关键．令 x+y＝m，得出（m+1）（m﹣
1）＝8，求出m2＝9，得出m＝±3，即可得出答案．
【解答】解：令x+y＝m，
∵（x+y+1）（x+y﹣1）＝8，
∴（m+1）（m﹣1）＝8，
∴m2﹣1＝8，
解得：m2＝9，
∴m＝±3，
∴x+y＝﹣3，x+y＝3，
故选：B．
8．如图，从边长为a+1的正方形纸片中剪去一个边长为a﹣1的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线剪开，
再拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（ ）A．4a B．2a C．a2﹣1 D．2
【分析】根据拼图用代数式表示拼成的长方形的长与宽，进而利用长方形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：根据拼图可知，拼成的长方形的长为（a+1）+（a﹣1）＝2a，宽为（a+1）﹣（a﹣1）＝
2，因此面积为2a×2＝4a，
故选：A．
9．如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为（a+2）的小正方形（a＞2），将剩余部分剪开，密铺
成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（ ）
A．3a2﹣4 B．2a2+4a C．3a2﹣4a﹣4 D．3a2+4a+4
【分析】直接用大正方形的面积，减去小正方形的面积，进行计算即可．
【解答】解：该平行四边形的面积为（2a）2﹣（a+2）2＝4a2﹣a2﹣4a﹣4＝3a2﹣4a﹣4，
故选：C．
10．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16
＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．255024 B．255054 C．255064 D．250554
【分析】设相邻的两奇数分别为2n+1，2n﹣1（n≥1，且n为正整数），求出和谐数的表达式，根据和
谐数不超过2017，列出不等式，求得n的范围，进而可以知道最大的n，求出此时的相邻两个奇数，然
后把这些和谐数加起来计算即可．
【解答】解：设相邻的两奇数分别为2n+1，2n﹣1（n≥1，且n为正整数），
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，
根据题意得：8n≤2017，
∴n≤252 ，
∴n最大为252，此时2n+1＝505，2n﹣1＝503，
∴32﹣12+52﹣32+...+5032﹣5012+5052﹣5032
＝5052﹣12
＝255024．
故选：A．
11．给出下列式子：①（x﹣y）（x+y）；②（x+y）（y﹣x）；③（y﹣x）（﹣y﹣x）；④（﹣x+y）（x﹣y）；⑤（﹣x
﹣y）（x+y）；⑥（﹣x﹣y）（x﹣y），其中，符合平方差特征的有 ①②③⑥ （填序号）．
【分析】根据平方差公式的结构特征逐项进行判断即可．
【解答】解：由平方差公式的结构特征可得，
①（x﹣y）（x+y）符合平方差公式的结构特征，能利用平方差公式进行计算；
②（x+y）（y﹣x）＝（y+x）（y﹣x）符合平方差公式的结构特征，能利用平方差公式进行计算；
③（y﹣x）（﹣y﹣x）＝﹣（y+x）（y﹣x）符合平方差公式的结构特征，能利用平方差公式进行计算；
④（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）（x﹣y）不符合平方差公式的结构特征，不能利用平方差公式进行
计算；
⑤（﹣x﹣y）（x+y）＝﹣（x+y）（x+y）不符合平方差公式的结构特征，不能利用平方差公式进行计
算；
⑥（﹣x﹣y）（x﹣y）＝﹣（x+y）（x﹣y）符合平方差公式的结构特征，能利用平方差公式进行计算；
故答案为：①②③⑥．
12．计算 ＝ 25 0 ．
【分析】先根据平方差公式进行计算，再求出答案即可，
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝250，
故答案为：250．
13．一个长方形的长为（2a+3b），宽为（2a﹣3b），则长方形的面积为 4 a 2 ﹣ 9 b 2 ．
【分析】先根据长方形的面积公式列式，再根据平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2直接求解即可
得到答案．
【解答】解：由长方形的面积公式可列式：（2a+3b）（2a﹣3b），
根据平方差公式得：（2a+3b）（2a﹣3b）＝4a2﹣9b2．
故答案为：4a2﹣9b2．
14．已知a2+a＝2，则代数式（a+2）（a﹣2）+a（a+2）值为 0 ．
【分析】本题考查的是整式的乘法运算，代数式的求值，先计算整式的乘法，合并同类项，再结合分配
律整体代入求值即可．
【解答】解：由题意，∵（a+2）（a﹣2）+a（a+2）
＝a2﹣4+a2+2a
＝2a2+2a﹣4＝2（a2+a）﹣4，
∴当a2+a＝2时，原式＝2×2﹣4
＝4﹣4
＝0．
故答案为：0．
15．两个小长方形如图①摆放，重叠部分是边长为b的正方形，阴影部分的面积为S，四个小长方形如图
②摆放，左上角形成的是边长为b的正方形，此阴影部分面积为S ，另一阴影部分的面积为S ，则S，
1 2
S ，S 之间的数量关系为 S ＝ S + S ．
1 2 1 2
【分析】利用图①用含有a、b的代数式表示S，在图②用含有a、b的代数式表示S +S ，比较得出答
1 2
案．
【解答】解：图①中，阴影部分是边长为（a﹣b）的正方形，因此面积为：S＝（a﹣b）2；
图②中，两个阴影部分的面积和为边长为（a+b）的正方形面积减去4个长为a，宽为b的长方形的面
积差，
即S +S ＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，
1 2
所以S＝S +S ，
1 2
故答案为：S＝S +S ．
1 2
16．运用平方差公式计算．
①（3a+b）（3a﹣b）
②（﹣x+2y）（﹣x﹣2y）
③（ a﹣b）（﹣ a﹣b）
④59.8×60.2
⑤（2x﹣3y）（3y+2x）﹣（4y﹣3x）（3x+4y）
【分析】①②③利用平方差公式进行计算即可得解；
④把59.8×60.2写成（60﹣0.2）×（60+0.2），然后利用平方差公式进行计算即可得解；
⑤利用平方差公式进行计算即可得解，然后合并同类项即可．
【解答】①解：（3a+b）（3a﹣b），
＝（3a）2﹣b2，
＝9a2﹣b2；②解：（﹣x+2y）（﹣x﹣2y），
＝（﹣x）2﹣（2y）2，
＝x2﹣4y2；
③解：（ a﹣b）（﹣ a﹣b），
＝（﹣b）2﹣（ a）2，
＝b2﹣ a2；
④解：59.8×60.2，
＝（60﹣0.2）×（60+0.2），
＝602﹣0.22，
＝3600﹣0.04，
＝3599.96；
⑤解：（2x﹣3y）（3y+2x）﹣（4y﹣3x）（3x+4y），
＝（2x）2﹣（3y）2﹣（4y）2+（3x）2，
＝4x2﹣9y2﹣16y2+9x2，
＝13x2﹣25y2．
17．利用乘法公式计算：
（1）（2+1）（22+1）（24+1）；
（2）1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．
【分析】（1）把所求算式乘以（2﹣1），再连续用平方差公式可算出答案；
（2）逆用平方差公式，再求和即可．
【解答】解：（1）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）
＝（24﹣1）（24+1）
＝28﹣1
＝256﹣1
＝255；
（2）原式＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+...+（2+1）×（2﹣1）
＝100+99+98+97+...+2+1
＝＝5050．
18．观察下面的式子；a ＝32﹣12，a ＝52﹣32，a ＝72﹣52，…
1 2 3
（1）请用含n的式子表示a ；（n为大于0的自然数）
n
（2）探究a 是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论．
n
【分析】（1）观察不难发现，a 为两个连续奇数的平方的差，写出即可；
n
（2）利用平方差公式整理即可得解．
【解答】解：（1）∵a ＝32﹣12，a ＝52﹣32，a ＝72﹣52，…，
1 2 3
∴a ＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2；
n
（2）∵a ＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2，
n
＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]，
＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1），
＝8n，
∵n为大于0的自然数，
∴a 是8的倍数，
n
这个结论用语言表示为：两个连续奇数的平方差是8的倍数．
19．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如
图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 B ；（请选择正确的一个）
A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C、a2+ab＝a（a+b）
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．
②计算：（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）…（1﹣ ）（1﹣ ）．
【分析】（1）观察图1与图2，根据两图形阴影部分面积相等验证平方差公式即可；
（2）①已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入求出所求式子的值即可；②原
式利用平方差公式变形，约分即可得到结果．
【解答】解：（1）根据图形得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），上述操作能验证的等式是B，
故答案为：B；
（2）①∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝12，x+2y＝4，
∴x﹣2y＝3；
②原式＝（1﹣ ）（1+ ）（1﹣ ）（1+ ）…（1﹣ ）（1+ ）（1﹣ ）（1+ ）＝ ×
× × × × ×…× × × × ＝ × ＝．
20．探究题．
（1）计算下列各题：
①（x﹣1）（x+1）；
②（x﹣1）（x2+x+1）；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）；
④（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；
…
（2）猜想：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）的结果是什么？
（3）证明你的猜想是否正确．
【分析】可以用多项式乘以多项式验证想法，得出
（1）中答案；
（2）根据规律猜想出结果为xn+1﹣1；
（3）利用多项式乘以多项式的方法进行计算，展开后可知中间的项会相互抵消，只剩下第一项和最后
一项．
【解答】解：
（1）①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
④（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1．
（2）（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）＝xn+1﹣1．
（3）原式＝xn+1+xn+xn﹣1+…+x2+x﹣xn﹣xn﹣1﹣…﹣x﹣1＝xn+1﹣1．
