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第 05 讲 完全平方公式
课程标准 学习目标
1. 掌握完全平方公式以及完全平方公式的特点，完全平方公式
①完全平方公式
的几何意义并能够熟练应用其解决问题。
②添括号法则
2. 掌握添加括号的法则，能够熟练的运用。
知识点01 完全平方公式
1. 完全平方公式：
①完全平方和公式：
两个数的和的平方，等于这两个数的 的和 这两个数乘积的两倍。
即： 。可以是两个数，也可以是两个式子。
②完全平方差公式：
两个数的差的平方，等于这两个数的 的和 这两个数的乘积的两倍。
即： 。可以是两个数，也可以是两个式子。
2. 完全平方公式的式子特点：：一个二项式的平方，等于这个二项式的两项的 加上这
两项的 。注意每一项都包含前面的符号。
巧记：首平方加尾平方，首位两倍放中央。
3. 完全平方公式的几何背景：
图1中面积的整体表示为：
用各部分面积之和表示为：
所以
用同样的方法表示图2的面积即可得到：
。
4. 完全平方和公式与完全平方差公式的转化：
，
∵
∴
【即学即练1】
1．运用完全平方公式计算：
（1）（4m+n）2； （2） ；
（3）（﹣a﹣b）2； （4）（﹣a+b）2．
【即学即练2】
2．运用完全平方公式计算：
（1）632； （2）982； （3）700.12； （4）499.92．
【即学即练3】3．已知x2+y2＝26，xy＝3，求（x+y）2和（x﹣y）2的值．
【即学即练4】
4．若要使4x2+mx+16成为完全平方式，则常数m的值为（ ）
A．﹣8 B．±8 C．﹣16 D．±16
【即学即练5】
5．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．3 B．9 C．±3 D．±9
【即学即练6】
6．如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系，验证了一个等式，这个等式是（ ）
A．（y+x）2＝y2+xy+x2 B．（y+x）2＝y2+2xy+x2
C．（y+x）（y﹣x）＝y2﹣x2 D．（y+x）2﹣（y﹣x）2＝4xy
知识点02 添括号法则
1. 添括号法则：
在条加括号时，若括号前面时正号，括到括号里面的每一项都 ，若括号前面是负号，
则括到括号里面的每一项都要 。
即： ＝ （ ）； ＝ （ ）
【即学即练1】
,7．计算题：
（1）（a﹣2b﹣3c）2； （2）（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）﹣（x+y﹣z）2．
题型01 利用完全平方公式计算【典例1】计算：
（1）（﹣5a+4b）2； （2）（2a﹣ b）2；
（3）（ a﹣ b）2； （4）（﹣mn+ ）2．
【变式1】计算：
（1）（x﹣6）2． （2）（﹣2x﹣y）2．
（3）（﹣p+3q）2． （4）[（2m+n）（2m﹣n）]2．
【变式2】计算：
（1）（1+4a）2； （2）（﹣5+3y）2； （3）（x2﹣6y）2；
（4） ； （5）（2a+1）2﹣4a（a﹣1）； （6） ．
题型02 利用完全平方公式简便运算
【典例1】利用完全平方公式进行简便运算：
（1）1012＝（ + ）2＝ ；
（2）9.82＝（ ﹣ ）2＝ ．
【变式1】用简便方法计算：20032﹣2003×8+16＝ ．【变式2】用简便方法计算：2022+202×196+982．
题型03 利用完全平方公式变形求值
【典例1】已知a+b＝4，ab＝2，则a2+b2＝（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【变式1】已知（a+b）2＝12，ab＝2，则（a﹣b）2的值为（ ）
A．8 B．20 C．4 D．16
【变式2】已知a﹣b＝3，ab＝1，求下列代数式的值．
（1）a2+b2； （2）（a+b）2．
【变式3】已知（a﹣b）2＝25，ab＝﹣6，求下列各式的值．
（1）a2+b2； （2）a4+b4．
题型04 利用完全平方式的特点求值
【典例1】若x2+kx+64为一个完全平方式，则k的值为（ ）
A．16 B．±16 C．8 D．±8
【变式1】若关于x的二次三项式x2+（k﹣2）x+16是一个完全平方式，那么k的值是（ ）
A．﹣6 B．6 C．±6 D．10或﹣6
【变式2】若多项式4x2﹣（k﹣1）xy+25y2是关于x、y的完全平方式，则k的值为（ ）A．21 B．19 C．21或﹣19 D．﹣21或19
【变式4】将整式9x2+1加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，下列添加错误的是（ ）
A．6x B．﹣6x C． D．3x
【变式5】若关于x的二次三项式x2+nx+m是完全平方式，则m与n的关系式为（ ）
A．m＝4n2 B．m＝﹣4n2 C． D．
题型02 完全平方公式的几何意义
【典例1】如图，利用图中面积的等量关系可以得到的公式是（ ）
A．a2﹣b2＝a（a+b）+b（a﹣b）
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
【变式1】两个边长为a的大正方形与两个边长为b的小正方形按如图所示放置，如果a﹣b＝2，ab＝26，
那么阴影部分的面积是（ ）
A．30 B．34 C．40 D．44
【变式2】如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（
）
A．10 B．20 C．30 D．40
【变式3】如图1，小长方形的长和宽分别为a和b，将四块这样的长方形按如图2所示位置摆放．
（1）图2中的四边形EFGH为正方形，其边长为 ．
（2）能用图2中的图形面积关系来验证的等式是： ＝ ．
（3）若x﹣y＝3，xy＝4，求x+y的值．题型02 平方差公式与完全平方公式的综合
【典例1】计算：
（1）（3x﹣2y﹣1）2； （2）（a+2b﹣c）（a﹣2b﹣c）﹣（a﹣b﹣c）2．
【变式1】计算下列各式：
（1） ； （2）（2a﹣3b+1）2．
【变式2】已知m2+n2﹣6m+10n+34＝0，求m+n．【变式3】阅读理解．
已知（a﹣12）2+（14﹣a）2＝6，求（a﹣13）2的值．
解：由（a﹣12）2+（14﹣a）2＝6，可得[（a﹣13）+1]2+[（a﹣13）﹣1]2＝6．
整理得（a﹣13）2+2（a﹣13）+1+（a﹣13）2﹣2（a﹣13）+1＝6．
2（a﹣13）2+2＝6
得（a﹣13）2＝2．
请仿照上述方法，完成下列问题：
（1）已知（a﹣98）2+（96﹣a）2＝10，求（a﹣97）2的值．
（2）已知（a﹣2024）2＝8，求（a﹣2025）2+（2023﹣a）2的值．
1．小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“＝4x2●⋯+25y2”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一
项及其符号可能是（ ）
A．+10xy B．+10xy或﹣10xy
C．+20xy D．+20xy或﹣20xy
2．已知x2+x﹣3＝0，那么代数式x（x﹣2）+（x+2）2+5值是（ ）A．14 B．15 C．16 D．17
3．已知a＝5+5b，则代数式a2﹣10ab+25b2的值是（ ）
A．16 B．20 C．25 D．30
4．若a、b是某长方形的长和宽，且有（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，则该长方形面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．若（2x+3y）2＝（2x﹣3y）2+（ ）成立，则括号内的式子等于（ ）
A．24xy B．12xy C．6xy D．4xy
6．如果x2+（m﹣1）x+9是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A．7 B．﹣7 C．﹣5或7 D．﹣5或5
7．已知a+b＝5，ab＝﹣2，则a2﹣ab+b2的值是（ ）
A．30 B．31 C．32 D．33
8．设 a＝x﹣2022，b＝x﹣2024，c＝x﹣2023．若 a2+b2＝16，则 c2 的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部，得到图①，将A，B并列放置后构成新的正方形，得到图
②．若图①阴影面积为3，正方形A，B的面积之和为11，则图②阴影面积是（ ）
A．8 B．9 C．12 D．15
10．已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝4，那么a4+b4+c4的值是（ ）
A．6 B．8 C．20 D．34
11．计算：（a+2b）2＝ ；（3x﹣1）2＝ ．
12．若（x+y）2＝9，（x﹣y）2＝5，则xy＝ ．
13．若|x+y﹣5|+（xy﹣6）2＝0，则x2+y2的值为 ．
14．已知：a+b＝3，ab＝5，则a2+b2﹣2a﹣2b+6＝ ．
15．小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，
可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，A、M、B在同一直线
上．若AB＝5，且两个正方形面积之和为13，则阴影部分的面积为 ．
16．已知：a﹣b＝3，ab＝1，试求：
（1）a2+3ab+b2的值； （2）（a+b）2的值．17．运用乘法公式计算：
（1）（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）； （2）（a+b+c）2．
18．阅读下列解答过程：
已知：x≠0，且满足x2﹣3x＝1．求： 的值．
解：∵x2﹣3x＝1，∴x2﹣3x﹣1＝0
∴ ，即 ．
∴ ＝ ＝32+2＝11．
请通过阅读以上内容，解答下列问题：
已知a≠0，且满足（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2＝14a﹣7，
求：（1） 的值；（2） 的值．
19．在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和的完全平方公式（a+b）2＝
a2+2ab+b2，能够在三个代数式a+b，ab，a2+b2中，当已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代
数式的值．例如：已知a+b＝3，ab＝2，求a2+b2的值．
解：将a+b＝3两边同时平方，得（a+b）2＝32，
即a2+2ab+b2＝9，
因为ab＝2，
等量代换，得a2+b2+2×2＝9，
所以a2+b2＝5．
请根据以上信息，解答下列问题．（1）已知a﹣b＝1，a2+b2＝17，求ab的值．
（2）如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若a+b＝7，ab＝9，求图中阴影部分的面积．
（3）若（2025﹣x）（x﹣2024）＝﹣6，则（2025﹣x）2+（x﹣2024）2的值为 ．
20．王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式
x2+4x+5的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法：
x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1因为（x+2）2≥0，
所以当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0．
所以（x+2）2+1≥1．
所以当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．
所以x2+4x+5的最小值是1．
依据上述方法，解决下列问题
（1）当x＝ 时，x2+6x﹣15有最小值是 （2）多项式﹣x2+2x+18有最 （填
“大”或“小”）值，该值为 （3）已知﹣x2+5x+y+20＝0，求y+x的最值
（4）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0，求△ABC的周长．
