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第 04 讲 平方差公式
课程标准 学习目标
1. 掌握平方差公式，以及平方差公式的特征，几何意义，并能
①平方差公式
够在题目中熟练应用。
知识点01 平方差公式
1. 平方差公式：
＝ 。即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方的差。
2. 平方差公式的特征：
两个二项式相乘。若他们其中一项 ，另一项 ，则他们的结果等于相同项
的平方减去互为相反数项的平方。
3. 平方差公式的几何意义：
如图：将图①的蓝色部分移到图②的位置。
图②的面积为：
图①的面积为： ； ；
图①与图②的面积相等。所以【即学即练1】
1．计算：
（1）（a+b）（a﹣2）； （2） ； （3）（m+n）（m﹣n）；
（4）（0.1﹣x）（0.1+x）； （5）（x+y）（﹣y+x）．
【即学即练2】
2．已知x2﹣y2＝10，x﹣y＝2，则x+y等于 ．
【即学即练3】
3．计算：1232﹣124×122．
【即学即练4】
4．如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个长
方形，如图（2），此过程可以验证（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
题型01 利用平方差公式计算
【典例1】下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+1）（﹣x﹣1） B．（2+a2）（2﹣a2）
C．（﹣x+y）（x﹣y） D．（x2+y）（x﹣y2）
【变式1】计算：（1）（x+3y）（x﹣3y）； （2）（x3+2）（x3﹣2）： （3）（2m﹣n）（﹣2m﹣n）．
【变式2】利用乘法公式计算下列各题：
（1）（2x+y）（2x﹣y）； （2）（ +5y）（ ﹣5y）；
（3）（x+3）（x﹣3）（x2+9）； （4）（x﹣ ）（x2+ ）（x+ ）．
【变式3】计算：
（1）（2a﹣5）（﹣2a﹣5）； （2） ；
（3）（5ab﹣3x）（﹣3x﹣5ab）； （4） ；
（5） ．
题型02 利用平方差公式求值【典例1】如果a2﹣b2＝12，a+b＝4，则a﹣b＝ ．
【变式1】若a2﹣b2＝10，a﹣b＝2，则a+b的值为（ ）
A．5 B．2 C．10 D．无法计算
【变式2】已知x2﹣y2＝﹣1，x+y＝ ，则x﹣y＝ ．
【变式3】若a+b＝3，则a2﹣b2+6b的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【变式4】已知m﹣n＝1，则m2﹣n2﹣2n的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
题型03 利用平方差公式简便运算
【典例1】用简便方法计算103×97时，变形正确的是（ ）
A．1002﹣3 B．1002﹣32
C．1002+2×3×100+3 D．1002﹣2×100+32
【变式1】20132﹣2012×2014的计算结果是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【变式2】利用平方差公式计算：
（1）31×29； （2）9.9×10.1； （3）98×102； （4）1003×997．
【变式3】已知M＝20242，N＝2023×2025，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定
【变式4】计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…+20012﹣20022+20032﹣20042＝
【变式5】计算： … ．
题型04 平方差公式的几何意义
【典例1】如图①，从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形；如图②，然后将剩余部分拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（ ）
A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+2ab+b2＝（a+b）2
【变式1】如图，阴影部分是在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将
阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列2种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（ ）
A．① B．② C．①② D．①②都不能
【变式2】王大爷改建一个边长为x（x＞3）米的正方形养殖场，计划正方形养殖场纵向增加3米，横向减
少3米，则改建后养殖场面积的变化情况是（ ）
A．面积减少3m2 B．面积减少9m2
C．面积增加3m2 D．面积增加9m2
【变式3】如图，边长为（a+3）的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长
方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是（ ）
【变式3】 【变式4】
A．2a+3 B．2a+6 C．a+3 D．a+6
【变式4】如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是（ ）
A．80 B．40 C．20 D．10
1．下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）A．（y+2x）（2x﹣y） B．（﹣x﹣3y）（x+3y）
C．（2x2﹣y2）（2x2+y2） D．（4a+b）（4a﹣b）
2．已知x﹣y＝5，则x2﹣y2﹣10y的值是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
3．若（a+1）（a﹣1）＝35，则a的值为（ ）
A．±6 B．±3 C．6 D．3
4．已知：a+b＝3，a﹣b＝1，则a2﹣b2等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．计算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4+b4）等于（ ）
A．a4﹣b4 B．a6+b6 C．a6﹣b6 D．a8﹣b8
6．若一个正方形的边长增加2cm，则面积相应增加了32cm2，那么这个正方形的边长为（ ）
A．6 cm B．5 cm C．8 cm D．7 cm
7．若（x+y+1）（x+y﹣1）＝8，则x+y的值为（ ）
A．3 B．±3 C．﹣3 D．±5
8．如图，从边长为a+1的正方形纸片中剪去一个边长为a﹣1的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线剪开，
再拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（ ）
A．4a B．2a C．a2﹣1 D．2
9．如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为（a+2）的小正方形（a＞2），将剩余部分剪开，密铺
成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（ ）
A．3a2﹣4 B．2a2+4a C．3a2﹣4a﹣4 D．3a2+4a+4
10．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16
＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．255024 B．255054 C．255064 D．250554
11．给出下列式子：
①（x﹣y）（x+y）；②（x+y）（y﹣x）；③（y﹣x）（﹣y﹣x）；④（﹣x+y）（x﹣y）；⑤（﹣x
﹣y）（x+y）；⑥（﹣x﹣y）（x﹣y），其中，符合平方差特征的有 （填序号）．12．计算 ＝ ．
13．一个长方形的长为（2a+3b），宽为（2a﹣3b），则长方形的面积为 ．
14．已知a2+a＝2，则代数式（a+2）（a﹣2）+a（a+2）值为 ．
15．两个小长方形如图①摆放，重叠部分是边长为b的正方形，阴影部分的面积为S，四个小长方形如图
②摆放，左上角形成的是边长为b的正方形，此阴影部分面积为S ，另一阴影部分的面积为S ，则S，
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S ，S 之间的数量关系为 ．
1 2
16．运用平方差公式计算．
①（3a+b）（3a﹣b） ②（﹣x+2y）（﹣x﹣2y）
③（ a﹣b）（﹣ a﹣b） ④59.8×60.2 ⑤（2x﹣3y）（3y+2x）﹣（4y﹣3x）（3x+4y）
17．利用乘法公式计算：
（1）（2+1）（22+1）（24+1）； （2）1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．
18．观察下面的式子；a ＝32﹣12，a ＝52﹣32，a ＝72﹣52，…
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（1）请用含n的式子表示a ；（n为大于0的自然数）
n
（2）探究a 是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论．
n19．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如
图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C、a2+ab＝a（a+b）
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．
②计算：（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）…（1﹣ ）（1﹣ ）．
20．探究题．
（1）计算下列各题：
①（x﹣1）（x+1）；
②（x﹣1）（x2+x+1）；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）；
④（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；
…
（2）猜想：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）的结果是什么？
（3）证明你的猜想是否正确．
