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第28章 锐角三角形
（知识达标卷）
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．已知 为锐角，且 ，那么 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解∶∵ 为锐角， ，
∴ ．
故选：D
2．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点， 的顶点都在格点上，则图中
的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【详解】由图可知，
，
，
，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，∴
故选：A
3．如图，在 中， ， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解： ，
则 ，
故选：B．
4．在 中， ， ， ，那么 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图所示，由正弦函数定义有： ，
；
故选：A．
5．在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图），固定点A离地面的高度 ，钢管与地面所
成角 ，那么钢管AB的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：在 中， ，
，
故选：A．
6．半径相同的正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ）
A． ：1 B．3：2：1 C．3：4：6 D．
【答案】A
【详解】解：设圆的半径为R，
如图1，连接 ，过O作 于D，
则 ，
∴ ，
∴ ；
如图2，连接 过O作 于E，
则 是等腰直角三角形，
∴ ，即 ，
∴ ；
如图3，连接 ，
，
是等边三角形，
∴圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 ．
故选：A．7．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房 的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房 顶
部点D的仰角为45°，向前走20米到达 处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器 的高度为1.6米，
则楼房 的高度约为（ ）．（结果精确到0.1米， ）
A．34.14米 B．34.1米 C．35.7米 D．35.74米
【答案】C
【详解】解：如图所示，过点B作 于F，过点 作 于E，
由题意得四边形 是矩形， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
故选C．8．如图，沿 的方向开山修路，为了加快速度，要在小山的另一边同时施工，从 上取一点 ，取
，测得 ， ，点 、 、 在同一直线上，那么开挖点 离点 的距离是
（ ）米．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：A．
9．在 中， 为锐角，满足 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A10．周末嘉嘉和琪琪相约一起去大明湖公园游玩，如图，嘉嘉先到公园，当他走到 处的一棵大树下时，
接到刚到公园入口 处的琪琪来电，通过手机地图显示此时嘉嘉在琪琪北偏东 方向上，且他们的距离
为 米，两人商量准备去位于嘉嘉正西方向 处的凉亭休息，已知凉亭在入口的西北方向上，则嘉嘉
走到凉亭 处的路程为（ ）
A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
【答案】A
【详解】解：如图所示，过点 作 于
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴在 中， 米，
∴ （米），
（米），
∴ 米，
∴ （米），
故选： .
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若 ，则锐角 ______°．【答案】45
【详解】解： ，
，
，
故答案为：45．
12．在 中， ， ， ，则 _______
【答案】 ##0.5
【详解】解：如图所示，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
13．在 中，若 ， ， ， 都是锐角，则 是______三角形．
【答案】等边
【详解】解： 在 中，
， ，
且 ， 都是锐角，
， ，
是等边三角形．
故答案为：等边．
14．生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当 时（ 为梯子与地面所成的角），能够使人安全攀爬．现
在有一长为 米的梯子 ，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的高度 ________．（结果精确到 米．参考数据： ， ， ）
【答案】 米
【详解】 梯子、地面、墙恰好构成直角三角形， ， ，
（米），
故答案为：5.5米．
15．如图，点P，A，B，C在同一平面内，点A，B，C在同一直线上，且 ，在点A处测得点P
在北偏东 方向上，在点B处测得点P在北偏东 方向上，若 千米，则A，B两点的距离为
______千米．（结果保留根号）
【答案】
【详解】解：∵ ，在点A处测得点P在北偏东 方向上，
∴ ， ，
∵ 千米，
∴ 千米， 千米，
∵在点B处测得点P在北偏东 方向上，
∴ ，
∴ 千米，
∴ 千米，
故答案为： ．
16．一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作 、 ，且迎水坡 的坡度为 ，背水坡
的坡度为 ，则迎水坡 的坡角________背水坡 的坡角．（填“大于”或“小于”）【答案】大于
【详解】解：∵迎水坡 的坡度为 ，背水坡 的坡度为 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即迎水坡 的坡角大于背水坡 的坡角．
故答案为：大于．
三、解答题（本大题共6题，满分52分）
17．（6分）计算：
【答案】1
【详解】
，
，
．
18．（8分）如图，从热气球 上测得两建筑物 、 底部的俯角分别为 和 度．如果这时气球的高
度 为 米．且点 、 、 在同一直线上，求建筑物 、 间的距离．
【答案】 米
【详解】解：由已知，得 ， ， ，
， 于点 ．
， ．在 中， ， ，
．
在 中， ， ，
．
．
答：建筑物 、 间的距离为 米．
19．（8分）如图，从水平面看一山坡上的通讯铁塔 ，在点A处用测角仪测得塔顶端点P的仰角是 ，
向前走9米到达B点，用测角仪测得塔顶端点P和塔底端点C的仰角分别是 和 ．
(1)求 的度数；
(2)求该铁塔 的高度．（结果精确到0.1米；参考数据： 1， ）
【答案】(1)
(2)该铁塔 的高度约为 米
【详解】（1）解：延长 交直线 于点F，则 ，
依题意得 ， ， ，
∴ ；
（2）由（1）知 ，设 米，则 米，
在 中， 米， 米，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ （米），
即该铁塔PC的高度约为14.2米．
20．（8分）如图，一座山的一段斜坡 的长度为 米，且这段斜坡的坡度 ．已知在地面B处
测得山顶A的仰角为 ，在斜坡D处测得山顶A的仰角为 ．求山顶A到地面 的高度 是多少米？
【答案】 米
【详解】解：作 于H， 于点E，则 ，
设 米．
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴
∴ 米， 米，在 中，∵ ，
∴ 米，
∵又 ，
∴ 米， 米，
在 中， ，
∴ ，
即 米，
∴ 米
答：山顶A到地面 的高度 是 米．
21．（10分）如图，在 中， ， ，垂足为D， ， ．
(1)求 的长；
(2)求 的正切值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【详解】（1）解：在 中， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
22．（12分）如图，在 中， 是边 的中点， ，垂足为点E．已知
．
(1)求线段 的长；
(2)求 的值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为直角三角形，D是边 的中点，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 为直角三角形，D是边 的中点，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
