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第一章 有理数
考试时间:120分钟 满分：120分
一、单选题（每小题3分，共18分）
1．（2022·广东深圳·中考真题）下列互为倒数的是（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【答案】A
【分析】根据互为倒数的意义，找出乘积为1的两个数即可．
【详解】解：A．因为 ，所以3和 是互为倒数，因此选项符合题意；
B．因为 ，所以 与2不是互为倒数，因此选项不符合题意；
C．因为 ，所以3和 不是互为倒数，因此选项不符合题意；
D．因为 ，所以 和 不是互为倒数，因此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了倒数，解题的关键是理解互为倒数的意义是正确判断的前提，掌握“乘积为1的两个
数互为倒数”．
2．（2020·山东枣庄·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用a，b在数轴上位置进而分别分析得出答案．
【详解】解：由数轴上a与1的位置可知： ，故选项A错误；
因为a＜0，b＞0，所以 ，故选项B错误；
因为a＜0，b＞0，所以 ，故选项C错误；
因为a＜0，则 ，故选项D正确；
故选：D．【点睛】此题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正误，正确结合数轴分析是解题关键．
3．华为最新款手机芯片“麒麟990”是一种微型处理器，每秒可进行100亿次运算，它工作2022秒可进行
的运算次数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同，题中：1亿 ．
【详解】解：100亿 ， ，
故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（2020·内蒙古·中考真题）点A在数轴上，点A所对应的数用 表示，且点A到原点的距离等于3，
则a的值为（ ）
A． 或1 B． 或2 C． D．1
【答案】A
【分析】根据绝对值的几何意义列绝对值方程解答即可．
【详解】解：由题意得：|2a+1|=3
当2a+1＞0时，有2a+1=3，解得a=1
当2a+1＜0时，有2a+1=-3，解得a=-2
所以a的值为1或-2．
故答案为A．
【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义列出绝对值方程并求解是解答本题的关键．
5．对于有理数x，y，若 ，则 的值是（ ）．
A． B． C．1 D．3
【答案】B
【分析】由 ，可得 异号，再分两种情况讨论，当 时， 当 时，再化简绝对值
即可得到答案.【详解】解： ，
异号，
当 时，
当 时，
故选B
【点睛】本题考查的是绝对值的化简，有理数的乘法与除法的符号确定，除法运算，掌握“绝对值的化
简”是解本题的关键.
6．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为36，我们发现第1次输出的结果为18，第2次输出的结
果为9，……则第2022次输出的结果为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
【答案】B
【分析】根据设计的程序进行计算可以发现其中的规律，遵循规律即可求出第2022次输出的结果．
【详解】解：通过程序可以发现第1次输出的结果为18，第2次输出的结果为9，第3次输出的结果为
12，第4次输出的结果为6，第5次输出的结果为3，第6次输出的结果为6，第7次输出的结果为3，第8
次输出的结果为6，
∴从第4次输出开始，当是偶数次输出时结果为6，奇数次输出时结果为3，
∴第2022次输出的结果为6，
故选：B．
【点睛】本题考查在程序流程图中有理数的计算，解题的关键是发现其中的规律，利用规律进行解答．
二、填空题（每小题3分，共18分）7．（2019·新疆·哈密市第四中学七年级期中）若 与 互为相反数，则a+b=___．
【答案】5
【分析】根据几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0列出算式，求出a、b的值，代入计算即可．
【详解】由题意得，|a−2|＋ ＝0，
a−2＝0，b-3＝0，
解得，a＝2，b＝3，
∴a＋b＝5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
8．（2021·河南省实验中学七年级阶段练习）若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为___________．
【答案】3
【分析】根据相反数的定义可得|a﹣1|+|b﹣2|=0，再通过“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于
0”，计算出a和b的值，即可得出结果．
【详解】 |a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，
|a﹣1|+|b﹣2|=0，
，
解得 ，
，
故答案为：3．
【点睛】本题重点考查了绝对值的非负性，属于基础题，记住“几个非负数之和等于0，则每个非负数都
等于0”是解题关键．
9．如果向东80米记作+80米，那么向西60米记作___________米．
【答案】-60
【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：向东记为正，则向西就记为负，直接得出结论
即可．
【详解】解：如果向东行走80米记作+80米，那么向西行走60米，应记作-60米．
故答案为：-60．【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它
意义相反的就为负．
10．在一次数学活动课上，某数学老师将1～10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只
写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱
这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁、戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要
求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：
15；丁：8；戊：17，则丙同学手里拿的卡片的数字是_________．
【答案】5和10
【分析】根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐
一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可．
【详解】解：由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片，
∴每人手里的数字不重复．
由甲：11，可知甲手中的数字可能是1和10，2和9，3和8，4和7，5和6；
由乙：4，可知乙手中的数字只有1和3；
由丙：15，可知丙手中的数字可能是5和10，7和8，6和9；
由丁：8，可知丁手中的数字可能是1和7，2和6，3和5；
由戊：17，可知戊手中的数字可能是7和10，8和9；
∴丁只能是2和6，甲只能是4和7，丙只能是5和10，戊只能是8和9．
故答案为：5和10．
【点睛】本题考查的是有理数加法的应用，关键是把所有可能的结果列举出来，再进行推理．
11．若a，b互为相反数，则（a+b﹣1）2016＝_____．
【答案】1
【分析】根据相反数的性质得a+b=0，再代入进行计算即可．
【详解】解：∵a，b互为倒数，
∴a+b=0，
∴（a+b﹣1）2016＝ ，
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查相反数的性质和有理数的乘方，关键是正确理解相反数的性质．
12．（2020·湖北·云梦县实验外国语学校七年级期末）已知a、b为有理数，下列说法：①若a、b互为相反数，则“ ＝﹣1；②若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a；③若a+b＜0，ab＞0，则|3a+4b|＝﹣3a﹣4b；④若|a|
＞|b|，则（a+b）•（a﹣b）是正数，其中正确的序号是 _____．
【答案】③④##④③
【分析】根据相反数的性质和绝对值的性质判断即可；
【详解】∵若a、b互为相反数，
∴ ，
∴当a，b不为0时， ＝﹣1，故①不正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②错误；
∵a+b＜0，ab＞0，
∴a＜0，b＜0， ＜0 ，
∴|3a+4b|＝﹣3a﹣4b，
故③正确；
∵|a|＞|b|，
∴ ，
∴ ，
∴（a+b）•（a﹣b） ，故④正确；
∴正确的是③④．
故答案是③④．
【点睛】本题主要考查了相反数的性质，绝对值的性质，准确分析判断是解题的关键．
三、解答题（每小题6分，共30分）
13．计算：
（1）（﹣4）3；
（2）（﹣2）4；
（3） ．【答案】（1）﹣64；（2）16；（3）
【详解】【分析】（1）根据有理数的乘方运算法则进行计算求解；
（2）根据有理数的乘方运算法则进行计算求解；
（3）根据有理数的乘方运算法则进行计算求解．
（1）（﹣4）3
＝（﹣4）×（﹣4）×（﹣4）
＝﹣64；
（2）（﹣2）4
＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）
＝16；
（3）
．
14．（2020·安徽·合肥38中七年级阶段练习）计算
（1） ；
（2）[ ÷(－ )× ]4－3×(－3)3－(－5)2．
【答案】（1）2；（2）137
【分析】（1）先计算乘方，去绝对值把除法变为乘法，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）先把除法变为乘法，再算乘方，最后计算除法，即可求解．
【详解】解：（1）原式=-1+（-2）×3+9=2；
（2）原式=[ ]4－3×(－3)3－(－5)2 =81+81-25=137.
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键．
15．有6筐白菜，以每筐25千克为标准质量，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称量后的
记录如下：请回答下列问题：
（1）这6筐白菜中最接近标准质量的这筐白菜为 千克．
（2）与标准质量相比，这6筐白菜总计超过或不足多少千克？
【答案】（1）24.5；（2）与标准质量相比，这6筐白菜总计不足1千克．
【分析】（1）绝对值最小的数，就是最接近标准重量的数；
（2）求出记录八个数的和即可．
【详解】解：（1）最接近的是：绝对值最小的数，因而是 （千克）；
故答案是24.5；
（2）
答：与标准质量相比，这6筐白菜总计不足1千克．
【点睛】本题考查正数和负数表示某种意义的量，绝对值的应用、有理数的加减法运算，掌握运算法则是
关键．
16．我们知道数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如|3-1|可表示为数轴上3和1这两点的距离，
而 即 则表示3和-1这两点的距离．式子 的几何意义是数轴上x所对应的点与1所对应的
点之间的距离，而 ，所以 的几何意义就是数轴上x所对应的点与-2所对应的点之间
的距离．根据以上发现，试探索：
(1)直接写出 ____________．
(2)结合数轴，找出所有符合条件的整数x， 的所有整数的和．
(3)由以上探索猜想，对于任何有理数x， 是否有最小值？如果有，请写出最小值并说明理由；
如果没有，请说明理由．
【答案】(1)10
(2)-3，-2，-1，0，1，2，和为-3
(3)有，10【分析】（1）根据有理数减法法则计算；
（2）分析得到 表示x与2的距离， 表示x与-3的距离，由 ，确定 ，
进而解答；
（3）设-4表示点A，6表示点B，x表示点P，则 ，分三种情况：当P在点A左侧时，当P
在点B右侧时，当P在A、B之间时，分别求出最小值解答．
（1） 10，故答案为10；
（2） 表示x与2的距离， 表示x与-3的距离，∵ ，∴ ，∴整数
x=-3，-2，-1，0，1，2，和为-3-2-1+0+1+2=-3；
（3） 有最小值10，理由如下：设-4表示点A，6表示点B，x表示点P，则 ，
当P在点A左侧时， ，当P在点B右侧
时， ，当P在A、B之间时，
，∴ 的最小值为10．
【点睛】此题考查了数轴上两点之间的距离，有理数绝对值计算，正确理解题中两点之间的距离计算是解
题的关键．
17．某汽车制造厂计划每周生产400辆新能源汽车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际
每日产量与计划量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减（辆） +15 +17 -2 +11 +14 -15 -12
(1)本周实际产量与计划产量相比，是增加了还是减少了？是多少？
(2)若生产此款新能源汽车每辆利润约为0.2万元，求本周该厂家生产车辆的总利润．
【答案】(1)本周实际产量与计划产量相比，是增加了，本周的实际产量为428辆车(2)本周该厂家生产车辆的总利润是85.6万元
【分析】（1）把这七天的数据相加，如果结果为正则实际产量产量增加，如果结果为负，则实际产量减
小，然后根据计划每天产量为400辆求出实际产量即可；
（2）根据利润=单件利润×数量求解即可．
（1）解：∵ ，∴本周实际产量与计划产量相比，是增加了，∵
，∴本周的实际产量为428辆车；
（2）解： 万元，∴本周该厂家生产车辆的总利润是85.6万元．
【点睛】本题主要考查了有理数混合计算的应用，有理数乘法的应用，有理数加法的应用，正确理解题意
是解题的关键．
四、解答题（每小题8分，共24分）
18．聪聪和慧慧为了合理计划自己的开支，每天坚持记录自己当天的收支情况如下表，是她们上周各天收
支情况（记收入为正，单位：元）
一 二 三 四 五 六 日 结余
聪聪 10 －5.20 0 －4.80 5 －3 －2
慧慧 8 0 0 －6 －1 0 0
根据上表回答下列问题：
(1)分别说出聪聪这一行中10，0，－2各数的实际意义．
(2)把上表补充完整．
【答案】(1)见解析
(2)-4，1
【分析】（1）10意义是收入10元，0意义是收支平衡，-2意义是支出了2元．
（2）先计算聪聪本周日的收支数等于本周的结余数-2减去周一到周六的收支总和，结果为-4，慧慧本周的
结余数等于本周一到周日的收支总和，结果为1，然后填入下表．
（1）
10是收入10元，0是收支平衡，-2是支出了2元．
（2）聪聪周日的收支情况为：-2-（10-5.20+0-4.80+5-3）=-2-2=-4，
慧慧本周的结余情况为：8+0+0-6-1+0+0=1，
根据计算完成下表
一 二 三 四 五 六 日 结余
聪聪 10 －5.20 0 －4.80 5 －3 -4 －2
慧慧 8 0 0 －6 －1 0 0 1
【点睛】本题考查了有理数加减的应用，解决问题的关键是清楚知道收支的正负，熟练进行有理数的加减
运算．（1）按收入为正，支出为负回答．（2）先计算出聪聪本周日的收支数据，慧慧本周的结余数据，
而后填表．
19．如图，在数轴上，点A、B分别表示数2、﹣2x+6．
(1)若x＝﹣2，则点A、B间的距离是多少？
(2)若点B在点A的右侧：
① 求x的取值范围；
② 表示数﹣x+4的点应落在（ ）（填序号）
A．点A左边 B．线段AB上 C．点B右边
【答案】(1)8
(2)B
【分析】（1）由x＝﹣2解得B的坐标，再根据数轴上两点间的距离解答；
（2）由点B在点A的右侧，得到﹣2x+6＞2，解得x＜2，继而得到数轴上表示数﹣x+4的点应落在点A的
右边，在点B的左边，由此解题．
（1）
解：当x＝﹣2，﹣2x+6=10
∵点A、B分别表示数2、10，
∴AB＝10﹣2＝8；
（2）
①∵点B在点A右侧，∴﹣2x+6＞2，解得x＜2；
②∵x＜2，∴﹣x＞﹣2，则﹣x+4＞2，
∴数轴上表示数﹣x+4的点应落在点A的右边，
又∵（﹣x+4）﹣（﹣2x+6）＝x﹣2＜0，
∴﹣x+4＜﹣2x+6，即数轴上表示数﹣x+4的点在点B的左边，
∴数轴上表示﹣x+4的点落在线段AB上，
故答案为：B．
【点睛】本题考查数轴、数轴上两点间的距离、分类讨论法等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关
键．
20．（2021·江西·崇义县章源实验中学七年级期中）计算：已知|m|＝1，|n|＝4．
（1）当mn＜0时，求m+n的值；
（2）求m﹣n的最大值．
【答案】（1）±3；（2）m﹣n的最大值是5．
【分析】由已知分别求出m=±1，n=±4；
（1）由已知可得m=1，n=﹣4或m=﹣1，n=4，再求m+n即可；
（2）分四种情况分别计算即可．
【详解】∵|m|=1，|n|=4，
∴m=±1，n=±4；
（1）∵mn＜0，
∴m=1，n=﹣4或m=﹣1，n=4，
∴m+n=±3；
（2）分四种情况讨论：
①m=1，n=4时，m﹣n=﹣3；
②m=﹣1，n=﹣4时，m﹣n=3；
③m=1，n=﹣4时，m﹣n=5；
④m=﹣1，n=4时，m﹣n=﹣5；
综上所述：m﹣n的最大值是5．
【点睛】本题考查了有理数的运算，绝对值的运算；掌握有理数和绝对值的运算法则，能够正确分类是解
题的关键．
五、解答题（每小题9分，共18分）
21．（2020·重庆市育才中学七年级期中）小王早上驾驶出租车从公司出发，一直沿着东西方向的大街行驶，直到中午12时，如果规定向东为正，向西为负，那么当天的行驶记录如下(单位：千米)+12，-8，+9，-
15，+8，-10，-7，+14，-17
(1)到中午12时，出租车到达的地方在公司的哪个方向？距公司多远？
(2)若出租车每千米耗油0.08L，则从公司出发到中午12时，出租车共耗油多少升？若每升汽油6.8元，则
小王今天一共花了多少汽油费？
【答案】（1）出租车到达的地方在公司西方，距公司14千米；（2）从公司出发到中午12时，出租车共
耗油8升，小王今天一共花了54.4元汽油费．
【分析】（1）首先把题目的已知数据相加，然后根据结果的正负即可确定出租车到达的地方在公司何方，
相距多少千米；
（2）首先把所给的数据的绝对值相加，然后乘以0.08即可得到共耗油多少升，再用耗油的升数乘以6.8即
可得到小王今天一共花了多少汽油费．
【详解】解：（1）+12-8+9-15+8-10-7+14-17=-14（千米）
故，出租车到达的地方在公司西方，距公司14千米；
（2）|+12|+|-8|+|9|+|-15|+|8|+|-10|+|-7|+|14|+|-17|
=12+8+9+15+8+10+7+14+17
=100(千米)
100×0.08=8(L)
8×6.8=54.4(元 ) ．
答：从公司出发到中午12时，出租车共耗油8升，小王今天一共花了54.4元汽油费．
【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算、正数和负数的意义及绝对值，关键是熟练掌握有理数的加法
法则及正负数的意义即可解决问题．
22．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2BC，设点A，B，C所对应数的和是
m．
（1）若点C为原点，BC＝1，则点A，B所对应的数分别为 ， ，m的值为 ；
（2）若点B为原点，AC＝6，求m的值．
（3）若原点O到点C的距离为8，且OC＝AB，求m的值．
【答案】（1）﹣3，﹣1，﹣4；（2）﹣2；（3）8或-40．
【分析】（1）根据数轴上的点对应的数即可求解；
（2）根据数轴上原点的位置确定其它点对应的数即可求解；（3）根据原点在点C的右边先确定点C对应的数，进而确定点B、点A所表示的数即可求解．
【详解】解：（1）∵点C为原点，BC＝1，
∴B所对应的数为﹣1，
∵AB＝2BC，
∴AB＝2，
∴点A所对应的数为﹣3，
∴m＝﹣3﹣1+0＝﹣4；
故答案为：﹣3，﹣1，﹣4；
（2）∵点B为原点，AC＝6，AB＝2BC，AB+BC=AC，∴AB=4，BC=2，
∴点A所对应的数为﹣4，点C所对应的数为2，
∴m=﹣4+2+0＝﹣2；
（3）∵原点O到点C的距离为8，
∴点C所对应的数为±8，
∵OC＝AB，
∴AB＝8，
当点C对应的数为8，
∵AB＝8，AB＝2BC，
∴BC＝4，
∴点B所对应的数为4，点A所对应的数为﹣4，
∴m＝4﹣4+8＝8；
当点C所对应的数为﹣8，
∵AB＝8，AB＝2BC，
∴BC＝4，
∴点B所对应的数为﹣12，点A所对应的数为﹣20，
∴m＝﹣20﹣12﹣8＝﹣40．
【点睛】本题考查了数轴，解决本题的关键是数形结合思想的灵活运用．
六、解答题（本大题共12分）
23．（2020·山东·济南外国语学校七年级期中）【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如 等．类比有理数的乘方，我
们把 记作 ，读作“2的下3次方”，一般地，把 个 相除记作 ，读作“ 的下 次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果： __________．
（2）关于除方，下列说法正确的选项有__________（只需填入正确的序号）；
①任何非零数的下2次方都等于1；
②对于任何正整数 ， ；
③ ；
④负数的下奇数次方结果是负数，负数的下偶数次方结果是正数．
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如
何转化为乘方运算呢？
例如： （幂的形式）
（1）试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式．
； ；
（2）算一算：
【答案】【初步探究】（1） ；（2）①②④；【深入思考】（1） ， ；（2）
【初步探究】（1）根据题意，可以写出所求式子的结果；
（2）根据题意和题目中的式子可以判断出各个小题中的式子是否正确；
【深入思考】（1）根据题目中的例子，可以计算出所求式子的结果；
（2）根据题目中的例子可以计算出所求式子的结果．
【详解】解：【初步探究】（1）23=2÷2÷2= ，
故答案为： ；（2）∵n2=n÷n=1（n≠0），故①正确；
对于任何正整数n，1n=1÷1÷1÷…÷1=1，故②正确；
，
，
∴ ，故③错误；
负数的下奇数次方结果是负数，负数的下偶数次方结果是正数，故④正确；
故答案为：①②④；
【深入思考】（1） ，
，
故答案为： ， ；
（2）
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，充分理解新定义是解题的关键．
