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第七章 平面直角坐标系提优测试卷（解析版）
总分 150分 时间120分钟
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在平面直角坐标系内，下列各点中在第二象限的点是（ ）
A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2）
思路引领：根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、（3，2）在第一象限，故本选项错误；
B、（3，﹣2）在第四象限，故本选项错误；
C、（﹣3，2）在第二象限，故本选项正确；
D、（﹣3，﹣2）在第三象限，故本选项错误．
故选：C．
总结提升：本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四
个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限
（+，﹣）．
2．线段AB两端点坐标分别为A（﹣1，4），B（﹣4，1），现将它向左平移4个单位长度，得到线段
A B ，则A ，B 的坐标分别为（ ）
1 1 1 1
A．A （﹣5，0），B （﹣8，﹣3） B．A （3，7），B （0，5）
1 1 1 1
C．A （﹣5，4），B （﹣8，1） D．A （3，4），B （0，1）
1 1 1 1
思路引领：直接利用平移中点的变化规律求解即可．
解：线段向左平移4个单位长度，即让原横坐标都减4，纵坐标不变即可，A 的横坐标为：﹣1﹣4＝﹣
1
5；B 的横坐标为：﹣4﹣4＝﹣8．则A ，B 的坐标分别为A （﹣5，4），B （﹣8，1），故选C．
1 1 1 1 1
总结提升：本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐
标不变．平移变换是中考的常考点，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，
下移减．
3．点P（2﹣a，2a﹣1）在第四象限，且到y轴的距离为3，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
思路引领：首先根据点P（x，y）在第四象限，且到y轴的距离为3，可得点P的横坐标是3，可得2﹣
a＝3，据此可得a的值．
解：∵点P（2﹣a，2a﹣1）在第四象限，且到y轴的距离为3，
∴点P的横坐标是3；∴2﹣a＝3，
解答a＝﹣1．
故选：A．
总结提升：此题主要考查了点的坐标，关键是掌握到x轴的距离＝纵坐标的绝对值，到y轴的距离＝横
坐标的绝对值．
4．如图中的一张脸，小明说：“如果我用（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼”，那么嘴的位置可
以表示成（ ）
A．（0，1） B．（2，1） C．（1，0） D．（1，﹣1）
思路引领：先根据左眼和右眼所在位置点的坐标画出直角坐标系，然后写出嘴的位置所在点的坐标即可．
解：如图，
嘴的位置可以表示成（1，0）．
故选：C．
总结提升：本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置
点的坐标特征．
5．已知点A（﹣3，2m+3）在x轴上，点B（n﹣4，4）在y轴上，则点C（m，n）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
思路引领：直接利用x轴以及y轴上点的坐标得出m，n的值，进而得出答案．
解：∵点A（﹣3，2m+3）在x轴上，点B（n﹣4，4）在y轴上，
∴2m+3＝0，n﹣4＝0，
3
解得：m=− ，n＝4，
2
则点C（m，n）在第二象限．故选：B．
总结提升：此题主要考查了点的坐标，正确得出m，n的值是解题关键．
6．点（a﹣1，3）在y轴上，则a的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．3
思路引领：根据y轴上点的横坐标为0列式计算即可得解．
解：∵点（a﹣1，3）在y轴上，
∴a﹣1＝0，
∴a＝1，
故选：C．
总结提升：本题考查了点的坐标，熟记y轴上点的横坐标为0是解题的关键．
7．如图，线段AB经过平移得到线段A B ，若点A （3，0）、B （0，﹣4）、A（﹣1，2），则点B的坐
1 1 1 1
标为（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣4，﹣1） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣2，﹣2）
思路引领：直接利用平移中点的变化规律求解即可．
解：∵A （3，0）、A（﹣1，2），
1
∴求原来点的坐标，则为让新坐标的横坐标都减4，纵坐标都加2．
则点B的坐标为（﹣4，﹣2）．
故选：C．
总结提升：此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握点的坐标的变化规律．
8．在平面直角坐标系中，坐标原点O是线段AB的中点，若点A的坐标为（﹣1，2），则点B的坐标为（
）
A．（2，﹣1） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（﹣2，1）
1 1
思路引领：根据中点坐标公式[ （x +x ）， （y +y ）]代入计算即可．
A B A B
2 2
解：设点B的坐标为（x，y），∵点A的坐标为（﹣1，2），−1+x 2+ y
∴ =0， =0，
2 2
∴x＝1，y＝﹣2，
∴点B的坐标为（1，﹣2），
故选：C．
总结提升：本题考查坐标与图形的性质，记住中点坐标公式是解决问题的关键，代入计算时注意符号问
题．
9．如图，建立适当的直角坐标系后，正方形网格上B、C的坐标分别为（0，1），（1，﹣1），那么点A
的坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（1，﹣2）
思路引领：直接利用已知点位置得出原点位置进而得出答案．
解：如图所示：
点A的坐标为：（﹣1，2）．
故选：A．
总结提升：此题主要考查了点的坐标，正确得出原点位置是解题关键．
10．如图，动点P在平面直角坐标系中按“→”所示方向跳动，第一次从 A（﹣1，0）跳到点P （0，
1
1），第二次运动到点P （1，0），第三次运动到P （2，﹣2），第四次运动到P （3，0），第五运动
2 3 4
到P （4，3），第六次运动到P （5，0），第七次跳到P （6，﹣4），第八次跳到P （7，0），第九
5 6 7 8
次跳到P （8，5），…，按这样的跳动规律，点P 的坐标是（ ）
9 2021A．（2020，﹣1011） B．（2021，﹣1011）
C．（2020，1011） D．（2020，﹣1010）
思路引领：观察图象，结合动点P第一次从A（﹣1，0）跳到点P （0，1），第二次运动到点P （1，
1 2
0），第三次运动到P （2，﹣2），第四次运动到P （3，0），第五运动到P （4，3），第六次运动到
3 4 5
P （5，0），第七次跳到P （6，﹣4），第八次跳到P （7，0），第九次跳到P （8，5），…，的出
6 7 8 9
规律．
解：观察图象，结合动点P第一次从A（﹣1，0）跳到点P （0，1），第二次运动到点P （1，0），第
1 2
三次运动到P （2，﹣2），第四次运动到P （3，0），第五运动到P （4，3），第六次运动到P （5，
3 4 5 6
0），第七次跳到P （6，﹣4），第八次跳到P （7，0），第九次跳到P （8，5），…，
7 8 9
横坐标为：0，1，2，3，4，5，6，.....，
纵坐标为：1，0，﹣2，0，3，0，﹣4，0，5，0，﹣6，
n+1 n+1
可知P 的横坐标为n﹣1，当n为偶数时纵坐标为0，当n为奇数时，纵坐标为| |，当 为偶数时
n
2 2
n+1
符号为负，当 为奇数时符号为正，
2
2021+1
∴P 的横坐标为2020，纵坐标为 =1011，
2021
2
故选：C．
总结提升：本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．）
11．在平面直角坐标系内，把点 P（﹣5，﹣2）先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后得
到的点的坐标是 ．
思路引领：直接利用平移中点的变化规律求解即可．
平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
解：原来点的横坐标是﹣5，纵坐标是﹣2，向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位得到新点的横坐标是﹣5﹣2＝﹣7，纵坐标为﹣2+4＝2．
得到的点的坐标是（﹣7，2）．
故答案为：（﹣7，2）．
总结提升：本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动
改变点的纵坐标，下减，上加．
12．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移后得到三角形A′B′C′，且平移前后三角形的顶
1 1
点坐标都是整数．若点P（ ，− ）为三角形ABC内部一点，且与三角形A′B′C′内部的点P′对
2 5
应，则对应点P′的坐标是 ．
思路引领：依据对应点的坐标变化，即可得到三角形ABC向左平移2个单位，向上平移3个单位后得到
三角形A′B′C′，进而得出点P′的坐标．
解：由图可得，C（2，0），C'（0，3），
∴三角形ABC向左平移2个单位，向上平移3个单位后得到三角形A′B′C′，
1 1
又∵点P（ ，− ）为三角形ABC内部一点，且与三角形A′B′C′内部的点P′对应，
2 5
1 1 3 14
∴对应点P′的坐标为（ −2，− +3），即P'（− ， ），
2 5 2 5
3 14
故答案为：（− ， ）．
2 5
总结提升：此题主要考查了坐标与图形变化，关键是注意观察组成图形的关键点平移后的位置．解题时
注意：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
13．（2022•烟台）观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用（1，3）表示，“炮”所在的位置
用（6，4）表示，那么“帅”所在的位置可表示为 ．14．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（0，﹣6），C（0，﹣1），当AD∥BC且AD
＝BC时，D点的坐标为 ．
思路引领：根据题意直接画出图形，进而分类讨论得出答案．
解：如图所示：
∵AD∥BC且AD＝BC，
∴D点的坐标为：（﹣2，8）或（﹣2，﹣2）．
故答案为：（﹣2，8）或（﹣2，﹣2）．
总结提升：此题主要考查了坐标与图形的性质，正确分类讨论是解题关键．
15．在直角坐标系中，△ABC经过平移得到△A′B′C′，已知△ABC中的一点P的坐标为（x，y），经
过平移后的对应点P′的坐标为（x+5，y﹣2）．如果点A的坐标为（﹣1，2），请写出对应点A′的坐
标为 ．
思路引领：平移是按照：向右平移5个单位，向下平移2个单位进行，从而可得出各顶点的坐标．
解：因为△ABC中的一点P的坐标为（x，y），经过平移后的对应点P′的坐标为（x+5，y﹣2）．
所以向右平移5个单位，向下平移2个单位进行，
点A的坐标为（﹣1，2），对应点A′的坐标为（4，0），
故答案为：（4，0），
总结提升：本题考查了平移的知识，解答本题需要我们能根据一个点的平移前后的坐标得出平移的规律．16．在平面直角坐标系中，一个点的横、纵坐标都是整数，并且它们的乘积为10，满足上述条件的点共有
个．
思路引领：设这个点的坐标为（x，y），则xy＝10，然后利用x、y为整数求出方程的整数解，从而确
定满足条件的点的个数．
解：设这个点的坐标为（x，y），则xy＝10，
因为x、y为整数，
所以x＝1，y＝10；x＝2，y＝5；x＝5，y＝2；x＝10，y＝1；x＝﹣1，y＝﹣10；x＝﹣2，y＝﹣5；x＝
﹣5，y＝﹣2；x＝﹣10，y＝﹣1；
所以这样的点共有8个．
故答案为8．
总结提升：本题考查了点的坐标：坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．记住各象限内点的
坐标特征．
17．（2022•眉山）将一组数√2，2，√6，2√2，…，4√2，按下列方式进行排列：
√2，2，√6，2√2；
√10，2√3，√14，4；
…
若2的位置记为（1，2），√14的位置记为（2，3），则2√7的位置记为 ．
思路引领：先找出被开方数的规律，然后再求得2√7的位置即可．
解：题中数字可以化成：
√2，√4，√6，√8；
√10，√12，√14，√16；
∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，
∵2√7=√28，28是第14个偶数，而14÷4＝3⋯2，
∴2√7的位置记为（4，2），
故答案为：（4，2）．
总结提升：本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力，把被开方数全部统一成二次根式
的形式是解题的关键．
18．已知在平面直角坐标系中，A（0，4），C（3，0），点B在坐标轴上，且△ABC的面积为10，则点B
的坐标为 ．
思路引领：点B在x轴上时，利用三角形的面积求出BC的长，再分点B在点C的左边与右边两种情况
写出点C的坐标；点B在y轴上时，利用三角形的面积求出AB的长，再分点B在点A的上方与下方两种情况写出点B的坐标即可．
解：点B在x轴上时，
BC＝10×2÷4＝5，
3﹣5＝﹣2，3+5＝8，
则点B的坐标为（﹣2，0），（8，0）；
点B在y轴上时，
20
AB＝10×2÷3= ，
3
20 8 20 32
4− =− ，4+ = ，
3 3 3 3
8 32
则点B的坐标为（0，− ），（0， ）．
3 3
8 32
综上所述，点B的坐标为（﹣2，0），（8，0），（0，− ），（0， ）．
3 3
8 32
故答案为：（﹣2，0），（8，0），（0，− ），（0， ）．
3 3
总结提升：本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，难点在于分情况讨论，坐标轴要分x轴与y轴
两种情况．
三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
19．（10分）已知点A（1+2a，4a﹣5），
（1）若点A到两坐标轴的距离相等，求点A的坐标．（2）若点A在坐标轴上，求点A的坐标．
思路引领：（1）根据点A到两坐标轴的距离相等，分两种情况讨论：1+2a与a﹣7相等；1+2a与a﹣7
互为相反数；
（2）分点A在x轴和y轴两种情况解答即可．
解：（1）根据题意，分两种情况讨论：
①1+2a＝4a﹣5，
解得：a＝3，
∴1+2a＝7，
∴点A的坐标为（7，7）；
②1+2a+4a﹣5＝0，
2
解得：a= ，
3
7
∴1+2a= ，
3
a﹣7＝﹣5，
7 7
∴点A的坐标为（ ，− ），
3 3
7 7
综上所述：A点坐标为（4，4）或（ ，− ）．
3 3
（2）点A在x轴上时，4a﹣5＝0，
5
解得a= ，
4
7
1+2a= ，
2
7
∴点A的坐标为（ ，0）；
2
点A在y轴上时，1+2a，
1
解得a=− ，
2
4a﹣5＝﹣7，
∴点A的坐标为（0，﹣7）．
7
综上所述：A点坐标为（ ，0）或（0，﹣7）．
2
总结提升：此题主要考查了点的坐标，解答此题的关键是熟知到两坐标轴的距离相等的点的特点是：横纵坐标相等或横纵坐标互为相反数．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，
依次得到点P （0，1），P （1，1），P （1，0），P （1，﹣1），P （2，﹣1），P （2，0）…
1 2 3 4 5 6
（1）填写下列各点的坐标：P （ 、 ），P （ 、 ），P （ 、 ）
9 12 15
（2）写出点P 的坐标（n是正整数）；
3n
（3）点P 的坐标是（ 、 ）；
60
（4）指出动点从点P 到点P 的移动方向．
210 211
思路引领：由题意可以知道，动点运动的速度是每次运动一个单位长度，（0，1）→（1，1）→（1，
0）→（1，﹣1）……通过观察找到有规律的特殊点，如P 、P 、P 、P ，发现其中规律是脚标是3的
3 6 9 12
倍数的点，依次排列在x轴上，且相距1个单位，明确这个规律即可解决以上所有问题．
解：（1）由动点运动方向与长度可得P （1，0），P （2，0），
3 6
可以发现脚标是3的倍数的点，依次排列在x轴上，且相距1个单位，
即动点运动三次与横轴相交，
故答案为P （ 3，0），P （4、0 ），P （5、0 ）．
9 12 15
（2）由（1）可归纳总结点P 的坐标为P （n，0），（n是正整数）；
3n 3n
（3）根据（2），∵60＝3×20，∴点P 的横坐标是20
60
故点P 的坐标是（20、0 ）
60
故答案为（20、0 ）．
（4）∵210＝3×70，符合（2）中的规律
∴点P 在x轴上，
210
又由图象规律可以发现当动点在x 轴上时，偶数点向上运动，奇数点向下运动，
而点P 是在x轴上的偶数点
210所以动点从点P 到点P 的移动方向应该是向上．
210 211
总结提升：本题是一个阅读理解，猜想规律的题目，解答此题的关键是首先确定动点移动的数字与方向
上的规律，然后再进一步按规律解决要求的点的位置．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，2），B（2，0），C(3，3)，P(a，b)是三角形
ABC的边AC上的一点，把三角形 ABC经过平移后得三角形 DEF，点P的对应点为Pʹ（a﹣2，b﹣
4）．
（1）直接写出D，E，F的坐标．
（2）画出三角形DEF，求三角形DEF的面积．
思路引领：（1）直接利用对应点变化规律进而分别得出对应点位置；
（2）利用△DEF所在三角形面积减去周围三角形面积即可得出答案．
解：（1）∵P 为 AC 上的点，P 平移后 Pʹ（a﹣2，b﹣4）表示向左平移2个单位，再向下平移 4 个
单位．
∴A（﹣2，2）对应点D（﹣4，﹣2）；B（2，0）对应点E(0,﹣4)；C（3，3）对应点F（1，﹣1）．
（2）如图所示，将 D，E，F连线即可．
1 1 1
三角形DEF的面积为：3×5− ×1×5− ×2×4− ×1×3
2 2 2
5 3
＝15− −4−
2 2
＝7．总结提升：此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点的位置是解题关键．
22．（10分）已知点P（2m+4，m﹣1），试分别根据下列条件，求出点P的坐标．
（1）点P在y轴上；
（2）点P的纵坐标比横坐标大3；
（3）点P到x轴的距离为2，且在第四象限．
思路引领：（1）根据y轴上点的横坐标为0列方程求出m的值，再求解即可；
（2）根据纵坐标比横坐标大3列方程求解m的值，再求解即可；
（3）根据点P到x轴的距离列出绝对值方程求解m的值，再根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐
标是负数求解．
解：（1）∵点P（2m+4，m﹣1）在y轴上，
∴2m+4＝0，
解得m＝﹣2，
所以，m﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3，
所以，点P的坐标为（0，﹣3）；
（2）∵点P的纵坐标比横坐标大3，
∴（m﹣1）﹣（2m+4）＝3，
解得m＝﹣8，
m﹣1＝﹣8﹣1＝﹣9，
2m+4＝2×（﹣8）+4＝﹣12，
所以，点P的坐标为（﹣12，﹣9）；
（3）∵点P到x轴的距离为2，
∴|m﹣1|＝2，解得m＝﹣1或m＝3，
当m＝﹣1时，2m+4＝2×（﹣1）+4＝2，
m﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2，
此时，点P（2，﹣2），
当m＝3时，2m+4＝2×3+4＝10，
m﹣1＝3﹣1＝2，
此时，点P（10，2），
∵点P在第四象限，
∴点P的坐标为（2，﹣2）．
总结提升：本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键，（3）要注意点在第
四象限．
23．（10分）（2021春•围场县期末）四边形 ABCD各顶点的坐标分别为 A（0，1），B（5，1），C
（6，3），D（2，5）．
（1）如图，在平面直角坐标系中画出该四边形；
（2）四边形ABCD内（边界点除外）一共有 个整点（即横坐标和纵坐标都是整数的点）；
（3）求四边形ABCD的面积．
思路引领：（1）根据点的坐标描出四个点，顺次连接可得；
（2）根据整点的概念可得；
（3）割补法求解即可．
解：（1）如图所示，四边形ABCD即为所求；（2）由图可知，四边形ABCD内（边界点除外）的整点有11个，
故答案为：11；
1 1 1
（3）四边形ABCD的面积为4×6− ×2×4− ×2×4− ×1×2＝15．
2 2 2
总结提升：本题主要考查坐标与图形的性质，解题的关键是理解有序实数对与平面内的点一一对应及割补
法求面积．
24．（12分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）．
（Ⅰ）如图①，则三角形ABC的面积为 ；
（Ⅱ）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．
①求三角形ACD的面积；
②点P（m，3）是一动点，若三角形PAO的面积等于三角形CAO的面积．请直接写出点P坐标．
思路引领：（Ⅰ）利用三角形的面积公式直接求解即可．
（Ⅱ）①连接OD，根据S△ACD ＝S△AOD +S△COD ﹣S△AOC 求解即可．
②构建方程求解即可．
解：（Ⅰ）∵A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0），
∴OA＝2，OB＝2，OC＝4，
1 1
∴S△ABC = •BC•AO= ×6×2＝6．
2 2故答案为6．
（Ⅱ）①如图②中由题意D（5，4），连接OD．
S△ACD ＝S△AOD +S△COD ﹣S△AOC
1 1 1
= ×2×5+ ×4×4− ×2×4＝9．
2 2 2
1 1
②由题意： ×2×|m|= ×2×4，
2 2
解得m＝±4，
∴P（﹣4，3）或（4，3）．
总结提升：本题考查坐标与图形的变化，三角形的面积，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵
活运用所学知识解决问题．
25．（14分）如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（a，0），点C的坐
标为（0，b）且a，b满足√a−8+|b−12|=0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单
位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的线路移动．
（1）求点B的坐标为 ；当点P移动5秒时，点P的坐标为 ；
（2）在移动过程中，当点P移动11秒时，求△OPB的面积；
（3）在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点Q，使△OPQ的面积与△OPB的面积相等，若存在，求
点Q的坐标；若不存在，说明理由．思路引领：（1）由非负数的性质可得a、b的值，据此可得点B的坐标；由点P运动速度和时间可得其
运动5秒的路程，结合OA＝8知AP＝2，从而得出其坐标；
（2）先根据点P运动11秒判断出点P的位置，再根据三角形的面积公式求解可得；
（3）分点Q在x轴和y轴上两种情况，根据三角形的面积公式求出OQ的长，从而得出答案．
解：（1）∵a，b满足√a−8+|b−12|=0，
∴a＝8，b＝12，
∴点B（8，12）；
当点P移动5秒时，其运动路程为5×2＝10，
∵OA＝8，
∴AP＝2，
则点P坐标为（8，2），
故答案为：（8，12）、（8，2）；
（2）如图1，
当点P移动11秒时，11×2＝22，
∵OA+AB＝8+12＝20＜22，OA+AB+BC＝8+12+8＝28＞22，
∴点P在边BC上，
此时PB＝22﹣20＝2．1 1
∴S = ×PB×AB= ×2×12=12；
△OPB 2 2
（3）①当点Q在x轴上时，
1 1
∵S = ×OQ×BA= ×OQ×12=12，
△OPQ 2 2
∴OQ＝2，
∴Q（2，0）或者Q（﹣2，0）；
②当点Q在y轴上时，CP＝6，
1 1
∵S = ×OQ×CP= ×OQ×6=12，
△OPQ 2 2
∴OQ＝4，
∴Q（0，4），
综上所述，存在点Q使△OPQ的面积与△OPB的面积相等，其坐标为Q （2，0），Q （﹣2，0），Q
1 2 3
（0，4）．
总结提升：本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握非负数的性质、动点运动问题及三角形的面积
问题、分类讨论思想的运用等知识点．
26．（14分）先阅读下列一段文字，在回答后面的问题．已知在平面内两点P （x ，y ）、P （x ，y ），其两点间的距离公式 ，
1 1 1 2 2 2 P P =√(x −x ) 2+(y −y ) 2
1 2 2 1 2 1
同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x ﹣x |
2 1
或|y ﹣y |．
2 1
（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；
（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的
距离．
（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），你能判定此三角形的形状
吗？说明理由．
思路引领：（1）根据两点间的距离公式 来求A、B两点间的距离；
P P =√(x −x ) 2+(y −y ) 2
1 2 2 1 2 1
（2）根据两点间的距离公式|y ﹣y |来求A、B两点间的距离．
2 1
（3）先将A、B、C三点置于平面直角坐标系中，然后根据两点间的距离公式分别求得 AB、BC、AC的
长度；最后根据三角形的三条边长来判断该三角形的形状．
解：（1）∵A（2，4）、B（﹣3，﹣8），
∴|AB| 13，即A、B两点间的距离是13；
=√(−3−2) 2+(−8−4) 2=
（2）∵A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，
∴|AB|＝|﹣1﹣5|＝6，即A、B两点间的距离是6；
（3）△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），
∴AB＝5，BC＝6，AC＝5，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
总结提升：本题考查了两点间的距离公式．解答该题时，先弄清两点在平面直角坐标系中的位置，然后选
取合适的公式来求两点间的距离．
