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模板 01 四大平衡常数的综合应用
第一步：提取数据和 ①从题目已知条件中提取平衡常数、pH、粒子浓度等数据；
信息 ②对图像、表格、文字等进行分析，获取与平衡有关的信息。
第二步：确定计算过 ①根据题目要求，找出各个平衡之间的相互关系，确定需要的数据。
程 ②找出新的平衡与已知平衡之间的关系，写出新平衡的平衡表达式，确
定需要的数据。
第三步：进行转换计 根据目标反应平衡常数表达式，用已知平衡常数进行转换，并代入数据
算 进行计算。
技法01 四大平衡常数的关系
1．电离常数与水解常数、水的离子积常数的关系
(1)定量关系
①对于一元弱酸HA，K 与K 的关系
a hHA H＋＋A－，K＝ ；A－＋HO HA＋OH－，K ＝ 。
a 2 h
则K·K ＝c（H＋）·c（OH－）＝K ，故K ＝ 。
a h w h
常温时，K·K ＝K ＝1.0×10－14，K ＝ 。
a h w h
②对于二元弱酸HB，K （HB）、K （HB）与 K （HB－）、K （B2－）的关系
2 a1 2 a2 2 h h
HB－＋HO HB＋OH－，K （HB－）＝ ＝ ＝ 。
2 2 h
B2－＋HO HB－＋OH－，K （B2－）＝ ＝ ＝ 。
2 h
(2)大小关系：相同温度下，弱酸的电离常数越小，对应的弱酸根离子的水解常数越大。
【特别提醒】
常温时，对于一元弱酸HA，当K ＞1×10－7时，K ＜1×10－7，此时将等物质的量浓度的 HA溶液与
a h
NaA溶液等体积混合，HA的电离程度大于A－的水解程度，混合溶液呈酸性；同理，当K＜1×10－7时，
a
K ＞1×10－7，A－的水解程度大于HA的电离程度，混合溶液呈碱性。
h
2．电离常数与溶度积常数的关系
根据电离常数计算出各离子浓度，进而计算K 。
sp
如汽车尾气中的SO 可用石灰水吸收，生成亚硫酸钙浊液。常温下，测得某 CaSO 与水形成的浊液的
2 3
pH为9，忽略S 的第二步水解，则K （CaSO ）＝ （保留3位有效数字）。[已知：K
sp 3 a1
（HSO ）＝1.2×10－2，K （HSO ）＝5.6×10－8]
2 3 a2 2 3
分析：常温下，pH＝9，c（OH－）＝1×10－5 mol·L－1，由S ＋HO HS ＋OH－知，c（HS ）
2
≈c（OH－）＝1×10－5 mol·L－1。K （S ）＝ ＝ ＝
h
，则 ＝ ，c（S ）＝5.6×10－4 mol·L－1。由物料守恒可知：c（Ca2
＋）＝c（S ）＋c（HS ）＝5.6×10－4 mol·L－1＋1×10－5 mol·L－1＝5.7×10－4 mol·L－1，则 K
sp
（CaSO）＝c（Ca2＋）·c（S ）≈3.19×10－7。
3
3．电离常数、溶度积常数与平衡常数的关系
(1)建立K 与K的关系，一般是在K的表达式的分子、分母中同乘以c（H＋）或c（OH－），转化为
a
K 与K 的关系。
a w
如常温下联氨的第一步电离方程式为NH ＋HO N ＋OH－ K ＝8.7×10－7，反应NH ＋H＋
2 4 2 2 b1 2 4
N 的K＝ 。
2
分析：K＝ ＝ ＝ ＝8.7×107。
(2)建立K 与K的关系，一般是在K的表达式的分子、分母中同乘以某个离子的浓度，将分子、分母
sp
转化为不同物质的K 。
sp
4．K 与溶解度（S）之间的计算关系
sp
对于AB型物质，其K ＝ 。
sp
如60 时溴酸银（AgBrO ）的溶解度为0.6 g，则K （AgBrO ）约等于 。
3 sp 3
℃分析：60 时，c（Ag＋）＝c（Br ）＝ ≈2.5×10－2 mol·L－1，则 K （AgBrO ）＝c
sp 3
（Ag＋）·c（Br℃ ）＝6.25×10－4。
5．难溶碱的K 与pH之间的关系
sp
对于M（OH） ，K ＝c（Mn＋）·cn（OH－），c（OH－）＝ ，进而计算溶液的pH。c（Mn
n sp
＋）＝ ＜1.0×10－5 mol·L－1时，沉淀完全。
1．（2024·湖南卷）铜阳极泥(含有Au、 、 、 等)是一种含贵金属的可再生资源，
回收贵金属的化工流程如下：
已知：①当某离子的浓度低于 时，可忽略该离子的存在；
② ；
（4）在“银转化”体系中， 和 浓度之和为 ，两种离子分布分
数 随 浓度的变化关系如图所示，若 浓
度为 ，则 的浓度为 。
【答案】0.05
【第一步 提取数据信息】【第二步 确定计算过程】
①根据平衡写出平衡常数表达式：K = ；
②当 时，此时 ，代入数据求出K；
③根据K和c(SO32-)求 的浓度。
【第三步 进行计算】
在“银转化”体系中， 和 浓度之和为 ，溶液中存在平衡关系：
，当 时，此时
，则该平衡关系的平衡常数
，当 时，
，解得此时 。
1．（2024·全国甲卷）钴在新能源、新材料领域具有重要用途。某炼锌废渣含有锌、铅、铜、铁、
钴、锰的 价氧化物及锌和铜的单质。
注：加沉淀剂使一种金属离子浓度小于等于10-5mol·L-1 ，其他金属离子不沉淀，即认为完全分离。
已知：①Ksp(CuS)=6.5×10-36 ，Ksp(ZnS)=2.5×10-22 ，Ksp(CoS)=4.0×10-21 。
(3)假设“沉铜”后得到的滤液中c(Zn2+)和c(Co2+)均为0.10mol·L-1 ，向其中加入Na2S至Zn2+ 沉淀完
全，此时溶液中c(Co2+)= mol·L-1 ，据此判断能否实现Zn2+ 和Zn2+ 的完全分离 (填“能”或“不能”)。【答案】1.6×10-4 不能
【第一步 提取数据和信息】
与解题有关的信息：
加沉淀剂使一种金属离子浓度小于等于10-5mol·L-1 ，其他金属离子不沉淀，即认为完全分离。
已知：①Ksp(CuS)=6.5×10-36 ，Ksp(ZnS)=2.5×10-22 ，Ksp(CoS)=4.0×10-21 。
【第二步 确定计算过程】
①c(Zn2+)和c(Co2+)均为0.10mol·L-1 ，加入Na2S至Zn2+ 沉淀完全，c(Zn2+)小于等于10-5mol·L-1 ，用
Ksp(ZnS)=2.5×10-22 ，计算出此时的c(S2-)；
②根据①计算出的c(S2-)，用Ksp(CoS)=4.0×10-21 ，计算c(Co2+)。
【第三步 进行计算】
假设“沉铜”后得到的滤液中c(Zn2+)和c(Co2+)均为0.10mol·L-1 ，向其中加入Na2S至Zn2+ 沉淀完全，
此 时 溶 液 中 ， 则
， 小于 ，说明大部分 也转化为硫
化物沉淀，据此判断不能实现Zn2+ 和Co2+ 的完全分离。
2．（2024·新课标卷）钴及其化合物在制造合金、磁性材料、催化剂及陶瓷釉等方面有着广泛应用。
已知溶液中相关离子开始沉淀和沉淀完全( )时的pH：
开始沉淀的pH 1.5 6.9 — 7.4 6.2
沉淀完全的pH 2.8 8.4 1.1 9.4 8.2
（4）“除钴液”中主要的盐有 (写化学式)，残留的 浓度为 。
【答案】ZnSO4 和K2SO4 10-16.7
【解析】最终得到的“除钴液”中含有的金属离子主要是最初“酸浸”时与加入ZnO调pH时引入的Zn2+ 、加
入KMnO4“氧化沉钴”时引入的K+ ，而阴离子是在酸浸时引入的SO ，因此其中主要的盐有ZnSO4 和
K2SO4 。当溶液pH=1.1时c(H+)=10-1.1mol·L-1 ，Co3+ 恰好完全沉淀，此时溶液中
，则 ，则
。“除钴液”的 ，即 ，则
，此时溶液中 。
1．（2023·湖北卷） 是生产多晶硅的副产物。（4）已知 ，若“沉钴过滤”的pH控制为10.0，则溶液中 浓度为_______
。“850 煅烧”时的化学方程式为_______。
℃
【答案】
【解析】已知 ，若“沉钴过滤”的pH控制为10.0，则溶液中
， 浓度为 。“850 煅烧”时，
℃
与 反应生成 和 ，该反应的化学方程式为 。
2．（2023·辽宁卷）某工厂采用如下工艺处理镍钴矿硫酸浸取液含（ 和
)。实现镍、钴、镁元素的回收。
已知：
物
Fe(OH)3
质
（3）“氧化”中，用石灰乳调节 ， 被 氧化为 ，该反应的离子方程式为_______(
的电离第一步完全，第二步微弱)；滤渣的成分为 、_______(填化学式)。
【答案】 Fe(OH)3
【解析】用石灰乳调节 ， 被 氧化为 ，该反应的离子方程式为：
；氢氧化铁的Ksp=10-37.4 ，当铁离子完全沉淀时，溶液中c(Fe3+)=10-
5mol/L， ，c(OH-)=10-10.8mol/L，根据Kw=10-14 ，pH=3.2，此时
溶液的pH=4，则铁离子完全水解，生成氢氧化铁沉淀，故滤渣还有氢氧化铁；
3．（2023·广东卷） 均是重要的战略性金属。从处理后的矿石硝酸浸取液(含Ni2+ 、Co2+ 、Al3+ 、
Mg2+)中，利用氨浸工艺可提取 ，并获得高附加值化工产品。工艺流程如下：
已知：氨性溶液由 、 和 配制。常温下， 与
形成可溶于水的配离子： ； 易被空气氧化为 。(2)）常温下， 的氨性溶液中， (填“>”“<”或“=”)。
【答案】＞
【解析】常温下， 的氨性溶液中， ，
， ，则 ＞
；故答案为：＞。
4．（2022·重庆卷）电子印制工业产生的某退锡废液含硝酸、锡化合物及少量Fe3+ 和Cu2+ 等。
Sn与Si同族，25 时相关的溶度积见表。
℃ 化学式 Sn(OH)4(或SnO2·2H2O) Fe(OH)3 Cu(OH)2
溶度积 1.0×10-56 4×10-38 2.5×10-20
（2）滤液1的处理
①滤液1中Fe3+ 和Cu2+ 的浓度相近，加入NaOH溶液，先得到的沉淀是______。
②25 时，为了使Cu2+ 沉淀完全，需调节溶液H+ 浓度不大于______mol•L-1 。
【答案】F
℃
e(OH)3 2×10-7
【解析】①由溶度积可知，向滤液1中加入氢氧化钠溶液，溶解度小的氢氧化铁先沉淀，故答案为：
Fe(OH)3 ；
②由溶度积可知，25 时，铜离子沉淀完全时，溶液中的氢氧根离子浓度为 =5×10-
8mol/L，则溶液中的氢
℃
离子浓度不大于2×10-7mol/L，故答案为：2×10-7 ；
5．（2023·全国乙卷）LiMn2O4 作为一种新型锂电池正极材料受到广泛关注。由菱锰矿（MnCO3 ，含有少
量Si、Fe、Ni、Al等元素）制备LiMn2O4 的流程如下：
已知：Ksp[Fe(OH)3]=2.8×10-39 ，Ksp[Al(OH)3]=1.3×10-33 ，Ksp[Ni(OH)2]=5.5×10-16 。
（3）溶矿反应完成后，反应器中溶液pH=4，此时c(Fe3+)=_______mol·L-1 ；用石灰乳调节至pH≈7，除去
的金属离子是_______。
【答案】2.8×10-9 Al3+
【解析】溶矿完成以后，反应器中溶液pH=4，此时溶液中c(OH-)=1.0×10-10mol·L-1 ，此时体系中含有的
c(Fe3+)= =2.8×10-9mol·L-1 ，这时，溶液中的c(Fe3+)小于1.0×10-5 ，认为Fe3+ 已经沉淀完全；用
石灰乳调节至pH≈7，这时溶液中c(OH-)=1.0×10-7mol·L-1 ，溶液中c(Al3+)=1.3×10-12mol·L-1 ，
c(Ni2+)=5.5×10-4mol·L-1 ，c(Al3+)小于1.0×10-5 ，Al3+ 沉淀完全，这一阶段除去的金属离子是Al3+ ；故答案
为：2.8×10-9 、Al3+ 。
6．（2023·山东卷）盐湖卤水(主要含 、 和硼酸根等)是锂盐的重要来源。一种以高镁卤水为原料经两段除镁制备 的工艺流程如下：
已知：常温下， 。
（1）含硼固体中的 在水中存在平衡： (常温下， )；
与 溶液反应可制备硼砂 。常温下，在 硼砂溶液中，
水解生成等物质的量浓度的 和 ，该水解反应的离子方程式为
_____，该溶液 _____。
（2）滤渣Ⅰ的主要成分是_____(填化学式)；精制Ⅰ后溶液中 的浓度为 ，则常温下精制Ⅱ过
程中 浓度应控制在_____ 以下。若脱硼后直接进行精制Ⅰ，除无法回收 外，还将增
加_____的用量(填化学式)。
【答案】（1）
（2） 纯碱
【解析】（1）含硼固体中的 在水中存在平衡： (常温下，
)； 与 溶液反应可制备硼砂 。常温下.在 硼砂溶
液中， 水解生成等物质的量浓度的 和 ，该水解反应的离子方程式为
，由B元素守恒可知， 和 的浓度均为
， ，则该溶液 。
（2）由分析可知，滤渣I的主要成分是 ；精制I后溶液中 的浓度为2.0 ，由
可知，则常温下精制Ⅱ过程中 浓度应控制在
以下。若脱硼后直接进行精制Ⅰ，除无法回收HCl外，后续在浓缩结晶时将生成更多的氯化钠晶
体，因此，还将增加纯碱（ ）的用量。
7．（2022·山东卷）工业上以氟磷灰石[ ，含 等杂质]为原料生产磷酸和石膏，
（2）部分盐的溶度积常数见下表。精制Ⅰ中，按物质的量之比 加入 脱
氟，充分反应后， _______ ；再分批加入一定量的 ，首先转化为沉淀的离子
是_______。【答案】
【解析】精制1中，按物质的量之比n(Na2CO3):n( )= 1:1加入Na2CO3 脱氟，该反应的化学方程式为
H2SiF6+ Na2CO3= Na2SiF6↓+CO2↑+ H2O，充分反应后得到沉淀Na2SiF6 ，溶液中有饱和的Na2SiF6 ，且
c(Na+)=2c( )，根据Na2SiF6 的溶度积可知Ksp= c2(Na+)• c( )=4c3( )，c( ) =
mol•L-1 ，因此c(Na+)=2c( )= mol•L-1 ；同时，粗磷酸中还有硫酸钙的饱
和溶液，c(Ca2+)=c( )= mol•L-1 ；分批加入一定量的BaCO3 ，当BaSiF6 沉淀开始
生成时，c(Ba2+)= mol•L-1 ，当BaSO4 沉淀开始生成时，c(Ba2+)=
mol•L-1 ，因此，首先转化为沉淀的离子是 ，然后才是 。
8．（2022·广东卷）稀土( )包括镧、钇等元素，是高科技发展的关键支撑。我国南方特有的稀土矿可
用离子交换法处理，一种从该类矿(含铁、铝等元素)中提取稀土的工艺如下：
已知：月桂酸 熔点为 ；月桂酸和 均难溶于水。该工艺条件下，
稀土离子保持 价不变； 的 ， 开始溶解时的pH为8.8；有
关金属离子沉淀的相关pH见下表。
离子
开始沉淀时的pH 8.8 1.5 3.6 6.2~7.4
沉淀完全时的pH / 3.2 4.7 /
（2）“过滤1”前，用 溶液调pH至_______的范围内，该过程中 发生反应的离子方程式为
_______。
（3）“过滤2”后，滤饼中检测不到 元素，滤液2中 浓度为 。为尽可能多地提取 ，
可提高月桂酸钠的加入量，但应确保“过滤2”前的溶液中 低于_______ (保留两
位有效数字)。
【答案】（2）4.7 pH<6.2 （3）4.0 10-4【解析】（2）由表中数据可知， 沉淀完全的pH为4.7，而 开始沉淀的pH为6.2~7.4，所以为保
证 、 沉淀完全，且 不沉淀，要用 溶液调pH至4.7 pH<6.2的范围内，该过程中
发生反应的离子方程式为 ，故答案为：4.7 pH<6.2；
；
（3）滤液2中 浓度为 ，即0.1125mol/L，根据
，若要加入月桂酸钠后只生成 ，而不产
生 ，则 = =4 10-4 ，故答案
为：4 10-4 ；
9．（2024届·湖北·三模）废旧铅蓄电池具有较高的回收利用价值。由废铅膏(含 、 、 和
以及少量的铁和铝的氧化物)制备 的流程如下：
② ，
（5）“脱硫”时 转化反应的离子方程式为 ；用沉淀溶解平衡原理解释选择
的原因 。
【答案】 该反应的
，反应正向进行的程度很大，可以进行到底
【解析】“脱硫”时 转化为 ，反应的离子方程式为
；选择 的原因是：该反应的 ，反应正向进行的程度很
大，可以进行到底；
10．（2024·广东惠州一模）氯碱厂制备的原盐中含有的杂质主要为 及大分子有机物和
难溶性泥沙等物质。
已知： 的电离常数
（3）用 溶液吸收一定量 气体形成 缓冲溶液， 时，溶液中
=__________。
【答案】0.47
【解析】由电离常数可知，pH为10的溶液中 =0.47，故答案为：0.47；
11．（2024届·河北承德·三模）废旧手机的废线路板中富含Cu、Sn、Ni、Pb等金属和少量Ag、Au，具有较高的回收价值，其中部分金属的回收工艺流程如下：
已知：①常温下， 微溶于水，可与 结合生成 配离子： 。
②25 时， ， 。
（4） ℃的排放标准为 mg·L 。“沉锡”残余液排放前应调节溶液的pH范围为 。
【答案】 (或 )
【解析】 的排放标准为 mg·L ，c(Ni2+)≤ =2.0×10-5mol/L，“沉锡”残余液排放前应调节
溶液的c(OH-)≥ =10-5mol/L，则pH范围为pH≥9，故答案为： (或 )；
12．（2024届·山东济宁·三模）一种以锌精矿(主要成分是ZnS，还含有铁、钴、铜等元素的氧化物)为原
料制备纯锌并将其它金属元素回收利用的工艺流程如下：
已知：③ ； ；
（1）常温下，“含尘烟气”中的 用氨水吸收至溶液的 时，
的平衡常数 。
【答案】
【解析】（1）该反应平衡常数K= =
= ；
13．（2024届·辽宁沈阳·三模）稀土元素铈及其化合物在生产生活中有重要用途，如汽车尾气用稀土/钯
三效催化剂处理，不仅可以降低催化剂的成本，还可以提高催化效能。以氟碳铈矿(主要成分为)为原料制备 的一种工艺流程如图：
已知：①滤渣1的主要成分是难溶于水的 ，滤渣2的主要成分是 ；
、 (a、b均大于0)。
（5）滤渣1经KCl溶液充分浸取后，测得反应体系中K+ 的物质的量浓度为 ，则 的物质的
量浓度为 (用含a、b的式子表示)。
【答案】
【解析】滤渣1经KCl溶液充分浸取后，测得反应体系中K+ 的物质的量浓度为 ，则
， 的物质的量浓度为
；
14．（2024届·四川乐山·三模）利用硝酸、过氧化氢对废弃锂电池中的正极材料LiMn2O4 进行处理，回收
Li、Mn元素，工艺流程如下：
（6）若“沉锂”前“滤液2”中 ，取1L该溶液加入等体积Na2CO3 溶液充分反应后溶液中
，则该实验中锂离子的沉淀率为 %(已知 ，
混合后溶液体积变化忽略不计)。
【答案】98
【解析】 ，则沉淀后
，沉淀后 ，锂离子的沉淀率为。
15．（2024·湖北圆创联盟一模）某制药厂的废钯催化剂含 、 、 、 、 和活性炭，
提取贵金属 的流程如下：
已知：③ 、 。
（4）“氨化”步骤中 转化为 ，反应后溶液 ，此时溶液中
。
【答案】0.03
【解析】反应后溶液 ，即 ， ，由 可得
，
，即二者浓度之比为0.03；
16．反应HS（aq）＋Cu2＋（aq） CuS（s）＋2H＋（aq）的平衡常数为 。[已知K （CuS）＝
2 sp
1.25×10－36；HS的K ＝1×10－7，K ＝1×10－13]
2 a1 a2
【答案】8×1015
【解析】HS（aq）＋Cu2＋（aq） CuS（s）＋2H＋（aq）
2
K＝
CuS（s） Cu2＋（aq）＋S2－（aq）
K （CuS）＝c（Cu2＋）·c（S2－）
sp
HS（aq） H＋（aq）＋HS－（aq）
2
K ＝
a1
HS－（aq） H＋（aq）＋S2－（aq）
K ＝
a2
K＝ ＝ ＝8×1015。
17．通过计算判断中和反应2Fe(OH) （s）＋3HC O （aq） 2Fe3＋（aq）＋6HO（l）＋3C （aq）在
3 2 2 4 2 2
常温下能否发生，并说明理由： 。{已知：草酸（HC O ）的 K ＝6.0×10－2、K ＝6.0×10－5，K [Fe（OH） ]＝1.0×10－39；66＝
2 2 4 a1 a2 sp 3
4.67×104；平衡常数大于10－5时反应能发生}
【答案】不能，该反应的平衡常数为4.67×10－11，小于1.0×10－5，所以该反应不能发生
【解析】2Fe(OH) （s）＋3HC O（aq） 2Fe3＋（aq）＋6HO（l）＋3C （aq）
3 2 2 4 2 2
K＝
Fe（OH）（s） Fe3＋（aq）＋3OH－（aq）
3
K [Fe（OH）]＝c（Fe3＋）·c3（OH－）
sp 3
HC O（aq） H＋（aq）＋HC （aq）
2 2 4 2
K ＝
a1
HC （aq） H＋（aq）＋C （aq）
2 2
K ＝
a2
K＝ ＝ ＝4.67×10－11＜1.0×10－5，所以该反应不能发
生。
18．（1）常温下，用0.100 0 mol·L－1的NaOH溶液滴定某浓度的二元弱酸（HX）溶液，所得溶液中各
2
种含X的微粒的物质的量分数（δ）与pH的变化曲线如图所示。
则：HX的电离常数K ＝ ，X2－的水解常数K ＝ 。
2 a1 h
（2）已知常温下，K （AgCl）＝1.76×10－10。
sp
银氨溶液中存在下列平衡：
Ag＋（aq）＋2NH ·H O（aq） [Ag（NH ）]＋（aq）＋2HO（l） K ＝1.10×107。
3 2 3 2 2 1
常温下可逆反应AgCl（s）＋2NH ·H O（aq） [Ag（NH ） ]＋（aq）＋Cl－（aq）＋2HO（l）的化
3 2 3 2 2
学平衡常数K ＝ 。
2
【答案】（1）10－1.2 10－9.8 （2）1.936×10－3
【解析】（1）HX的电离常数K ＝ ，pH＝1.2时，c（HX）＝c（HX－），代入计算，可
2 a1 2
得K ＝10－1.2；X2－的水解常数K ＝ ，pH＝4.2时，c（X2－）＝c（HX－），代入计算，可
a1 h
得K ＝104.2－14＝10－9.8。（2）Ag＋（aq）＋2NH ·HO（aq） [Ag（NH ） ]＋（aq）＋2HO（l）K ＝
h 3 2 3 2 2 1
，AgCl（s）＋2NH ·HO（aq） [Ag（NH ） ]＋（aq）＋Cl－（aq）＋2HO（l） K
3 2 3 2 2 2
＝ ，则K ＝K ·K （AgCl）＝1.10×107×1.76×10－10＝1.936×10－3。
2 1 sp
