文档内容
【赢在中考·黄金 8 卷】备战 2023 年中考数学全真模拟卷（呼和浩特专
用）
黄金卷 1
（满分120分，考试用时120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1．（四川广安·统考中考真题）16的平方根是（ ）
A．8 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】根据平方根可直接进行求解．
【详解】解：∵ ，
∴16的平方根是 ；
故选D．
【点睛】本题主要考查平方根，熟练掌握求一个数的平方根是解题的关键．
2．（2022·江苏镇江·统考中考真题）“珍爱地球，人与自然和谐共生”是今年世界地球日的主题，旨在倡
导公众保护自然资源．全市现有自然湿地28700公顷，人工湿地13100公顷，这两类湿地共有（ ）
A． 公顷 B． 公顷 C． 公顷 D． 公顷
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a× 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整
数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：28700＋13100＝41800＝ （公顷），
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a× 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2022·河南周口·周口市第一初级中学校考模拟预测）如图所示电路，任意闭合两个开关，能使灯 亮
起来的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有 种，再由
概率公式求解即可．
【详解】解：把 分别记为 ，
画树状图如下：
共有 种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，即 、 、 、 ，
∴同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步
或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，列出树状图是解题的关键．
4．（2022·吉林长春·校考模拟预测）将如图所示的图形绕 边旋转一周，所得几何体的俯视图是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据“面动成体”即三视图判断即可．
【详解】解： 绕直角边 所在直线旋转一周，所得几何体是圆锥，圆锥的俯视图是圆和圆心一
点，
故选：D．
【点睛】本题考查了三视图的知识，利用俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题关键．
5．（2022·贵州铜仁·模拟预测）一台机床在十天内生产的产品中，每天出现的次品个数依次为（单位：
个） ， ， ， ， ， ， ， ， ， 那么，这十天中次品个数的（ ）
A．平均数是 B．众数是 C．中位数是 D．方差是
【答案】D
【分析】分别求出这十天中次品个数的平均数，中位数，众数和方差即可得到答案．
【详解】解：由题意得这十天中次品个数的平均数为 个，
这十天中次品个数的众数为2个，
这十天中次品个数的中位数为 个，
这十天中次品个数的方差为 ，
∴四个选项只有D选项符合题意，故选D．
【点睛】本题主要考查了求平均数，中位数，众数和方差，熟知四者的定义是解题的关键．
6．（2022·宁夏银川·校考二模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据绝对值的意义、二次根式的加法、同底数幂的乘法及完全平方公式逐项计算即可．
【详解】解：A. ，原式错误；
B. 无法合并，原式错误；
C. ，正确；
D. ，原式错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的意义、二次根式的加法、同底数幂的乘法及完全平方公式，熟练掌握相关运
算法则是解题的关键．
7．（2022·北京西城·校考模拟预测）如图，将 绕点 按照顺时针方向旋转 得到 ， 交
于点 若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由旋转的性质得出 ， ，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解： 将 绕点 按照顺时针方向旋转 得到 ，
， ，，
，
故选： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，明确旋转前后对应边，对应角相等是解题的关键．
8．（2022·山东济宁·校考二模）定义运算： ，例如： ．则方程
的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．无实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【答案】B
【分析】根据定义的运算得到一元二次方程，利用判别式即可判断根的情况．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∆ ，
∴方程没有实数根，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，正确掌握一元二次方程的根的判别式的计算方法及根的情
况是解题的关键．
9．（2022·江苏无锡·统考二模）如图，已知菱形ABCD的边长为10， ，E、F分别为AB、AD上
两动点，作 交CD于点G， 交BC于点H，EG与FH交于点P，连接EF．当四边形
PHCG的面积是一个保持不变的量时， 的周长是（ ）
A．15 B． C． D．10
【答案】A
【分析】过点G作GN LPH于N，过点F作FM 上AE于M，然后解直角三角形，勾股定理进行解答，即可求解．
【详解】过点G作GN PH于N，过点F作FM 上AE于M，如图，
四边形 是菱形， ，
四边形 都是平行四边形，
，
，
设 ，则 ，
，
在 中， ， ，
，
同理可得 ， ，
，
时， ，
此时 ．
即 的周长为 时，四边形 的面积为一个不变的量 ．故选A
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是掌握
利用勾股定理求线段长．
10．（2022·四川绵阳·统考二模）如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BAC的平分线交
BD于E，交BC于F，BH⊥AF于H，交AC于G，交CD于P，连接GE、GF，以下结论：
①ΔOAE ΔOBG；②四边形BEGF是菱形；③BE=CG；④ = −1；⑤SΔPBC：SΔAFC=1：2，其中正
≅
确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】证明 AHG≌△AHB（ASA），得出AF是线段BG的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质和正
方形的性质即△可得出②正确；设OA=OB=OC=a，由菱形和正方形的性质得出OA=OB，证出
∠OAE=∠OBG，由ASA证明 OAE≌△OBG，可得出①正确；求出OG=OE=a-b，由平行线分线段成比例
定理可得出④正确；证明 EA△B≌△GBC（ASA），得出BE=CG，可得出③正确；证明 FAB≌△PBC
（ASA），得出BF=CP，则△三角形的面积公式，可得出⑤错误；即可得出结论． △
【详解】解：∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠GAH=∠BAH，
∵BH⊥AF，
∴∠AHG=∠AHB=90°，
在 AHG和 AHB中，
△ △
，
∴△AHG≌△AHB（ASA），∴GH=BH，
∴AF是线段BG的垂直平分线，
∴EG=EB，FG=FB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAF=∠CAF= ×45°=22.5°，∠ABE=45°，∠ABF=90°，
∴∠BEF=∠BAF+∠ABE=67.5°，∠BFE=90°-∠BAF=67.5°，
∴∠BEF=∠BFE，
∴EB=FB，
∴EG=EB=FB=FG，
∴四边形BEGF是菱形；②正确；
设OA=OB=OC=a，菱形BEGF的边长为b，
∵四边形BEGF是菱形，
∴GF∥OB，
∴∠CGF=∠COB=90°，
∴∠GFC=∠GCF=45°，
∴CG=GF=b，∠CGF=90°，
∴CF= GF= BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°，
∵BH⊥AF，
∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH，
∴∠OAE=∠OBG，
在△OAE和△OBG中，
，
∴△OAE≌△OBG（ASA），①正确；
∴OG=OE=a-b，
∴△GOE是等腰直角三角形，∴GE= OG，
∴b= （a-b），
整理得a= b，
∴AC=2a=（2+ ）b，AG=AC-CG=（1+ ）b，
∵四边形ABCD是正方形，
∴PC∥AB，
∴ =1+ ，
∵△OAE≌△OBG，
∴AE=BG，
∴ =1+ ，
∴ = -1，④正确；
∵∠OAE=∠OBG，∠CAB=∠DBC=45°，
∴∠EAB=∠GBC，
在△EAB和△GBC中，
，
∴△EAB≌△GBC（ASA），
∴BE=CG，③正确；
在△FAB和△PBC中，
，
∴△FAB≌△PBC（ASA），
∴BF=CP，∴ ，⑤错误；
综上所述，正确的有4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的
性质、菱形的判定与性质、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性
质，证明三角形全等是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不
需要解答过程）
11．（2022·江苏扬州·校考模拟预测）利用分解因式计算： ______．
【答案】
【分析】直接平方差公式分解因式即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了利用公式法分解因式，解题的关键是正确应用平方差公式．
12．（2022·山东德州·德州市同济中学校考模拟预测）点 在反比例函数 的图象上，则k的值
是______ .
【答案】
【分析】根据反比例函数中 的特点求解出k的值即可．
【详解】解： 点 在反比例函数 的图象上，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上的点的坐标特征，熟知反比例函数中 的特点是解答此题的关键．
13．（2022·四川成都·校考模拟预测）如图，矩形 中， ， ， 是 中点，以点 为
圆心， 为半径作弧交 于点 ，以点 为圆心， 为半径作弧交 于点 ，则图中阴影部分面积
的差 为______．
【答案】
【分析】根据图形可以求得 的长，然后根据图形即可求得 的值．
【详解】解： 在矩形 中， ， 是 中点，
，
，
．
故答案为：
【点睛】本题考查了扇形面积的计算、矩形的性质，解本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，
利用数形结合的思想解答．
14．（2022·山东济南·统考一模）已知A，B两地相距120km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，
甲骑摩托车，乙骑自行车．图中 ， 分别表示甲，乙离开A地的路程s（km）与时间t（h）的函数
关系，则乙出发__________小时被甲追上．【答案】1.8
【分析】用待定系数法求出两条直线的解析式，联立方程组即可求出交点的横坐标，即乙被甲追上的时间．
【详解】设直线 为
∵过点 ,
∴
∴
∴直线 为
设直线 为
∵过点,
∴
∴
∴直线 为
和 联立方程组可得：
解得：
∴乙出发1.8小时被甲追上．
故答案为：1.8
【点睛】本题考查待定系数法和两直线交点坐标的求法，找出关键点的坐标求出解析式是解题的关键．15．（2022·湖南株洲·统考一模）已知点P( ， )和直线 ，求点P到直线 的距离d可用
公式 计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为(1，1)，半径为1，
直线AB的表达式为 ，P是直线AB上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是_________．
【答案】
【分析】连接 ，先根据点与圆的位置关系可得当点 为 与 的交点时， 取得最小值 ，
再根据垂线段最短可知，当 时， 取得最小值，然后利用点到直线的距离公式可得 的长，
由此即可得．
【详解】解： 的半径为1，
，
如图，连接 ，则当点 为 与 的交点时， 取得最小值，最小值为 ，
由垂线段最短可知，当 时， 取得最小值，
直线 的表达式为 ， 的坐标为 ，
的最小值为 ，
则 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、垂线段最短等知识点，正确找出 取得最小值时，点 的位
置是解题关键．
16．（2022·广东梅州·统考一模）已知关于x的函数 ， ，若对于任意实数x，
与 的值至少有一个为正数．则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】当a＞0时，分对称轴x= 或对称轴x= ，分别求出a的范围；当a＜0时，当x＞0
时，总存在x使得y1与y2的值均小于0，不符合题意；当a=0时，y1=-3x+1，y2=0，则当x＞ 时，y1＜
0，y2=0，不符合题意，从而解决问题．
【详解】解：①当a＞0时，x＞0时，y2=ax＞0，
∵y2与y1至少有一个正数，
则：只需令当x≤0时，y1=ax2-（3-a）x+1＞0即可，
（Ⅰ）当对称轴x= ，
即a＜3，
又∵当x=0时，y1=1＞0，
∴当x≤0时，y1始终大于0，
∴0＜a＜3；（Ⅱ）当对称轴x= ，即a≥3，
∵要使x≤0时，y1恒为正数，
即抛物线y1与x轴无交点，
∴Δ=[-（3-a）]2-4×a×1＜0，
解得1＜a＜9，
∴3≤a＜9，
综上0＜a＜9；
②当a＜0时，y1为开口向下的二次函数，当x＞0时，总存在x使得y1与y2的值均小于0，不符合题意；
③当a=0时，y1=-3x+1，y2=0，则当x＞ 时，y1＜0，y2=0，不符合题意，
综上所述，a的取值范围为：0＜a＜9．
故答案为：0＜a＜9．
【点睛】本题是二次函数和一次函数的综合题，主要考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点问题，
根据a的符号和对称轴的位置进行分类讨论是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2022·河南郑州·郑州外国语中学校考模拟预测）（1）解方程： ．
（2）化简： ．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）利用解分式方程的步骤解答即可；
（2）根据零次幂，二次根式，绝对值的运算法则计算即可．
【详解】解：（1）去分母得： ，
解得： ，
检验：把 代入得： ，
∴分式方程的解为 ；
（2）原式．
【点睛】本题考查解分式方程，零次幂，二次根式，绝对值的化简，解题的关键是掌握以上相关知识点，
并能够正确计算，属于基础题型．
18．（8分）（2022·河南郑州·郑州外国语中学校考模拟预测）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示
意图，已知支架 与支架 所成的角 ，点A、H、F在同一条直线上，支架 段的长为1
米， 段的长为1.50米，篮板底部水平支架 的长为0.75米，篮板顶端F到地面的距离为4.4米．
(1)求篮板底部支架 与支架 所成的角 的度数．
(2)求底座 的长．（结果精确到0.1米；参考数据： ， ， ，
，
【答案】(1)
(2)0.6米
【分析】（1）根据锐角三角函数即可求出结果；
（2）延长 交 的延长线于 ，过 作 于 ， ，可得 ，然后
根据锐角三角函数 ， （米），进而可得底座 的长．
【详解】（1）解：由题意可得： ，
则 ；（2）解：延长 交 的延长线于 ，过 作 于 ，
，
，
在 中，
， ，
，
（米），
（米），
（米），
在 中，
，
（米），
答：底座 的长0.6米．
【点睛】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角
三角函数的定义，属于中考常考题型．
19．（10分）（2022·贵州铜仁·模拟预测）劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，某校倡议学生
在家帮助父母做一些力所能及的家务．小杨随机抽取该校部分学生进行问卷调查，问卷调查表如图所示，
并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．
平均每周做家务的时间调查表设平均每周做家务的时间为 小时，则最符合你的选项是______ 单选
A．
B．
C．
D．
(1)求小杨共调查了多少人，并补全条形统计图．
(2)该校有 名学生，根据抽样调查结果，请你估计该校平均每周做家务的时间不少于 小时的学生人数．
(3)为了增强学生的劳动意识，现需要从 组的四位同学中抽调两位同学参与到社区服务，已知 组共由两
位女生、两位男生组成，请利用树状图或列表等方法求出恰好抽调到一男一女的概率．
【答案】(1)50人，统计图见解析
(2)780人
(3)
【分析】（1）根据选项B的人数和人数占比即可求出参与调查的总人数，进而求出选项C的人数，再补
全统计图即可；
（2）用1500乘以样本中平均每周做家务的时间不少于 小时的学生人数的占比即可得到答案；
（3）先列表得到所有的等可能性的结果数，然后找到恰好为一男一女的结果数，最后依据概率计算公式
求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，参与调查的总人数为 人，
∴选项C的人数为 人，补全统计图如下所示：
（2）解； 人，
∴估计该校平均每周做家务的时间不少于 小时的学生人数为780人；
（3）解：列表如下；
男1 男2 女1 女2
男1 （男2男1） （女1男1） （女2男1）
男2 （男1男2） （女1男2） （女2男2）
女1 （男1女1） （男2女1） （女2女1）
女2 （男1女2） （男2女2） （女1女2）
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好为一男一女的结果数有8种，
∴恰好抽调到一男一女的概率为 ．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，树状图或列表法求解概
率，熟知相关知识是解题的关键．
20．（8分）（2022·新疆乌鲁木齐·统考模拟预测）如图，在 中， ，点 在 上，
作 ，使 与 相切于点 ， 与 交于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，且
．(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由平行线的性质得 ，证 ，则 是 的角平分线，再由切
线的性质得 ，然后由角平分线的性质得 ，即可得出结论；
（2）由（1）知 是 的直径，求出 ， ，再由勾股定理得 ，然后证 ，
求出 ，然后由锐角三角函数定义求解即可．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
是 的角平分线，
与 相切于点 ，
是 的半径， ，
，
，
，
点 在 上，
，
是 的切线；
（2）解：由（1）知： ， 是 的半径，
是 的直径，
，
， ，在 中，
由勾股定理得： ，
， ，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角
函数的定义等知识，熟练掌握切线的判定与性质，证明 是解题的关键．
21．（7分）（2022·四川成都·成都市树德实验中学校考模拟预测）如图，直线 与反比例函数
的图象相交于点A、点 ，与 轴交于点 ，其中点A的坐标为 ，点 的横坐标为 ．
(1)试确定反比例函数的关系式；
(2)直接写出不等式 的解集．
(3)点 是 轴上一点，点 是坐标平面内一点，以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形，请直接写出
点 的坐标．
【答案】(1)(2) 或
(3)点 的坐标为 或
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）求得点 坐标，观察图象，一次函数图象在反比例函数图象上的部分即为符合题意部分，对照图象直
接写出即可；
（3）利用分类讨论的方法分当以 为一边时和当以 为一条对角线时两种情况，分别画出图形，依据
菱形的性质和对称性直接写出即可．
【详解】（1）解：将点A的坐标 代入反比例函数 中得：
，
反比例函数的关系式为 ；
（2）解：∵点 的横坐标为 ，
，
，
由图象可知，不等式 的解集为 或 ；
（3）解： 当以 为一边时，如图所示：
把 ， 分别代入 得：，解得： ，
∴ ，
把 代入得： ，
∴直线 与y轴交点坐标为： ，
设点 ，
则 ，
，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得： 或 （舍去），
∴点 ，
∴ 轴，
∵菱形的对角线垂直平分，
∴ ，
∴ 轴，
∴ ；
当以 为一条对角线时，如图，设点 ，
则 ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴ ，
菱形的对角线 与 互相平分，
∴根据中点坐标公式可得， 与 交点 的坐标为： ，
∴点 的坐标为： ；
综上，以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形，点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法，数形结合法，双曲线上点的坐标的特征，菱形的性质，利用数形结
合法解答是解题的关键．
22．（7分）（2022·浙江温州·温州市第三中学校考模拟预测）某商店决定购进 ， 两种“冰墩墩”纪念
品进行销售．已知每件 种纪念品比每件 种纪念品的进价高30元．用1000元购进 种纪念品的数量和
用400元购进 种纪念品的数量相同．
(1)求 ， 两种纪念品每件的进价分别是多少元？(2)该商场通过市场调查，整理出 型纪念品的售价与数量的关系如下表，
售价 （元/件）
销售量（件） 100
①当 为何值时，售出 纪念品所获利润最大，最大利润为多少？
②该商场购进 ， 型纪念品共200件，其中 型纪念品的件数小于 型纪念品的件数，但不小于50件．
若 型纪念品的售价为 元/件时，商场将 ， 型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，
求 的值．
【答案】(1) ， 两种纪念品每件的进价分别是 元和 元
(2)①当 时，售出 纪念品所获利润最大，最大利润为 元；②
【分析】（1）设 纪念品每件的进价是 元，则 纪念品每件的进价是 元，根据用1000元购进
种纪念品的数量和用400元购进 种纪念品的数量相同，列出分式方程，进行求解即可；
（2）①设利润为 ，根据图表，利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出函数关系式，根据函数的
性质，求出最值即可；②设该商场购进 型纪念品 件，则购进 型纪念品 件，根据题意列出不
等式组，求出 的取值范围，进而得到 型纪念品的最大利润，设总利润为 ，求出函数关系式，根据函
数的性质，求出当 时， 的值即可．
【详解】（1）解：设 纪念品每件的进价是 元，则 纪念品每件的进价是 元，由题意，得：
，
解得： ，
经检验： 是原方程的解；
当 时： ；
∴ ， 两种纪念品每件的进价分别是 元和 元；
（2）解：①设利润为 ，由表格，得：当 时， ，
∵ ，
∴ 随着 的增大而增大，
∴当售价为： 元时，利润最大为： 元；
当 ， ，
∵ ，
∴当 时，利润最大为： 元；
综上：当 时，售出 纪念品所获利润最大，最大利润为 元．
②设该商场购进 型纪念品 件，则购进 型纪念品 件，由题意，得： ，
解得： ，
由①可知：当 型纪念品的售价为 元时，售出 型纪念品的利润最大；
设 ， 型纪念品均全部售出后获得的总利润为： ，
则： ，
整理，得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ 随 的增大而减小，
∴当 时， 有最大值，最大值为： ，
∴ ．
【点睛】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，二次函数的应用．根据题意，正确的列出分式方程
和函数表示式，利用函数的性质，求最值，是解题的关键．
23．（10分）（2022·山东济南·统考二模）（1）【方法尝试】
如图1，矩形 是矩形 以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转 所得的图形， 分别是
它们的对角线．则 与 数量关系_______，位置关系________；（2）【类比迁移】
如图2，在 和 中， ．将 绕
点A在平面内逆时针旋转，设旋转角 为α（ ），连接 ．请判断线段 和
的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
如图3，在 中， ，过点A作 ，在射线 上取一点D，连接 ，使
得 ，请求线段 的最大值．
【答案】（1） ；（2） ， ，理由见解析；（3） ．
【分析】（1）延长 交 于点H．由旋转的性质可得出 ， ．从而即可求出
，即 ；
（2）延长 交 于点Q，交 于点O，易证 ，又可求 ，即证明，得出 ， ．进而可求出 ，即 ，
；
（3）过点A作 ，使得 ，取 的中点R，连接 ．由平行线的性质可证
，从而可证 ．再根据 ，即得出
，从而可证 ，得出 ．根据直角三角形斜边中线的性质可求出
．再根据勾股定理可求出 ，最后由三角形三边关系即得出
，从而得出 ，即得出 的最大值．
【详解】解：（1）如图，延长 交 于点H．
由旋转的性质可得： ， ．
又∵ ，
∴ ，即 ．
故答案为： ， ；
（2） ， ，理由如下，
延长 交 于点Q，交 于点O，如图2．∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ， ；
（3）如图，过点A作 ，使得 ，取 的中点R，连接 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵点R为 中点， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ,
∴ ，
∴ 最大值为 ．
【点睛】本题考查矩形的性质，旋转的性质，三角形相似的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾
股定理，三角形三边关系的应用等知识．熟练掌握旋转的性质和三角形相似的判定定理，并正确的作出辅
助线是解题关键．
24．（12分）（2022·山东济南·统考一模）如图，抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴交于点
C，已知A，B两点坐标分别是 ， ，连接 ．(1)求抛物线的表达式；
(2)将 沿 所在直线折叠，得到 ，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对
称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；
(3)若点P是抛物线位于第二象限图象上的一动点，连接 交 于点Q，连接BP， 的面积记为 ，
的面积记为 ，求 的值最大时点P的坐标．
【答案】(1)
(2)点 不在抛物线的对称轴上，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用待定系数法可求得函数的表达式；
（2）抛物线的表达式为 ，可证明 ，继而可证 ，则将 沿
所在直线折叠，点D一定落在直线 上，延长 至D，使 ，过点D作 轴交y轴于点
E，可证 ，可得点D横坐标．则可判断D点是否在抛物线对称轴上；
（3）先求出过点 、 的直线解析式，分别过A、P作x轴的垂线，利用解析式，用同一个字母m表示出
P，N的坐标，再证明 ，进而用m表示出 的值，根据二次函数的性质可以确定出 的最
大值，进而可确定出此时的P点坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线 过点 ， ，∴ ，
解得： ，
∴抛物线的表达式为 ．
（2）解：点 不在抛物线的对称轴上，理由是：
∵抛物线的表达式为 ，
∴点 坐标为 ．
∵ ， ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴将 沿 所在直线折叠，点 一定落在直线 上，
延长 至 ，使 ，过点 作 轴交 轴于点 ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，则点 横坐标为 ，∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴点 不在抛物线的对称轴上．
（3）解：设过点 、 的直线表达式为 ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴过点 、 的直线解析式为 ．
过点 作 轴的垂线交 的延长线于点 ，
∵当 时， ，
∴点 坐标为 ，
∴ ．
过点 作 轴的垂线交 于点 ，
设点 坐标为 ，则点 坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ．
若分别以 、 为底计算 和 的面积（同高不等底），
则 与 的面积比为 ，即 ，
∴ ．
∵ ，
∴当 时， 的最大值为 ，此时点 坐标为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形
面积的计算，二次函数中常见辅助线的作法，利用点的坐标表示线段的长度，确定函数最值，关键在于作
出垂线段利于用点的坐标表示相关线段的长度．
