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二十四章 圆（单元测试）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．如图所示， ， ，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐
标为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵ ，
∴OA= ，
∵ ，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，
∴ ，
∴ ，
∵点C为x轴负半轴上的点，
∴C ，
故选：C．
2．如图，点 在 上， ，则 （ ）A． B． C． D．
【详解】解： 点 在 上， ，
故选：
3．往水平放置的半径为 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度 ，
则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，∵OC⊥AB，由垂径定理可知，
∴AC=CB= AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理可知：
∴ ，
∴ ，
故选：B．
4．如图， 内接于 ，AD是 的直径，若 ，则 的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【详解】解：连接CD，
∵AD是 的直径，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故选：C．
5．如图， 为⊙O的直径，弦 于点E，直线l切⊙O于点C，延长 交l于点F，若 ，
，则 的长度为（ ）A．2 B． C． D．4
【详解】解：∵BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E， ， ，
∴ AE=DE=2，
∴∠COD=2∠ABC=45°，
∴△OED是等腰直角三角形，
∴OE=ED=2，
∴ ，
∵直线l切⊙O于点C，
∴BC⊥CF，
∴△OCF是等腰直角三角形，
∴CF=OC，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
6．如图，在平面直角坐标系中， ， ， ．则△ABC的外心坐标为
（ ）A． B． C． D．
【详解】解：∵B点坐标为（2，-1），C点坐标为（2， 3），
∴直线BC∥y轴，
∴直线BC的垂直平分线为直线y=1，
∵外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，
∴△ABC外心的纵坐标为1，
设△ABC的外心为P（a，1），
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴△ABC外心的坐标为（-2， 1），
故选D．
7．如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，且 ， 的周长为
14，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【详解】解： 与 ， ， 分别相切于点 ， ，， ， ，
的周长为14，
故选： ．
8．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多
名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形
，若对角线 的长约为8mm，则正六边形 的边长为（ ）
A．2mm B． C． D．4mm
【详解】连接CF与AD交于点O，
∵ 为正六边形，
∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO= AD=4mm，
∴△COD为等边三角形，
∴CD=CO=DO=4mm，
即正六边形 的边长为4mm，
故选：D．
9．如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从 地走到 地有观赏路（劣弧 ）和便民路（线段）.已知 、 是圆上的点， 为圆心， ，小强从 走到 ，走便民路比走观赏路少走
（ ）米.
A． B．
C． D．
【详解】解：作OC⊥AB于C，如图，
则AC=BC，
∵OA=OB，
∴∠A=∠B= （180°-∠AOB）=30°，
在Rt△AOC中，OC= OA=9，
AC= ，
∴AB=2AC= ，
又∵ = ，
∴走便民路比走观赏路少走 米，
故选D．
10．如图，从一张腰长为 ，顶角为 的等腰三角形铁皮 中剪出一个最大的扇形 ，用此剪
下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（ ）A． B． C． D．
【详解】过 作 于 ，
，
，
，
弧 的长 ，
设圆锥的底面圆的半径为 ，则 ，解得 ．
故选A．
二、填空题（每题4分，共20分）
11．如图， 、 是 的弦，过点A的切线交 的延长线于点 ，若 ，则
°．
【详解】解：如图，连接 并延长，交 于点 ，连接 ．为 的直径，
，
，
为 的切线，
，
，
，
．
故答案为：35．
12．如图， 是 的切线， 是切点．若 ，则 ．
【详解】解：∵ 是 的切线，
∴ ，
∴由四边形内角和可得： ，
∵ ，
∴ ；
故答案为130°．
13．我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外
一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到
直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点 到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为 ．
【详解】解：根据题意可得：
点到圆的距离为：该点与圆上各点的连线中，最短的线段长度，
连接OA，与圆O交于点B，
可知：点A和圆O上点B之间的连线最短，
∵A（2，1），
∴OA= = ，
∵圆O的半径为1，
∴AB=OA-OB= ，
∴点 到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为 ，
故答案为： .
14．如图， 是 的内接正三角形，点 是圆心，点 ， 分别在边 ， 上，若 ，则
的度数是 度．【详解】连接OA，OB，作OH⊥AC，OM⊥AB，如下图所示：
因为等边三角形ABC，OH⊥AC，OM⊥AB，
由垂径定理得：AH=AM，
又因为OA=OA，故△OAH △OAM（HL）．
∴∠OAH=∠OAM．
又∵OA=OB,AD=EB,
∴∠OAB=∠OBA=∠OAD,
∴△ODA △OEB（SAS）,
∴∠DOA=∠EOB,
∴∠DOE=∠DOA+∠AOE=∠AOE+∠EOB=∠AOB．
又∵∠C=60°以及同弧 ，
∴∠AOB=∠DOE=120°．
故本题答案为：120．
15．如图，菱形 中，分别以点 ， 为圆心， ， 长为半径画弧，分别交对角线 于点 ，
．若 ， ，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不取近似值）【详解】解：连接BD交AC于点G，
∵四边形 是菱形，
∴AB＝AD＝2，AC⊥BD，
∵ ，
∴△ABD是等边三角形，∠DAC＝∠BCA＝30°，
∴BD＝2，
∴BG＝ ，
∴ ，
∴AC＝ ，
∴S ＝S ABCD－S ADE－S CBF＝ ，
阴影 菱形 扇形 扇形
故答案为： ．
三、解答题（16-18题每题4分，19题6分，20题7分，21、22题每题8分，23题9分，共50分）．
16．蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知 ，半径 ，求高度 ．【详解】解：根据题意得，在 中， ，半径 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
故答案是： ．
17．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦 交小圆于 两点．求证： ．
【详解】证明：如图所示，过点O作OP⊥AB，垂足为点P，
由垂径定理可得PA＝PB，PC＝PD，PA－PC＝PB－PD，
AC＝BD．
18．如图所示， 是⊙ 的一条弦， ，垂足为 ，交⊙ 于点 ，点 在⊙ 上．
（ ）若 ，求 的度数．
（ ）若 ， ，求 的长．【详解】解：（1） ，
，
．
（2）∵ ， ，且 ，
∴ ，
∵ ，
，
．
19．如图， 为⊙ 的直径，过圆上一点 作⊙ 的切线 交 的延长线与点 ，过点 作
交 于点 ，连接 ．
(1)直线 与⊙ 相切吗？并说明理由；
(2)若 ， ，求 的长．
【详解】（1）证明：连接 ．∵ 为 切线，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
且 ，
∴ ，
在 与 中；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 与 相切．
（2）设半径为 ；
则： ，得 ；
在直角三角形 中， ，
，解得
20．如图，以线段 为直径作 ，交射线 于点 ， 平分 交 于点 ，过点 作直线
于点 ，交 的延长线于点 ．连接 并延长交 于点 ．(1)求证：直线 是 的切线；
(2)求证： ；
(3)若 ， ，求 的长．
【详解】（1）证明：连接OD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．
（2）证明： 线段 是 的直径，
，
∴∠ADM＝180°－∠ADB＝ ，
∴∠M＋∠DAM＝ ，∠ABM＋∠DAB＝ ，∵∠DAM＝∠DAB，
∴∠M＝∠ABM，
∴AB＝AM．
（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，
∴∠BAM＝60°，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠M＝60°，
∵∠DEM＝90°，ME＝1，
∴∠EDM＝30°，
∴MD＝2ME＝2，
∴BD＝MD＝2，
∵∠BDF＝∠EDM＝30°，
∴∠BDF＝∠F，
∴BF＝BD＝2．
21．已知： 是 的外接圆，且 ， ，D为 上一动点．
(1)如图1，若点D是 的中点， 等于多少？
(2)过点B作直线 的垂线，垂足为点E．
①如图2，若点D在 上，求证： ．
②若点D在 上，当它从点A向点C运动且满足 时，求 的最大值．
【详解】（1）如图1中，连接 ．∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵D是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）①过B作 于点H，则 ．
又∵ 于点E，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，在 和 中，
∴ ，
∴ ，
又∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
②连接 并延长与 交于点I，则点D在 上．
如图：过B作 于点H，
则 ，
又∵ 于点E，∴ ，
∴ ，
又∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又 ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 直径， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴当点D运动到点I时 取得最大值，此时 ．22．如图， 中， ，AC和BC分别与 相切于E，F两点，AB经过 上的点M，且
．
(1)求证：AB是 的切线；
(2)若 ，求 的半径．
【详解】（1）证明：连接OA，OE，OM．
AC切⊙O于点E，OE是⊙O的半径
∴OE⊥AC
∴∠AEO=90°
在△AMO和△AEO中
∴△AMO≌△AEO(SSS)
∴∠AMO=∠AEO=90°
∴OM⊥AB
∵OM是⊙O的半径∴AB是⊙O的切线．
（2）解：连接OF．设⊙O的半径为r．
∵BC与⊙O相切于点F，
∴OF⊥BC，
∴∠OFC=90°，
又因为∠C=90°，∠OEC=90°，且OF=OE，
∴四边形OFCE是正方形，
∴CF=CE=OE=r，
∵AB、BC、AC都与⊙O相切，
∴BM=BF=6－r，AM=AE=8－r，
在Rt△ABC中， ，
∵BM+AM=AB，
∴6－r+8－r=10 ，
∴ r=2
∴⊙O的半径为2．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，圆的切线的证明，勾股定理，掌握定理与性质是解题的
关键．
23．【阅读理解】如图1， 为等边 的中心角，将 绕点 逆时针旋转一个角度
， 的两边与三角形的边 ， 分别交于点 ， ．设等边 的面积为 ，
通过证明可得 ，则 ．(1)【类比探究】如图2， 为正方形 的中心角，将 绕点 逆时针旋转一个角度
， 的两边与正方形的边 ， 分别交于点 ， ．若正方形 的面积为 ，
请用含 的式子表示四边形 的面积（写出具体探究过程）．
(2)【拓展应用】如图3， 为正六边形 的中心角，将 绕点 逆时针旋转一个角度
， 的两边与正六边形的边 ， 分别交于点 ， ．若四边形 面积为
，请直接写出正六边形 的面积
(3)【猜想结论】如图4， 为正 边形 ……的中心角，将 绕点 逆时针旋转一个角度
， 的两边与正 边形的边 ， 分别交于点 ， ．若四边形 面积
为 ，请用含 、 的式子表示正 边形 ……的面积．
【详解】（1）解：如图2，
∵ 为正方形 的中心角，
∴ ， ，
∵ 绕点O逆时针旋转一个角度 ， 的两边与正方形的边 分别交于点∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）如图3，
∵ 为正六边形 的中心角，
∴ ， ，
∵ 绕点O逆时针旋转一个角度 ， 的两边与正六边形的边 分别交于点
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵四边形 面积为 ，
∴正六边形 的面积为 ．
（3）如图4，∵ 为正多边形 的中心角，
∴ ， ，
∵ 绕点O逆时针旋转一个角度 ， 的两边与正多边形的边 分别交于点
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵四边形 面积为 ，
∴正多边形 的面积为 ．
【点睛】本题考查了旋转，正多边形的性质，正多边形的中心角，三角形的全等，图形的割补，熟练掌握
旋转的性质，正多边形的性质是解题的关键．
