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第二十四章 圆（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；
④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图， 是 的直径， ， 是 上的两点，连接 ， ， ，若 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在 中，满足 ，则下列对弦 与弦 大小关系表述正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
4．数学活动课上老师请同学分组制作圆锥，并请不同小组同学根据已知数据求解相关量．如已知1组制作
的圆锥母线长为 ，底面圆的半径为 ，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图， 过原点 ，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为 ，点 M是第三象限内圆
上一点， ，则 的半径为（ ）A．4 B．5 C．6 D．2
6．如图， 是 的外接圆，点M是 的内心，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．已知在 中两条平行弦 ， ， ， 的半径是10，则AB与CD间的距离是
（ ）
A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12
8．如图， 内切于正方形 ，边 分别与 切于点 ，点 分别在线段
上，且 与 相切．若 的面积为 ，则 的半径为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为 ， ，
．给出以下结论：
①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形；②Ⅲ中最大的内角是 ；③ ．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．直线 与x，y轴分别交于A，B两点，P是以 为圆心，1为半径的圆上一点，连接
，则 面积的最大值为（ ）
A．27 B．10 C．23 D．32
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在 中， ， ， ，D是 边的中点，以点C为圆心， 为半
径作圆，则点D与 的位置关系是 ．
12．如图，四边形 内接于 ， 是 的直径， ，则 的度数是 ．
13．道县西洲公园是由一座三孔石拱桥将西洲与潇水西岸连在一起的．图为石拱桥的中孔侧面图，拱是圆
弧形，桥的跨径所在弦 ，拱高 ，则拱所在圆的半径为 m．
14．如图，在圆内接正六边形 中， ， 分别交 于点 ， ，若该圆的半径为12，则线段 的长为 ．
15．如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0， ）， ，点P的坐标为 ，
与y轴相切于点O，若将 沿x轴向左移动，当 与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标
．
16．如图，已知 为 的直径，点C为半圆上的四等分点，在直径 所在的直线上找一点P，连接
交 于点Q（异于点P），使 ，则 ．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．如图， ， 交 于点C，D， 是半径，且 于点F．(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 直径的长．
18．如图， 中，弦 ， 相交于点 ， ．
(1)比较 与 的长度，并证明你的结论；
(2)求证： ．
19．如图，在平面直角坐标系 中，点A的坐标为 ，点B的坐标为(0,3)，点C的坐标为 ．
(1)在图中利用直尺画出 的外接圆的圆心点D，圆心D的坐标为 ；
(2)求 外接圆的面积；
(3)若点E的坐标 ，点E在 外接圆 ．（填“圆内”“圆上”或“圆外”）
20．如图1，在 中， ，且 ，垂足为点E．(1)求 的度数．
(2)如图2，连接OA，当 ， ，求 的长．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．如图， 为⊙ 的直径， 、 为⊙ 上不同于 、 的两点， ，过点 作
交 的延长线于点 ，直线 与 交于点 ．
(1)求证： 为⊙ 的切线；
(2)填空：
①若 ，当 时， ______；
②当 的度数为______时，四边形 是菱形．
22．如图，∠BCD＝90°，BC＝DC，直线PQ经过点D．设∠PDC＝α（45°＜α＜135°），BA⊥PQ于点
A，将射线CA绕点C按逆时针方向旋转90°，与直线PQ交于点E．
（1）判断：∠ABC ∠PDC（填“＞”或“＝”或“＜”）；
（2）猜想△ACE的形状，并说明理由；
（3）若△ABC的外心在其内部（不含边界），直接写出α的取值范围．23．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．波波决定研究一下圆．如图， 、
是 的两条半径， ，C是半径 上一动点，连接 并延长交 于D，过点D作圆的切
线交 的延长线于E，已知 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 长；
（3）当 从 增大到 的过程中，求弦 在圆内扫过的面积．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．【问题提出】
在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为 的正方
形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适
的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为 的圆面．喷洒覆盖率 ， 为待喷洒区域面积，
为待喷洒区域中的实际喷洒面积．【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
【探索发现】
（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为 的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率
______．
（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为 的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半
径均为3m的自动喷洒装置； ，以此类推，如图5，设计安装 个喷洒半径均为 的自动喷洒装置．
与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并
给出理由．
（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率
．已知正方形 各边上依次取点F，G，H，E，使得 ，设 ，
的面积为 ，求 关于 的函数表达式，并求当 取得最小值时 的值．【问题解决】
（4）该公司现有喷洒半径为 的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷
洒覆盖率 ？（直接写出结果即可）
25．【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①， 的半径为2，点 是 外的一个定点，
．点 在 上，作点 关于点 的对称点 ，连接 、 ．当点 在 上运动一周时，试探
究点 的运动路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长 至点 ，使
，连接 ，通过证明 ，可推出点 的运动路径是以点 为圆心、2为半径
的圆．下面是部分证明过程：
证明：延长 至点 ，使 ，连接 ．
1°当点 在直线 外时，
证明过程缺失
2°当点 在直线 上时，
易知 ．
综上，点 的运动路径是以点 为圆心、2为半径的圆．
请你补全证明中缺失的过程．
【结论应用】如图③，在矩形 中，点 分别为边 的中点，连接 ，点 是 中点，
点 是线段 上的任意一点， ．点 是平面内一点， ，连接 ．作点 关于点
的对称点 ，连接 ．
（1）当点 是线段 中点时，点 的运动路径长为________________．
（2）当点 在线段 上运动时，连接 ．设线段 长度的最大值为 ，最小值为 ，则________________．
